2. Dynamique 2.1 Lois de Newton (wikipedia)

2. Dynamique
2.1 Lois de Newton (wikipedia)
Les lois du mouvement de Newton sont en fait des principes à la base de la grande théorie
de Newton concernant le mouvement des corps, théorie que l'on nomme aujourd'hui
Mécanique newtonienne ou encore Mécanique classique. À ces lois générales du mouvement
fondées en particulier sur le principe de relativité des mouvements, Newton a ajouté la loi
de la gravitation universelle permettant d'interpréter aussi bien la chute des corps que le
mouvement de la Lune autour de la Terre.
Première loi
Tout corps, en mouvement rectiligne uniforme ou au repos, soumis à des forces qui se
compensent, persévère dans son état.
Remarques :
Bien que Newton ne l'ait pas précisé dans son ouvrage, cette loi n'est valable que dans
un référentiel galiléen. La première loi de Newton peut donc être reformulée dans un
langage plus moderne :
« Dans un référentiel galiléen, le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système est
constant si et seulement si la somme des vecteurs forces qui s'exercent sur le système
est un vecteur nul. »
En physique, un référentiel galiléen, ou inertiel, est un référentiel dans lequel un objet
isolé (sur lequel ne s’exerce aucune force ou sur lequel la résultante des forces est nulle)
est soit immobile, soit en mouvement de translation rectiligne uniforme. Cela signifie que
le principe d’inertie, qui est énoncé dans la première loi de Newton, s’y applique.
Deuxième loi : principe fondamental de la dynamique
Soit un corps de masse m (constante) : l'accélération subie par un corps dans un référentiel
galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement
proportionnelle à sa masse m.
a=F/m
Troisième loi : principe d'action - réaction
Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensité égale, de même
direction mais de sens opposé, exercée par le corps B
2.2. Gravitation
2.2.1. Historique
2.2.2. Formule
Deux corps ponctuels de masse m et m s'attirent avec une force proportionnelle à chacune
A
B
des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Cette
force a pour direction la droite passant par le centre de gravité de ces deux corps. La force
exercée sur le corps B par le corps A est vectoriellement donnée par:
F =G.
m .m
A
B
r2
avec G = 6.67300 10-11 m3.kg-1.s-2 qui est la constante gravitationnelle
Définitions : Lois de Newton, Masse, Poids, Inertie, ...
Masse
Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une
quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à
la force de gravitation (la masse grave). Ces deux notions sont a priori distinctes, mais leur
égalité est expérimentalement vérifiée à 10-12 près.
Poids
Le poids d'un corps (de masse m) est la force de pesanteur exercée sur lui .
P=m.g
Inertie
L'inertie d'un corps est sa propriété de conserver une vitesse constante (ou de rester
immobile) lorsqu'aucune force externe ne s'y applique, ou que les forces qui s'y appliquent
s'équilibrent
2.2.3. Calcul de la masse de la terre
Dès lors que Cavendish a réussit expérimentalement à touver G, il était possible de calculer
la masse de la terre m . En effet, le poids étant la force gravitationnelle exercée par la
T
terre sur un objet :
m.m
T
P = m.g = G.
r2
On obtient d'une part que
g = G.
m
T
r2
c-à-d que g est inversément proportionnel au carré de la distance d'un objet au centre de la
terre : si on monte en altitude g diminue. En effet soit le rayon de la terre : rayon = 6370
T
km, la distance d'un objet au centre de la terre r = rayon
T
+ altitude. Et donc
l'augmentation de l'altitude augmente r et pa conséquent diminue g.
On obtient d'autre part que la masse de la terre vaut (avec g = 9.81 m/s/s au niveau du sol,
ç-à-d à 6,37 106 m du centre de la terre)
2
6 2
m = g r = 9.81 (6.37 10 ) = 5.97 1024 kg
T
G
6.67300 10-11
2.2.4. Satellite (wiki)
En astronomie, un satellite naturel (du latin satelles, satellitis : escorte, garde) est un corps
en orbiteautour d'un corps plus massif. Il peut s'agir d'un astre comme la Lune ou
les satellites de Saturne ou encore d'un nombre important de corps comme une galaxie
satellite.
