Feuille d`exercices : Révisions de thermodynamique (PCSI)

Feuille d'exercices : Révisions de thermodynamique (PCSI)
P Colin
4 avril 2017
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Mesure de la constante de Boltzmann
Dans une expérience historique, Jean Perrin a pu observer au microscope la répartition
à l'équilibre de petites sphères de latex de rayon a = 0, 21 µm et de masse volumique
ρ = 1, 2.103 kg.m−3 . Pour diérentes altitudes équidistantes de d = 30 µm, il mesurait à
une température T = 293 K, des concentrations C proportionnelles aux nombres N indiqués dans le tableau ci-dessous.
z en µm
N
5 35 65 95
100 47 23 12
Vérier que ces résultats sontcompatibles
avec une loi statistique de Boltzmann, c'est
mgz
à dire de la forme C(z) = exp − kB T , et en déduire une mesure de la constante de
Boltzmann kB .
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Tube en U
On considère un tube en U de section constante. Il contient un liquide de masse volumique ρ1 = 1, 0 g.cm−3 . On verse d'un seul côté une hauteur de 10 cm d'un autre liquide
de masse volumique ρ2 = 0, 8 g.cm−3 . On suppose les liquides non miscibles.
Quel est l'écart entre les deux surfaces libres de chaque côté du tube ?
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Compresseur à deux étages
Une masse m de gaz parfait de coecient γ subit les transformations réversibles suivantes à partir de l'état 0 (P0 , T0 ) :
• adiabatique jusqu'à l'état 1 (P1 > P0 , T1 ) ;
• isobare de l'état 1 à l'état 2 (P2 = P1 , T2 = T0 ) ;
• adiabatique de l'état 2 à l'état 3 (P3 > P1 , T3 ).
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1. Représenter la suite des transformations en coordonnées de Clapeyron.
2. Exprimer le travail total de compression en fonction de m, M (masse molaire), T0 ,
γ, α =
P3
P0
et x =
P1
P0
γ−1
γ
.
3. Comment choisir P1 pour minimiser ce travail ?
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Méthode de Rückhart pour mesurer
γ
Une enceinte surmontée d'un tuyau vertical de section s est fermée par une bille de
masse m qui peut osciller sans frottement dans le tuyau. L'enceinte contient un gaz parfait,
de coecient γ . Au repos, la pression du gaz est Pe = P0 + mg/s et son volume V0 . Les
oscillations de la bille sont assez rapides et d'assez faible amplitude pour qu'on puisse
considérer les transformations du gaz comme adiabatiques et réversibles.
1. Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour la bille.
2. Déterminer la pulsation ω0 des oscillations en fonction de Pe , V0 , s, m et γ .
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Cycle d'un moteur diesel
Une mole de gaz parfait subit les transformations réversibles suivantes :
• état (1) → état (2) : compression adiabatique
• état (2) → état (3) : dilatation à pression constante
• état (3) → état (4) : Détente adiabatique
• état (4) → état (1) : refroidissement à volume constant
Chaque état est déni par la pression Pi , la température Ti et le volume Vi , i variant
de 1 à 4. On dénit a = V1 /V2 et b = V4 /V3 .
1. Représenter le cycle sur un diagramme de Clapeyron.
2. Donner les expressions de la pression, du volume et de la température pour les états
(2), (3) et (4) en fonction de P1 , V1 , T1 , a et b.
3. Calculer les travaux et énergies thermiques échangés pour toutes les transformations
subies, en précisant notamment le sens des échanges.
4. Proposer une expression pour le rendement η d'un moteur fonctionnant suivant ce
cycle, en fonction des travaux et énergies thermiques échangés.
5. Donner l'expression du rendement η en fonction de γ , a et b.
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