Groupes linéaires de Groupes linéaires de Rang de Morley fini

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Groupes linéaires de
Groupes linéaires de
Rang de Morley fini
Rang de Morley fini
Bruno POIZAT
[e-mail]
Oberwolfach, janvier 2013

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THEOREME
Tout groupe linéaire de rang de
Morley fini a un sous-groupe nilpotent
définissable connexe et généreux.
En outre, s'il est simple (ou plus
généralement sans sous-groupe normal
unipotent), ce sous-groupe généreux est
commutatif et divisible.

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PRELIMINAIRES
H linéaire : H ⊆ GLn(K) où K est
algébriquement clos
H de Rang de Morley fini
Sens plus fort : H définissablement
linéaire de RM fini, ie la structure
(K, H(x)) , où H(x) est la relation n2-
aire interprétant H , est de RM fini.

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RESULTATS CONNUS
1. Un sous-gpe superstable de SL2(K)
est résoluble par fini ou de la forme
SL2(k) ; idem pour PSL2 .
2. En caract. p , un groupe simple déf.
linéaire de RM fini est algébrique.
3. En caract. 0 , un gpe simple déf. lin.
de RM fini non-alg. est un mauvais gpe
dont les borels sont de mauvais tores.

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A ⊆ H est générique si H est
recouvert par un nb fini de translatés
de A : H = a1.A.b1 ∪ ... ∪an.A.bn .
Si A est définissable et H de RM
fini, A générique ⇔ RM(A) = RM(H) .
A est généreux si la réunion de ses
conjugués est générique.