physique-chimie - p l a f . o r g

physique-chimie EXERCICES
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M 25. Force gravitationnelle et force électrostatique.
On donne :
G
= 6,67.10
-11
USI ; ε
0
= 8,84.10
-12
USI. Calculer les forces gravitationnelle et électrostatique :
1) entre la Terre et la Lune (m
T
=5,98.10
24
kg ; m
L
=7,34.10
22
kg ; distance moyenne Terre-Lune = 3,84.10
8
m).
2) entre le proton et l'électron d'un atome d’hydrogène (m
e
= 9,1.10
-31
kg ; m
p
= 1836.m
e
; distance moyenne
électron-proton = 5,3.10
-11
m ; e = 1,6.10
-19
C).
M 26. Champ gravitationnel.
On définit le champ de gravitation G créé par la masse m de barycentre P par
PM
f = m
0
. G ,
PM
f représentant la
force gravitationnelle exercée par m sur une masse m
0
de barycentre M. Calculer l'intensité du champ de gravitation à
la surface de la Terre, connaissant la masse de la Terre : m = 5,98.10
24
kg (+ 10
7
kg/an), son rayon : R = 6,37.10
6
m,
et la constante de gravitation :
G
= 6,67.10
-11
USI.
M27. Toto et Médor le chat.
1) Toto se tient bien tranquillement à une extrémité du salon, dont le plafond est à 2,50 m du sol, en train de jouer
par terre avec des cailloux qu'il considère comme ponctuels. Tout à coup, Médor entre dans la pièce et se place à 8,00
m du garçon - prudent le chat. Toto envisage de lancer un petit caillou sur l'animal. Sachant qu'il les envoie avec une
vitesse de 9,00 m.s
-1
,quelle inclinaison par rapport à l'horizontale doit-il donner à la vitesse initiale des cailloux pour
atteindre sa cible, en supposant que le félin, tétanisé par la vue du charmant bambin, se tienne immobile ? (g = 9,81
m.s
-2
)
2) Dans le plan vertical contenant Toto et le chat se trouve un luminaire, à 2,10 m du sol, à égale distance entre
Médor et Toto. En réalité, le chat quitte la pièce à la vue du 1
er
caillou. De dépit, Toto décide de viser le luminaire.
Même question.
M 28. Masse ponctuelle liée à deux ressorts.
Une masse m de dimension négligeable par rapport à l
1
et l
2
est reliée à deux ressorts
identiques placés verticalement. Les extrémités des ressorts sont distantes de 2d. Chaque
ressort non tendu a une longueur l
v
< d ; sa raideur est k.
1) Calculer à l'équilibre les longueurs 1
1
et l
2
des ressorts. Montrer que si mg ≪ 2kd, on peut
prendre l
1
= l
2
. En déduire que sous cette condition, le poids est négligeable par rapport à
l'action des ressorts (condition réalisée par la suite).
2) La masse m peut se déplacer horizontalement de x à partir de sa position d'équilibre. Etablir
l'équation différentielle complète du mouvement.
3) Résoudre cette équation en supposant x ≪ d. Conditions initiales : à t = 0, x = x
0
et la
vitesse est nulle.
M29. Brouillard, brume et purée de pois.
Une petite goutte d'eau tombant dans l'atmosphère est soumise à son poids et à l'action de l'air. En négligeant la
poussée d'Archimède, nous supposons que cette action de l'air se réduit à une résistance proportionnelle à la vitesse
v . λ −=f . On abandonne une goutte d'eau sans vitesse initiale et en atmosphère calme.
1) Ecrire les trois équations différentielles du mouvement de la goutte et montrer que le mouvement a lieu selon l'axe
vertical, que l'on orientera vers le haut.
2) Montrer que la goutte atteint une vitesse limite v
L.
Exprimer
L
v
en fonction de m, λ et g.
3) Trouver l'expression de la vitesse v en fonction du temps.
4) Application numérique : m = 1,00. 10
-6
kg ; g = 9,81 m.s
-2
,
L
v
= 5,00. 10
-3
m.s
-1
. Calculer la durée de la chute
pour que la vitesse limite soit atteinte à 10
-2
près en valeur relative.
M30. L'aventure du petit caillou sur le gros igloo.
Une particule de masse m, en équilibre instable au sommet d'une sphère quitte cette position sans vitesse initiale
appréciable et glisse sur la sphère. Montrer qu'en l'absence de frottement elle quitte la sphère en une position que l'on
demande de déterminer.
