TMF - AD1 : Ecoulements réels

Lycée Newton - PT
Activité documentaire - Ecoulements réels
Thermodynamique et mécanique des fluides
appliquées aux machines thermiques
Activité documentaire : Ecoulements réels
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Ecoulement laminaire et écoulement turbulent
• Suivant la nature du fluide, les vitesses et les géométries des obstacles, les écoulements peuvent être de structures
très différentes.
La vie courante donne de nombreux exemples de la diversité des écoulements : il y a de très grandes différences
entre l’écoulement perpétuellement changeant d’une rivière dans un rapide (écoulement turbulent) et celui très
stable d’une huile visqueuse (écoulement laminaire).
Ecoulement laminaire :
Un écoulement est laminaire lorsque le mouvement des particules de fluide se fait de manière régulière et
ordonnée. Elles glissent les unes sur les autres, comme des lames de fluide.
Figure 1 – Ecoulement laminaire dans une conduite
Ecoulement turbulent :
Un écoulement est turbulent lorsque le déplacement est irrégulier et que des fluctuations aléatoires de
vitesse se superposent au mouvement moyen du fluide.
Figure 2 – Ecoulement turbulent dans une conduite
Il existe aussi des cas intermédiaires où l’écoulement n’est turbulent que par intermittence ou bien encore varie
en fonction du temps mais de façon périodique et bien visible. On parle d’écoulement transitoire.
Figure 3 – Ecoulement transitoire dans une conduite
Pour des structures peu profilés, des structures périodiques particulières peuvent apparaître : les allées de
Bénard-Von Karman.
Allées de Bénard-Von Karman :
Une allée Bénard-Von Karman est un motif périodique de tourbillons causés par la séparation instable
d’un écoulement autour de corps peu profilés.
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(a) Iles du Cap Vert
(b) Ile de Rishiri, Japon
Figure 4 – Exemples d’allées de Bénard-Von Karman générées dans l’atmosphère
Lorsqu’un tourbillon se détache, un écoulement dissymétrique se forme autour du corps, ce qui modifie la
distribution des pressions. Cela signifie que la séparation alternée des tourbillons peut créer sur ce corps une
portance périodique, cause de vibrations. Si la fréquence de séparation est voisine de la fréquence propre d’une
structure, cela crée une résonance. C’est cette vibration forcée qui, à la fréquence correcte, fait « chanter » les
lignes électriques ou celles de téléphone, augmente à certaines vitesses les vibrations des antennes des voitures
et est également responsable des battements des stores vénitiens quand le vent passe à travers. Dans divers
problèmes techniques, ce phénomène peut avoir des conséquences beaucoup plus dommageables (rupture de
ponts suspendus, écroulement de cheminées, accidents d’avion, etc).
Figure 5 – Rupture du pont de Tacoma
• Un simple robinet d’évier peut permettre d’observer tous ces phénomènes :
I à des débits faibles mais cependant continus, l’écoulement est très stable ; les lignes de courant sont disposées
régulièrement les unes par rapport aux autres et on qualifie ces écoulements de laminaires.
I En augmentant le débit, on obtient un écoulement instable dans lequel, à une certaine distance du robinet,
des gouttes sont émises de façon périodique.
I En augmentant encore la vitesse, l’écoulement devient complètement turbulent et sa vitesse fluctue en permanence.
• La nature du fluide joue également un rôle important. Ainsi, à débit équivalent, la vidange d’un moteur d’automobile par le trou inférieur du carter donne un jet vertical d’huile parfaitement stable et cylindrique ; la vidange
d’une cuve d’eau donnerait au contraire un jet turbulent d’où se détacheraient de nombreuses gouttelettes. On
voit se manifester ici l’influence de la viscosité (plus précisément : du nombre de Reynolds, cf. section 2) :
ainsi, l’apparition de la turbulence est retardée pour l’huile qui est plus visqueuse que l’eau.
La nature de l’écoulement semble dépendre de la vitesse du fluide mais le paramètre pertinent est un nombre sans
dimension appelé nombre de Reynolds.
