De la Compréhension de l`Unification de l`Électricité et du Magnétisme

De la Compréhension de l’Unification de
l’Électricité et du Magnétisme
DELRUE Jonathan - www.logique-formelle.fr
7 mars 2009
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2
2008-2009
Table des matières
1
Introduction
1.1
1.2
1.3
2
3.2
3.3
4.2
5
Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matériaux magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Typologie de l’aimantation . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Définition des caractéristiques techniques des aimants
3.1.3 Caractéristiques techniques et cycle d’hysétérésis . . .
Magnétisme à l’échelle de l’atome . . . . . . . . . . . . . . .
Point de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.2
5.3
5.4
17
17
18
19
19
20
21
Courant électrique et champ magnétique
4.1.1 Cas d’un conducteur rectiligne . .
4.1.2 Cas d’une spire circulaire . . . . .
4.1.3 Champ d’un solénoïde . . . . . .
Calcul du champ magnétique . . . . . .
4.2.1 Théorème d’Ampère . . . . . . .
4.2.2 Loi de J.B. Biot et de F. Savart .
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Electromagnétisme
5.1
13
13
15
Electricité et magnétisme
4.1
7
7
8
11
Magnétisme
3.1
4
La science et l’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’évolution des idées et l’Unification de la physique . . . . . . . . . . . . . . .
La représentation du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Electricité
2.1
2.2
3
5
23
23
23
23
24
24
25
27
Expérience de Faraday . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Courant induit dans la bobine . . . . . . .
5.1.2 Courbe de la force électromotrice induite :
Loi de l’induction de Michael Faraday . . . . . . .
Loi de Heinrich Lenz . . . . . . . . . . . . . . . .
Courants de Léon Foucault (1819 − 1868) . . . . .
5.4.1 Expérience d’Arago (1756 − 1853) . . . . .
3
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32
33
34
34
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
5.5
6
Auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Force électromotrice auto-induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alternateurs
6.1
6.2
6.3
7
2008-2009
37
L’importance de l’étude géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Générateur simple à courant alternatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Générateur simple à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Annexes
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
35
35
35
39
40
40
41
Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Force électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétique
Remarques sur le champ magnétique terrestre . . . . . . . . .
4
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uniforme
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43
44
45
45
47
Première partie
Introduction
« Être sceptique de cette façon, c’est encore être superficiel. Douter de tout ou tout croire, ce sont
deux solutions également commandes, qui l’une et l’autre nous dispensent de réfléchir » Henri
Poincaré.
5
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
1.1
2008-2009
La science et l’hypothèse
Pour bien des hommes la vérité scientifique à une place absolue dans ce qu’elle tend à être.
Si le support mathématique à pu être, est et sera, mis en doute par la Vérité ; c’est parce que
nous en connaissions alors mal les véritables principes. Et ce sont les générations suivantes
qui perfectionnent l’outil mathématique et qui font évoluer les idées à l’esprit et la vision
de l’Homme quant à l’Univers et toutes ces questions qui viennent nous apostropher, en y
apportant d’époque en époque quelques nouvelles réponses ; tout en faisant naître de nouvelles
lois et théories qui s’imposent conformes ou de mieux en mieux à la pensée du Créateur. Si ces
théories ou conceptions physiques naissent et meurs les unes après les autres au fil des siècles
par des générations qui se moquent de leur précédente ; c’est tout de même en y conservant
une part de Vérité et c’est certainement ainsi que comme à pu dire Isaac Newton on se «juche
sur les épaules des Géants».
Ces vérités que nous nous imposons, nous les imposons à la Nature elle-même. Mais elles
découlent de successions de raisonnements mathématiques irréprochables, ainsi de suite jusqu’a
nous apprendre l’une des pensées de Dieu et savoir quels choix il a fait il y a de ça depuis la
naissance de l’Univers, choix qu’il a établi peut-être en jouant aux Dés et que nous pourrons
vérifier ou observer (parfois) qualitativement par l’expérience en nous donnant quels choix
ont biens pu être établis plutôt que d’autres. Mais les Dés rouleraient toujours ? En parallèle,
l’Hypothèse tient une place importante dans le raisonnement du mathématicien. Par l’emprunt
à l’expérience, on se sera tous posé quant à la Vérité de ce que nous établissons depuis celle-ci.
Certaines hypothèses sont vérifiables, d’autres restes à l’état d’axiomes, et nous fondons la
rigueur de la mathématique formelle depuis ceux-ci, issus de notre Liberté d’Esprit.
De cette Liberté d’Esprit nous avons eu à poser un outil fondateur pour la Science : le
Grandeur, le Nombre ; en comparant tout à celui-ci, la Nature, ce que nos sens perçoivent.
La Grandeur est un cadre où nous voulons tout faire entrer, c’est à manipuler avec extrêmement d’habiliter pour ne pas justement Dénaturer l’essence des phénmènes. Sans habilité de
l’utilisateur, le Nombre devient une concept dangereux, stérile et sans réalité tel l’argent, la
richesse.
Une bonne expérience, c’est pouvoir analyser de multiples conséquences liées issues d’un
phénomène. C’est encore pouvoir généraliser les phénomènes, pour à juste titre les prédire. Les
expériences ne nous donnent que des informtions ponctuelles, le travail de la généralisation
est de les coordonner par simple liaison qui ne passe cepandant pas en chacun de ces points,
d’où le rôle de la science. La généralisation à pour but de corriger l’expérience pour prévoir les
choses.
