Chapitre 9: Conversion d`énergie électromécanique

Chapitre 9
Conversion d’´ energie ´ electrom´ ecanique
9.1 Introduction
La conversion d’´energie ´electrom´ecanique est une partie int´egrale de la vie de tous les
jours. Que ce soit les grandes centrales hydo´electriques qui transforment l’´energie de l’eau en
´energie ´electrique, ou bien le moteur qui fait tourner un s´echoir, la conversion d’´energie est
tr`es r´epandue. On verra ici un exemple simple, la machine `a r´eluctance.
9.2 Syst`eme `a simple excitation
Soit le circuit suivant : -¾
i→
N
+
v
−
x
Fig. 9.1 – Syst`eme simple `a r´eluctance variable
1

CHAPITRE 9. CONVERSION D’ ´ ENERGIE ´ ELECTROM ´ ECANIQUE
La force magn´etomotrice est :
F=Ni =Rϕ
La tension est :
v=Ri +dΨ
dt
o`u
ψ=L0i
et L0est l’inductance de magn´etisation.
Il faut noter qu’on n´eglige habituellement les pertes Fer et les flux de fuite, sauf sous
indication contraire.
Si les pi`eces ferromagn´etiques sont immobiles, la puissance est
vi =ei +Ri2
o`u
e=dΨ
dt =L0di dt
L0est ind´ependante du courant, `a cause des entrefers. Donc,
vi =ei +Ri2
=Ri2+idΨ
dt =Ri2+L0idi dt
vi =Ri2+d
dt µ1 2L0i2¶
On peut int´egrer pour trouver l’´energie. L’´energie Rvi fournie par la source pendant un inter-
val dt est ´egale `a l’´energie dissip´ee en chaleur RRi2plus la variation de l’´energie magn´etique
Ridψ.
L’´energie magn´etique totale emmagasin´ee durant l’interval de temps dt est :
Wmag =ZΨ
0
idΨ
-
6
i
Ψ = Nϕ
Fig. 9.2 – Flux en fonction de l’´energie
Gabriel Cormier 2 GEN1153

CHAPITRE 9. CONVERSION D’ ´ ENERGIE ´ ELECTROM ´ ECANIQUE
L’aire sous la courbe est la co-´energie :
W0
mag =Zi
0
Ψdi
On obtient :
Wmag +W0
mag = Ψi
= (Nϕ)µRϕ
N¶=Rϕ2
= (L0i)(i) = L0i2
On voit que la somme de l’´energie et de la co-´energie `a un instant donn´e est ´egale au produit
du flux totalis´e Ψ `a cet instant par la valeur du courant i`a cet instant.
Dans le cas o`u dΨ
dt est constant (relation lin´eaire),
Wmag =W0
mag =1
2Ψi=1 2L0i2=1 2Rϕ2
Si une des pi`eces ferrom´ecaniques est mobile, une tension de vitesse et une puissance
m´ecanique seront cr´e´es.
Si une pi`ece s’´eloigne ou s’avance l’une par rapport `a l’autre, l’entrefer change, et donc
l’inductance :
v=Ri +dΨ
dt
=Ri +d
dt ³L0i´
=Ri +L0di
dt +idL0 dt
o`u
idL0
dt
est la tension de vitesse, puisque :
dL0
dt =dL0 dx
dx
dt
Alors,
vi =Ri2+L0idi
dt +i2dL0 dt
=Ri2+1
2L0di2 dt +1 2i2dL0 dt
| {z }
+1
2i2L0 dt
=Ri2+d
dt µ1 2L0i2¶+1 2i2dL0 dt
Gabriel Cormier 3 GEN1153

CHAPITRE 9. CONVERSION D’ ´ ENERGIE ´ ELECTROM ´ ECANIQUE
Le premier terme repr´esente les pertes Joule, tandis que le second terme repr´esente
l’´energie m´ecanique, et le troisi`eme terme la puissance m´ecanique. On peut r´earranger l’´equation
pour obtenir,
vi −Ri2=d
dt µ1 2L0i2¶+1 2i2dL0 dt =ei
eidt =dµ1
2L0i2¶+1 2i2dL0 dt =F dx
Le premier terme `a droite repr´esente la variation de l’´energie magn´etique, et le second la
variation de l’´energie m´ecanique.
La variation de l’´energie m´ecanique correspond au travail effectu´e par l’armature mobile
durant l’interval dt.
F dx =1
2i2dL0
d’o`u
F=1
2i2dL0 dx
Puisque
L0=N2
R
on obtient
F=−1
2ϕ2R dx
Pour un syst`eme en rotation,
θ
Fig. 9.3 – Syst`eme rotationel
le travail effectu´e par l’armature mobile est :
Ttrav =τemdθ
On peut ´ecrire
Ttrav =τemdθ =1
2i2dL0
Gabriel Cormier 4 GEN1153

CHAPITRE 9. CONVERSION D’ ´ ENERGIE ´ ELECTROM ´ ECANIQUE
Et donc,
τem =1
2i2dL0 dθ =−1 2ϕ2dR dθ
Exemple 1
N
?
g
x
6r
-
l
Fig. 9.4 – Machine tournante
Il faut calculer la r´eluctance. La r´eluctance de l’entrefer est
Re=x
µ0(πr2)
La r´eluctance du guide
Rg=g
µ0£2π¡r+g
2¢l¤
La r´eluctance totale est :
R(x) = 1
µ0πr2·x+gr2 (2r+g)l¸
On n´eglige RF er, puisque µF er est tr`es grand. Donc l’inductance est :
L0=N2
R(x)=N2µ0πr2
x+gr2
(2r+g)l
Donc,
Fem =−1
2ϕ2dR dx =1 2i2dL0 dx
⇒Si la bobine est excit´ee en tension ou que le flux est constant, on utilise la premi`ere
relation :
Fem =−1
2
ϕ2
µ0πr2
Gabriel Cormier 5 GEN1153