Révisions d`été PCSI/MPSI ↦→ PSI* Lycée Carnot

7→
Révisions d'été PCSI/MPSI
PSI*
Lycée Carnot - Dijon
P. Colin
juin 2016
Données numériques
Constante de Planck
Faraday
Nombre d'Avogadro
Vitesse de la lumière dans le vide
Quantum de charge
h ∼ 6, 6.10−34 J.s
96500 C
Na ∼ 6, 02.1023 mol−1
c ∼ 3.108 m.s−1
e ∼ 1, 6.10−19 C
Table des matières
1 Mécanique
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Cinématique du point et du solide . . . . . . . . . . . .
Ressorts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamique newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mouvement de particules chargées . . . . . . . . . . . .
Mouvement de rotation autour d'un axe xe . . . . . . .
Mouvement dans un champ de force centrale conservatif
2 Signaux physiques
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Oscillateur harmonique . . . . . . .
Propagation d'un signal . . . . . .
Optique géométrique . . . . . . . .
Introduction au monde quantique .
Circuits électriques dans l'A.R.Q.S.
Circuit linéaires du premier ordre .
Oscillateurs amortis . . . . . . . .
Filtrage linéaire . . . . . . . . . . .
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3
3
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5
6
7
7
7
8
9
10
10
11
12
3 Transformation de la matière
14
4 Architecture de la matière
15
3.1
3.2
4.1
4.2
Description d'un système et évolution vers un état nal . . . . . . . . . . . 14
Évolution temporelle et mécanismes réactionnels . . . . . . . . . . . . . . . 14
Classication périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Molécules et solvants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Thermodynamique
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Description macroscopique d'un système à l'équilibre . . . . . .
Énergie échangée par un système au cours d'une transformation
Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deuxième principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Induction et forces de Laplace
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Action d'un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lois de l'induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuit xe dans un champ magnétique qui dépend du temps
Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire . . . .
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19
20
20
21
7 Architecture de la matière condensée : solides cristallins
22
8 Transformations chimiques en solution aqueuse
23
9 Outils mathématiques
25
8.1
8.2
8.3
Réactions d'oxydo-réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Réactions acide-base et de précipitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Diagrammes potentiel-pH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2
1
Mécanique
1.1 Cinématique du point et du solide
1.
Mouvement circulaire
Donner les expressions de la vitesse et l'accélération d'un mobile en mouvement
circulaire uniforme de rayon R à la pulsation ω autour d'un point O ? Même question
pour un mouvement circulaire non uniforme [ω(t)].
1.2 Ressorts
2.
Forces exercées par quelques ressorts
Dans tout l'exercice, les réponses sont à donner en fonction des seuls paramètres x,
x1 , x2 (les abscisses des points M, M1 , M2 ), z , z1 , z2 (leur côte), h (l'abscisse du point
H) k , l0 (la raideur et la longueur à vide des ressorts), et enn ~ux ~uz (les vecteurs
unitaires selon les axes Ox et Oz ). Ici, on ne s'intéresse pas aux poids des masses ni
aux réactions des supports mais simplement aux forces exercées par les ressorts.
(a) Dans le cas 1, les deux ressorts ont la même longueur à vide l0 et la même
raideur k0 . La masse M ne peut se déplacer que selon l'axe Ox. Quelle est la
force totale subie par le point M ?
(b) Dans le cas 2, les masses M1 et M2 d'abscisses respectives x1 et x2 peuvent se
déplacer sur une tige d'ordonnée z . Un ressort relie les deux masses. Quelle est
la force F~1 subie par la masse M1 et celle F~2 subie par M2 ?
(c) La masse M peut se déplacer selon l'axe x, quelle est la force exercée par le
ressort sur cette masse ?
(d) Dans le cas 4, la masse M est suspendue à un ressort. Quelle est l'expression de
la force du ressort ?
3
(e) Le cas 5 est un peu plus délicat. La question est toujours la même : quelles sont
les forces subies par les deux masses ?
1.3 Dynamique newtonienne
3.
Oscillations d'un pendule simple
Un objet ponctuel A de masse m est supendu à l'extrémité d'un l de masse négligeable dont l'extrémité O est xe. On ne considère que les mouvements dans le plan
vertical Oxy perpendiculaire à un axe Oz horizontal. On tient compte d'une force
de frottement uide proportionnelle à ~v , en notant h le coecient de proportionnalité. On repère la position de A par l'angle θ entre le l et la verticale. On suppose
que le référentiel terrestre est galiléen. On désigne par ~g = g~ux l'accélération de la
pesanteur.
(a) Déterminer l'équation diérentielle du mouvement de A par deux méthodes.