1.2
L’évolution des idées et l’Unification de la physique
Juché sur les épaules de Nicolas Copernic, I. Newton a unifié la Gravité Terrestre et la
Gravité Célèste, juché sur celles de André-Marie Ampère et de Michael Faraday entre autres,
James Clerck Maxwell a unifié les théories d’électricité et de magnétisme au 19eme siècle pour les
faire découler d’une seule : l’Électromagnétisme basée sur quatre équations, juché sur celles de
Maxwell, d’Henri Poincaré (et j’en passe), Albert Einstein mis au point de nouvelles Vérités :
les théories Restreinte en 1905 puis Généralisée dix ans plus tard de la Relativité et avec
l’accord de Dieu nous apprenions par exemple de l’équivalence masse-énergie ; d’une existence
et de la déformation de l’espace-temps ; de la juste banalité de la dilatation du temps, tant
7
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
encore.
L’unification de la physique a toujours été un ultime but, depuis 200 ans les théories se
veulent se simplifier ; s’unifier. Après Maxwell un grande unification a été celle de réunir l’interaction nucléaire faible et l’électromagnétisme sous l’interaction électrofaible au 20eme siècle
par Sheldon Glashow, Steven Weinberg et Abdus Salam. Le modèle standard tente de l’unir
à la force nucléaire forte. Ensuite, l’unification veut se faire à toutes les interactions ; c’est la
supersymétrie ; mais la Relativité Générale et la Mécanique Quantique ne sont pas en accords,
la première traite de la matière à l’échelle de l’univers et de la déformation de l’espace-temps,
l’autre de la matière à l’échelle de l’infiniement petit : les particules élémentaires (que les accélérateurs de particules traquent), et jusqu’a aujourd’hui il y a des disparités. La quète de la
physique continue, pour aujoud’hui unifier ce que sont ou en partie la Relativité Générale &
la Mécanique Quantique.
1.3
La représentation du champ
On imagine facilement le champ de force gravitationnel entourent un objet massique (comme
celui du Soleil qui provoque la révolution des autres planètes de son sytème autour de lui).
On se représente le champ électrique d’un corps ayant une charge non nulle d’une manière
analogue.
Faraday fut l’un des premiers à introduire la représentation du champ par des lignes. En
tout point de l’espace le champ est dirigée vers la tangeante à la ligne de force en ce point.
champ électrique
Les lignes de champ électrique divergent d’une charge et s’écarte avec l’éloigement de celleci. Si la charge est positive le champ est dirigé ver l’extérieur de la charge, si elle est négative
il est dirigé vers la charge.
Les lignes de champs du champ électrique diminuent d’intensité avec le carré de la distance.
Le fait que les lignes de champs ne se referment pas exprime le fait que l’on a une charge.
champ magnétique
Les lignes de champ magnétique d’un aimant partent du pôle Nord vers le pôle Sud, c’est
aussi pour cela que les charges magnétiques n’existent pas.
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De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
Quelques lignes de champ magnétique d’un aimant droit :
9
2008-2009
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
10
2008-2009
Deuxième partie
Electricité
« Une question sans réponse est une question mal posée » Albert Einstein.
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De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
On aborde ici quelque notions d’électricité avec la loi de Coulomb et le théorème de Gauss
qui pourront nous être utile par la suite ; avec la loi de Faraday.
2.1
Loi de Coulomb
Coulomb remarqua que le force de répulsion de 2 corps chargés avec le même type (charges
positives ou négatives) se repoussent et qu’elle est inversement propotionnel à la distance d
d’éloignements de ces corps.
1
d2
On peut remarquer la ressemble avec la force d’interaction gravitationnelle.
On peut considérer un corps massique de masse uniformément répartie dans son volume
tel qu’un point positionné au centre de gravité affecté de la masse du corps, de même un
corps chargé uniformément dans son volume peut être considéré comme une charge ponctuelle
située au centre de gravité affecté de la charge totale du corps. Coulomb remarqua aussi qu’en
divisant par un facteur disons β l’une de 2 charges électriques en interactions alors cette force
était aussi divisé par ce facteur.
FE ∝
Loi 1 (de Coulomb) Concernant la force électrique :
|q1 q2 |
d2
k est une constante qui caractérise le milieu où se fait l’interaction, dans le vide k =
8, 98 · 109 N · m2
q1 et q2 sont les 2 charges en interactions (C).
d la distance entre les 2 charges ponctuelles (m).
Concernant le champ électrique :
Le Champ électostatique E[N/C] dans l’espace et le quotient de la force F [N ] subit par une
charge q[C] par la valeur de cette charge.
FE = k ·
E=
F
q
(1)
La tengeante à une ligne de force dans l’espace est dans le sens du champ E.
E =k·
2.2
1
q
q
=
· 2
2
r
4πε r
(2)
Théorème de Gauss
On a pu facilement calculer le champ électrique que génère une charge électrique avec la loi
de Coulomb, pour des situations assez simples. Il est une autre méthode d’utiliser le théorème
de Gauss avec le flux électrique.
On définit le flux électrique ΦE sur une surface élémentaire S 0 , à l’aide de la représentation
du champ, comme le nombre de vecteur champ par projection orthogonale à une surface par
→
− →
−
unité de surface. En projetant par la trigonométrie, Φe = eS 0 cos (θ) = e⊥ S 0 avec θ = ( E ; S ).
13
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
Le flux électrique ΦE à travers une
P surface
PS est0 la somme des contributions du flux sur
ses surfaces élémentaires, d’où ΦE =
Φe =
e⊥ S
Z
Z
→
− →
−
0
S → 0 =⇒ ΦE =
E · dS =
E⊥ · dS
(3)
S
S
L’équation (3) définit le flux électrique à travers une surface. La signification physique du
flux de fluide, par exemple, est la quantité de volume qui transite par unité de temps à travers
une surface. La notion de flux électrique n’a pas la même signification (en physique classique)
car il peut exister à travers une surface alors même que les charges électriques ne sont pas en
mouvement, le flux électrique est alors statique et existant. Le flux représente ici l’intensité du
champ électrique. Et avec une vision simpliste du monde, c’est le quantité de vecteur champ
qui traverse une surface.
