Chapitre 12– Exercice 3 Refroidissement d’un solide à température ambiante 1. Les bilans énergétique et entropique du solide entre l’état initial et l’état intermédiaire de température T s’écrivent respectivement : DU = Q = Cv (T − Ti ) Q T − Ti + S c = Cv + Sc T0 T0 et DS = Sr + Sc = avec, puisqu’on néglige les variations de volume et que Cv est indépendant de la température T : DS = ZT Cv Ti dX = Cv ln X 2. On en déduit l’entropie créée : Sc = DS − Sr = Cv ln T Ti − Cv T Ti T − Ti = Cv ln T0 x xi − (x − xi ) = Cv [f (x) − f (xi )] avec f (x) = ln x − x , x = T/T0 et xi = Ti /T0 . 3. La fonction f (x) a déjà été étudiée (cf. chapitre 7). Elle passe par un maximum pour x = 1 . La production d’entropie passe donc par un maximum pour T = T0 . 4. Calculons DF : DF = DU − T0 DS = Cv (T − Ti ) − T0 Cv ln T Ti = Cv T0 (x − xi ) − ln x xi soit : DF = −Cv T0 [f (x) − f (xi )] = −T0 Sc . Ainsi, à une constante additive près, on a : F = −Cv T0 f (x) . Comme Cv T0 > 0 , cette fonction passe par un minimum pour x = 1 , soit T = T0 . Ce résultat était prévisible, d’après les propriétés de F pour une 0 . Pour T = T0 , F est transformation monotherme, lorsque le travail reçu est nul (cf. chapitre 12) : DF minimal ; le système est en équilibre thermodynamique. 6 F *(x)/CvT0 1 0 1 2 −1 f(x)=ln x − x F IG . 1. 3 x