TD PO4 - Lasne

APPROCHE ONDULATOIRE DE LA MÉCANIQUE
QUANTIQUE
TD PO5
Exercice PO5.1 : Longueur d’onde de DEBROGLIE
Calculer la longueur d’onde de De Broglie pour un électron d’énergie cinétique
égale à 10 eV, puis pour une personne de masse 70 kg se déplaçant à la vitesse de 10
m/s. Commenter.
Exercice PO5.2 : État fondamental de l’atome d’hydrogène
La fonction d’onde associée à l’électron est obtenue par résolution de l’équation de
Schrödinger. Pour l’état fondamental elle a pour expression en M(r, θ, ϕ):Φ(M) =
Ae−r/a0
1. Quel est, au premier ordre, le volume dτcompris entre les sphères de rayons ret
r+ dr?
2. En déduire la probabilité dP=f(r).drque la position de l’électron soit mesurée
entre ret r+ dr. En déduire une valeur de A. On donne :
Z∞
0
xne−αxdx=n!
αn+1 pour α > 0
3. Pour quelle valeur r0de rla probabilité de trouver lŠélectron est-elle maximale ?
Représenter l’allure de f(r).
4. Quelle est la valeur moyenne rde rdans cet état ? Quelle quantité physique
représente a0?
Exercice PO5.3 : Énergie et fonction d’onde d’un électron confiné
Certaines molécules ayant une longue chaine linéaire, comme le β-carotène,
contiennent des électrons qui ne sont pas attachés à un noyau particulier, mais peuvent
au contraire se déplacer sur toute la longueur de la molécule (électrons "délocalisés").
On modélise un tel électron, de masse m= 9,11.10−31 kg, comme une particule qui se
déplace librement sur un segment de droite, entre les abscisses x= 0 et x=L. L’énergie
potentielle est nulle sur le segment et infiniment grande partout ailleurs (particule dans
une "boîte"). Sa fonction d’onde ψ(x)est alors liée à l’énergie totale Epar l’équation
différentielle :
−h2
8π2m
d2ψ
dx2=Eψ
(équation de Schrödinger stationnaire), où hest la constante de Planck.
1. Montrer que la solution de l’équation différentielle est de la forme ψ(x) =
Asin nπx
L, où nest un entier et Aune constante d’intégration qu’on ne cher-
chera pas à déterminer.
2. Donner l’expression des niveaux d’énergie Enen fonction de m,L,het n.
3. Dans le β-carotène (ci-dessous), ce sont les électrons des onze liaisons doubles qui
se comportent comme des particules libres confinées, sur une longueur L= 1,83
nm. Dans l’état fondamental, ces électrons occupent les onze niveaux d’énergie les
plus bas.
(a) Calculer les niveaux d’énergie E11 et E12. On donne h= 6,63.10−34 J.s.
(b) En déduire l’énergie, puis la longueur d’onde dans le vide, d’un photon ab-
sorbé par une molécule lorsqu’un électron passe du niveau 11 au niveau 12.
On donne c= 3.108m/s.
(c) Expliquer alors la couleur orangée des organismes contenant une grande quan-
tité de cette molécule (carotte, citrouille...).
Exercice PO5.4 : Oscillateur harmonique quantique
Un oscillateur harmonique unidimensionnel de masse m, de pulsation propre ω0,
est soumis à une énergie potentielle V(x) = 1
2mω2
0x2. La position moyenne hxiet la
quantité de mouvement moyenne hpxisont nulles.
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1. A partir de la relation d’incertitude de Heisenberg, montrer que l’oscillateur a
une énergie minimale, et en déduire l’indétermination quantique sur la position
∆xen fonction de ~,met ω0.
2. Pour l’état fondamental, la partie spatiale de la fonction d’onde de l’état station-
naire s’écrit ϕ(x) = Aexp −x2
a2
(a) Déterminer la constante A
(b) Représenter ϕ(x). Vérifier que hxi= 0.
(c) Attention, calculs non triviaux... Déterminer l’énergie Ede ce mode et en
déduire aen fonction de ~,met ω0. Comparer à la première partie de l’exer-
cice.
On donne : R+∞
−∞ exp(−αu2)du=pπ
α.