Quand on intègre le flux sur une surface fermée (une sphère par exemple) on note alors le
flux avec la notation d’intégrale curviligne :
I
I
→
− →
−
E · dS =
E⊥ · dS
(4)
ΦE =
S
S
Considérons une sphère de surface S et de rayon r centrée sur une charge électrique q. Le
champ E est constant à travers la sphère donc on peut noter :
I
I
ΦE =
E⊥ · dS = E dS
S
S
La somme des aires élémentaires de la sphère de surface S est telle que S = 4πr2 .
On sait avec le loi de Coulomb qu’une charge ponctuelle q produit un champ électrique E
q
q
à une distance r et dans un milieu de permittivité ε telle que E = 4πε·r
2 , il vient ΦE = ε ou
plus généralement :
P
q
ΦE =
(5)
ε
L’équation (5) donne la grandeur du flux de champ électrique à l’intérieur de la surface
fermée délimitée par la sphère dans les conditions de charges électriques et de permittivité
données.
Théorème 1 (de Gauss) Le théorème de Gauss est en faite plus générale que la loi de Coulomb et peut donc s’énnoncer ainsi :
P
I
→
− →
−
q
E · dS =
ε
S
Le théorème est utilisable que les charges soit immobiles ou en mouvements à l’intérieur
d’une surface fermée, et quelques soit la surface fermée d’origine puisque l’on peut la rapporter
à une sphère par projection.
14
Troisième partie
Magnétisme
« La vérité recule, mais le savant avance » Henri Poincaré.
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De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
Le magnétisme est la capacité de corps à s’attirer ou à se repousser par des champs magnétiques, et ces champs créés des électrons dans des conducteurs électriques quand ils sont
relativement en mouvement.
L’unité caractérisant le champ magnétique est le Tesla (T ) en hommage aux contributions
importantes du physicien Nikola Tesla (1856 - 1943). Le champ magnétique existant en un
point dans un milieu est le produit de la perméabilité magnétique du milieu par la somme de
l’excitation magnétique et de l’intensité magnétique qui y règne.
3.1
Matériaux magnétique
Aimant en ferrite :
La férrite est de la famille des céramiques. Par sa disponibilité en quantité importante,
son coût est relativement à d’autres peu coûeux. Le champ magnétique du matériaux est
orienté, préssé, et fritté à haute tempéraure. La direction de l’aimantation est déterminée lors
des procédés de fabrication (direction dite anisotrope). Les qualités du matériaux ferrite est
l’inoyxdation, et ne se modifie pas avec la pression atmosphérique. Utilisation efficace plus ou
moins jusqu’a 250˚.
Aimant en néodyme NdFeB :
Le néodyme est de la famille des terres rares. On obtient ces aimants par compression de
poudre d’alliage dans un champ magnétique, puis par frittage à chaud. Performances décrus
avec la corrosion et les tempértures supérieurs à 180˚, mais peuvent cepandant reçevoir un
traitement pour des utilisations spécifiques.
Aimant en alcalino :
C’est un alliage ; d’aluminium, cobalt, cuivre, fer, nickel, titane, et coulé à haute température. L’aimantation se réalise dans le direction de la plus grande longueur du volume coulé.
Resiste à des tempértures de −270˚ à 450˚.
Aimant en samarium cobalt SmCo :
Comme le nodyme, le samarium cobalt fait partie des terres rares. De même, ces aimants
sont obtenus par la compression de pourdre d’alliage dans un champ magnétique, puis par
frittage à chaud. Utilisation jusqu’a 300˚.
3.1.1
Typologie de l’aimantation
Selon les différentes utilisation des aimants, il est possible dans leurs constructions de
privilégier une orientation. Cette orientation des pôles magnétiques, et de la forme de l’aimant
sont très importantes dans le cas des alternateurs.
17
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
3.1.2
2008-2009
Définition des caractéristiques techniques des aimants
Anisotrope - Isotrope : Les matériaux anisotrope peuvent être magnétisé que dans la direction d’aimantation donnée, alors que ceux istrope peuvent l’être dans toutes les directions.
Cepandant la rémanance (Br) d’un matériaux anisotrope est deux fois plus importante dans
sa direction priviligiée que dans celle donnée à l’aimant istrope.
Coercivité normale HcB [A/m] : Valeur correspondant au point de fonctionnement, dans le
cycle d’hystérésis de l’aimant, où il ne peut plus fournir d’énergie magnétique. C’est le champ
magnétique nécéssaire pour annuler l’aimantation de l’aimant.
Coercivité intrincèque HcJ [A/m] : Champ nécéssaire pour détruire la polarisation de l’aimant, cela caractérise aussi la capacité d’un aimant à conserver son aimantation.
Démagnétisation : On insère dans un espace clos l’aimant qui subit une excitation magnétique +H qui le sature, à saturation on le change le champ en −H, ce qui le démagnétise.
Densité maximale d’énergie B · Hmax : Densité maximale d’énergie que peu fournir un aimant. C’est une indication sur les performances de l’aimant. B[T ] est l’induction magnétique
en Tesla. Hmax est l’excitation magnétique maximale.
Excitation magnétique H[A/m] : Elle caractérise le champ magnétique, donné dans la relation : B = µ(H + M ), M étant l’intensité de l’aimantation en A/m et µ est la perméabilité
magnétique du millieu.
Rémanance Br : Induction magnétique rémanante. Cette grandeur correspond à la capacité
d’aimantation en l’absence d’excitation magnétique extérieure (H=0).
18
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
3.1.3
2008-2009
Caractéristiques techniques et cycle d’hysétérésis
On peut résumer les caractéristiques d’un aimant par son cycle d’hystérésis, cela montre
l’augmentation de son aimantation lorsqu’il subit une excitation magnétique en [A/m].
