XII – Champ magnétique en régime stationnaire I

Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
XII – Champ magnétique en régime stationnaire
On connaît depuis l'antiquité l'existence de phénomènes
magnétiques. On attribue à Thalès de Milet (VIème siècle avant
J.C.) la description de la magnétite comme une substance
susceptible d'attirer les objets en fer.
Une première application connue est l'utilisation de
boussoles, dès le XIème siècle en Europe : Hans Christian Œrsted
montre qu'une aiguille aimantée est mise en mouvement en
présence d'un champ magnétique.
Les divers phénomènes cités s'interprètent au moyen du
champ magnétique, dont les sources sont les aimants
permanents et les courants. En première année, certaines
applications du magnétisme dont l'induction ont déjà été vues.
En PSI le lien entre la matière aimantée et le champ magnétique
est étudié avec les matériaux ferromagnétiques, indispensables
à la réalisation des transformateurs et des machines
électriques.
Le but de ce chapitre est de calculer le champ magnétique
créé en tout point de l'espace par lice distribution de courants
stationnaires.
I - Le champ magnétique
I-1) Force magnétique
On considère une zone de l'espace située à proximité de
sources de champ magnétique stationnaire, c'est à dire des
aimants permanents et des courants permanents. On note :R le
Laurent Pietri
~1~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
référentiel d'étude,
L’ensemble des courants et aimants
formant la distribution source de champ magnétique, et
le champ magnétique stationnaire créé par
en tout point
de l'espace.
Une particule portant une charge q, animée dans (R) d'une
vitesse , située à l'instant t au point M subit une force appelée
force magnétique ou partie magnétique de la force de Lorentz :
La présence du champ magnétique g (M) dans l'expression
de cette force constitue la définition du champ au point M. La
force magnétique est une grandeur vectorielle accessible à la
mesure, qui ne dépend pas de l'orientation de l'espace que l'on
a choisie. Or, elle fait intervenir un produit vectoriel entre la
vitesse
(qui ne dépend pas non plus de l'orientation de
l'espace) et le champ magnétique On en déduit une propriété
fondamentale de :
Le champ magnétique
dépend de l'orientation de
l'espace choisie, on dit que est un vecteur axial.
Laurent Pietri
~2~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
I-2) Puissance de la force magnétique
La puissance de la force magnétique est nulle, en effet :
L'effet de la force magnétique sur une charge en mouvement
est de dévier sa trajectoire, elle ne fait pas varier la valeur du
module de la vitesse (on se réfèrera au cours de première
année pour l'étude des trajectoires des particules chargées dans
les champs magnétique et électrique).
I-3) Ordres de grandeurs
L'unité du champ magnétique dans le système international
est le tesla, noté T. On peut aussi exprimer cette unité dans les
unités de base (m, kg, A, s...), à l'aide de la force magnétique :
On rappelle quelques ordres de grandeurs de champs
magnétiques :
Laurent Pietri
~3~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
II - Distribution de courants
II-1) Vecteur densité de courant
Le vecteur densité de courant électrique
l'intensité qui traverse une surface orientée  par :
est lié à