(b) Les frottements sont susament faibles pour que le régime soit pseudo-périodique.
Déterminer la condition sur h pour qu'il en soit ainsi.
(c) On lâche le pendule sans vitesse initiale d'une position faisant un angle θ0 faible.
Linéariser l'équation diérentielle du mouvement puis déterminer l'expression
de θ en fonction du temps.
(d) Donner l'allure de la courbe représentant θ(t).
(e) Tracer le portrait de phase correspondant.
4.
Étude d'un oscillateur à l'aide de son portrait de phase
On fait l'étude du mouvement d'un point matériel M de masse m connue astreint à
se déplacer suivant l'axe Ox, de vecteur unitaire ~ux . Il est soumis uniquement aux
forces suivantes :
La force de rappel d'un ressort de raideur k et de longueur à vide l0 ;
Une force de frottement visqueux : f~v = −λẋ~ux ;
Une force constante F~c = Fc ~ux .
(a) Équation du mouvement
i. Établir l'équation diérentielle du mouvement de M et la mettre sous la
forme :
ω0
ẍ + ẋ + ω02 x = ω02 X0
Q
où x est l'allongement du ressort. Exprimer les grandeurs ω0 , Q et X0 en
fonction de m, k , λ, l0 et Fc .
ii. Dans le cas d'une solution pseudo-périodique, exprimer x(t). On fera apparaître un temps τ caractéristique de la décroissance de l'amplitude des
oscillations et la pseudo-pulsation Ω de celles-ci.
(b) On suppose que les paramètres k , λ, l0 et Fc sont inconnus. Pour les déterminer,
on enregistre expérimentalement le portrait de phase dans le cas d'une solution
pseudo-périodique.
4
i. Donner l'allure de celui-ci.
ii. Montrer que l'on obtient par une lecture directe X0 ainsi que x(t = 0) et
ẋ(t = 0).
iii. On suppose que l'on peut repérer le temps sur le portrait de phase. Montrez
que l'on peut alors obtenir la valeur de Ω.
iv. Que reste-t-il à déterminer pour caractériser totalement l'oscillateur ? Comment pourrait-t-on l'obtenir à partir de la lecture du portrait de phase ?
5.
Plan incliné
Figure 1 Plan incliné
Un pavé supposé ponctuel, de masse m, glisse sans frottement sur un plan incliné
d'un angle α par rapport à l'horizontale.
(a) Faire le bilan des actions s'exerçant sur le pavé et les représenter sur la gure 1.
(b) Projetez ces forces dans la base cartésienne associée au plan.
(c) A t = 0, on lance le pavé depuis le point O avec une vitesse initiale de norme
v0 et orientée vers le haut ; déterminer la distance parcourue avant qu'il ne
redescende par utilisation d'un théorème énergétique.
1.4 Mouvement de particules chargées
6.
Choix d'un champ de force adapté
Quel champ électrique ou magnétique faut-il utiliser si :
(a) On désire modier l'énergie cinétique d'une particule ;
(b) On désire courber la trajectoire sans fournir d'énergie à la particule.
1.5 Mouvement de rotation autour d'un axe xe
7.
Ordres de grandeur des moments cinétiques
Pour chaque question, on donnera l'expression littérale de(s) grandeur(s) demandée(s) puis on fera l'application numérique.
(a) Le moment d'inertie de la Terre en rotation uniforme autour de l'axe passant
par ses pôles vaut J = 13 MT RT2 avec MT = 6, 0.1024 kg et RT = 6, 4.103 km.
Calculer le moment d'inertie de la Terre et son moment cinétique par rapport
à l'axe de ses pôles.
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(b) Dans le modèle de Bohr, le mouvement de l'électron autour du noyau est assimilé
à un mouvement circulaire et uniforme de centre O confondu avec le noyau. La
trajectoire de rayon r0 = 53 pm est parcourue à la fréquence f = 6, 6.1015 Hz.
La masse de l'électron vaut me = 9, 1.10−31 kg. Calculer le moment cinétique
de l'électron.
(c) Un tambour de machine à laver le linge, de rayon R = 25 cm et de masse
m = 5 kg tourne à la vitesse angulaire de 1000 tr.min−1 . Calculer son moment
cinétique par rapport à son axe de rotation sachant que son moment d'inertie
par rapport à cet axe vaut J = 0, 9 mR2 .
1.6 Mouvement dans un champ de force centrale conservatif
8.
Vitesse de libération
Démontrer l'expression de la vitesse de libération à la surface de la Terre. Faire
l'application numérique.
9.