Cycle d’hystérésis d’un aimant anisotrope
3.2
Magnétisme à l’échelle de l’atome
Les charges électriques en mouvement produisent des forces magnétiques, si un circuit fermé
est sous l’influence du champ magnétique des charges alors il se forme un courant induit dans
celui-ci.
L’électron ayant une moment cinétique intrinsèque (ou «spin» : tourner en anglais), c’est
une charge en mouvement sur elle même, ce mouvement fait de l’atome un dîpole au niveau
subatomique. Le mouvement orbital de l’électron autour d’un atome produit un champ magnétique.
• Si les électrons s’associent en paire au sein de l’atome ou de la molécule et leurs mouvement globale est de sens opposé de sorte que le moment magnétique de l’atome ou de la
molécule soit nul (Faraday observa se phénomène en 1845 qu’il appela diamagnétisme).
Alors les électrons sont soumis à un champ magnétique, leurs moment cinétique est donc
modifié. Il y a un mouvement supplémentaire qui s’oppose au champ d’origine. On observe
donc le diamagnétisme dans toutes substances, et on peut s’en rendre compte expérimentalement si le milieu n’est pas soumis à un autre champ magnétique plus important, qui
négligerait alors le diamagnétisme.
• Si l’atome à un nombre total d’électron impaire, il produit alors sont propre champ
magnétique, c’est un dipôle. Ces substances sont dites paramagnétiques. C’est le cas de
l’aluminium, l’oxègène, le sodiaum, uranium etc, si on les place près dans un champ
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De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
magnétique alors les substances paramagnétiques s’aimantent et ils s’en approchent (ce
qui n’est pas le cas avec les diamagnétique), c’est le paramagnétisme.
• Le troisième (plus) important type de magnétisme est le ferromagnétisme. Le fer, cobalt, nickel, magnétite et d’autres encore sont ferromagnétiques à température ambiante.
D’autres deviennent ferromagnétique à base température. Les dipôles magnétiques de ces
atomes ont une interaction à grande distance, qui les aligne à grande échelle.
Les dipôles d’un atome interagit avec ceux des atomes voisins, ce qui leurs donne une
orientation commune, ces substances peuvent s’aimenter facilement sous l’influence d’un
champ magnétique et devenir eux-même des aimants (que l’on qualifiera de permanent).
3.3
Point de Curie
Si on chauffe un aimant jusqu’a la température critique de sa matière, les atomes vibrent et
finissent par s’orienter au "hasard", en respectant aucune règle. Pierre Curie à découvert que les
substances ferromagnétiques chauffés au-delà d’une température limite que l’on appèle aujourd’hui température ou point de Curie disparaissait en laissant la matière paramagnétique. Il
est d’ailleurs connu que le fer chauffé jusqu’a ce que sa coloration rouge perd son aimantation.
En 1894, Pierre Curie à déterminé la température critique du fer qu’il donne à 770˚C, pour
le magnétite (F e3 O4 ) c’est 575˚C. Il est intéréssant de remarquer que cette température est
inférieure au point de fusion du matériaux.
Matériaux magnétique
Néodyme Fer Bore
Ferrite
Samarium Cobalt
Alnico
20
Point de Curie en ˚C
310
450
775
860
Quatrième partie
Electricité et magnétisme
« Le commencement de toutes sciences, c’est l’étonnement de ce que les choses sont ce qu’elles sont »
Aristote.
21
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
4.1
4.1.1
2008-2009
Courant électrique et champ magnétique
Cas d’un conducteur rectiligne
Un conducteur filiforme et rectiligne produit traversé par un courant I produit un champ
magnétique B cyclindrique dans l’espace à 3 et 4 dimensions axé sur ce fil. Le champ magnétique
à des points équidistants de r d’un du fil à la même valeur. Une expérience en 1820 de JeanBatiste Biot et Félix Savart à montré que :
I
(6)
r
Pour transformer cette proportionnalité en équalité il faut homogénéiser les deux membres
en insérant une constante de proportionnalité. Dans le S.I. rationalisé il faut faire apparaître le
1
pour l’expression du champ, champ magnétique qui est ici circulaire dans le plan. On
facteur 2π
a aussi remarqué que le champ magnétique dépendait de la perméabilité magnétique1 (notée
µ d’unité T · m · A−1 par homogenéisation) du milieu dans lequel est le système aimant-fil. Les
µ
.
physiciens ont donc par habitude introduit le facteur de proportionalité 2π
On arrive finalement à l’équation suivante, qui est en accord avec les expériences :
B∝
µ I
·
2π r
B=
4.1.2
(7)
Cas d’une spire circulaire
Au centre d’une spire circulaire : (R le rayon de la spire)
B=
µ·I
2R
(8)
Au centre d’une bobine :
B=N·
4.1.3
µ·I
2R
(9)
Champ d’un solénoïde
Le terme vient du grec "solen" signifiant "tube" en français. En effet un solénoïde idéal est
considéré de longeur infinie, l’impossibilité matérielle de réaliser un solénoïde pour satisfaire
les calculs de champ et la mesure, fait qu’il faudrait mieux considérer les équations du calcul
du champ magnétique d’un fil enroulé circulairement tel un solénoïde si sa longueur L est au
moins dix fois plus grande que son diamètre, pour limiter l’erreur entre la prédiction et la
réalité. plus on se rapproche des bords du solénoïde, plus le champ magnétique y raignant est
s’faiblit.
Le champ magnétique B à l’intérieur du solénoïde est propotionnel à l’intensité du courant
I le traversant, ainsi qu’on nombre de spire N qu’il comporte. Il en est d’autant plus important
que le nombre de spire par mètre n = NL l’est aussi.
