Chapitre 13

EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances
3.2 Symétrie
orthogonale par
rapport à une droite
(symétrie axiale)
Capacités
Commentaires
– Construire le symétrique d’un point, d’une
droite, d’un segment, d’un cercle (que l’axe
de symétrie coupe ou non la figure).
– Construire ou compléter la figure
symétrique d’une figure donnée ou de
figures possédant un axe de symétrie à l’aide
de la règle (graduée ou non), de
l’équerre, du compas, *du rapporteur.
– Effectuer les tracés de l’image d’une figure
par symétrie axiale à l’aide des instruments
usuels (règle, équerre, compas).
L’élève peut utiliser la méthode de son choix.
Dans la continuité du travail entrepris à l’école
élémentaire, les activités s’appuient encore sur un
travail expérimental (pliage, papier calque)
permettant d’obtenir un inventaire abondant de
figures simples, à partir desquelles sont dégagées les
propriétés de « conservation » de la symétrie axiale
(conservation des distances, de l’alignement, des angles
et des aires).
* Le rôle de la médiatrice comme axe de symétrie
d’un segment est mis en évidence.
Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en
italiques. Si la phrase en italiques est précédée d’un astérisque l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure.
Dire que l’exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée – bien au contraire !
mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser.
1. a.
Je révise
1:B
2:C
(d1)
A
U
3:C
Activités
Objectifs
1. a., b. et c. Réalisation de la figure à l’aide d’une
feuille de papier calque.
2. b. Les droites (d) et (AA’) sont perpendiculaires.
Le point I est le milieu du segment [AA’]. La droite
(d) est donc la médiatrice du segment [AA’].
c. « Si deux points distincts A et A’ sont symétriques
par rapport à une droite (d), alors la droite (d) est la
médiatrice du segment [AA’]. »
3. a. On constate que les points B et B’ se
superposent : ils sont symétriques par rapport à la
droite (d).
b. « Si une droite est la médiatrice d’un segment
[BB’], alors les points B et B’ sont symétriques par
rapport à cette droite. »
Objectifs
– Construire le symétrique d’un point par rapport à une
droite avec une équerre, une règle et un compas ou
seulement avec un compas.
– Découvrir que les points de la droite sont invariants.
92
A’
b. Le point U est son propre symétrique par rapport
à la droite (d1).
2.
B
I
J
(d2)
B’
Objectifs
– Construire le symétrique d’une figure sur quadrillage.
Pour la deuxième construction, la droite (d) n’est plus
verticale : on vérifiera que les élèves ne tracent pas
le symétrique de la figure en imaginant (d) verticale
ou en effectuant une translation.
Pour la troisième construction, la droite (d) coupe
la figure : on vérifiera que les élèves ne tracent pas
qu’une partie de la figure symétrique, en considérant
un seul « côté » de l’axe.
– Construire le symétrique d’une figure sans quadrillage
(les instruments de géométrie sont laissés au choix).
© Éditions Belin, 2009.
– Réinvestir la notion de symétrie axiale par le pliage.
– Découvrir que « Deux points distincts A et A’ sont
symétriques par rapport à une droite (d) » signifie que
« (d) est la médiatrice de [AA’]. »
1. a.
Objectif
Visualiser un axe de symétrie d’une figure.
1. b. Le symétrique de la figure 1 par rapport
à la droite (d) est elle-même.
c. (d) est un axe de symétrie de la figure 1.
2. Figure 3 : axe de symétrie (OO’).
Figure 4 : axes de symétrie (EG) et (FH).
Figure 5 : axes de symétrie (AE), (GC), (BF) et (DH).
(d)
b.
(d)
c.
Exercices
(d)
1 1. A et A’ sont symétriques.
2. Points symétriques : C et C’ ; D et D’.
2. a
B
2 1. et 2.
B’
(d )
3
2 cm
0,5
C
1,5 cm
cm
A
(d )
A
cm
C
B’
C’
B
A’
A’
3. C appartient à la droite (d), donc C est son
propre symétrique par rapport à la droite (d).
b.
(Ꮿ)
m
c
1,5
(Ꮿ’)
O
3 a.
b.
(⌬)
O’
(d)
(d)
(d )
(⌬’)
c.
D
E’
c.
(d)
d.
(d)
40° 2 cm
3 cm
E
4 a. Un axe.
F’
c. Deux axes.
b. Zéro axe.
d. Deux axes.