Le moyen le plus simple de transporter le courant
électrique est de le faire passer dans des fils électriques
métalliques. Un fil électrique est assimilé un cylindre de section
s de longueur L susceptible de se courber pour avoir le forme
voulue. En considérant que dans le fil la densité de courant
électrique est uniforme à travers une section droite du fil, alors
on peut définir le courant I, relié à par :
II-2) Conservation de la charge
L'équation de conservation de la charge dans le cas général
est :
Laurent Pietri
~4~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
En régime statique, elle se simplifie en :
Le vecteur densité de courant électrique est un vecteur à
flux conservatif, on en déduit qui le courant qui traverse une
section d'un fil ne dépend pas de la position de la section le long
du fil.
III - Équations locales de la magnétostatique
III-1) Équation de Maxwell Ampère
En régime stationnaire l'équation de Maxwell Ampère
s'écrit :
: Maxwell-Ampère en régime stationnaire
La constante
est une constante dimensionnée, appelée
perméabilité du vide. Elle vaut
III-2) Équation de Maxwell Thomson
L'équation de Maxwell Thomson est valable quel que soit le
régime, stationnaire ou non :
Laurent Pietri
~5~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
III-3) Conséquences des équations de Maxwell
a) Conservation du flux
Les propriétés topographiques du champ magnétique sont
déduites de l'équation de Maxwell Thomson :
qui
entraîne la conservation du flux de
Soit un tube de champ magnétique qui s'appuie sur une
surface S1, la conservation du flux de , en considérant que le
champ magnétique est homogène sur une section droite du
tube de champ, s'écrit :
On en déduit que sur la section S2 plus petite que S1, le
champ magnétique est plus intense (qu'au niveau de la section
S1).
La valeur du champ magnétique varie le long d'un tube de
champ magnétique de section variable, il s'accroît lorsque les
lignes de champ se resserrent.
Il est impossible de créer un champ magnétique dont les
lignes de champ partiraient toutes d'un même point (comme le
champ électrique d'une charge ponctuelle dont les lignes de
champ partent toutes de la charge, qui constitue alors un pôle
de champ électrique), puisque cela signifierait que le flux de B
sortant d'un volume qui entoure ce point est non nul.
 Il n'existe pas de monopôle magnétique.
Laurent Pietri
~6~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
b) Existence du champ magnétique.
L'équation Maxwell Ampère relie
localement. Si
la distribution de courant est strictement volumique, alors, en
tout point M on peut affirmer que
existe, est continu, et
dérivable.
En présence d'une distribution linéique, il en va autrement.
Une distribution linéique est une modélisation qui suppose un
passage à la limite, à savoir qu'au niveau de distribution
linéique, la valeur du vecteur densité de courant électrique tend
vers l'infini. (
Le vecteur densité de courant électrique n'étant pas défini
en un point d'une distribution linéique ou surfacique de
courant, l'équation de Maxwell Ampère n'est pas valide en ce
point.
Le champ magnétique n'est pas défini en un point d'une
distribution linéique courant.
On verra plus tard que pour une distribution surfacique il y
a discontinuité de
IV - Théorème d'Ampère
IV-1) Énoncé
Soient
une distribution de courants permanents dans
le référentiel R, qui crée un champ magnétique en tout point
M, et C un contour fermé orienté. Une surface S quelconque qui
s'appuie sur ce contour est orientée conjointement à C en
suivant la règle de la main droite. La normale à la surface est
orientée comme le pouce de la main droite :
Laurent Pietri
~7~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
Le théorème d'Ampère s'énonce ainsi :
Étant donnée une distribution de courants
stationnaire, la circulation du champ magnétique créé
par cette distribution le long d'un contour fermé orienté
est égal au produit de
par le courant enlacé par ce
contour.
Le courant enlacé (
est le courant qui traverse une
surface orientée qui s'appuie sur le contour, orientée
conjointement celui-ci.
IV-2) Démonstration
Pour démontrer le théorème d'Ampère, on considère une
distribution source
constituée exclusivement d'une
distribution de courant électrique volumique. Ainsi, on est
assuré que le champ magnétique est bien défini en tout point.