Inuence du lieu de lancement d'un satellite
On projette de construire une nouvelle base de lancement de fusée et deux choix
nous sont proposés. L'un des deux est situé à Paris et l'autre à Kourou en Guyane
Française. Les familles préférerait que la base soit située à Paris pour éviter l'éloignement. On se propose de calculer la diérence de carburant nécessaire pour lancer
un satellite depuis ces deux bases.
Donnée : Rayon terrestre RT = 6400 km ; accélération de pesanteur à la surface de
la terre : g0 = 9, 8 m.s−2 ; durée d'un jour sidéral T S = 23 h 56 min.
(a) Quel référentiel d'étude peut-on choisir ?
(b) On veut placer le satellite sur une orbite basse (i.e. rasante d'altitude quasi
nulle). Calculez l'énergie d'un satellite de masse m = 100 kg en orbite basse.
(c) Comparez l'énergie à fournir au satellite dans le cas où il est lancé depuis Kourou
(5◦ Nord) et depuis Paris (48◦ Nord). A-t-on intérêt à lancer le satellite vers
l'est ou vers l'ouest ? (En Israël, le lancement se fait vers l'ouest et à Kourou le
lancement se fait vers l'est)
(d) Dans le cas d'un satellite géostationnaire, voyez vous un autre intérêt à la base
de Kourou par rapport à une située à Paris ?
6
2
Signaux physiques
2.1 Oscillateur harmonique
10.
Vibration d'un diapason
Un diapason vibre à la fréquence du La4 , soit f = 440 Hz. On mesure sur une photo
l'amplitude du mouvement de l'extrémité des branches A = 0, 5 mm.
(a) Quelle est la vitesse maximale de l'extrémité du diapason ?
(b) Quelle est l'accélération maximale de ce point ?
2.2 Propagation d'un signal
11.
Tension sinusoïdale Une tension sinusoïdale de valeur instantanée u(t) = u0 cos(2πν t)
12.
Signaux en quadrature
a été établie entre les extrémités d'une bobine. On modélise la bobine par une association série (L, R) de résistance R = 40 Ω. L'intensité instantanée dans la bobine
est i(t) = i0 cos(2πν t + ϕ).
On prendra u0 = 20 V, ν = 40 Hz et i0 = 0, 4 A.
(a) Donner la représentation complexe de u(t).
(b) Quelle est son amplitude complexe ? Sa phase ?
(c) Exprimer l'impédance complexe de la bobine en fonction de L et R.
(d) Déterminer numériquement ϕ et l'inductance L de la bobine. On pourra utiliser la représentation de Fresnel ou le calcul complexe.
On parle de signaux en quadrature de phase lorsque leur déphasage est ϕ = ±π/2.
(a) On donne s1 (t) = S1 cos(ωt), proposer deux expressions de s2 (t), d'amplitude
S2 en quadrature de phase avec s1 (t).
(b) Déterminer l'amplitude du signal s1 + s2 en fonction de S1 et S2 à partir d'une
construction de Fresnel.
(c) Que devient le résultat si S1 = S2 ?
(d) Écrire l'expression temporelle du signal résultant, lorsque : S1 = S2 et ϕ =
+π/2.
13.
Propagation non dispersive
Soit l'onde p(x, t = 0) représentée sur la gure 2 se propageant à la célérité c =
2 m.s−1 selon les x croissants ; tracer l'évolution de p(x0 , t) en fonction du temps, où
x0 = 10 m.
14.
Interférences
Deux ondes de même fréquence sont émises par des points sources S1 et S2 dans des
directions voisines de l'axe qui les joint. Un écran est placé perpendiculairement à
cet axe, on note C l'intersection.
(a) Sans faire de calculs, peut-on prévoir la forme de la gure d'interférences ?
(b) Les vibrations sont émises en phase par les sources S1 et S2 . Le point C est-il
un lieu d'interférences constructives ? destructives ?
7
Figure 2 Propagation d'un signal
Figure 3 Interférences
2.3 Optique géométrique
15.
Loupe
Expliquer le principe d'une loupe et mettre en évidence par un tracé de rayons sa
réalisation à l'aide d'une lentille convergente. Quel type d'image obtient-on ? Quelle
condition doit être respectée pour obtenir l'eet de loupe ?
16.
Image de la Lune
(a) Rappeler les conditions de Gauss.
(b) À l'aide d'une lentille mince convergente, de distance focale f 0 = 50 cm, on
forme l'image de la lune, située à D = 350.105 km et dont le diamètre angulaire
α est faible (angle sous lequel on voit le diamètre).
i. Sur une construction graphique, placer les images respectives, A' et B', de
deux points A et B de la lune diamétralement opposés, A étant sur l'axe
optique.
ii. Exprimer la distance A'B' en fonction de f 0 et α .