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Nombre de Reynolds
On recherche un nombre sans dimension (nombre de Reynolds) qui va nous permettre de déterminer de manière
quantitative la « frontière » entre un écoulement laminaire et un écoulement turbulent.
La liste des paramètres intervenant dans les expériences précédentes :
• la vitesse moyenne v du fluide ;
• la viscosité du fluide ;
• une dimension L caractéristique du système ;
• la masse volumique ρ du fluide.
Une analyse dimensionnelle de ces différents paramètres permet de trouver cette grandeur sans dimension caractérisant les différents types d’écoulements.
Nombre de Reynolds :
Le nombre de Reynolds
Re =
ρLv
η
(1)
est un nombre sans dimension, caractérisant l’écoulement d’un fluide (masse volumique ρ, viscosité η)
devitesse moyenne v, autour d’un obstacle (ou dans une conduite) de dimension caractéristique L.
• Re < 1 : l’écoulement, gouverné par la viscosité, est laminaire ;
• Re > 103 : l’écoulement est gouverné par l’inertie. Il est turbulent.
3
3.1
Ecoulement parfait et couche limite
Ecoulement parfait
Ecoulement parfait :
Un écoulement est dit parfait si tous les phénomènes diffusifs, en particulier la viscosité, sont négligeables.
La limite de la viscosité nulle η → 0 revient à considérer Re → ∞.
3.2
Couche limite
Au voisinage d’un obstacle, les profils de vitesse sont très différents si l’on considère le modèle du fluide parfait
ou le fluide visqueux, donc réel. Alors que la vitesse est non nulle avec le modèle du fluide parfait, elle est nulle pour
le fluide réel. Sur le document ci-dessous, nous observons deux zones très différentes :
• zone 1 : pour y < δ, les deux profils sont très différents ;
• zone 2 : pour y > δ, les deux profils sont quasi identiques.
Figure 6 – (a) : modèle du fluide parfait ; (b) : fluide réel
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Couche limite :
L’écoulement réel autour d’un obstacle est caractérisé par une couche limite d’épaisseur δ autour de
l’obstacle, zone dans laquelle les effets de la viscosité sont très importants.
Pour des écoulements laminaires, il sera possible, hors de ces zones superficielles que sont les couches
limites, de traiter l’écoulement comme si le fluide était sans viscosité, donc d’utiliser le modèle du fluide
parfait.
• L’épaisseur de la couche limite est donnée par :
L
δ'√
Re
(2)
• À l’intérieur de la couche limite, l’écoulement peut être laminaire (couche limite laminaire) ou turbulent (couche
limite turbulente).
• La notion de couche limite permet de ramener l’étude de l’écoulement d’un fluide réel à celui d’un fluide parfait,
en confondant la surface extérieur de la couche limite avec celle de l’obstacle.
• Dans certaines situations, on peut observer un décollement de la couche limite , donnant naissance à un sillage :
l’effet de la viscosité ne reste plus confiné au voisinage de l’obstacle, et la zone où l’écoulement ne peut être
considéré comme parfait devient importante. C’est le cas après un angle saillant, ou sur l’extrados d’un aile
d’avion au-delà d’une certaine inclinaison (phénomène de décrochage aérodynamique)
4
Ecoulement autour d’une sphère
4.1
Force de trainée
Soit un solide immergé dans un fluide, dont l’écoulement loin du solide est caractérisé par un champ des vitesses
uniforme v∞ = v∞ ex
Force de trainée :
Par définition, la traînée, ou force de traînée F s’exerçant sur un solide, est la composante parallèle à la
direction v∞ du champ de vitesse loin de ce solide, de la résultante des forces dues à l’écoulement du
fluide.
Coefficient de traînée :
Le coefficient de traînée Cx d’un solide est un nombre sans dimension défini par :
Cx =
kFk
1
2
2 ρv∞ S
(3)
où S est la section maximale du solide perpendiculairement à l’écoulement.