On considère un contour fermé orienté C, et une surface
quelconque
qui s'appuie sur le contour et orienté
conjointement à lui, comme représenté sur la figure :
Laurent Pietri
~8~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
On applique tout d'abord le théorème de Stokes, qui
affirme que pour tout champ de vecteur :
En remplaçant
Ampère, il vient :
par
, d' après l'équation Maxwell
Pour une distribution quelconque, composée d'une partie
de distribution volumique et d'une partie de distribution
linéique, le théorème d'Ampère est valable.
IV-3) Calcul du courant enlacé en présence d'une distribution
linéique
Le courant enlacé est une grandeur algébrique, il dépend
de l'orientation choisie pour le contour C. Lorsque la
distribution comprend des courants filiformes, le courant enlacé
est la somme algébrique des courants qui traversent une
Laurent Pietri
~9~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
surface qui s'appuie sur le contour, orienté conjointement au
contour.
Dans ce cas :
V – Applications du théorème d'Ampère
V-1) Choix du contour d'Ampère
On appelle contour d'Ampère le contour fermé choisi pour
l'application du théorème d'Ampère appliqué au champ
magnétique créé par une distribution de courant donnée cour.
Le théorème d'Ampère permet de déterminer le champ
magnétique d'une distribution D à condition que la symétrie de
la distribution soit élevée.
Lorsque c'est le cas, on choisit un contour  qui permet un
calcul simple de la circulation du champ .
Le long du contour  : est : soit tangent au contour et de
norme constante, soit perpendiculaire au contour.
V-2) Méthode de calcul
Seul le calcul du champ magnétique créé par une
distribution de courants D de symétrie élevée est envisagé.
Pour mener une étude de ce type, on procède par étapes :
o Choix d'un repérage adapté :
Laurent Pietri
~ 10 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
On commence par faire un schéma de la distribution de
courants D, afin de comprendre quel est le repérage le plus
adapté, parmi les repérages : cartésien, cylindrique ou
sphérique.
o Étude des symétries et des antisymétries :
Pour un point M quelconque de l'espace, on détermine la
direction a priori du champ magnétique, en exploitant les
symétries de D. Il s'agit ici de déterminer les plans de symétrie
(ou d'antisymétrie) de la distribution de courant qui passent par
le point M. Lorsqu'un plan de symétrie de D passe par M il
permet de déterminer la direction du champ
,
perpendiculaire à ce plan.
o Étude des invariances :
- Si la distribution D est invariante par translation selon un
axe Oz, par exemple : le champ ne dépend pas de la
variable z.
- Si la distribution D est invariante par rotation autour d'un
axe, le champ en M ne dépend pas de la variable angulaire
associée à cette rotation.
o Choix d'un contour d'Ampère, orientation du contour et
utilisation du théorème d'Ampère :
Sur la figure, on représente le contour , choisi comme
indiqué précédemment. On oriente alors ce contour, en plaçant
une flèche sur , l' orientation de  oriente conjointement la
surface sur laquelle s'appuie le contour, à travers la quelle on
calcule le courant enlacé.
Pour finir, on applique le théorème d'Ampère sur , on en
déduit la valeur du champ magnétique en M.
Laurent Pietri
~ 11 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
V-3) Champ d'un fil infini
La distribution envisagée est un fil infini, confondu avec
l'axe (Oz) , parcouru par le courant I constant, orienté selon
o Choix du repérage
Le repérage cylindrique est le mieux adapté à la situation,
d'axe (Oz) confondu avec le fil.
o Étude des symétries et antisymétries
Le plan
qui contient M et l'axe (Oz), est un plan
de symétrie pour la distribution de courants.
On en déduit que le le champ magnétique en M est
orthogonal à
, et s'écrit :
o Étude des invariances
La distribution est invariante par rotation autour de l'axe
(Oz) et par translation selon l'axe (Oz) , on en déduit que :
Laurent Pietri
~ 12 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
o Choix d'un contour d'Ampère
Le champ magnétique a la même valeur en tout point du
cercle  de centre H et de rayon r. Il est orthoradial.
On choisit donc le contour , orienté dans le même sens
que
pour appliquer le théorème d'Ampère :
Or B(M) et r sont identiques en tout point de  donc :

