concours externe de recrutement de professèurs agrégés

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J.1433
concours externe
de recrutement de professèurs agrégés
option : physique
épreuve A
composition de physique
L Usage de calculatrice électronique de poche-y compris calculatrice programmable et alphanumérique -
à fonctionnement autonome, non imprimante, est autorisé conformément à la circulaire no 86-228 du 2Rjuillet 1986.
Les différentes parties de cette épreuve sont assez largement indépendantes.
MAGNÉTISME
Données numériques :
Constante de Boltzmann : k, = 1 38. lO-=J.K-’
Constante d’Avogadro : dv = 6:02. 102’
Magnéton de Bohr : pe = 9,27. 10-2” J .T’

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1. Le champ magnétostatique dans le vide
1. Lot de Biot es Savart et symétries.
o. Donner l’expression du champ magnétique Ë créé dans le vide par une répartition donnée de courants
stationnaires.
Envisager trois types de schématisation des courants : volumique, surfacique, linéique.
6. Citer trois exemples de situations
sation surfacique des courants. physiques pour lesquelles il peut être judicieux d’adopter une schémati-
c. Si la répartition des courants admet un plan de symétrie (P), quel rôle joue (P) pour le champ
magnétique ?
d. Même question dans le cas où la répartition des courants admet un plan de symétrie négative (si M ’ est
le symétrique de M, le courant en M’ est l’opposé du symétrique du courant en M).
2. l7ux de R et potentiel vecteur.
a. Quelle propriété du flux de Ï? est liée à l’existence d’un potentiel v&teur A ? Comment s’exprime-t-elle
localement ?
b. Établir la relation de passage de 6 de part et d’autre d’une surface (Z) en liaison avec cette propriété.
c. Lc potentiel vecteur est-il déterminé de façon unique ? Montrer qu’il est toujours possible, dans le
des états stationnaires, d’imposer la condition supplémentaire : div A = 0. cas
d. Une source quasi-ponctuelle émet des charges électriques de façon isotrope et avec un débit constant.
Que peut-on dire du champ magnétique engendré par ce système de charges ?
3. C‘irculution du B et théorème d’Ampère.
(1. Donner l‘expression de la circulation du champ magnétostatique le long d’un contour fermé orienté.
h. En déduire les équations locales reliant le champ magnétostatique et le potentiel vecteur au vecteur
densité de courant volumique.
(‘. Établir I’cxprcssion de la discontinuité du champ magnétostatique à la traversée dune nappe de courant.
d. Établir l’expression intégrale du potentiel vecteur A dont dérive le champ magnétostatique. Établir
egalement une expression du potentiel vecteur associé à un champ uniforme.
c. Parmi les résultats des questions 1.1.. 1.2. et 1.3. lesquels ne sont plus valables lorsque les courants dépen-
dent du temps ?
1. Monletlt magrktiyue et dipble magnétique.
(1. Définir le moment magnétique d’un
moment magnétique Y dans le cas de la schématisation linéique. Quelle est l’unité de
h. Donner la définition d’un dipôle magnétique.
(‘. ctahlir l’expression du potentiel vecteur et du champ magnétique pour un dipôle magnétique.
d. Comment seraient affectées les équations locales vérifiées par le champ magnétostatique 6 dans I’hypo-
thèse de monopoles magnétiques à « charge magnétique » conservative ?

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5. Application.
a. Une sphère de rayon a porte une charge 4 uniformément répartie sur sa surface. Elle tourne -tour
d’un diamètre Oz à la vitesse angulaire constante o (fig. 1 a). Calculer son moment magnétique XT.
Figure 1 LI
b. On admet que le champ magn$ique ainsi créé est uniforme à l’intérieur de la sphère, soit Ë, , et que le
champ magnétique extérieur B, s’identifie à celui créé par un dipôle magnétique de moment magnétique 2
placé en 0, centre de la sphère.
En déduire l’expression du champ Ë1 à l’intérieur de la sphère.
c. On considère maintenant une sphère non magnétique, de rayon a, recouverte d’un bobinage serré de
spires circulaires parcourues par un même courant d’intensité 1 (fig. 1 b). Le bobinage n’est pas réparti
uniformément; le nombre de spires comprises entre les angles polaires 8 et 8 + dt3 est ainsi égal à
f(e) d 8. La valeur maximale de f est fO.
Montrer que l’on peut choisir f(e) de façon à obtenir à l’intérieur de la sphère un champ magnétique B,
uniforme.
Figure 1 b
Application numérique :
1 =lOA;
a =5cm;
f0 = 500 spires par radian.
Calculer B,
d. Rappeler l’expression de l’énergie magnétostatique associée dans le vide à un champ Ë. Calculer littéra-
lement, puis numériquement, l’énergie magnétostatique de la sphère du 1.5.~.