17.
Élargissement d'un faisceau
Un faisceau lumineux quasi parallèle de diamètre d = 2 mm est émis d'une source
8
Laser. On désire multiplier son diamètre par 10 tout en maintenant le faisceau cylindrique.
(a) L'élargisseur utilise une lentille mince divergente (L1 ) et une lentille mince
convergente (L2 ) de distance focale f20 = 50 mm.
Faire un schéma et en déduire f10 . Quelle est la distance O1 O2 qui sépare les
deux lentilles ?
(b) Cette fois, les deux lentilles sont convergentes et on a toujours f20 = 50 mm.
Reprendre les questions précédentes.
2.4 Introduction au monde quantique
18.
Couleur d'un laser
La lumière d'un laser est émise par des atomes eectuant une transition entre deux
niveaux d'énergie distants de 2.28 eV. Quelle est la couleur de ce laser ?
19.
Longueur d'onde de de Broglie
(a) Calculer la longueur d'onde de de Broglie d'un homme de 75 kg marchant à 5,0
km.h−1 . Comparer à la largeur de la porte de votre chambre et conclure.
(b) Quelle énergie, en électronvolts, doit-on communiquer à des électrons, de masse
me = 9, 11.10−31 kg, pour que leur longueur d'onde de de Broglie soit égale à
0,1 nm ?
(c) Calculer les longueurs d'onde de de Broglie pour un électron et un proton, de
masse mp = 1, 67.10−27 kg, dont les énergies cinétiques valent toutes les deux
100 eV.
20.
Niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène
Dans un modèle classique de l'atome d'hydrogène, les électrons décrivent des orbites
circulaires de rayon r autour du proton. Pour qu'un tel état puisse exister quantiquement, il faut que l'onde associée à l'électron revienne en phase avec elle même
lorsque l'électron fait un tour autour du proton.
(a) À l'aide du principe d'incertitude de Heisenberg (et de vos connaissances en
ordre de grandeur), estimer l'ordre de grandeur de la vitesse d'un électron dans
un atome d'hydrogène.
(b) Quel lien peut-on établir entre la longueur d'onde associée à l'électron et le
rayon de l'orbite ?
(c) En déduire la condition (dite de Bohr) qui relie le rayon r de l'orbite, la quantité
de mouvement p de l'électron et la constante de Planck réduite ~ et un entier
n.
(d) Un calcul classique montre que la quantité de mouvement d'un électron en
rotation autour d'un proton avec une orbite de rayon r possède une quantité de
mouvement proportionnelle à √1r . En déduire comment varie le rayon rn d'une
orbite de Bohr en fonction de l'entier n.
9
(e) Par un raisonnement simple, dire comment les niveaux d'énergie En de l'électron
dans l'atome dépendent de n. Le résultat est-il correct ?
2.5 Circuits électriques dans l'A.R.Q.S.
21.
Modèle de pile
Un générateur présente une diérence de potentiel de 22 V quand il est traversé par
une intensité du courant de 2 A. La diérence de potentiel monte à 30 V lorsque
l'intensité du courant descend à 1,2 A.
Préciser numériquement la résistance interne et la force électromotrice du modèle
de Thevenin du générateur. Quelles sont les puissances, fournie par le générateur et
perdue par eet Joule dans la seconde expérience ?
22.
Adapatation de puissance
Un générateur présente une tension "à vide" E et une résistance interne R0 . Il est
branché sur une résistance de valeur R.
(a) Que doit valoir R an que la puissance dissipée dans la résistance de valeur R
soit maximale ?
(b) Que vaut alors la puissance Joule dans cette résistance ? et dans la résistance
interne ?
2.6 Circuit linéaires du premier ordre
23.
Circuit R-C
On constitue un circuit composé d'une résistance R et d'un condensateur de capacité
C associés en série. On l'alimente à t = 0 par une source de tension idéale de f.e.m
constante E .
(a) Établir l'équation diérentielle vériée par la charge q du condensateur.
(b) Le condensateur étant initialement totalement déchargé, donner la solution de
cette équation et tracer l'allure de l'évolution de la charge q en fonction du
temps t.
(c) Exprimer et donner une interprétation de la constante de temps (ou de relaxation) du circuit ainsi constitué.
(d) Quelle est l'énergie emmagasinée en n d'opération ?
24.
Décharge de condensateurs
(a) Le circuit ouvert de la gure 4 comprend deux condensateurs de capacités respectives C1 et C2 . Le premier condensateur porte une charge q1,0 . Le second
n'est pas chargé.