V-4) Fil épais infini
Si on veut calculer le champ magnétique en un point situé
au voisinage de l'axe du fil, on ne peut plus considérer le fil
comme un fil infiniment fin. Il faut prendre en compte son
rayon, on le note a.
Laurent Pietri
~ 13 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
On modélise alors la distribution de courant par le vecteur
densité de courant électrique , uniforme en tout point du fil,
qui vaut :

o Choix d'un repérage adapté
Comme pour le champ magnétique créé par un fil infini, le
repérage cylindrique est bien adapté à la situation. L'axe (Oz)
est confondu avec l'axe du fil épais.
o Étude des symétries et des antisymétries
Les symétries sont identiques à celles du fil infini, le champ
magnétique est orthoradial :
o Étude des invariances
La distribution est invariante par rotation atour de l'axe
(Oz) et par translation selon l'axe (Oz), on en déduit :
o Choix d'un contour d'Ampère
De même que pour le fil infini on a :

Il faut distinguer les deux cas qui correspondent à M à
l'extérieur du fil et M à l'intérieur, comme le montrent les
figures page suivante.
Laurent Pietri
~ 14 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
Lorsque M est à l'extérieur, le courant enlacé est le courant
total, I alors :

Lorsque M est à l'intérieur, le courant enlacé est :

