Introduction à la théorie des codes correcteurs d`erreurs Codes

d´efinition et repr´esentation des codes cycliques
dimension et matrice g´en´eratrice d’un code cyclique
orthogonal d’un code cyclique
rappels sur les corps finis
d´ecomposition de xn−1 sur IFq
codage syst´ematique d’un code cyclique
Introduction `a la th´eorie des codes
correcteurs d’erreurs
Codes cycliques
Odile PAPINI
POLYTECH
Universit´e d’Aix-Marseille
[email protected]r
http://odile.papini.perso.esil.univmed.fr/sources/CODAGE.html
Odile PAPINI Codes correcteurs d’erreurs

d´efinition et repr´esentation des codes cycliques
dimension et matrice g´en´eratrice d’un code cyclique
orthogonal d’un code cyclique
rappels sur les corps finis
d´ecomposition de xn−1 sur IFq
codage syst´ematique d’un code cyclique
Plan du cours
1d´efinition et repr´esentation des codes cycliques
2dimension et matrice g´en´eratrice d’un code cyclique
3orthogonal d’un code cyclique
4rappels sur les corps finis
5d´ecomposition de xn−1 sur IFq
6codage syst´ematique d’un code cyclique
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d´efinition et repr´esentation des codes cycliques
dimension et matrice g´en´eratrice d’un code cyclique
orthogonal d’un code cyclique
rappels sur les corps finis
d´ecomposition de xn−1 sur IFq
codage syst´ematique d’un code cyclique
Bibliographie I
J. Mac Willians & N. J. A. Sloane
Error Correcting codes.
, ed. 19.
O. Papini & J. Wolfmann
Alg`ebre discr`ete et codes correcteurs d’erreurs.
Springer Verlag, ed. 1995.
Support de cours
Claude Carlet Universit´e Paris 13
http://www.math.univ-
paris13.fr/ schartz/Mali/Mali07/ccc.pdf
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dimension et matrice g´en´eratrice d’un code cyclique
orthogonal d’un code cyclique
rappels sur les corps finis
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d´efinition et repr´esentation des codes cycliques
d´efinition : code cyclique
Soit Cun code sur un corps fini IK un code Cest dit cyclique si :
i) Cest un code lin´eaire;
ii) Si (x1,··· ,xn)∈C, alors (xn,x1,···xn−1)∈C.
Exemple : Soit Cle code de matrice g´en´eratrice
G=
100100100
010010010
001001001
La permutation circulaire des composantes vers la droite
transforme chaque mot du code en un mot du code
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dimension et matrice g´en´eratrice d’un code cyclique
orthogonal d’un code cyclique
rappels sur les corps finis
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codage syst´ematique d’un code cyclique
repr´esentation polynˆomiale
Soit Cun code lin´eaire de longueur n
A chaque mot mde Con associe un polynˆome m(x)
m= (a0,a1,··· ,an−1)→m(x) = a0+a1x+...+an−1xn−1
(an−1,a0,··· ,an−2)→an−1+a0x+...+an−2xn−1
or
an−1+a0x+...+an−2xn−1=x.m(x)modulo xn−1
caract´erisation
Cest cyclique ssi ∀m∈C,x.m(x)modulo xn−1
est la repr´esentation polynˆomiale de C
Odile PAPINI Codes correcteurs d’erreurs