B ∝ nI
1
dans le vide la perméabilité magnétique est µ0 = 4π · 10−7 T · m · A−1
23
(10)
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
Le perméabilité magnétique du milieu (noté µ) dans lequel existe le système considéré est
un facteur d’importance. On détermine le champ axial d’un solénoïde :
B ≈ µnI
(11)
A l’extrémité du solénoïde :
B=
4.2
4.2.1
1
· µnI
2
(12)
Calcul du champ magnétique
Théorème d’Ampère
La formule déterminée expérimentalement pour calculer le champ magnétique créé par un
courant traversant un fil rectiligne s’est avéré juste, par la prédiction d’un champ magnétique
dans les conditions de la perméabilité magnétique existente, l’intensité du courant traverant le
fil et la distance à laquelle on veut évaluer le champ magnétique. On pourra de ce fait, l’utiliser
pour arriver jusqu’a une loi plus générale pour la géométrie simple (fil rectiligne et champ
magnétique circulaire dans le plan) : la loi d’Ampère.
Au dix-neuvième siècle, on parlait de charge magnétique qm . Comme pour la force subit
par une charge dans un champ électrique (loi de Coulomb), on reprend un énnoncé similaire :
F m = qm · B
(13)
Le charge magnétique qm est considéré comme un monopôle magnétique et on l’imagine se
déplacer d’une trajectoire circulaire de rayon R autour d’un fil rectiligne. Le travail infinitésimal
de la force magnétique sur les éléments ∆l de sa trajectoire est le produit de ce déplacement
−→ →
−
par la force magnétique Fm exercée. Dans le cas d’un conducteur rectiligne FM ⊥ B .
∆W = qm · Fm · ∆l
Le travail total est ensuite :
W =
X
qm · Fm · ∆l
(14)
qm et B ne varient pas ;
W = qm · F m ·
X
∆l
W = qm · B · 2πR
Fm = B
(7) ⇒ W = qm ·
µI
· //////
2πR
//////
2πR
W = qm µI
(14) ∧ (15) ⇐⇒
X
24
Fm · ∆l = µI
(15)
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
On remarque que la charge magnétique Fm hypothétique que douter de l’existence réelle les
physiciens d’autrefois à disparus, en faite, cette charge n’a jamais été observé. C’est en faite
que les charges magnétiques n’existent pas.
La sommation doit être faite à tous les éléments
∆l entourant le fil traversé d’un courant
P
I. Chaque portion de longeur ∆l contribue à
Fm ∆l. On peut alors noter :
X
X
Fm ∆l = µ
I
ou encore :
X
B∆l = µ
X
I
(16)
B est le champ magnétique total dont la sommation doit être étendue à tous les éléments
∆l.
I
∆l → 0 : (16) ⇐⇒
B · dl = µ
X
I
(17)
Voici donc le théorème d’Ampère tel qu’il a pu être donné :
Théorème 2 (d’Ampère)
I
X
−
→
− →
B ·d l =µ
I
H
B : intégrale fermée ; vecteur champ magnétique à travers la surface



dl : longeur du conducteur (m)
µ : perméabilité magnétique du milieu


P
I : somme des courants traversant le conducteur (A)
4.2.2
Loi de J.B. Biot et de F. Savart
La loi de Jean-Batiste Biot et de François Savart permet de calculer en magnétostatique
une champ magnétique en un point donné dans un espace où un courant est distribué.
On considère un élement dl (orienté dans le sens de circulation du courant) au point P
étant parcouru par un courant I. On veut calculer le champ magnétique au point M séparé
d’une distance r de P . Soit uP M le vecteur unitaire parallèle à (P M ).
Illustration symbolique :
25
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
Loi 2 (de Biot et Savart) La loi de Biot et Savart donne que l’élement dB de champ magnétique créé depuis P par l’élement dl, au point M est :
µIdl ∧ uP M
4πr2
Les champs magnétiques pouvant se superposer, on peut aussi noter :
Z
µIdl ∧ uP M
B=
4πr2
circuit
dB =
26
Cinquième partie
Electromagnétisme
« Gott würfelt nicht ! » Albert Einstein.
27
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
Qu’est ce que c’est ? Il a été établi que l’électricité engendre le magnétisme. Comme une
charge électrise un corps proche par influence, et un aimant magnétisme du fer par induction ;
il été concevable que le magnétisme puisse produire l’électricité comme un courant électrique
d’un circuit fermé induise un autre courant dans un autre circuit fermé à sa proximité.
En 1821, A.M. Ampère observa le phénomène d’induction électromagnétique, dix ans plus
tard, M. Faraday su l’interpréter.
5.1
Expérience de Faraday
L’expérience historique : Faraday disposait de deux bobines de fil conducteur enroulée autour d’un morceau de bois en forme de tore. L’une est branchée sur un générateur (plusieurs
dixaines de piles à l’époque) lié ou coupé par un interupteur. L’autre bobine était branché sur
une galvanomètre. M. faraday remarqua un bref phénomène : dans l’instant où l’interupteur
ouvert se ferme, ou celui où l’interupteur fermé s’ouvre ; l’aiguille du galvanomètre dévie dans
un sens ou dans l’autre (par rapport au 0A). Il était devenu incontestable qu’un champ magnétique variable (il y a une variation de l’ampérage quand on ouvre ou ferme le circuit avec
l’interupteur) pouvait induire un courant électrique dans un proche circuit.
L’expérience refaite au laboratoire du lycée :
On dispose d’une bobine électrique, d’un aimant, d’un galvanomètre. La bobine fait un
circuit fermé avec le galvanomètre. Lorsque l’on met en mouvement l’aimant le galvanomètre
décèle le courant induit dans la bobine et nous l’indique par une déviation de l’aiguille.
