Groupes linéaires de Groupes linéaires de Rang de Morley fini

Groupes
Rang de
linéaires de
Morley fini
Bruno POIZAT
[email protected]
Oberwolfach, janvier 2013
1
THEOREME
Tout groupe linéaire de rang de
Morley fini a un sous-groupe nilpotent
définissable connexe et généreux.
En outre, s'il est simple (ou plus
généralement sans sous-groupe normal
unipotent), ce sous-groupe généreux est
commutatif et divisible.
2
PRELIMINAIRES
H linéaire : H ⊆ GLn(K) où K est
algébriquement clos
H de Rang de Morley fini
Sens plus fort : H définissablement
linéaire de RM fini, ie la structure
2
(K, H(x)) , où H(x) est la relation n aire interprétant H , est de RM fini.
3
RESULTATS CONNUS
1. Un sous-gpe superstable de SL2(K)
est résoluble par fini ou de la forme
SL2(k) ; idem pour PSL2 .
2. En caract. p , un groupe simple déf.
linéaire de RM fini est algébrique.
3. En caract. 0 , un gpe simple déf. lin.
de RM fini non-alg. est un mauvais gpe
dont les borels sont de mauvais tores.
4
A ⊆ H est générique si H est
recouvert par un nb fini de translatés
de A : H = a1.A.b1 ∪ ... ∪an.A.bn .
Si A est définissable et H de RM
fini, A générique ⇔ RM(A) = RM(H) .
A est généreux si la réunion de ses
conjugués est générique.
5
LEMME DE JALIGOT. Si H est de RM
fini, un sous-groupe définissable T de
H est généreux ssi :
(i) T est d'indice
normalisateur
fini dans son
(ii) L'ensemble des points de T qui
n'∈ qu'à un nb fini de conjugués de T
est générique dans T .
6
COMPLEMENT. Si T est généreux,
connexe et commutatif, il est conjugué
de la composante connexe du centralisateur d'un point générique g de H° .
T ne contient qu'un nombre fini de
conjugués de g , et est génériquement
disjoint de ses conjugués.
7
Deux types d'ingrédients :
1. Des propriétés bien connues des
groupes algébriques.
2. La théorie de Wagner (1990) de la
généricité dans les sous-groupes non
définissables d'un groupe stable.
8
LA THEORIE DE WAGNER
LEMME DE WAGNER. Soit G un
groupe algébrique, et soit H un sousgroupe de G dont il soit la clôture de
Zariski ; alors tout type générique de
S1(G) est finiment satisfaisable dans H.
9
COROLLAIRE 1. Sous les hypothèses du
lemme précédent, si A est une partie
constructible générique de G , on peut
trouver un uplet a0 , … an d’éléments
de H tels que G = a0.A ∪ … ∪ an.A .
10
COROLLAIRE 2. Sous ces mêmes
hypothèses, et si A est une partie
constructible de G , A est générique
dans G si et seulement si B = A∩H
est générique dans H .
11
COROLLAIRE 3. Sous les mêmes
hypothèses, on suppose en outre que H
est de RM fini et connexe relativement à
sa propre théorie, et que la paire (G,H)
est suffisamment saturée. Alors on peut
o
trouver g dans H∩G
qui soit
générique (sur ∅ , ou sur un ensemble
convenu de paramètres dans H ) à la
fois au sens de G et au sens de H .
12
DEMO. DU THM (CAS SIMPLE)
Hypothèses : H simple, de RM fini ;
H ⊆ GLn(K), G = sa clôture de Zariski
N sous-gpe algébrique normal de G
⇒ G/N groupe alg. linéaire ⇒ par
induction on peut supposer G simple
Soit g dans H générique à la fois au
sens de G et au sens de H .
13
Centralisateurs génériques dans G
Le centralisateur T de g dans G
est un tore connexe généreux ⇒
(i) T ne contient qu'un nb fini de
conjugués de g
(ii) g est générique dans T , si bien
que T est le centralisateur de chacun
de ses points génériques.
14
Rigidité des tores algébriques
Les sous-gpes alg. de T forment une
famille bornée ⇒ comme g est
générique dans T , T est le plus petit
sous-gpe alg. contenant g .
15
Centralisateurs génériques dans H
Z = T∩H = centralisateur de g
dans H ; Z ne contient qu'un nb fini
de conj. de g (ds G , a fortiori ds H ).
T = clôture de Zariski de Z .
Génériquement dans Z , T = centralisateur de x ds G , et Z =
centralisateur de x ds H !
Conclusion : Z est généreux ds H .
16
Connexité de Z
Comme T est divisible, pour chaque
n , g a une racine n-ème γ , qui est
générique ds G , de centralisateur T .
n
Dit autrement, g a même centralisateur T que g ; comme la torsion
de Z est bornée, il algébrise g dans
H , et est aussi générique dans H .
17
n
Pour n assez grand, g est dans
Z° ; il est donc dans la composante
connexe de son centralisateur dans H ,
et g aussi, qui a même type.
Comme Z° est divisible (torsion
bornée), les cossettes de Z/Z° sont de
la forme α.Z° , où α est d'ordre fini
n
n
n ; (α.g) = g est générique dans H ,
ainsi que α.g ; donc Z = Z° .
18
QUESTIONS SUR LA DEMONSTRATION
1. Est-ce-que Z est le plus petit sousgpe déf. ds H contenant g ?
2. Est-ce-que la réunion des conjugués
de Z = points semi-simples de H ?
3. Quelles autres propriétés passent de
G à H ? Conjugaison des borels ? des
carters ? des tores maximaux ?
19
FIN DE LA DEMONSTRATION
Les propriétés des centralisateurs
génériques utilisées sont valables quand
G est réductif ; la démo reste valable
quand H n'a pas de sous-gpe normal
nilpotent. Ergo H a toujours un sousgpe déf. résoluble connexe généreux,
qui a lui-même un carter généreux.
20