TD de Physique no 9 : Mécanique des fluides II

E.N.S. de Cachan Département E.E.A.
M2 FE 3eannée
Physique appliquée 2011-2012
TD de Physique no9 :
Mécanique des fluides II
Exercice no1 : Équation de Navier-Stokes
Considérons un écoulement d’un fluide newtonien dont le champ des vitesses est de la forme ~v =vx(z, t)~ex.
1. Montrer que cet écoulement est incompressible.
2. Soit une particule de fluide de forme parallélépipédique centrée au point M(x, y, z). Déterminer la
force volumique de viscosité qui s’exerce sur cette particule de fluide.
3. Mettre cette force volumique sous forme intrinsèque en utilisant l’opérateur laplacien-vecteur. Nous
admettrons la validité de cette expression pour tout écoulement incompressible. Compléter l’équation d’Euler
avec la force volumique de viscosité pour obtenir l’équation de Navier-Stokes.
Exercice no2 : Écoulement de Couette plan
Un écoulement de Couette plan est celui d’un fluide délimité
par deux plans parallèles horizontaux, de vitesses constantes
mais différentes. Notons ~v1(resp. ~v2) la vitesse du plan inférieur
(resp. supérieur) de cote z= 0 (resp. z=L). Nous supposerons
que :
– la vitesse en tout point de l’écoulement est de la
forme ~v =v(z, t)~ex,
– la pression Pne dépend pas de x.
1. Établir l’équation dont v(z, t)est solution.
On introduira la viscosité cinématique σdéfinie par σ=η/ρ avec ηla viscosité dynamique du fluide et ρsa
masse volumique. Commenter.
2. Établir l’expression de ~v lorsque le régime permanent est atteint.
3. Régime transitoire. On se place dans le cas où ~v1=~ 0. Le fluide est initialement au repos. À t= 0,
le plan supérieur acquiert brusquement la vitesse ~v2. Exhiber un temps caractéristique de l’établissement du
régime permanent. Pour cela on introduira les grandeurs adimensionnées uet ξtelles que : v=uv2et z=ξL.
Exercice no3 : Écoulement de Poiseuille plan
Un écoulement de Poiseuille est un écoulement per-
manent incompressible dans une conduite de section
quelconque, de longueur Let immobile dans le réfé-
rentiel d’étude associé au repère (O, ~ex, ~ey, ~ez). On note
b
P=P+ρgz avec Pla pression, ρla masse volumique
du fluide, gl’intensité de la pesanteur et zl’altitude.
On associe à la conduite le repère (O0, ~ex0, ~ey0, ~ez0)(cf
figure ci-contre). On suppose qu’un dispositif externe
impose entre les sections x0= 0 et x0=Lune diffé-
rence ∆b P=b Px0=0 −b Px0=L(perte de charge).
1. Écoulement de Poiseuille plan. On suppose ici
que l’écoulement se fait dans une conduite à section
rectangulaire dont la longueur ld’un coté est très grande devant la longueur de l’autre e. On peut négliger les
1

effets de bords et supposer que l’écoulement se fait entre deux plans infinis d’équation z0= 0 et z0=e. Le
champ des vitesses est de la forme ~v =v(z0)~ex0.
a) Déterminer l’expression de ~v en fonction de ∆b P,η,L,eet z0.
b) Déterminer la relation entre le débit volumique Dvet ∆b P. La relation correspondant à une conduite de
section cylindrique (cf exercice no4) est :
Dv=πa4
8ηL ∆b
P
avec ale rayon du cylindre.
c) Établir l’analogique électrique pour les deux types de conduite.
2. Un tuyau cylindrique de diamètre intérieur d1alimente deux tuyaux de
diamètre d2et de longueur l2, dont l’extrémité est à la pression atmosphérique P0
(cf figure ci-contre). Le système est à l’horizontale, vu de dessus. Soit P1la pression
en amont (au point A). La distance entre le point Aet la première déviation, ainsi
que la distance entre les deux dérivations est l1. On considérera que les dérivations
sont des petits volumes isobares, et que le régime d’écoulement est laminaire.
a) Faire un schéma électrique équivalent.
b) Déterminer le débit dans chaque tuyau en fonction de P1,P0et des résistances
hydrauliques.