On a pu aussi faire quelques remarques qualitatives concernant le phénomène via cette
expérience, et sont traduites mathématiquement dans les lois et théorèmes que nous aborderons
plus loin :
• concernant la géométrie de la bobine (presque cyclindique), un mouvement transeversal
de l’aimant à travers la bobine génère un courant bien plus important que lorsque l’aimant
tourne à l’intérieur de la bobine autour de l’axe centrale et bien plus encore que quand
l’aimant garde ce mouvement à l’extérieur de celle-ci. On interprète se résultat, par la
notion de flux magnétique à travers la surface de la bobine et de ligne de champ coupé
par cette bobine ;
• plus le mouvement de l’aimant est rapide dans le référentiel lié à la bobine, plus le courant
induit dans la bobine est important ;
• en comparant avec deux aimants, l’un plus «puissant» que l’autre, on vient à remarquer
que plus le champ magnétique généré par l’aimant est important, plus le courant induit
dans la bobine l’est ;
• l’aiguille du galvanomètre dévie du zéro d’un côté ou de l’autre selon si le pôle sud ou le
pôle nord de l’aimant s’approche ou s’éloigne en premier de la bobine électrique.
29
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
5.1.1
2008-2009
Courant induit dans la bobine
Approche du pôle Nord de l’aimant
1 - Vitesse nulle de l’aimant, variation nulle
du flux magnétique ;
Rapproche du pôle Sud de l’aimant
4 - on change le sens du mouvement de
translation, l’aiguille du galvanomètre
dévie de l’autre sens ;
2 - le pôle Nord s’approche de la bobine
électrique, avant le pôle Sud ; un courant
est décelé par le galvanomètre ;
5 - le courant croît encore d’intensité ;
3 - en gardant la vitesse de translation, un
courant maximal est décelé lorsque le ;
centre de l’aimant arrive à celui de la bobine
6 - le courant induit atteint encore
une valeur maximale
30
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
5.1.2
2008-2009
Courbe de la force électromotrice induite :
On reprend un dispositif semblable au précédent :
Dispositif (on remplace dans la manipulation précédente le galvanomètre par l’oscilloscope) :
bobine reliée à un oscilloscope, l’aimant aura un mouvement de translation dans l’axe passant
par le centre de la bobine.
Configuration de l’oscilloscope :
abscisse : 0, 5ms/Division, ordonnée : 10mV /Division
31
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
Courbe de la force électromotrice(V ) induite par la variation du flux magnétique (ΦM ), en
fonction du temps (l’aimant à un mouvement de translation et une vitesse en fonction du
temps) :
période de la fonction : T = 3Divisions = 1, 5ms ; fréquence : f = 1/T = 32 kHz ≈ 667Hz
Le sommet de la courbe est atteint lorsque le pôle sud de l’aimant arrive au centre de la
bobine en s’approchant
5.2
Loi de l’induction de Michael Faraday
L’induction électromagnétique dépend de la variation du flux magnétique Φm . La tension
créé par le courant généré par la variation est appelé force électromotrice (f.é.m.) notée E.
L’amplitude de la f.é.m. est d’autant plus grande que l’aimant se déplace vite dans le
référentiel du circuit (bobine). Si v = 0m/s ⇔ E = OV . Si le circuit est soumis à un champ
magnétique B constant et uniforme, alors plus il y a de plus grandes spires, plus la f.é.m est
importante. Plus la surface d’une spire est perpendiculaire aux lignes de champ magnétique,
plus le f.é.m. est importante. Si une spire est parallèle au champ B alors la f.é.m est nulle. La
f.é.m est proportionnelle à l’aire de la spire par sa projection sur un plan perpendiculaire qui
est traversée par le champ magnétique.
32
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
Exemple : un anneau de rayon R formant un angle θ avec un plan perpendiculaire au champ
qui le traverse se projette en une ellipse. Le rayon R se projette en R·cos(θ), l’anneau de surface
S = πR2 se projette en S⊥ = π(R · cos(θ)) · R = S cos(θ).
On définit le flux de vecteur de champ magnétique sur une surface par :
ΦM = B⊥ S = BS⊥ = BS cos(θ)
(18)
Plus généralement :
Z
B · dS
ΦM =
(19)
S
Loi 3 (Loi de Faraday) La variation temporelle du flux magnétique induit une f.é.m. dans
un circuit qui le décèle et a pour valeur :
E =−
dΦM
dt
(20)
(Le signe «−» se justifiera par la loi de Heinrich Lenz).
Un champ magnétique variable est aussi toujours accompagné d’un champ électrique, on
arrive ensuite ;
I
Z
→
− →
−
d
dΦM
= E · dl = −
B · dA
(21)
−
dt
dt


E : le champ électrique en N/C



dl : longeur du conducteur en m

B : champ magnétique en T


−
→
−

→
A : potentiel-vecteur dont dérive B
La tension moyenne est l’opposée de la dérivée de la variation du champ magnétique par
M
unité de temps : Emoyenne = − ∆Φ
.
dt
Une bobine circulaire formé de N tours, peut être le siège d’un f.é.m. induite qui se note :
E = −N
dΦM
dt
(22)
Chaque tour est le siège d’une f.é.m. et sont en séries.
5.3
Loi de Heinrich Lenz
Loi 4 la variation du flux magnétique du milieu dans lequel est un circuit, lui induit une f.é.m.
qui s’oppose à la cause qui la crée (car il y un courant dans la bobine qui génère un champ
magnétique).
