Dérivée et vitesse

Dérivée et vitesse
A. Vitesse
On considère un mobile qui se déplace sur un axe (x'x). A chaque instant t, la position du
mobile est donnée par son abscisse x qui est donc une fonction de t; on posera x=f(t).
Que peut-on dire de la vitesse de ce mobile ?
Nous pouvons trouver facilement sa vitesse moyenne entre deux instants t0 et t1 : il s'agit du
quotient distance parcourue donc f(t1) – f(t0) sur durée donc t1 – t0 ; d'où
vm=ft1− ft0
t1−t0
.
Que devient cette vitesse moyenne lorsque t1 tend vers t0 ?
En posant
t1=t0h
, cela revient à chercher la limite de
ft0h− ft0
h
lorsque h tend vers
0. Si f est dérivable en t0, cette limite existe et est égale à la dérivée de f en t0, soit f '(t0).
On l'appelle vitesse instantanée à l'instant t0.
Conclusion :
Si la position d'un mobile est donnée par une fonction dérivable f, sa vitesse instantanée est
donnée par la fonction f '.
Deux cas particuliers
Mouvement uniforme : la vitesse est constante égale à v0; la fonction f qui donne la position
du mobile est donc de la forme f(t) = v0t + C. Si à l'instant 0 la position du mobile est x0, on
trouve que f(t) = v0t + x0.
Mouvement uniformément accéléré : la vitesse instantanée est une fonction affine du temps,
on a donc v = at + b. La fonction f qui donne la position du mobile est donc de la forme
ft= a
2t2btc
.
B. Loi de la chute des corps
Lorsqu'on laisse tomber un objet sa vitesse augmente proportionnellement au temps de la
chute (voir cours de Physique). Il existe donc un coefficient g tel que v = gt. Des mesures
physiques indiquent que g≈9,81. On se trouve en présence d'un mouvement uniformément
accéléré.
1- Quelle est la fonction qui donne la distance parcourue en considérant que l'objet est laché à
l'instant 0 et qu'il se trouve alors au point d'abscisse 0 ?
2- Si on lache l'objet d'une hauteur de 20m, quelle sera la durée de sa chute ? Quelle sera sa
vitesse au moment où il atteint le sol ?
Application : mesurer la profondeur d'un puits avec un chronomètre.
On lache un objet et on mesure le temps mis avant d'entendre le « plouf ». Sachant que le son
se déplace à la vitesse constante de 300m/s et qu'on a entendu le « plouf » après 1,5s, quelle
est la profondeur du puits ?

C. Autres exercices
1- Un coureur
Un coureur court en ligne droite depuis l'instant t = 0 avec la loi horaire :
d(t)=10 t−1
20 t2
.
1. Peut-on affirmer que la vitesse du coureur diminue proportionnellement au temps de la course ?
2. a) Calculer l'instant t1 auquel la vitesse du coureur s'annule.
b) Quelle est alors la distance parcourue par le coureur ?
3. a) Déterminer la vitesse moyenne pendant cette course.
b) Vérifier que cette vitesse moyenne est égale à la vitesse du coureur à l'instant
t1
2
.
2- Fusée de détresse
Le capitaine d'un bateau tire une fusée de détresse verticalement à l'instant t = 0.
Cette fusée s'élève suivant la loi horaire :
y(t)=39,2 t−4,9 t2
.
y (t) désigne l'altitude de la fusée en mètres à l'instant t en secondes.
1. Calculer la vitesse de la fusée à l'instant t. En déduire sa vitesse initiale.
2. Déterminer l'altitude à laquelle la vitesse de la fusée à diminué de moitié.
3. Que se passe-t-il à l'instant t = 4 s ? à l'instant t = 8 s? Justifier.
3- Rencontre de deux points
Deux points M et N se déplacent à partir de l'instant t = 0.
La loi horaire de M est
x1(t)=100+5t
.
La loi horaire de N est
x2(t)= 1
2+t2
.
x1(t)
et
x2(t)
désignent les abscisses de M et N.
1. Déterminer l'instant t1 où M et N se rencontrent et l'abscisse du point où cela se produit.
2. Calculer les vitesses de M et N au moment de leur rencontre.