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11. Aimants et électroaimants
1. Description macroscopique de Ikimantation.
a. Donner la définition du vecteur aimantation volumique M et son unité
h. Établir les expressions en fonction de M des « courants d’aimantation » (volumique et surfacique) équi-
valents à un échantillon de matière aimantée.
c. En déduire la définition et les propriétés du champ d’excitation magnétique fi. Établir la relation liant
Ë, H et M.
d. Établir les relations de passage satisfaites par Ë et H’ à la surface séparant le milieu magnétique du vide.
2. Aimant sphérique.
a. On considère un aimant sphérique de rayon a. L’aimantation M est uniforme. Donner l’expression du
moment magnétique de cet aimant.
b. Calculer les courants d’aimantation volumique et surfacique équivalents.
c. En exploitant une analogie avec les résultats du 1.5.. établir les expressions en fonction de M de B et I?
à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère.
3. Électrouimant à pièces polaires tronconiques
U. Qu’appelle-t-on un « circuit magnétique » ? On considère un électroaimant dont les pièces polaires cylin-
driques se prolongent au niveau de l’entrefer par des troncs de cône de révolution de même sommet 0
et de demi-angle au sommet a. Le rayon varie de r, à r2 (fig. 2).
Figure 2
On ne se préoccupera pas de la façon dont le circuit magnétique se referme : les cylindres pourront être
supposés infiniment longs.
L’aimantation M est supposée uniforme, y compris dans les parties tronconiques.
CalcuJer les courants d’aimantation équivalents aux parties cylindriques. En déduire le champ magnéti-
que B, créé en 0 par les parties cylindriques.
b. Calculer de même les_courants d’aimantation relatifs aux parties tronconiques ainsi que le champ magné-
tique correspondant B, en 0 que l’on exprimera en fonction de r, , r2, a et M.
c. Pour r, et rz donnés, montrer qu’il existe une valeur a, de a pour laquelle 11 Ë> 11 est maximal.
(i. Pour a = a,,, calculer le champ magnétique total en 0
Application numérique :
a = a,,;
p,,M = 1T;
5 = 10.
rl
e. Représenter l’allure des lignes de champ dans l’entrefer

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4. Force pomme d’un électroaimant.
On considère maintenant un électroaimant $nt les pièces polaires sont cylindriques, de section droite, d’aire
S et de grande longueur. L’aimantation M est supposée uniforme et il n’y a pas d’entrefer (les pièces
polaires sont au contact l’une de l’autre) (fig. 3).
Calculer la force qui s’exerce entre les pièces polaires (on pourra, par exemple, utiliser un raisonnement
énergétique en évaluant le travail nécessaire pour créer un entrefer d’épaisseur e très faible).
Figure 3
Application numérique :
p,M = 1T;
S = 20cm2.
5. Aimants permanents.
On considère un aimant permanent torique (fig. 4 a). La section droite du tore a une aire S. L’entrefer est
assimilable à un « cylindre ode section droit d’aire s. On @sonnera le long d’une circonférence moyenne
et sur les champs moyens B, et H, (dans le matériau), B, et H, (dans l’entrefer). Les modules de ces
champs seront supposés constants. Les longueurs de parcours dans le matériau et dans l’entrefer sont res-
pectivement L et 1.
On néglige les parties tronconiques de l’aimant. On posera u = s rapport des volumes de l’aimant et de
l’entrefer.
entrefer
Aimant toriaue
Figure 4 a
a. La courbe de désaimantation du matériau est représentée entre les valeurs H = 0 et H = - H, par
une fonction monotone décroissante B = f(H) (fig. 4 b). Le rapport IA ayant une valeur fixée, comment
choisir le « point de fonctionnement » sur cette courbe pour que le champ dans l’entrefer soit maximal ?
Donner une représentation graphique simple. Commenter le résultat.