Chapitre
13
Symétrie axiale
93
© Éditions Belin, 2009.
F
(d )
5 a.
b. Pas d’axe de symétrie.
c.
b.
(d)
d.
9 a.
(d)
6 À l’échelle
1
.
2
B’
A’
C
m
A
(d)
3c
5
4,
b.
cm
B
5 cm
C’
F
7
E
D’
10 1. et 2.
I
J
E’
(d )
B
C
(d )
A
C’
D
F’
2. Les droites (EE’) et (FF’) sont parallèles.
Justification : les points E et E’, ainsi que les
points F et F’, sont symétriques par rapport à (d),
donc (d) est la médiatrice de [EE’] et [FF’]. Ainsi les
droites (EE’) et (FF’) sont perpendiculaires à (d).
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une
même droite, alors elles sont parallèles.
Donc les droites (EE’) et (FF’) sont parallèles.
A’
11 a.
B’
A
B
(d )
B’
8 a.
A’
b.
A
(d )
B
A’
(AB) // (d )
94
B’
© Éditions Belin, 2009.
(d )
12 1. et 2.
16 Le symétrique de la droite (RT) par rapport
(d)
à la droite (d) est la droite (R’T’).
S appartient à (RT), mais S’ n’appartient pas
à (R’T’). Comme la symétrie axiale conserve
l’alignement, S’ ne peut pas être le symétrique
de S par rapport à (d).
(d’ )
U’
U
V’
V
Le symétrique de la droite (d’) par rapport à la
droite (d) est elle-même.
17
13 1. a. et b. Les droites (d’) et (d’’) sont parallèles.
D
A’
I
5 cm
B’
(d’)
2 cm
(d’ ) // (d)
G
(d )
A
A”
(d” )
B”
2. On trace la parallèle à la droite (d1) et
passant par le point A’.
A
18 À l’échelle
1
.
2
(d1)
L
(d1) // (d )
C
(d )
T
E
A’
14 1. et 2.
I
(Ꮿ1)
1
À l’échelle .
2
A 2 cm
19 Le segment [EF] est le symétrique du segment
[CD] par rapport à la droite (d) et CD = 2,4 cm.
Or, la symétrie axiale conserve les distances,
donc : EF = CD = 2,4 cm.
(Ꮿ’1)
20 1.
2 cm
A’
U
S
m
(Ꮿ)
A
(d2)
O
B
(d1)
O’
1
À l’échelle .
2
(Ꮿ’)
3. Le symétrique du cercle (Ꮿ) par rapport à la
droite (d2) est lui-même.
3c
R
35°
2 cm
T
2. RU = RT = 2 cm.
La symétrie axiale conserve les distances.
3. SRU = SRT = 35°.
La symétrie axiale conserve les angles.
4. La demi-droite [RS) partage l’angle TRU
en deux angles adjacents de même mesure,
donc [RS) est la bissectrice de l’angle TRU.
Chapitre
13
Symétrie axiale
95
© Éditions Belin, 2009.
15 1. et 2.
21 1. et 2. À l’échelle
2
3
À l’oral
27 1. Les points C et D sont symétriques par
M’
rapport à la droite (d) car la droite (d) est
la médiatrice de [CD] (elle est perpendiculaire
à [CD] et passe par le milieu de [CD]).
2. Points symétriques : E et K ; G et I ; L et M ;
F et J.
A’
I’
E
20°
m
4c
I
(d )
7c
m
4,5 cm
M
28 a. « Si deux points U et V sont symétriques par
A
22
rapport à une droite (d), alors la droite (d) est
la médiatrice du segment [UV]. »
b. « Si la droite (AB) est la médiatrice du
segment [EF], alors le symétrique du point E
par rapport à la droite (AB) est le point F. »
c. « Si un point A appartient à une droite (d)
alors son symétrique par rapport à la droite (d)
est lui-même. »
29 Figure 1 : La droite (d) est perpendiculaire à (MM’),
23 1. A, H, M, O, T, U, V, W, X.
2. B (si les deux parties du B sont identiques),
C, D, E, H, I K, O.
3. OIE ; ODE.
24 1.
mais on ne sait pas qu’elle passe par le milieu du
segment [MM’] : M et M’ ne sont pas symétriques
par rapport à (d).
Figure 2 : La droite (d) est perpendiculaire à
(MM’) et passe par le milieu de [MM’], c’est donc
la médiatrice du segment [MM’] : M et M’ sont
symétriques par rapport à (d).