Exercice PO5.5 : Puits semi-infini
On étudie les états stationnaires d’une particule liée d’énergie Etelle que −V0<
E < 0(avec V0>0) dans un puits de potentiel de la forme :
V(x < 0) = +∞;V(0 < x < L) = −V0;V(x>L)=0
1. On pose V0+E=~2k2
2met E=−α2~2 2m. Montrer que l’on doit chercher la partie
spatiale de la fonction d’onde sous la forme :
ϕ(x < 0) = 0 ; ϕ(0 < x < L) = Aexp(ikx)+Bexp(−ikx) ; ϕ(x>L) = Cexp(−αx)
2. En déduire l’équation dont est solution ket montrer qu’il existe un nombre fini
d’états liés. Comparer l’énergie de liaison dans l’état fondamental avec celle d’un
puits de même largeur infini des deux côtés.
Exercice PO5.6 : Courant tunnel
Un faisceau d’électrons, correspondant à une intensité I= 0,1mA, est envoyé sur
une barrière de potentiel de largeur d= 1,0nm et de hauteur V0= 2,0eV. L’énergie
cinétique d’un électron incident est E= 1,0eV.
1. Justifier que l’on peut se place dans l’approximation d’une barrière épaisse.
2. On rappelle que dans ce cas, on peut estimer le coefficient de réflexion par T∼
exp (−2L/δ)avec δ=~
p2m(V0−E). Estimer le courant tunnel qui émerge de
l’autre côté de la barrière.
3. Toutes choses égales par ailleurs, on remplace les électrons par des protons. Com-
ment est modifié le courant tunnel ?
Exercice PO5.7 : Marche de potentiel
On étudie le mouvement d’une particule quantique dans le potentiel V(x)(marche
de potentiel) défini par :
V(x < 0) = 0 (région I) ;V(x > 0) = V0>0(région II)
On envisage le cas d’une particule quantique incidente d’énergie E > V0. On pose
k1=√2mE
~et k2=√2m(E−V0) ~.
1. Montrer qu’un état stationnaire de la particule peut être représenté par la fonction
d’onde propre :
ϕ(x < 0) = Aexp(ik1x) + rA exp(−ik1x) ; ϕ(x > 0) = tA exp(ik2x)
où Aest une constante non nulle.
2. Écrire les relations de raccordement en x= 0 et en déduire les expressions de ret
de t. Examiner le cas où EV0et commenter.
3. En superposant des états stationnaires d’énergies voisines de E, on forme un pa-
quet d’onde, représentant une particule quantique incidente. La figure ci-dessous
représente l’évolution dans l’espace et dans le temps de ce paquet d’ondes. La zone
colorée correspond à la région II (x > 0) où V(x) = V0. Le temps s’écoule du haut
vers le bas de la figure.
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Commenter aussi précisément que possible ces graphes.
4. Dans la situation où E < V0, l’expression de la fonction d’onde propre dans la
région Ipeut être conservée. Expliquer cependant comment est modifié k2et par
suite, le coefficient r. En déduire alors l’expression de la probabilité de réflexion
Rde la particule dans ce cas.
5. Tracer R(E). Commenter. une analogie ?
6. Application : enrichissement isotopique.
Une source envoie, depuis −∞, un faisceau de particules quantiques, constitué
d’un mélange de deux isotopes. On souhaite utiliser le phénomène de ré ?exion sur
la marche de potentiel pour modi ?er la composition isotopique du mélange.
(a) Expliquer pourquoi il est nécessaire que l’énergie Edes particules quantiques
soit supérieure à la hauteur de la marche de potentiel V0si l’on veut modifier
la composition isotopique du mélange. Prévoir qualitativement si le faisceau
réfléchi est plus riche ou plus pauvre en isotope de plus grande masse.
(b) On se place dans la limite où EV0. Donner l’expression approchée de R
correspondant à cette limite.
(c) On note m1et m2les masses des deux isotopes qui forment le faisceau de
particules quantiques incidentes. Toutes ces particules quantiques sont en-
voyées avec la même vitesse. Expliquer pourquoi les coefficients de réflexion
R1et R2diffèrent pour les deux isotopes et exprimer le rapport R1/R2en
fonction du rapport des masses m1/m2. Le faisceau réfléchi est-il enrichi en
isotope le plus lourd ou le plus léger ?
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