Exercice no4 : Loi de Poiseuille pour des tubes de section circulaire
Un fluide incompressible de masse volumique ρs’écoule dans un tuyau cylindrique
de section circulaire de rayon a, de longueur Let d’axe (Oz). On admet qu’en régime
permanent, la vitesse du fluide dans le tube est de la forme ~v =v(r)~ez(en coordonnées
cylindriques), et que si Pest la pression et zl’altitude, b P=P+ρgz ne dépend que de
z; on posera P(z= 0) = P0+ ∆Pet P(z=L) = P0.
1. Par analogie avec un écoulement unidirectionnel, déterminer la force de viscosité
exercée par le fluide extérieur sur le fluide intérieur à travers une surface élémentaire
d’aire dS et normale à ~er.
2. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique au système constitué,
à un instant tdonné, par le fluide contenu dans un cylindre de longueur let de rayon r,
calculer dv
dr , puis v(r).
3. En déduire la relation de proportionnalité entre le dédit massique Dmet la perte de charge ∆b P.
Exercice no5 : Couche limite
1. Soit une plaque carrée de côtés Lselon ~uxet ~uyen mouvement uniforme de vitesse v~uxà la surface
d’un fluide au repos dans le référentiel du laboratoire. On note η(resp. ρ) la viscosité (resp. la masse volumique)
du fluide.
a) Quelle est l’expression du nombre de Reynolds Rede l’écoulement correspondant.
b) Donner une expression approchée de δ, l’épaisseur de la couche limite, en fonction de Reet L. Faire l’appli-
cation numérique dans le cas de l’écoulement d’air autour d’une aile d’avion : L= 5 m,ν= 1,5.10−5m2.s−1
et v= 50 m.s−1.
c) Que peut-on dire de la notion de couche limite pour un écoulement laminaire.
2. Il est possible d’associer à l’écoulement dans la couche limite un nombre de Reynolds local, Re,local.
a) Donner son expression en fonction de Re.
b) À partir de quelle valeur de Re, l’écoulement dans la couche limite devient-il turbulent ? Faire le lien avec
le graphique donnant F/(ρπr2v2)en fonction de Re(cf cours).
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Exercice no6 : Diamètre d’une canalisation
Un château d’eau alimente une canalisation cylindrique dont l’ex-
trémité est ouverte à la pression atmosphérique (cf figure ci-contre).
On note h0la profondeur du réservoir, h1le dénivelé de la canalisa-
tion, Lla longueur de la canalisation, ηla viscosité de l’eau et DVle
débit volumique dans la canalisation. Pour les applications numérique,
on prendra h0= 3 m,h1= 13 m,L= 100 met η= 1,0.10−3P l. La
vitesse à une distance rde l’axe est de la forme : v(r) = v01−4r2
d2.
On rappelle la formule de Poiseuille (cf exercice 4) donnant le débit
volumique d’un fluide de viscosité ηdans une canalisation cylindrique de diamètre det de longueur L, soumise
à la chute de pression ∆ˆ P:DV=πd4
128ηL ∆ˆ
P
1. Déterminer le diamètre de la canalisation en supposant l’écoulement laminaire, dans les deux cas
suivants : 1er cas, DV= 1 L.s−1; 2ecas : DV= 0,5L.min−1.
2. Calculer le nombre de Reynolds dans chaque cas. Conclure.
Exercice no7 : Détendeur
Un tuyau horizontal de section carrée de côté aet de longueur l
est divisé en Ntranches fines par des lamelles d’épaisseur négligeable
(cf figure ci-contre). L’entrée est en contact avec un réservoir qui
contient un fluide de masse volumique ρet de viscosité η, maintenu
à la pression P1. À la sortie, le fluide est à la pression extérieure P0
(P1> P0).
1. On suppose que le regime d’écoulement est laminaire et
permanent. Déterminer le débit, la vitesse moyenne de sortie et le
nombre de Reynolds de l’écoulement.