La trajectoire ayant lieu dans un plan, on repérera la position M de la particule sur la sphère par l'angle θ entre OM et
l'horizontale, O étant le centre de la sphère de rayon noté r. On pourra alors travailler avec les coordonnées intrinsèques ou
les coordonnées polaires pour exprimer la relation fondamentale de la dynamique du point.
25
30
M

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M31. Déviation d'électrons dans un oscilloscope.
Des électrons, dont on négligera le poids dans tout l'exercice, arrivent
avec une vitesse horizontale
0
v
dans une région de l'espace où règne
un champ électrique
E
supposé uniforme, produit par deux plaques
horizontales de longueur L (voir figure).
1) Etablir l'équation cartésienne de la trajectoire d'un électron entre les
deux plaques (0 x L).
2) Un écran est placé à la distance D des plaques de déviation (revoir
figure), le champ étant supposé nul en dehors des plaques (effets de
bords négligés). Quelles sont les coordonnées du point d'impact I des
électrons sur cet écran ?
M 32. Mouvement dans un champ magnétique.
Soit une particule de masse m et de charge q > 0, lancée avec une vitesse initiale
0
v
dans une zone de l'espace où
règne un champ magnétique uniforme et constant
B
. La vitesse initiale étant perpendiculaire au champ, on définit un
repère fixe Oxyz tel que
0 0 x
u
v = v et
z
B Bu
= , v
0
> 0 et B > 0, l'origine O étant placée à la position initiale de la
particule. Le poids sera négligé par rapport à la force magnétique.
1) Exprimer vectoriellement l'accélération de la particule en fonction de
v
,
B
, q et m.
2) Étude du mouvement en coordonnées cartésiennes.
a) Montrer que la trajectoire de la particule est plane.
b) Donner l'équation horaire de la trajectoire. On pourra poser
qB
m
ω =
c) En déduire que la trajectoire est un cercle dont on donnera l'équation cartésienne, le rayon et la position du
centre.
3) Étude du mouvement en coordonnées de Frénet.
a) Que peut-on dire des directions respectives de
a
et
B
? En déduire que la trajectoire est plane.
b) Que peut-on dire des directions respectives de
a
et
v
? En déduire que la trajectoire est un cercle dont on
calculera le rayon.
c) En utilisant les conditions initiales, représenter graphiquement la trajectoire. En déduire la position du centre
du cercle et son équation cartésienne.
4) Complément : montrer à l'aide du théorème de l'énergie cinétique que le mouvement est uniforme.
M 33. Glissement sur un plan incliné.
Un objet de masse m est lancé avec une vitesse initiale v
0
vers le haut, selon la ligne de plus grande pente d'un plan
incliné faisant un angle α avec l'horizontale. Le coefficient de frottement de l'objet sur le plan incliné est égal à f, ce
qui signifie que le module de la force de contact
T
R dans le plan est au plus égal à la fraction f de la réaction normale
N
R du plan :
T
R ≤ f
N
R ; en cas de glissement, l'égalité est réalisée, et la réaction tangentielle est opposée à la
vitesse ; en cas d'équilibre, l'égalité peut ne pas être réalisée, et la réaction tangentielle peut avoir n'importe quelle
orientation dans la plan de contact.
1) Quelle distance parcourra le mobile avant de s'arrêter?
2) A quelle condition sur α l'objet restera-t-il ensuite immobile sur le plan incliné?
M36. La vie des fusées.
Un engin spatial de masse m, considéré comme ponctuel, est soumis :
- à l'attraction
f
de la Terre : on admettra que cette force s'exprime de la même manière que si la masse m
T
de la Terre
était concentrée en son centre O.
- à une force de poussée
’
f
produite par un propulseur, constante en module, tangente à la trajectoire
’ ’
T
f f u
=
1) Montrer que
f
peut se mettre sous la forme
f Kr
= − , où
r
r OM ru
= = . Exprimer K en fonction de G, m, m
T
et r.
Montrer que
’
f
peut se mettre sous la forme
’ ’
f K
=
v
. Exprimer K’ en fonction de
’
f
et
v
. Ket K’ sont-elles des
constantes ?
2) Montrer que
r v
∧
et
( )
d
r v
dt
∧
sont colinéaires. Utiliser le théorème du moment cinétique.
3) En déduire que la trajectoire est plane.
0
v
E
L
D
y
x
O
.
O'
.
I
.
. A
31
36
M

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M 37. Luge glissant dans la soupe.
