Cinématique du point

Cinématique du point
La mécanique est la science qui étudie les phénomènes matériels. On distingue la cinématique qui est l’étude
descriptive des mouvements de la dynamique qui relie les mouvements à leurs causes (forces).
I Généralités
I-1 Historique de la mécanique classique
• Antiquité : hydrostatique d’Archimède
• XVI e siècle : Copernic (héliocentrisme) , Kepler (lois cinématiques du mouvement des planètes , Galilée
père de la méthode expérimentale (pendule,chute …)
• XVII e siècle Pascal hydrostatique , Huygens (rotation)
• Newton « principia » élaboration de concepts mathématiques pour théoriser la physique=> rend compte
des mouvements des planètes, de l’interaction gravitationnelle
• Après Newton : 1755 mécanique des fluides et mouvement des solides, 1788 Lagrange développe la
mécanique analytique , Laplace la mécanique céleste , Leverrier (Neptune)
Les mécanique classique ou newtonienne, mécanique relativiste, mécanique quantique désignent des stades
historiques du développement de la mécanique. En toute rigueur la mécanique est relativiste et quantique
mais heureusement la mécanique classique reste une très bonne approximation pour la majorité des
phénomènes.
I-2 Le domaine de la mécanique Newtonienne
Quelques hypothèses implicites de la mécanique newtonienne.
 Existence d’un temps universel t=t’ dans deux référentiels R et R’ en mouvement relatif
quelconque l’un par rapport à l’autre.
 Possibilité de connaître avec une précision infinie la position et la vitesse d’un point matériel à un
instant donné.
 Caractère continu de l’espace et du temps (Adéquation à la réalité expérimentale du modèle usuel
qui assimile les coordonnées de l’espace aux réels des mathématiciens.
Remise en cause :
(1) est rejetée à partir de 1905 par la théorie de la relativité d’Einstein, cependant l’hypothèse reste
valable tant que v/c << 1 (véhicules terrestres)
Abandonné à partir de 1926 : mécanique quantique d’Heisenberg
?
I-3 Repérage du temps
Les horloges mesurent des durées, c à d des intervalles de temps. Un repère temporel nécessite donc une
horloge et une origine des temps pour repérer parfaitement l’instant d’un événement.
Remarques :
 Le repérage suppose implicitement une orientation du temps du passé vers le futur qui s’appuie sur
l’irréversibilité fondamentale de l’évolution des phénomènes physiques.
 Historiquement la notion de temps universel est issu de l’observation de phénomènes cycliques.
Une lunaison (cycle complet de la lune : 28 jours)
Un jour solaire (intervalle entre deux culminations du soleil)
Un jour sidéral : période de révolution de la terre
Une année qui donne une horloge en désaccord avec la précédente que Newton justifie : le
ralentissement du jour sidéral est du au frottement des marées
Horloge mécanique puis atomique
I-4 Repérage de l’espace
Un repère de l’espace est toujours lié à un solide de référence.
Notion de solide : Ensemble de points dont les distances mutuelles sont invariables au cours du temps.
On caractérise un repère par (O , Ox ,Oy ,Oz ), un point O origine, et trois axes de coordonnées liés au
solide de référence.
Remarque : une base ne caractérise pas un repère , en effet un repère possède une infinité de bases et de
système de coordonnées.
I-5 Notion de référentiel
L’ensemble d’un repère de l’espace et d’un repère temporel est appelé référentiel.
On confond le plus souvent en mécanique classique référentiel et repère spatial sans préciser le repère
temporel.
Exemples :
 Référentiel terrestre lié à la Terre
 Référentiel géocentrique
Un point matériel est un « petit système » identifiable par trois coordonnées dans un repère spatial.
Dans un référentiel, un événement ponctuel est repéré par trois coordonnées spatiales et une coordonnée
temporelle.
Trajectoire :La trajectoire d’un point M dans un référentiel (R) est l’ensemble des points de (R) occupés
par M au cours du temps.
II Vecteur vitesse
Soit un référentiel R=Oxyz (repère de l’espace) et M un point matériel.
II-1 Définition

OM est le vecteur position de M dans R.


dOM 
vitesse de M par rapport à R (pour un observateur lié à R) unité en m/s
vM / R 
dt 
R
II-2 composantes cartésiennes
  
En désignant (ex , ey , ez ) une base cartésienne de R .