Figure 3 : La droite (d) n’est pas perpendiculaire
à (MM’) : M et M’ ne sont pas symétriques par
rapport à (d).
(d)
30 La figure orange et la figure verte sont symétriques
2.
(d )
par rapport à la droite (d) dans le cas d.
a. La figure verte se déduit de la figure orange
par une translation.
b. La figure orange est « plus près » de la droite
(d) que la figure verte.
c. Les deux figures n’ont pas les mêmes
dimensions.
35 1., 2. et 3.
3c
26 b, d, f et i : zéro axe.
a, c, e et g : un axe.
h : trois axes.
V
(d )
m
2c
Thème de convergence
4 cm
m
U
96
(Ꮿ2)
B
A
(Ꮿ1)
© Éditions Belin, 2009.
25
4. UA = UB = 3 cm et VA = VB = 2 cm.
Si un point est équidistant des deux extrémités
d’un segment, alors il appartient à la médiatrice
de ce segment.
Donc U et V appartiennent à la médiatrice du
segment [AB]. La médiatrice de [AB] étant la
droite (UV), on peut dire que les points A et B
sont symétriques par rapport à la droite (UV)
36
39 La droite (BC) coupe la droite (d) en A et A
est son propre symétrique par rapport à la
droite (d).
La droite (DE) coupe la droite (d) en un point
distinct de A, donc (BC) et (DE) ne peuvent pas
être symétriques par rapport à la droite (d).
40 1. et 2.
110°
O’
4,5
N
L
A
3,5 cm
B
M
L’
2 cm
cm
E
C
(d)
M’
N’
37 1. et 2.
A
B
C
D
E
5 cm
cm
est la droite (BA’).
Justification :
• La droite (d) est perpendiculaire à (AA’) et passe
par le milieu de [AA’] , donc (d) est la médiatrice
de [AA’]. Ainsi A’ est symétrique de A par
rapport à (d).
• Le point B appartient à (d), donc B est son
propre symétrique par rapport à (d).
• Les points A et B de la droite (d1) ont pour
symétriques par rapport à (d) les points A’ et B.
(A’B) est donc le symétrique de (d1) par rapport
à (d).
D
m
3,5 c
5
38 Le symétrique de la droite (d1) par rapport à (d)
41 1.
2,
3. • On sait que le triangle ABC est isocèle en A
donc : AB = AC.
• On sait que D est le symétrique de A par
rapport à la droite (BC).
Or, la symétrie axiale conserve les distances.
Donc : BD = AB et DC = AC.
Comme AB = AC, on en déduit que :
AB = BD = DC = AC.
• ABCD a ses quatre côtés de même longueur,
c’est donc un losange.
3. a. On sait que la droite (d) est la médiatrice
du segment [AB], donc les points A et B sont
symétriques par rapport à la droite (d).
b. Dans la symétrie d’axe (d) :
– le symétrique du segment [AB] est le segment
[AB] ;
– le symétrique du segment [AC] est le segment
[BE] ;
– le symétrique du segment [BC] est le segment
[AE].
Or, le symétrique d’un segment est un segment
de même longueur,
donc : BE = AC = 2 cm et AE = BC = 4,5 cm.
c. Périmètre du triangle ABE,
en cm = AB + BE + EA
= 3,5 + 2 + 4,5 = 10
F
G
2. Dans la symétrie par rapport à la droite (EF) :
– le symétrique du segment [ED] est le segment
[EG] ;
– le symétrique du segment [DF] est le segment
[GF].
Or, le symétrique d’un segment est un segment
de même longueur, donc :
ED = EG = 3,5 cm et DF = GF = 2,5 cm.
Périmètre de DEGF,
en cm = ED + DF + FG + GE
= 3,5 + 2,5 + 2,5 + 3,5 = 12.
Chapitre
13
Symétrie axiale
97
© Éditions Belin, 2009.
(d)
O
1
.
2
J
45
L
5 cm
42 À l’échelle
(d )
(Ꮿ1)
J’
(Ꮿ’2)
(d )
(Ꮿ’1)
J
A
F
3 cm
46 1. et 2.
1 Ꮿ)
À l’échelle . (Ꮿ
2
B
cm
43 1. à 4.