2. Si les hypothèses sont justifiées, calculer le débit dans les cas suivants :
– eau : η= 1,0.10−3P l ;
– air : η= 1,7.10−5P l et ρ= 1,3g.L−1;
– huile : η= 1,0P l et ρ= 0,9kg.m−3;
Données : P0= 1 bar ;P1= 1,5bar ;l=a= 1 cm ;N= 50 ;
Exercice no8 : Étude d’un viscosimètre
Un type de viscosimètre est schématisé sur le schéma ci-contre. Il est constitué
d’un tube capillaire Creliant deux boules B1et B2. La boule B1est remplie
jusqu’au niveau a(index a) d’un liquide incompressible, de masse volumique ρet
de viscosité η. On mesure le temps τmis par la surface du fluide pour passer de
ce niveau, au niveau b(index b). Ce viscosimètre est utilisé pour faire des mesures
relatives.
1. Montrer que si l’on prend deux fluides de masse volumique ρ1et ρ2, de
viscosité η1et η2, les temps de transit τ1et τ2sont tels que :
η1
η2
=ρ1τ1
ρ2τ2
2. Les masses volumiques respectives de l’acétone et de l’eau à 293 Ksont :
ρacetone = 792,0kg.m−3et ρeau = 998,2kg.m−3.
La viscosité de l’eau est de ηeau = 1,0050.10−3P l à293 K. Il faut τeau = 120,5sà l’eau, pour s’écouler
entre les deux index du viscosimètre. S’il faut τacetone = 49,5sà l’acétone, quelle est la viscosité ηacetone de
l’acétone ?
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Exercice no9 : Force sur une conduite en forme de coude
De l’eau de masse volumique µcoule en régime stationnaire avec un
débit massique Dmdans une canalisation horizontale de section constante
Sfaisant un coude d’angle droit (cf figure ci-contre). On néglige la pe-
santeur et l’écoulement est supposé parfait. Loin du coude en amont, la
pression est uniforme égale à P1et l’écoulement est unidimensionnel de
vitesse v1~ux. Loin du coude en aval, la pression est uniforme égale P2et
l’écoulement est unidimensionnel de vitesse v2~uy.
1. Établir l’égalité entre v1et v2, puis celle entre P1et P2.
2. Donner l’expression de la résultante ~ Fde l’action de l’eau sur la
conduite.
Exercice no10 : Jet sur une plaque
Un jet a la forme d’une lame d’épaisseur eet de largeur lselon Oz (cf
figure ci-contre). La vitesse de l’eau dans le jet est V0~ux.
Arrivant sur une plaque Pimmobile (de largeur Ldans le plan de la
figure), il se divise en deux jets caractérisés par les grandeurs (e1, V1, l)et
(e2, V2, l). On fera les hypothèses suivantes :
•le fluide est parfait et incompressible (masse volumique ρ) ;
•les effets de la pesanteur sont négligés ;
•l’écoulement est potentiel.
1. Déterminer la relation existant entre les épaisseurs e1et e2des jets glissant sur la plaque P.
2. Établir l’expression de la force ~ Fexercée par le jet sur la plaque. On pose α= (~ux, ~n).
3. Donner ensuite les expressions de e1et e2en fonction de eet de l’angle α.
4. Montrer la cohérence de ces résultats avec le théorème de la puissance cinétique.
5. La plaque de masse Mpeut tourner librement autour de l’axe horizontal
Oz. La distance du centre de masse Gde la plaque à l’axe ∆ = Oz est l.
La plaque est maintenue en équilibre (angle α) à l’aide du jet horizontal étudié
au 1. (débit incident Dm0=ρelV0, distance hà l’axe de rotation ∆:h >> e). Déter-
miner l’expression de l’angle αà l’équilibre : on supposera la masse Msuffisamment
importante pour que cet équilibre existe.
Exercice no11 : Tourniquet de foire
Un tourniquet de foire de rayon Rpeut tourner autour de son axe vertical Oz
(liaison pivot parfaite). Il est muni en deux points diamétralement opposés Aet A0
d’une réserve de poudre (m0/2en chaque point). On note J0le moment d’inertie, par
rapport à Oz, du tourniquet (sans la poudre). Pour t < 0, le système est immobile.