dxex  yey  zez




OM  xex  yey  zez  vM / R 
dt




vM / R  xex  yey  zez


dey

dx 
dex 
dy 
 
e

x

e

y

x
y

dt  R dt
dt
 R dt


dz 
de 
  ez  z z  d’où

dt  R
 R dt
II-3 composantes cylindriques




drer  zez 
dr 
de 
dz 
de 
er  r r   ez  z z 
 
dt
dt  R dt
dt  R
 R dt











der
d
e
d

d

d
e

 e  er  cos ex  sin ey  r 
( sin )ex 
(cos )ey   e et
 er 
Or
dt
dt
dt
dt
dt




d’où vM / R  rer  re  zez




Dans une base cylindrique de R : OM  rer  zez d’où vM / R 
III Vecteur accélération
III-1 Définition

OM est le vecteur position de M dans R.



dvM / R 
d ²OM 
accélération de M par rapport à R (pour un observateur lié à R)
aM / R 
 
dt  R
dt 
R
unité en m/s²
III-2 composantes cartésiennes
  




En désignant (ex , ey , ez ) une base cartésienne de R . vM / R  xex  yey  zez



dxex  yey  zez

aM / R 
dt




  xex  yey  zez

R
III-3 composantes cylindriques




Dans une base cylindrique de R : vM / R  rer  re  zez d’où







drer  re  zez 
d ²r 
der 
dr 
 de  d ² z e  z dez 

aM / R 

e

r

e

r


r

z

dt
dt  R
dt
dt
dt²
dt  R
 R dt²




dr
de
de
 r  r
Or r  e ,   er et
dt
dt
dt




 (r  r²)e  (r  2r)e  ze
d’où a
M/R

r
z
IV Changement de référentiel
IV-1 Présentation du problème
Rappelons qu’un référentiel R lié à un solide de référence S correspond à un repère de l’espace
R(O,Ox,Oy,Oz) où O point de S et Ox , Oy ,Oz trois axes fixes de S et un repère de temps.
Prop :
 A un repère de l’espace correspond une infinité de bases permettant de repérer un point dans ce
repère (base cartésienne , base cylindrique , base sphérique …)


vM


R  dOM 
dt 
R

; aM

R  dvM ) R 
dt
R
Soient deux référentiel R et R’ associés à deux solides de
référence (ex : train ..)
Nous cherchons les relations qui existent entre les valeurs mesurées dans R et R’ de la vitesse d’un même
point M. Ces relations dépendent du mouvement de R/R’.
Rques :
 Bien que les référentiels jouent des rôles symétriques , on appelle :

Mouvement absolu : le mouvement de M /R (pour un observateur fixe dans R)

Mouvement relatif : le mouvement de M / R’

Mouvement d’entraînement : mouvement de R’ / R ou celui de S’/ R
 Ne pas confondre base et référentiel , on peut très bien exprimer le mouvement de M / R dans une
base de R’
IV-2 Mouvement de translation
Def : R’ est en translation / R si un vecteur
fixe de R’ reste fixe dans R au cours du temps.
Prop :
 Soit A’ un point fixe de R’ alors




dex ' 
 0
dt  R


du 
du 
 

dt  R dt  R '


vA' ) R  vO' ) R
: Tous les points fixes de R’ ont même vitesse / R
Exemples : Translation rectiligne uniforme : cte  vO' ) R ,Translation circulaire : grande roue , Translation
elliptique : référentiel géocentrique / référentiel héliocentrique
IV-3 Loi de composition des vitesses pour un mouvement de translation:








O' M  x' ex'  y' ey '  z' ez ' ; OM  xex  yey  zez ;





 dO' M 




dOM 
dOO'  dO' M 
dO' M 
  vM ) R ' 

vM ) R 


 vO' ) R 


dt 
dt 
dt 
dt  avec   dt R '

R
R
R'
R
vO ' ) R  vMc ) R



va  vM ) R

  

va  vr  ve vr  vM ) R '
v  v )  v )  v
Mc R
O' R
R/R
 e
Rqes :
 Loi de composition des accélérations :


aa  aM ) R

  

aa  ar  ae ar  aM ) R '
a  a )  a )  a
Mc R
O' R
R/R
 e
 Si la translation est rectiligne uniforme (transformation de galilée)
Exemple :