Un corps solide de masse m = 100 kg glisse, à vitesse constante, sur un plan incliné de α = 30° par rapport au plan
horizontal. Calculer le travail W
F
des forces de frottements, au cours d'un déplacement de longueur L = 100 m le long
d'une ligne de plus grande pente du plan incliné. On donne g = 9,81 m.s
-2
.
Rép : - 49 kJ
M 38. Et les shadocks...
Une pompe élève 5 000 litres d'eau par heure à une hauteur h de 6 m. Elle fonctionne sous 220 V continus et
consomme un courant d'intensité 0,8 A.
1). Quelle est la force contre-électromotrice et la résistance du moteur de la pompe si le travail des forces de
frottement est la moitié du travail mécanique utile ? Application numérique : g = 9,81 m.s
-2
.
2). Que devient l'intensité du courant si moteur se bloque? Quelle est alors l'énergie transformée en chaleur dans le
moteur en 1 minute?
M 39. De la ponctualité des camions.
Un camion pesant 6 tonnes, considéré comme ponctuel, part du repos sur une voie horizontale et acquiert une vitesse
de 45 km.h
-1
sous l'action d'une force motrice
F
constante. Les diverses résistances passives (frottements, liaisons
imparfaites) qui agissent sur le véhicule équivalent à une force R
T
de 250 N et on admettra que ces résistances sont
indépendantes de la vitesse.
1-a) Calculer la force motrice en supposant que la vitesse est acquise en une minute.
1-b) Calculer le travail de la force motrice pendant cette phase de démarrage.
2) On règle alors la force motrice de façon à maintenir constante cette valeur de 45 km.h
-1
, quelle est la puissance
fournie par le moteur?
3-a) Le camion aborde une montée dont la déclivité est de 1% (soit 1 cm par mètre parcouru ) et on supprime la force
motrice. Calculer la longueur L du chemin parcouru sur la rampe avant l'arrêt.
3-b) Si, pour éviter un obstacle, on arrête le camion au moyen de freins, après un parcours de L’ = 100 m sur la pente,
quelle sera le travail W
FR
de la force de freinage ? On donne g = 9,81 m.s
-2
.
Rép : 1500 N ; 563 kJ ; 3125 W ; 559 m ; - 385 kJ
M 40. Avez-vous déjà pris le tramway ?
Un tramway pesant 10 tonnes est actionné par un moteur électrique de résistance 1 Ω , mis en série avec un rhéostat
de résistance variable. La tension continue de la ligne est de 500 V .
1) Le tramway se déplace horizontalement. En régime permanent (vitesse constante), pour se déplacer
horizontalement, le tramway doit vaincre une force constante qui vaut 0,03 fois son poids . Le moteur est alors traversé
par un courant de 20 A , la résistance du rhéostat étant égale à 9 Ω .
a) Calculer : la puissance électrique consommée, la chaleur dégagée en une seconde par le moteur et le rhéostat, la
puissance mécanique développée par le moteur du tramway.
b) En supposant que l'énergie mécanique fournie par le moteur est entièrement utilisée à la traction du tramway,
calculer sa vitesse de régime.
2) On bloque les roues du tramway, de sorte que celui-ci doit vaincre une force de freinage égale au dixième de son
poids .
a) Au bout de combien de temps le tramway s'arrêtera-t-il? Quelle distance aura-t-il parcouru?
b) Quelle est alors l'intensité du courant qui traverse le moteur si le courant n'est pas coupé?
Rép : 10 kW ; 4kJ ; 6 kW ; 2,0 m.s
-1
; 2,1 m ; 2,1 s ; 50 A
M 41. Luna park.
Une particule matérielle M glisse sans frottement dans une gouttière terminée
par une boucle circulaire de centre O et de rayon ρ .
1). Exprimer R , la réaction de la gouttière, en fonction de m , v (vitesse de la
particule), ρ , g, θ .
2). La particule est abandonnée en A sans vitesse initiale. Exprimer v en
fonction de g, ρ , θ , h.
3). En déduire la valeur minimale de l'altitude initiale pour que la particule
reste en contact avec la gouttière tout au long du trajet.
37
41
M

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M 42. Ralentissement d'une voiture.
Une automobile de masse m = 10
3
kg est équipée d'un moteur d'une puissance maximale P
M
= 50 kW. Avec cette
puissance, la voiture atteint la vitesse maximale v
M
= 144 km/h.
