Préambule. En probabilité, on étudie des expériences aléatoires

Première ES et S
Probabilités, exercice 18
Jonquille, octidi, 8 germinal, an CCXVI
Préambule.
En probabilité, on étudie des expériences aléatoires, des expériences qui ont plusieurs résultats
(issues) possibles. Donc, quand on travaille sur un exercice de probabilité, il faut reproduire
l'expérience (dans sa tête ou avec des objets), exhiber des exemples de résultats (issues) possibles,
pour déterminer l'univers.
Exercice n° 18 p 202, Dimathème, première ES.
Comme chaque année, un particulier a rentré ses bulbes de dahlia pour les protéger de l'hiver. Il
dispose d'un dahlia rouge, d'un rose, d'un jaune et d'un bicolore.
Un beau jour de printemps, il décide de les remettre en terre. Malheureusement, il a négligé de les
marquer lorsqu'il les a rentrés et doit donc les replanter au hasard. Il place trois de ces dahlias de
gauche à droite dans un massif, puis le quatrième tout seul.
Lors de la floraison dans ce massif :
1. Quelle est la probabilité pour que le dahlia rouge soit à gauche, le bicolore au centre et le
jaune à droite ?
2. Quelle est la probabilité pour que le dahlia bicolore soit au centre ?
3. Quelle est la probabilité pour que le dahlia central ne soit pas bicolore ?
4. Quelle est la probabilité pour qu'il n'y ait pas de dahlia rouge dans le massif ?
5. Quelle est la probabilité pour que le dahlia de gauche soit jaune ?
6. Quelle est la probabilité pour qu'il y ait un dahlia rouge dans le massif ?
Corrigé de l'exercice.
On fait l'expérience.
On a quatre bulbes de dahlia, un rouge noté R, un rose noté r, un jaune noté j et un bicolore noté b.
On plante ces bulbes de gauche à droite, les trois premiers dans un massif, le dernier seul.
Donc, quand on fait cette expérience, l'ordre compte, le premier est à gauche, le deuxième à la
droite du premier ...
On peut prendre quatre crayons de couleurs différentes et les disposer devant soi pour reproduire
cette expérience. Une événement élémentaire, résultat possible, est une disposition des quatre
crayons, ou bulbes. L'ordre compte, on plante de gauche à droite, et il n'y a pas de répétition, on ne
peut pas planter deux fois le même bulbe.
Exemple : (R, j, b, r) ou (b, r, j, R)
Thierry Vedel
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Jonquille, octidi, 8 germinal, an CCXVI
On décrit l'univers à l'aide d'un arbre.
Premier dahlia, deuxième
gauche
centre
4
Il y a 4× 3× 2×1 =24 évènements élémentaires.
fois
3
troisième
droite
fois
2
quatrième
hors massif
fois
1
1_ Dans le massif, le dahlia rouge est à gauche, c'est le premier dans l'arbre, le bicolore est
au centre, c'est le deuxième, le jaune est à droite, c'est le troisième, donc il reste le rose qui est tout
seul, c'est le quatrième dans l'arbre.
L'évènement est A = {(R, b, j, r)}.
Il y a un seul cas favorables parmi 24 possibles donc p  A =
1
24
2_ Le dahlia bicolore est au centre du massif donc une issue favorable est de la forme :
(x, b, y, z). On a coloré en rouge tous les cas favorables. La probabilité que le dahlia bicolore soit au
6
1
centre du massif est p  B = 24 = 4
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3_ « Le dahlia bicolore n'est pas au centre du massif », événement C, est le contraire de
« dahlia bicolore est au centre du massif », événement B.
1 3
p  C = p  B  =1− =
4 4
4_ Il n'y a pas de dahlia rouge dans le massif, donc, dans l'arbre, le quatrième est rouge.
On a colorié en mauve les cas favorables.
6
1
Il y a 6 cas favorables parmi 24, p  D = 24 = 4
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5_ Le dahlia de gauche dans le massif est jaune donc une issue favorable est de la forme :
( j, x, y, z).
Il y a 6 cas favorables donc p  E =
6 1
=
24 4
6_ l'évènement « il y a un dahlia rouge dans le massif », noté F, est l' événement contraire
de D, «Il n'y a pas de dahlia rouge dans le massif».
1 3
p  F = p  D  =1− =
4 4
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