33
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
5.4
2008-2009
Courants de Léon Foucault (1819 − 1868)
Si un conducteur étendu sur une surface se déplace dans un milieu où le champ magnétique
n’est pas constant et uniforme, ou si des endroits de ce conducteur se déplacent à des vitesses
différentes que d’autres par rapport au champ magnétique considéré ; alors en vertu de la loi
de Faraday une f.é.m. en est induite, des courants sont donc produits dans le conducteur, ce
dernier étant un circuit fermé, les courants se déplaçent en boucle. Ce sont les courants de
Léon Foucault. En vertu de la loi de Faraday-Lenz, le champ magnétique crée autour du disque
s’oppoe à celui dans lequel le système baigne et s’oppose au mouvement du conducteur. Le
f.é.m. tente à annuler le mouvement du disque.
5.4.1
Expérience d’Arago (1756 − 1853)
L’astronome et physicien François Arago à conçu un dispositif simple pour déceler les courants de Foucault, effet de l’induction électromagnétique. Sur Terre nous sommes soumis au
champ magnétique de la planète. Arago installa un disque de cuivre juste en dessous d’une
boussole. Lorsque la disque n’est pas entraîné par un quelconque mouvement relatif au référentiel terrestre dont la boussole est aussi solidaire, alors elle s’aligne dans la direction Nord-Sud
du champ magnétique terrestre. Quand le disque tourne, l’aiguille dévie.
Dispositif Disque-Boussole sous l’influence du champ magnétique terrestre :
Orientation de la boussole lorsque le disque de cuivre est immobile avec le reste du dispositif
Terre-Boussole :
Lorsque l’on fait tourner le disque dans un sens ou dans un opposé (plan horizontal), l’aiguille
dévie la direction du champ magnétique terrestre d’un côté ou de l’autre dans ce même plan :
34
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
5.5
5.5.1
2008-2009
Auto-induction
Inductance
L’inductance ou auto-inductance L, en Henry (H), d’un circuit est une constante de proportionalité traduisant des plusieurs informations physique d’un système étudié. Elle dépend
de la taille et de la forme du conducteur, de la perméabilité magnétique du milieu ; de l’intensité du courant qui le traverse et du flux magnétique. Une bobine traversé par un flux de 1W
lorsqu’elle conduit un courant de 1A, a une auto-inductance de 1H.
L=
N ΦM
I
(23)
avec N le nombre de spire de la bobine, ΦM le flux magnétique et I le courant qui circule
dans le bobine.
Inductance du solénoïde : considérons un solénoïde de longeur l avec n = Nl spires par mètre,
de section S et traversé par un courant I. A l’intérieur du solénoïde le champ magnétique B peut
être considéré constant ; B ≈ µnI. On peut alors obtenir une estimation de l’auto-inductance
L (surestimée) :
L≈
N BS
N 2 µS
N ΦM
=
=
I
I
l
(24)
Le flux magnétique à travers une bobine est N ΦM (avec N le nombre de tours), et est
proportionel à l’intensité du courant qu’elle fait circuler.
5.5.2
Force électromotrice auto-induite
On peut se rappeler de la loi d’induction de Faraday concernant l’auto-inductance, qui crée
une force électromotrice auto-induite. Avec (23), la f.é.m auto-induite moyenne vient :
(Eai )moyenne = −N
N ΦM
∆I
= −L
∆t
∆t
(25)
(25) est considérable si l’auto-inductance L est constante de sorte que : ∆(LI) = L∆I.
35
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
Théorème 3 (Force électromotrice auto-induite) Soit Eai le force électromotrice autoinduite.
On peut généraliser l’équation (25), ainsi ;
dI
dt
Le f.é.m auto-induite est proportionelle à la variation temporelle du flux magnétique crée
par le courant, à travers la bobine.
∆t → 0 ⇐⇒ Eai = −L
Une auto-inductance de 1H produit une f.é.m. de 1V quand la variation du courant dans
le conducteur est de 1A/s.
Si l’intensité du courant dans un conducteur augmente, alors le flux magnétique augmente
et le champ magnétique crée par ce courant s’oppose à l’augmentation du courant qui lui a
donner lieu d’être, d’après la loi de Lenz.
36
Sixième partie
Alternateurs
« L’autorité d’un seul homme compétent, qui donne de bonnes raisons et des preuves certaines, vaut
mieux que le consentement unanime de ceux qui n’y comprennent rien » Galileo Galilei.
37
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
6.1
2008-2009
L’importance de l’étude géométrique
Il est d’une importance primaire d’étudier la géométrie des lignes de champs d’un aimant
au sein d’un alternateur et de son fonctionnement. Par exemple, si on fait tourner un aimant
droit dans une bobine (1), il y aura un flux magnétique beaucoup plus faible que dans le cas
(2) ou l’aimant traverse la bobine par la longeur.
Selon le fonctionnement d’alternateur qu’il faut, la typologie de l’aimantation va avoir
un rôle très important. En terme de ligne de champ de l’aimant, plus le nombre de lignes
de champs qui traversent la bobine varie, plus la tension crée est importante. Si le système
veut que l’aimant tourne de la manière de (1), alors un aimant multipolaire axiale sera plus
performant(voir illustration ci-dessous) parce qu’il créera une variation du flux magnétique
plus importante pour un mouvement équivalent :
39
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
6.2
2008-2009
Générateur simple à courant alternatif
Les générateurs fonctionnent, lorsqu’un mouvement relatif entre aimant/bobine existe. On
a alors le choix de faire varier le champ magnétique à travers la bobine ou de faire varier la
surface par projection orthogonale au champ.
On considère une bobine rectangulaire de longeur L et de largeur l(un fil plié) pouvant
être en mouvement autour d’un axe passant par le centre de l , dans un champ magnétique B
constant et uniforme.
Par projection v⊥ = v · sin (θ) par rapport au champ B dans les côtés et E = v⊥ LB =
Lbv · sin (θ)
Dès que θ > 180˚ le sens de la f.é.m s’inverse, on a une tension alternative. Si une bobine
à N spires, la f.é.m. totale est E = 2N Lbv · sin (θ).