(Ꮿ2)
B
3
2. b. Le triangle FIL est rectangle en F, donc (FI)
et (FL) sont perpendiculaires. (d) est la médiatrice
de [FL], donc (d) et (FL) sont perpendiculaires.
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une
même droite, alors elles sont parallèles.
Donc les droites (d) et (FI) sont parallèles.
3. b. Le symétrique du triangle FIL par rapport
à la droite (d) est le triangle FJL.
La symétrie axiale conserve les aires, donc les
triangles FIL et FJL ont la même aire :
FI × FL 3 × 5
=
= 7,5 cm2.
ᏭFIL = ᏭFJL =
2
2
2 cm
I
O
O’
A
T
1
À l’échelle .
2
cm
U
5
3,
60°
T’
3. OAO’B est un losange. Justification :
• A et B appartiennent au cercle de centre O et
de rayon 3 cm, donc : OA = OB = 3 cm.
• les segments [O’A] et [O’B] sont les
symétriques respectifs des segments [OA] et [OB].
La symétrie axiale conserve les distances.
Donc : O’A = OA = 3 cm et O’B = OB = 3 cm.
OAO’B a ses quatre côtés de même longueur,
c’est donc un losange.
R
5c
m
(d )
V
U’
5. Dans la symétrie par rapport à la droite (d) :
le symétrique de R est R, le symétrique de U est U’
et le symétrique de T est T’. Donc le symétrique
de l’angle RUT est l’angle RU’T’.
La symétrie axiale conserve les angles donc
C
47 1.
RU’T’ = RUT.
Comme [UR) est la bissectrice de l’angle TUV et
60°
= 30°.
TUV = 60° alors RUT =
2
Ainsi RU’T’ = 30°.
A
44 1. Programme de construction possible :
60°
Construire un triangle DEF rectangle en E
tel que : DE = 4 cm et EDF = 40°.
Construire la bissectrice [Dx) de l’angle EDF.
Placer le point G sur [Dx) tel que le triangle DFG
est isocèle en F.
2.
B
J
2. Les angles IBC et ABC sont symétriques par
rapport à la droite (BC).
La symétrie axiale conserve les angles donc :
F
20°
IBC = ABC = 60°.
4c
Les angles ABJ et ABC sont symétriques par
m
G
E
F’
3. F’GD = 20°.
98
x
rapport à la droite (AB) donc : ABJ = ABC = 60°.
3. IBJ = IBC + CBA + ABJ = 60° + 60° + 60° = 180°.
IBJ est un angle plat donc les points I, B et J sont
alignés.
© Éditions Belin, 2009.
D
I
50 Marius place le point d’intersection I des droites
Argumenter et débattre
(d1) et (d) en prolongeant les droites. I est son
propre symétrique par rapport à la droite (d) et
A’ est le symétrique de A par rapport à la droite
(d). Le symétrique de (d1) par rapport à (d) est la
droite (IA’).
48 1. Vrai.
2. Vrai (la symétrie axiale
conserve les distances).
51 Deux.
B
D
A
C
4. Vrai (la médiatrice du segment et son support).
5. Vrai ((d) est la médiatrice de [AC]).
6. Faux ((d) n’est pas perpendiculaire à (BD)).
7. Faux ([IB) et [ID) ne sont pas symétriques par
rapport à (d)).
49 1. • OS = OI, donc le triangle OSI est isocèle en O.
• (d) est la médiatrice de [IJ], donc I et J sont
symétriques par rapport à la droite (d).
2. I et J sont symétriques par rapport à (d) et
O est son propre symétrique par rapport à (d),
donc les segments [OI] et [OJ] sont symétriques
par rapport à (d).
La symétrie axiale conserve les distances, donc
OI = OJ.
Comme OS = OI, on en déduit que OS = OJ.
Le triangle OSJ est donc isocèle en O.
52 Aïcha trace un arc de cercle de centre A qui
coupe la droite (d) en deux points B et C. Sans
changer d’écartement de compas, elle trace
l’arc de cercle de centre B, puis l’arc de cercle de
centre C. Ces deux arcs de cercle se coupent en
un point A’, symétrique de A par rapport à (d).
A
(d )
C
B
A’
Pour les curieux
53 La symétrie n’est pas exacte ni pour la figure 2
ni pour la figure 3 (statues différentes par
exemple).
Chapitre
13
Symétrie axiale
99
© Éditions Belin, 2009.
3. Faux [AB] et [CD] ne sont
pas symétriques par rapport
à une droite.