Chapitre 13

© Éditions Belin, 2009.
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EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances Capacités Commentaires
3.2 Symétrie
orthogonale par
rapport à une droite
(symétrie axiale)
– Construire le symétrique d’un point, d’une
droite, d’un segment, d’un cercle (que l’axe
de symétrie coupe ou non la figure).
– Construire ou compléter la figure
symétrique d’une figure donnée ou de
figures possédant un axe de symétrie à l’aide
de la règle (graduée ou non), de
l’équerre, du compas, *du rapporteur.
– Effectuer les tracés de l’image d’une figure
par symétrie axiale à l’aide des instruments
usuels (règle, équerre, compas).
L’élève peut utiliser la méthode de son choix.
Dans la continuité du travail entrepris à l’école
élémentaire, les activités s’appuient encore sur un
travail expérimental (pliage, papier calque)
permettant d’obtenir un inventaire abondant de
figures simples, à partir desquelles sont dégagées les
propriétés de « conservation » de la symétrie axiale
(conservation des distances, de l’alignement, des angles
et des aires).
* Le rôle de la médiatrice comme axe de symétrie
d’un segment est mis en évidence.
Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en
italiques. Si la phrase en italiques est précédée d’un astérisque l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure.
Dire que l’exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée – bien au contraire !
mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser.
Je révise
1 : B 2 : C 3 : C
Activités
Objectifs
– Réinvestir la notion de symétrie axiale par le pliage.
– Découvrir que « Deux points distincts A et A’ sont
symétriques par rapport à une droite (
d ) » signifi e que
« (
d ) est la médiatrice de [AA’]. »
1. a., b. et c. Réalisation de la figure à l’aide d’une
feuille de papier calque.
2. b. Les droites (d) et (AA’) sont perpendiculaires.
Le point I est le milieu du segment [AA’]. La droite
(d) est donc la médiatrice du segment [AA’].
c. « Si deux points distincts A et A’ sont symétriques
par rapport à une droite (d), alors la droite (d) est la
médiatrice du segment [AA’]. »
3. a. On constate que les points B et B’ se
superposent : ils sont symétriques par rapport à la
droite (d).
b. « Si une droite est la médiatrice d’un segment
[BB’], alors les points B et B’ sont symétriques par
rapport à cette droite. »
Objectifs
– Construire le symétrique d’un point par rapport à une
droite avec une équerre, une règle et un compas ou
seulement avec un compas.
– Découvrir que les points de la droite sont invariants.
1. a.
AU
A’
(d1)
b. Le point U est son propre symétrique par rapport
à la droite (d1).
2.
B
J
I
B’
(d2)
Objectifs
– Construire le symétrique d’une fi gure sur quadrillage.
Pour la deuxième construction, la droite (
d ) n’est plus
verticale : on vérifi era que les élèves ne tracent pas
le symétrique de la fi gure en imaginant (
d ) verticale
ou en effectuant une translation.
Pour la troisième construction, la droite (
d ) coupe
la fi gure : on vérifi era que les élèves ne tracent pas
qu’une partie de la fi gure symétrique, en considérant
un seul « côté » de l’axe.
– Construire le symétrique d’une fi gure sans quadrillage
(les instruments de géométrie sont laissés au choix).

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Chapitre 13 Symétrie axiale 93
1. a.
(d)
b.
(d)
c.
(d)
2. a
A
A’
1,5 cm
B
B’
C
C’
2 cm
3 cm
0,5 cm
(d)
b.
O
O’
1,5 cm
(Ꮿ)
(Ꮿ’)
(⌬)
(⌬’)
(d)
c.
D
E
E’
F
F’
40° 2 cm
(d)
3 cm
Objectif
Visualiser un axe de symétrie d’une fi gure.
1. b. Le symétrique de la figure 1 par rapport
à la droite (d) est elle-même.
c. (d) est un axe de symétrie de la figure 1.
2. Figure 3 : axe de symétrie (OO’).
Figure 4 : axes de symétrie (EG) et (FH).
Figure 5 : axes de symétrie (AE), (GC), (BF) et (DH).
Exercices
1 1. A et A’ sont symétriques.
2. Points symétriques : C et C’ ; D et D’.
2 1. et 2.
A
A’
C
B
B’
(d)
3. C appartient à la droite (d), donc C est son
propre symétrique par rapport à la droite (d).
3 a. b.
(d)
(d)
c. d.
(d)
(d)
4 a. Un axe. b. Zéro axe.
c. Deux axes. d. Deux axes.