Àt= 0, on allume la poudre, ce qui a pour effet l’émission de matière tangentielle-
ment au cercle de rayon Ravec un débit massique Dm(Dm/2pour chaque réserve
de poudre) supposé constant (tant qu’il reste de la poudre) et une vitesse relative
d’éjection invariable ve. L’atmosphère extérieure à la pression uniforme P0exerce sur le tourniquet un couple
de frottements fluides Γ = −λω(t), où ω(t)représente la vitesse angulaire de rotation du tourniquet autour de
son axe.
1. Établir les équations différentielles en ω(t).
2. Déterminer la solution correspondante et tracer le graphe t→ω(t): on fera l’approximation J0>>
m0R2.
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Exercice no12 : Limite de Betz
Albert Betz (physicien allemand pionnier des technologies
éoliennes) établit en 1919 que la puissance théorique maximale
récupérable par une éolienne est égale à 16
27 Pcoù Pcest la puis-
sance cinétique du vent qui rencontre l’éolienne lorsque celle-ci
est à l’arrêt. D’autre part, ce maximum est atteint lorsque la
vitesse du vent en aval de l’éolienne est égale à un tiers de la
vitesse du vent en amont. Cet exercice se propose de démontrer
ce qui vient d’être énoncé.
Soit une éolienne dont les pales balayent la surface Σ. Consi-
dérons la veine de vent (c’est-à-dire le tube du champ des vitesses) s’appuyant sur la surface Σ(cf figure).
1. Pourquoi l’écoulement d’air peut-il être considéré comme étant incompressible ? Justifier alors l’évase-
ment de la veine de vent en aval de l’éolienne.
On appelle Vle volume de contrôle délimité par le tube de champ et les surfaces Σ1et Σ2(cf figure
ci-dessus). On note ~v1(resp. ~v2) la vitesse de l’air au niveau de Σ1(resp. Σ2).
2. Établir, en supposant le régime établi atteint, que la force ~ Fvent→pales qu’exerce le vent sur les pales
s’écrit : ~
Fvent→pales =ρDV(~v1−~v2)
avec ρla masse volumique de l’air et DVle débit volumique. On supposera que la pression autour du volume
de contrôle est uniforme, on la notera P0.
On appelle Σ−(resp. Σ+) la section droite de la veine de vent juste avant (resp. juste après) l’éolienne.
3. Montrer que :
P−−P+=ρ
2(v2
1−v2 2)
où P−(resp. P+) est la pression au niveau de Σ−(resp. Σ+). On supposera pour cela que les vitesses au
niveau de Σ−et Σ+sont telles que v−'v+'v.
4. Montrer que : ~
Fvent→pales = Σ(P−−P+)~ux.
5. Déduire des questions précédentes que :
v=v1+v2
2.
6. Donner l’expression de la puissance Pfournie à l’éolienne en fonction de ρ,Σ,v1et v2.
7. Exprimer le rapport P/Pcen fonction de x=v2
v1. Retrouver alors le résultat établi par Betz.
8. Dans la pratique, la limite de Betz n’est pas atteinte. Pourquoi ?
Exercice no13 : Profil d’une tuyère
On suppose, pour simplifier, que l’écoulement du gaz dans
une tuyère est unidimensionnel, permanent, adiabatique et
isentropique. Le but de cet exercice est de relier la vitesse
d’écoulement v(x)à la section S(x)de la tuyère (cf figure ci-
contre). Le gaz entre dans la tuyère en x= 0, avec une vitesse
v(0) négligeable, une pression P(0) = PA, une température
T(0) = TAet une masse volumique ρ(0) = ρA. Le gaz est
supposé parfait, de masse molaire M. Le rapport γest supposé constant et connu.
1. Exprimer la relation qui existe entre la vitesse v(x)et la masse volumique ρ(x).
2. Exprimer la relation entre le débit massique D,v(x)et S(x).
3. Quelle forme de tuyère choisir pour obtenir une vitesse d’éjection des gaz importante.
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