Equilibre d`un corps soumis à plusieurs forces

3e BC 1 Equilibre d’un corps soumis à plusieurs forces 1
Chap. 1 : Equilibre d’un corps soumis à plusieurs forces
1. Résultante de plusieurs forces
On appelle résultante R
G de plusieurs forces 1
F
G
,2
F
G
,3
F
G,.., s’exerçant sur un corps, la force R
G
qui, s’exerçant sur le même corps, a le même effet que les forces 1
F
G
,2
F
G
, ,.., ensembles.
3
F
G
i123 i
R F F F ... F=+++=
GGG G G
Comment trouver la somme de 2
vecteurs ?
Règle 1 : On applique les 2 forces en un
même point et on construit un
parallélogramme avec ces deux forces.
La diagonale représente alors la
résultante cherchée.
Règle 2 : On relie les vecteurs bout à bout. La résultante cherchée est le vecteur qui relie
l’origine du premier à l’extrémité du dernier.
Afin de trouver la somme de 3,4,… vecteurs on applique la règle 2.

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2. Equilibre d’un corps soumis à 2 forces
Un corps ponctuel (pas de mouvement de rotation !) est en équilibre ( = au repos) si la
résultante des forces extérieures s’exerçant sur lui est nulle F 0
¦G
G.
On dit que les forces se compensent mutuellement.
S’il n’y a que deux forces alors ces forces ont des directions confondues, des sens opposés et
des intensités égales.
212121 FFFF0FF   
GG
G
GG
Exemple : Solide suspendu à un fil
Solide en équilibre sous l’action de P
G (poids, exercé
par la Terre) et de T (tension, exercée par le fil).
G
1) TP0TP  
G
G
G
2) Les directions de P
G et de sont confondues : le
centre d’inertie G doit se trouver sur la verticale
indiquée par le fil.
T
G
Méthode pour trouver la position de G : on suspend
le corps successivement à 2 points différents ; on
représente chaque fois la verticale passant par le
point d’attache : G doit se trouver aussi bien sur
l’une que sur l’autre de ces droites ; G est le point
d’intersection des deux droites.
Autre exemples : corps au repos sur un plan horizontal, sur un plan faiblement incliné.
Exercice : Traiter ces deux exemples en représentant le corps ainsi que les forces qui
s’exercent sur lui. Ecrire la relation qui existe entre ces forces.

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3. Equilibre d’un corps soumis à 3 forces
Dans le cas de 3 forces, en plus de la condition F 0
¦G
G, ces forces sont concourantes (leurs
directions se coupent en un seul point) et coplanaires (leurs directions sont dans un même
plan).
système de forme quelconque
F
2
F
3
F
1
Exercice : Construire la résultante de deux de ces trois forces ! Montrer qu’elle est équilibrée
par la troisième force !
4. Décomposition d’une force. Composantes d’une force
Pour un corps en équilibre sous l’action de 3 forces le problème suivant se pose souvent :
On connaît une force entièrement (norme, direction, sens). On connaît également les
directions des deux autres forces. On demande de déterminer les normes de ces deux forces.
Exemple : Equilibre d’un solide de masse m connue pouvant glisser sans frottement sur un
plan incliné et fixé par un fil parallèle
au plan. Il s’agit de déterminer la
force pressante du plan incliné et la
tension du fil.
1 On fait un croquis sur lequel on
représente toutes les forces
s’exerçant sur le solide :
xpoids P, exercé par la Terre
G
xréaction du plan, exercée
par le plan (= force pressante)
R
G
xtension du fil, exercé par le
fil
T
G

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2 On écrit la condition d’équilibre pour
le solide : GG G G
GRTP0 RT P   
G
GG
P est la résultante de et de TR
GG.
3 On représente la force entièrement
connue : ici P
G.
Résolution graphique : Faire une
représentation aussi précise que
possible (respecter la valeur de l’angle
D), suffisamment grande, au crayon
bien taillé, conformément à une échelle
qu’il faut indiquer.
Résolution par le calcul : Un croquis
clair suffit.
4 On représente les directions des deux autres forces passant par le point d’application de
G.P
5 On représente la résultante de et de R
GT
G : c’est l’opposé de P G.
6 On construit le parallélogramme dont P
G est la diagonale. Les côtés de ce
parallélogramme sont les forces recherchées R
G et T G, de même point d’application que
G. On a décomposé  G en deux composantes RPPG et T
G.
6) Résolution graphique : On mesure les longueurs des vecteurs R
G et , et on calcule les
normes R et T à l’aide de l’échelle de la figure.
T
G
Résolution par le calcul : Il apparaît un triangle rectangle de même angle D que celui du
plan incliné par rapport à l’horizontale !!! (Pourquoi ?)
On calcule les côtés R et T du triangle à l’aide des formules trigonométriques :
RPcos D
D
(côté adjacent de longueur R, hypoténuse de longueur P)
TPsin (côté opposé de longueur T)
Remarque : La résolution par le calcul ne se fera que dans le cas d’un triangle rectangle.