1) En supposant que les forces de frottement que subit la voiture sont essentiellement dues à l'air, et de la forme
²
T
f k u
= − v ( v étant la vitesse, et k une constante), calculer le temps τ nécessaire pour que, en roue libre (moteur
débrayé), la voiture ralentisse de sa vitesse maximale jusqu'à la moitié de cette valeur. Quelle est la distance D
parcourue pendant ce temps?
2) Quelle distance la voiture parcourra-t-elle avant de s'arrêter? Que pensez-vous de ce résultat?
M 44. Pendule dont le fil casse.
Un pendule pesant simple (masse m, fil de longueur l, inextensible et de masse négligeable) est suspendu en un point
fixe O et lâché sans vitesse initiale depuis une position où le fil est horizontal et tendu. Lorsque le fil a balayé un angle
θ > π /2, un dispositif convenable le décroche : déterminer la distance verticale h entre le point O et le sommet de la
trajectoire décrite ensuite par la masse m.
M 46. Vitesse de libération.
1) Exprimer la force qu'exerce un solide de masse M sur un solide de masse m lorsque les barycentres de ces deux
solides sont distants de r. On admettra que les solides sont équivalents à des masses ponctuelles positionnées aux
barycentres.
En déduire l'énergie potentielle du solide de masse m dans le champ de gravitation de l'autre solide. Par convention, le
niveau de référence pour l'énergie potentielle est placé à l'infini, c'est-à-dire que
(
)
p
r 0
= +∞ =
E
.
2) Quelle vitesse minimale v
L
(appelée vitesse de libération) faut-il fournir à un solide de masse supposée constante
pour qu'il quitte le champ de gravitation terrestre, c'est-à-dire pour qu'il atteigne une distance infinie avec une vitesse
nulle? Application numérique : R
T
= 6370 km ; M
T
= 5,98.10
24
kg ; G = 6,67.10
-11
USI.
M 47. Fission nucléaire.
Quand un noyau d'uranium (uranium : U, Z=92) se désintègre avec émission d'une particule α (He
2+
), le noyau
résultant, considéré comme fixe, est celui du thorium (thorium : Th, Z=90). On supposera la particule α initialement à
8,5.10
-15
m du centre du noyau, et on utilisera le modèle de la charge ponctuelle (les noyaux de thorium et d'hélium
seront donc assimilés à leurs centres, que nous noterons respectivement O et M, portant les charges q et q
0
). On
négligera le poids de la particule α .
1) La vitesse initiale de la particule étant nulle, déterminer son énergie mécanique initiale (en J puis en eV). On
démontrera au préalable que
0
p
0
qq
4 r
πε
=
E
, avec r = OM.
2) Calculer l'énergie mécanique et la vitesse de la particule quand elle est à grande distance (r → + ∞ ) du noyau.
Comparer cette vitesse (que l'on donnera avec 3 chiffres significatifs) à celle de la lumière.
Application numérique :
e = 1,6.10
-19
C ; M(He) = 4 g.mol
-1
;N
A
= 6,02.10
23
mol
-1
. 1/(4 πε
0
) = 9.10
9
USI. ; c = 2,998.10
8
m.s
-1
.
3) Le calcul non-relativiste est-il très précis ? On donne la formule relativiste E
c
= ( γ –1)mc² avec γ =
/
²
²
1 2
1c
−
−
v
Refaire le calcul de la vitesse.
M 49. Energie d'un
pendule pesant simple
.
Une masse m est fixée à l'une des extrémités d'une tige rigide de masse négligeable, de
1ongueur l. L'ensemble est mobile dans un plan vertical autour d'un axe horizontal O situé à
l'autre extrémité. Les liaisons sont parfaites, les frottements sont négligés.
A l'instant t = 0, la masse passe à la verticale de O avec la vitesse v
0
dans le sens direct.
1) a) Exprimer l'énergie potentielle de la masse. Nous convenons de prendre égale à zéro la valeur
de l'énergie potentielle de la masse dans sa position basse M
0
.
b) Tracer Ep ( θ ), pour –2 π θ 2 π
2) Exprimer l'énergie mécanique en fonction de v
0
.
3) Discuter l'allure du mouvement et en donner les bornes suivant les valeurs de v
0
.
4) Donner l’équation horaire θ (t) dans le cas du mouvement borné et pour v
0
≪
2 gl
:
a) par la RFDP,
b) par le théorème du moment cinétique,
c) par le théorème de la puissance cinétique,
d) en traduisant la conservation de l'énergie mécanique.
42
49
M