En astronautique, on appelle satellite artificiel un objet d'origine humaine mis en orbite
autour de la Terre ou plus exceptionnellement autour d'un autre astre. On distingue en
fonction de leur usage les satellites scientifiques, les satellites d'astronomie , les satellites
de télécommunications, les satellites de télédétection, les satellites espions, les satellites
de positionnement et navigation et enfin les stations spatiales et les sondes lointaines.
Un satellite geostationnaire est un satellite situé toujours à la verticale d'un même point sur
terre. Ainsi il tourne à la même vitesse que la terre tourne.
Pour un satellite, l'accélération centripète qui cause son mouvement circulaire est bien
l'accélération gravitationnelle : a = g. Ainsi :
c
v2 = G. mT
r
r2
Ce qui permet de trouver sa vitesse en fonction de sa distance au centre de la terre :
v = sqrt( G.
m
T
)
r
La période de révolution du satellite se note T. Dans le cas de la lune autour de la terre T =
27.3j, dans le cas de la terre autour du soleil, T = 365j, dans le cas d'un satellite
géostationnaire T = 1j.
La vitesse précédente peut donc également s'écrire sous la forme d'un déplacement par le
temps de ce déplacement, ç-à-d :
v = circonférence de l'orbite / période de révolution = 2π r/T.
Ceci permet de trouver la 3ième loi de Kepler : le rapport T2/ r3 est constant pour tous les
satellites d'un même astre.
En effet
(2πr/T)2 = G. mT
r
r2
et donc
T2 = (2π)2
G.m
r3
T
Exercice 2.1 : La lune est à 384000 km de la terre et a une période de révolution de 27,3j.
A quelle altitude se situe un satellite géostationnaire ? Quelle est la masse de la terre ?
Soit r
geo
la distance du satellite géostationnaire au centre de la terre :
lune
sat geo
(27,3x24x60x60)2 = (1x24x60x60)2 =
(3,84 108)3
r
geo
3
geo
r
constante
(2π)2
G.m
T
= (1/27,3)2/3 . 3,84 108 (m) = 42,353 106 (m)
Et l'altitude = r
(m) - 6,37 106 (m) = 35,983 . 106 (m) = 35983 km.
geo
Laboratoire : Forces
1/ Construire un dynamomètre
Munisez vous de ressorts identiques.
Prenez 'un papier tel que sur la figure 1 et placerez un repère à un bout du ressort.
Mesurez la position de l'extrémité opposée du ressort en suspendant 3 masses différentes à
ce ressort.
masse 0 masse 1
masse 2
masse 3
masse 1+3
masse
m1 = .......... kg m2 = .......... kg m3 = .......... kg m1+3 = .......... kg
poids
P1 = ........... N
P2 = ........... N
P3 = ........... N
P1+3 = ........... N
Un ressort est caractérisé par sa raideur = tension / déplacement
raideur = (m3 - m1) . g / (x3 - x1) = ........ kg . 9.81 m/s2 / ........ m = .(A)......... N/m
1 N correspond à ..(B)............. mm
x3 - x0 = (m3 .g) / raideur = ..(C)............. mm
Vous pouvez ainsi tracer une ligne correspondant à 0 N, puis tous les ..(B).......... mm, un
trait correspondant à 1N, 2N, ...
2/ Poulies
On utilise des poulies soit pour réorienter des forces (figure (A)), soit pour démultiplier une
force (figure (B) et (C)).
Poids soulevé = ............... N
(B) Force exercée = ..................N
(C) Force exercée = ..................N
Faites un diagramme des forces autour de la poulie (C) :
3/ Problèmes d'équilibre et diagrammes de forces
Prenons un anneau. Il peut être à l'équilibre c-à-d au repos ou en MRU, soit subir une
accélération.
Si on veut un système en équilibre il faut que l'ensemble des forces appliquées à l'anneau
donne une somme nulle. Si cette somme de force n'était pas nulle, l'anneau ne serait pas en
équilibre et subirait donc une accélération.