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5 a. b. Pas d’axe de symétrie.
c. d.
6 À l’échelle 1
2.
A
A’
C
C’
B
5 cm
B’
4,5 cm
3 cm
7
E
I
J
E’
F’
F
(d)
2. Les droites (EE’) et (FF’) sont parallèles.
Justification : les points E et E’, ainsi que les
points F et F’, sont symétriques par rapport à (d),
donc (d) est la médiatrice de [EE’] et [FF’]. Ainsi les
droites (EE’) et (FF’) sont perpendiculaires à (d).
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une
même droite, alors elles sont parallèles.
Donc les droites (EE’) et (FF’) sont parallèles.
8 a.
(d)
b.
(d)
9 a.
(d)
b.
(d)
10 1. et 2.
C
C’ D
D’
B
B’
A
A’
(d)
11 a.
AB
A’
B’
(d)
b.
A
B
A’
B’
(AB) // (d)
(d)

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Chapitre 13 Symétrie axiale 95
16 Le symétrique de la droite (RT) par rapport
à la droite (d) est la droite (R’T’).
S appartient à (RT), mais S’ n’appartient pas
à (R’T’). Comme la symétrie axiale conserve
l’alignement, S’ ne peut pas être le symétrique
de S par rapport à (d).
17
5 cm
2 cm
DI
GA
18 À l’échelle 1
2.
I
E
C
L
T
19 Le segment [EF] est le symétrique du segment
[CD] par rapport à la droite (d) et CD = 2,4 cm.
Or, la symétrie axiale conserve les distances,
donc : EF = CD = 2,4 cm.
20 1.
R
S
T
U
3 cm
2 cm
35°
2. RU = RT = 2 cm.
La symétrie axiale conserve les distances.
3. SRU = SRT = 35°.
La symétrie axiale conserve les angles.
4. La demi-droite [RS) partage l’angle TRU
en deux angles adjacents de même mesure,
donc [RS) est la bissectrice de l’angle TRU.
12 1. et 2.
U
U’
V
V’
(d’ )
(d)
Le symétrique de la droite (d’) par rapport à la
droite (d) est elle-même.
13 1. a. et b. Les droites (d’) et (d’’) sont parallèles.
A’
B’
A”
B”
(d’ ) // (d)
(d)
(d’ )
(d” )
2. On trace la parallèle à la droite (d1) et
passant par le point A’.
A
A’
(d1) // (d)
(d)
(d1)
14 1. et 2.
À l’échelle 1
2.A
A’
2 cm
2 cm
(Ꮿ1)
(Ꮿ’1)
15 1. et 2.
À l’échelle 1
2.
A
(d1)
(d2)
B
O
O’
(Ꮿ)
(
Ꮿ
’)
3. Le symétrique du cercle (Ꮿ) par rapport à la
droite (d2) est lui-même.

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21 1. et 2. À l’échelle 2
3
(d)
20°
4 cm
4,5 cm
7 cm
E
I’
M’
I
M
A
A’
22
23 1. A, H, M, O, T, U, V, W, X.
2. B (si les deux parties du B sont identiques),
C, D, E, H, I K, O.
3. OIE ; ODE.
24 1.
(d)
2.
(d)
25
Thème de convergence
26 b, d, f et i : zéro axe.
a, c, e et g : un axe.
h : trois axes.
À l’oral
27 1. Les points C et D sont symétriques par
rapport à la droite (d) car la droite (d) est
la médiatrice de [CD] (elle est perpendiculaire
à [CD] et passe par le milieu de [CD]).
2. Points symétriques : E et K ; G et I ; L et M ;
F et J.
28 a. « Si deux points U et V sont symétriques par
rapport à une droite (d), alors la droite (d) est
la médiatrice du segment [UV]. »
b. « Si la droite (AB) est la médiatrice du
segment [EF], alors le symétrique du point E
par rapport à la droite (AB) est le point F. »
c. « Si un point A appartient à une droite (d)
alors son symétrique par rapport à la droite (d)
est lui-même. »
29 Figure 1 : La droite (d) est perpendiculaire à (MM’),
mais on ne sait pas qu’elle passe par le milieu du
segment [MM’] : M et M’ ne sont pas symétriques
par rapport à (d).
Figure 2 : La droite (d) est perpendiculaire à
(MM’) et passe par le milieu de [MM’], c’est donc
la médiatrice du segment [MM’] : M et M’ sont
symétriques par rapport à (d).
Figure 3 : La droite (d) n’est pas perpendiculaire
à (MM’) : M et M’ ne sont pas symétriques par
rapport à (d).
30 La figure orange et la figure verte sont symétriques
par rapport à la droite (d) dans le cas d.
a. La figure verte se déduit de la figure orange
par une translation.
b. La figure orange est « plus près » de la droite
(d) que la figure verte.
c. Les deux figures n’ont pas les mêmes
dimensions.
35 1., 2. et 3.
U
V
2 cm
3 cm
4 cm
A
B
(d)
(Ꮿ2)
(Ꮿ1)