Le coefficient de traînée dépend :
• du nombre de Reynolds ;
• de la texture du solide
4.2
Evolution du coefficient de traînée avec le nombre de Reynolds
On considère une sphère soumise à la force de traînée générée par un écoulement unidirectionnel :
v∞ = v∞ ex = U ex
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loin de la sphère. La mesure de la force de traînée Fx en fonction du nombre de Reynlods permet de mesurer
l’influence de celui-ci sur le coefficient de traînée Cx :
• Pour les valeurs de Re inférieures à 1, l’écoulement est laminaire (fig. 7a, zone ¬) : les conditions de fonctionnement sont celles des fluides non visqueux : le frottement sans être totalement nul, n’impose pas de contraintes
suffisantes pour créer une couche limite significative, et les filets de fluide contournent parfaitement les objets
sans qu’apparaisse le moindre décollement.
24
; cette dépendance apparaît sur le
Le coefficient de traînée Cx est inversement proportionnel à Re : Cx = R
e
tracé ci-dessus (partie linéaire de pente -1)
Dans un telle situation, la force de traînée est :
1 2
24 1 2
F = Cx ρv∞
S=
ρv πR2 =
2
Re 2 ∞
12
ρv∞ 2R
η
2
ρv∞
πR2
F = 6πηRv∞
Formule de Stokes :
Pour les valeurs de Re inférieures à 1, la force de traînée, proportionnelle à la vitesse de l’écoulement, est
donnée par la formule de Stokes :
F = 6πηRv∞
(5)
• Pour des valeurs de Re supérieures à 1 (de l’ordre de Re ∼ 20), il apparaît deux tourbillons stables derrière
la sphère (zone de recirculation relativement stable et limitée). Les dimensions de ces tourbillons augmentent
avec le nombre de Reynolds. Ils finissent par occuper toute la partie arrière de la sphère, pour des nombres de
Reynolds de l’ordre de 300 à 450 (fig. 7b, zone ­).
• À partir de Re voisin de 450, le volume des tourbillons augmente et la zone de turbulence cesse d’être limitée.
Les couches de discontinuité s’enroulent en tourbillons qui se détachent alternativement. C’est le régime des
allées de Bénard-Von Karman présenté dans la section 1 (fig. 7c, zone ­).
• Pour Re ∼ 1000, l’écoulement n’est plus régulier : il se forme un sillage, zone turbulente et chaotique derrière
la sphère (fig. 7d). Pour des nombres de Reynolds tels que 103 < Re < 105 , le coefficient Cx est pratiquement
constant (zone ®) ; dans ce domaine la force de traînée est approximativement proportionnelle au carré de la
vitesse :
1 2
2
Fx = Cx ρv∞
S = kv∞
2
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• Si Re devient très grand, (Re > 3 × 105 ), le sillage diminue d’importance. Les tourbillons évoluent de façon
chaotique. Il n’est plus possible de décrire simplement l’écoulement qui devient turbulent. Alors que précédemment la couche limite était laminaire, elle devient turbulente (fig. 7e). Cx évolue rapidement au voisinage d’une
valeur critique du nombre de Reynolds correspondant à une transition de couche limite laminaire-turbulente. Le
point de décollement de la couche limite change brutalement de place ; il existe donc un « saut » dans l’évolution
de Cx : c’est la « crise de traînée ». Elle correspond à la transition couche limite laminaire → couche limite
turbulente. Ainsi, une couche limite turbulente résiste mieux au décollement qu’une couche limite laminaire.
Les aspérités à la surface d’une balle de golf ont pour but de favoriser la turbulence de la couche limite, afin de
diminuer la traînée.
(a) Couche limite collée à la
sphère (loi de Stokes, ¬)
(c)
Structure
de
Bénard-Von
Karman
(b) La couche limite se
décolle ; des tourbillons
apparaissent dans le
sillage.
(d) La couche limite se décolle ; le sillage turbulent occupe tout l’espace en aval
(traînée en v 2 )
(e) Le décollement de la
couche limite est retardé ; le
sillage turbulent est moins
important (chute de la traînée, ¯)
Figure 7 – Les différents types d’écoulements réels autour d’un obstacle sphériques
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