De manière générale on décompose les forces appliquées soit en forces horizontale et
verticale, soit plus généralement en forces normales et forces tangentielles.
On a un équilibre si
F
gauche
=F
droite
et F
haut
=F
bas
ou plus généralement
F
tangentielle gauche
=F
tangentielle droite
et F
normale haut
=F
normale bas
3.1/ Equilibrer 2 forces selon la figure 2 :
On applique une force de 2 N vers la droite et on cherche à l'annuler à l'aide d'une force
vers la gauche. La force à appliquer vers la gauche est bien de 2 N.
C'est le même équilibre que l'on a dans le cas d'un objet suspendu : son poids ( = force vers
le bas ) est équilibré pas une force verticale de même intensité.
Diagramme des forces :
2.2/ Equilibrer 3 forces selon la figure suivante :
Nous allons maintenant équilibrer le poids lié à la masse 2 par deux forces faisant un angle
par rapport à la verticale :
P = ..(H)......... N
F1 =
................ N
F2 =
................... N
Angle 1 =
............ degrés
Angle 2 =
............... degrés
F1 . sin (Angle 1)
..(D).......... N = F1...
F2 . sin (Angle 2)
..(E).......... N = F2...
F1 . cos (Angle 1)
..(F).......... N = F1...
F2 . cos (Angle 2)
..(G).......... N = F2...
Remplaçons F2 par une force horizontale et une force verticale
F2H = ..(I)................. N, F2V = ..(J)................. N
Comparez (I) et (E) : .....
Comparez (J) et (G) : ......
Que pouvez vous dire de (D) et (E) :
.......
Quel lien faisez vous entre (F), (G) et (H) :
......
Diagramme des forces :
2.3/ Equilibre de 3 forces selon la figure suivante :
Placer la masse 1 et la masse 2 comme indiqué. Mesurez l'angle theta.
Theta = ..................
P1 = ................. N, P2 = ...................N
Tension dans la ficelle = ............... N = ................
Tension . sin (Theta) =
..(I).......... N
Tension . cos (Theta) =
..(J).......... N
Que peut-on dire de (I) et de P2 :
............
Expliquez en dessinant le diagramme de force au point de fixation de la masse 2:
Exercice : Si on fait le même exercice avec P1 = 100 N et P2 = 1 N, que vaut Theta :
sin (Theta) = P2 / ( 2. Tension ) = ............. => Theta = ...............
3/ Force de friction
Lorsque deux surfaces sont en contact, elles intéragissent selon la troisième loi de Newton.
Soit un objet sur une plaque. On peut décomposer la force de la plaque sur l'objet en une
force normale (perpediculaire à la plaque) et une force de friction (parallèle).
Soit un objet au repos soumis à une traction T parrallèle à la plaque et à son poids P,
équilibrez ces forces par une force normale et une force de friction :
Si la plaque est horizontal et l'objet uniquement soumis à son poids, nous avons équilibre
entre le poids et la force normale.
Si on exerce une force horizontale et que l'objet ne bouge pas, c'est que celle-ci est
équilibrée par une force de même intensité et de sens opposé due à la friction de la surface
sur l'objet. Si on augmente la force latérale, à un moment l'objet se met à glisser.
On définit la force de friction comme la force tangentielle maximale que la surface peut
transmettre à l'objet avant qu'il ne glisse.
3.1 / A l'aide du poids P3 on mesure une force de friction F3 = ........... N
A l'aide des poids P2+P3, on mesure F2+3 = ........... N
Que dire de F3/P3 = ............... par rapport à F2+3/(P2+P3) = .................. : cest raport
sont ..........
On écrit généralement Ff = µ. P
A l'aide des deux mesures ci-dessus µ moyen = .................
3.2/ Angle limite de la plaque avant que l'objet ne glisse :
Dessinez le diagramme de force de l'objet en équilibre
Force normale = P . cos (alpha)
Force de friction = P . sin (alpha) = µ . P
Ce qui donne alpha = sin-1 (µ) = ..................