Laurent Pietri
~ 15 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
V-5) Solénoïde infini
a) Présentation
Un solénoïde infini est un modèle qui permet de décrire
correctement le champ magnétique créé par une bobine, aussi
appelée solénoïde fini, lorsqu'on s'intéresse au champ
magnétique au cœur de la bobine.
Un solénoïde fini est une bobine constituée de
l'enroulement régulier d'un fil autour d'un cylindre. Lorsque le
fil a entouré une fois le cylindre, il forme une spire, lorsqu'il
entoure N fois le cylindre, il forme N spires. Les spires ainsi
constituées sont jointives. Le solénoïde fini est caractérisé par le
nombre n de spires par unité de longueur bobinées, son rayon a
et par sa longueur l, n se déduit du nombre total de spires :
Une telle distribution de courant permet de créer un
champ magnétique intense à l'intérieur du cylindre et très
faible en dehors.
Laurent Pietri
~ 16 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
b) Simulation numérique des lignes de champ
On observe sur la figure :
- Les lignes de champ sont rectilignes à l'intérieur du
solénoïde ;
- Elles s'écartent beaucoup du solénoïde quand elles en
sortent ;
- Les lignes de champ sont fermées
- Au centre du solénoïde les lignes de champ sont très
resserrées, le champ magnétique y est très intense.
c) Du solénoïde fini au solénoïde infini
Pour calculer le champ magnétique créé loin des extrémités
de la bobine, on modélise celle-ci comme un solénoïde infini, on
néglige ainsi les effets de bords.
Le solénoïde infini est un dispositif idéalisé qui présente des
propriétés de symétries intéressantes, on admet qu'il impose un
champ magnétique nul à l'extérieur :
Un solénoïde infini parcouru par un courant I crée un
champ magnétique nul à l'extérieur de celui-ci.
Laurent Pietri
~ 17 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
o Choix d'un repérage adapté
Pour repérer les points dans l'espace, on adopte un
repérage cylindrique d'axe (Oz).
o Étude des symétries et des antisymétries
Le plan perpendiculaire à l'axe (Oz) et qui passe par le point
M est plan de symétrie pour la distribution de courants. Or le
champ magnétique en un point d'un plan de symétrie de la
distribution est perpendiculaire à ce plan. On en déduit :
o Étude des invariances
La distribution est invariante par rotation atour de l'axe
(Oz) et par translation selon l'axe (Oz), on en déduit :
o Choix d'un contour d'Ampère
On choisit successivement deux contours d'Ampère
rectangulaires, comme le montre la figure suivante :
Laurent Pietri
~ 18 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
Les deux contours ont l’axe Oz en commun, mais l’un des
deux se referme à l’intérieur du solénoïde, l’autre à l’extérieur.
- Appliquons le théorème d’Ampère à celui de l’intérieur :
- Appliquons le théorème d’Ampère à celui de l’extérieur :
Remarque : On a admis que
mais ce résultat semble logique car
donc à l’infini aussi. Hors loin des sources de B, le champ doit
décroître et tendre vers zéro 
- Conclusion :
Un solénoïde infini possédant n spires par unité de
longueur, parcouru par le courant d'intensité I, crée un
champ nul à l'extérieur,
, et un champ
uniforme à l'intérieur :
dont le sens est déduit du sens du courant par
application de la règle de la main droite.
Laurent Pietri
~ 19 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
V-6) Le tore
Une bobine torique est constituée d'un fil électrique
régulièrement bobiné autour d'un tore dont la section peut être
circulaire ou carrée. Sur la figure ci-contre, on représente un
tore de section carrée.
La bobine torique est caractérisée par le nombre total N de
spires bobinées, les rayons intérieur R et extérieur R + a et sa
hauteur a.
o Choix d'un repérage adapté
Pour repérer les points M où on calcule le champ
magnétique que crée la bobine parcourue par le courant I, on
adopte un repérage cylindrique d'axe (Oz).
o Étude des symétries et des antisymétries
Le plan qui contient l'axe (Oz) et passe par le point M est
plan de symétrie pour la distribution de courants. Or le champ
magnétique en un point d'un plan de symétrie de la distribution
est perpendiculaire à ce plan. On en déduit :
o Étude des invariances
La distribution est invariante par rotation atour de l'axe
(Oz), on en déduit que la valeur du champ B (M) ne dépend pas
de :
Laurent Pietri
~ 20 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
o Choix d'un contour d'Ampère
Les contours d'Ampère adaptés à la situation sont des
cercles passant par M, situés dans des plans perpendiculaires à
l'axe (Oz).
On distingue les cas où le point M est à l'intérieur ou à
l'extérieur du tore.
Le premier contour 1, est le cercle centré sur l'axe (Oz) passant
par M1, situé dans le tore. Ce cercle est orienté dans le sens de
, donc le courant qui traverse chacune des N spires traverse
une fois le disque qui s'appuie sur le contour d'intégration
puisque celui ci est orienté selon . Au total, le courant enlacé
s'élève à NI.
La circulation du champ magnétique sur le contour 1 est :
Laurent Pietri
~ 21 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
Le second contour 2, est le cercle passant par un point M2
situé à l'extérieur de la bobine torique. Cette fois-ci le courant
enlacé est nul. Même si M est situé dans un plan qui passe par
le tore, la somme des courants enlacés est nul, puisque dans ce
cas le courant d'une spire passe une fois positivement et une
fois négativement à travers le disque qui s'appuie sur le contour
d'intégration du théorème d'Ampère :
VI - Force de Laplace
VI-1) Force de Laplace exercée sur une distribution volumique
de courant
Soit un conducteur ohmique de conductivité  non infinie,
soumis à un champ magnétique , dans le référentiel d'étude R.
Le conducteur est susceptible de se déplacer, on note
la
vitesse du point M du métal considéré dans R, et la vitesse
des électrons libres par rapport au métal, au niveau du même
point M.
Laurent Pietri
~ 22 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
Les porteurs de charge du conducteur sont de deux sortes :
- Les électrons libres de densité no, leur vitesse dans R est :
- Les atomes du métal ionisés de même densité n o, la
neutralité du métal étant respectée, leur vitesse dans R est
La force
qui s'exerce sur un volume élémentaire
mésoscopique d situé au point M de ce métal est la résultante
des parties magnétiques des forces de Lorentz appliquées à
tous les porteurs de charges contenus dans le volume d :




La force exercée sur l'élément  de conducteur
parcouru par la densité de courant électrique , aussi
appelée force de Laplace, est :

VI-2) Force de Laplace exercée sur un conducteur filiforme
L'expression de la force de Laplace exercée sur le tronçon
est déduite de l'expression de la force de Laplace qui s'exerce
sur le volume 
Laurent Pietri
~ 23 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy
Cours : D – Electromagnétisme
Les vecteurs
d’où :
XII – Magnétostatique
Sciences Physiques : PSI
sont colinéaires, tangents au fil
La force exercée sur un élément de conducteur filiforme,
soumis à un champ magnétique , est appelée force de Laplace.
Elle vaut :
Laurent Pietri
~ 24 ~
Lycée Henri Loritz - Nancy