On pose : v = r · ω (r = 2l le rayon, ω la vitesse angulaire). La vitesse angulaire étant
constante θ = ωt. Soit S la surface de la bobine tel que S = Ll.
Lv = Lrω = L 2l ω = 12 Sω
E = 2N Blv sin (θ) ⇐⇒ E = N BSω sin (θ) = N BSω sin (ωt) ;
= N BSω · sin (ωt)
ou avec la loi de Faraday : φ(t) = N BS cos (ωt =⇒ E = − dφ
dt
(la fréquence f en Hz est telle que f =
6.3
1
T
=
2π
)
ω
Générateur simple à courant continu
On peut avoir besoin de courant continu. À l’originie il est créé avec une tension alternative.
On plus ou moins uniformiser la polarité de la tension alternative pour avoir une tension
continue avec des commutateur, pont de diode puis un condensteur pour lisser la tension.
L’effet de garder toujours positive la tension se dit de la redresser.
40
Septième partie
Annexes
« Combien il est contraire au dessein de Dieu que la vérité de sa religion soit aussi évidente et claire
pour tous les hommes qu’une démonstration mathématique » Isaac Newton.
41
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
7.1
2008-2009
Force de Laplace
La force de Laplace est la force qu’un conducteur subit lorsqu’il est dans un champ magnétique et qu’il est traversé par un courant électrique.
Le conducteur est ici en orbite terrestre (ionosphère), la Terre qui est source de champ
magnétique y induit un courant électrique car le conducteur échange des électrons avec le
plasma de la ionosphère et ferme le circuit.
43
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
On peut noter la force F de Laplace tel que :
→
− →
→
−
−
F =I l ∧B
7.2
(26)
Force de Lorentz
La force de Lorentz est une force microscopique qui se fait sur les charges électriques. Elle
peut se noter :
→
−
→
−
−
F = q→
v ∧B
44
(27)
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
7.3
2008-2009
Force électromagnétique
La force électromagnétique est la somme des forces de Lorentz de de la force électrique.
C’est à dire que c’est la force qu’il s’exerce sur une particule chargée qui est en mouvement
dans un champ magnétique plus la force qui la met en mouvement depuis le champ électrique
qui y règne, elle peut se noter :
→
−
−
F = q(E + →
v ∧ B)
7.4
(28)
Trajectoire d’une particule chargée dans un champ
magnétique uniforme
Une particule P de masse m possède une charge q. Lorsqu’elle pénètre dans un champ
−→ ~
−→
magnétique B, Fm ⊥B
et Fm ⊥~v :
45
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
La charge ayant une vitesse v non nulle, et étant dans un champ magnétique B uniforme
entre les deux pôles magnétiques, sa trajectoire décrit un cercle de rayon R. La force magnétique
Fm qu’elle subit est, en faite, une force centripète Fc de centre C sur l’illustration suivante.
Fc = Fm =
mv 2
R
(29)
~ ⇐⇒ θ = (~v ; B)
~ = π rad, il
D’après la l’équation de la force de Laplace et sachant que ~v ⊥B
2
vient donc :
qvB =
mv 2
R
mv
(30)
qB
Remarque : concernant les accélérateurs de particules, on essai de faire des collisions de
particules à des vitesses très importantes (on augmente alors la masse des particules et aussi
l’énergie par équivalence) pour provoquer un mini big-bang et trouver par exemple de nouvelles
R=
46
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
particules comme le boson de Higgs qui théoriquement à donné la masse aux particules n’en
ayant pas et étant isolé (électron, photon), son existence théorique à sauvé le modèle standart
de l’atome (théorie quantique des champs). C’est pour ces ordres de vitesse et de masse que
les accélérateurs de particules sont relativement grand (le LHC est un anneau de 27km de
circonférence).
7.5
Remarques sur le champ magnétique terrestre
A grande échelle, le champ magnétique est appelé accélérateur cosmique de particule. Ils
peuvent produire des rayons X et des aurores polaires.
Le Soleil bombarde la Terre de rayon cosmique et de vent solaire qui rencontrent le champ
magnétique terrestre. Certains rayons sont déviés de la Terre, d’autres qui ont une vitesse dont
la composante est dans la direction du champ magnétique décrivent une trajectoire en spirale.
De ceux qui ne sont pas déviés, certain sont cernés entre les pôles géomagnétiques nord et
sud de la Terre, ils forment ce que l’on appèle la ceinture de Van Allen (voir illustration
ci-dessous).
47
De la compréhension de l’unification de l’électricité et du magnétisme
2008-2009
La ceinture intérieure (3 500km d’altitude) est essentiellement constituée de protons dus
au bombardement solaire de ces rayons cosmiques, il y a aussien densité moins importante des
électrons chargés à moins de 5M eV . La ceinture extérieures (20 000km d’altitude est composé
principalement d’électrons.
Les aurores polaires ou boréales (image ci-dessous) sont la conséquence de la collision de
particules du vent solaire piégées dans le champ magnétique terrestre avec les molécules d’air
en dessous de l’atmosphère. C’est un phénomène lumineux visible dans le ciel nocturne.
48
Bibliographie
[1] Science & vie (hors série). La matière et ses ultimes secrets, septembre 2008.
[2] Albert Van de Vorst. Introduction à la Physique. DeBoeck Université, 1997.
[3] Albert Einstein and Leopold Infeld. L’évolution des idées en Physique. Champs Flammarions, 1982.
[4] Eugene Hecht. Physique (2. Electricité et Magnétisme). De Boeck Université, 2007.
[5] Henri Poincaré. La science et l’hypothèse. Champs Flammarions, 1968.
[6] Théodore Wildi. Électrotechnique. DeBoeck Université, 1999.
49