Quelle est l'expression de l'énergie électrique Wi emmagasinée dans ce circuit ?
(b) On ferme l'interrupteur. Quelle est la tension Uf d'équilibre des condensateurs ?
10
Figure 4 Décharge de condensateurs - version 1
Figure 5 Décharge de condensateurs - version 2
(c) Quelle est l'énergie Wf emmagasinée maintenant dans le circuit ? Exprimer
Wf − Wi en fonction de C1 , C2 et q1,0 .
(d) Une interprétation possible de cette perte d'énergie est que la résistance du
circuit n'est pas nulle. C'est ce que montre la gure 5. La tension Uf et l'énergie
Wf sont-elles changées du fait de l'introduction de la résistance R ?
(e) Quelle est l'équation diérentielle suivie par la charge q1 (t) pendant la décharge
du condensateur ? En déduire l'expression de l'intensité du courant i(t) circulant
dans le circuit puis celle de l'énergie Q dissipée dans la résistance. Cette énergie
dépend-elle de R ?
2.7 Oscillateurs amortis
25.
Analogie mécanique - électrique
Il y a une analogie formelle entre un système masse-ressort avec frottement et un
circuit RLC série. Rappeler les équations diérentielles régissant chacun de ces deux
systèmes et en déduire les couples de grandeurs "analogues".
26.
Résonance
Tracer la courbe de résonance en élongation d'un oscillateur mécanique pour des valeurs de facteur de qualité Q valant (10, 5, 0.1). Tracer ensuite la courbe de résonance
en vitesse pour les mêmes valeurs de Q. Quelles sont les diérences importantes entre
ces deux types de résonance ?
11
27.
Régime transitoire d'un circuit RLC parallèle
Soit un circuit constitué de l'association en série d'une source idéale de tension E ,
d'une résistance R, d'un interrupteur K et de l'association en parallèle d'une résistance r, d'une inductance L et d'une capacité C . On notera i l'intensité du courant
dans R, i1 dans L, i2 dans C et i3 dans r ainsi que u la tension aux bornes de r (ou
de C ou de L).
Initialement, l'interrupteur est ouvert, la capacité est déchargée et tous les courants
sont nuls. On ferme l'interrupteur K à l'instant t = 0.
(a) Déterminer, en les justiant, les valeurs de u, i, i1 , i2 et i3 juste après la fermeture de l'interrupteur K.
(b) Même question lorsque le régime permanent est complétement établi.
(c) Établir l'équation diérentielle vériée par i3 pour t > 0.
(d) L'écrire sous la forme :
i¨3 + 2λω0 i˙3 + ω02 i3 = 0
On donnera les expressions de ω0 et λ en fonction de r, R, L et C .
(e) Établir la condition que doivent vérier r, R, L et C pour observer un régime
pseudo-périodique.
(f) Que caractérise λ ?
(g) Déterminer l'expression de i3 (t). On justiera la détermination des constantes.
(h) Une fois le régime permanant établi, on ouvre l'interrupteur K. Reprendre
les questions précédentes pour établir l'expression de i3 (t) pour les temps qui
suivent cette ouverture.
28.
Régime transitoire d'un système du second ordre
l'équation diérentielle ci après :
m
Soit l'oscillateur régi par
d2 x
dx
+ mγ
+ mω02 x = 0 γ > 0
dt2
dt
(a) Déterminer les diérents régimes en fonction de γ . On écrira cette équation sous
forme canonique en introduisant Q le facteur de qualité.
(b) Déterminer le temps de relaxation du régime dit pseudopériodique c'est-à-dire
le temps typique de la durée du régime transitoire.
2.8 Filtrage linéaire
29.
Filtre
On considère le circuit de la gure 6 où u = U0 cos ωt.
(a) Déterminer V0 et φ correspondants à v = V0 cos (ωt + φ).
(b) Etudier le cas où RCω = 1. Quelle est alors la fonction réalisée par ce montage ?
30.
Filtre de Wien
12
Figure 6 Circuit ... ?
Figure 7 Filtre de Wien
(a) À l'aide d'arguments purement qualitatifs (non calculatoires), établir la nature
du ltre de la gure 7.
(b) Établir sa fonction de transfert H(jω) et la mettre sous la forme :
H(jω) =
K
1 + jQ x − x1
avec x = ωω0 où K , ω0 et Q sont des constantes positives que l'on explicitera et
dont on donnera la signication physique.
(c) Calculer la valeur maximale du gain de dB et le déphasage correspondant. Quelle
est la bande passante ∆ω de ce ltre.
(d) Tracer l'allure de son diagramme de Bode.
13
3
Transformation de la matière
3.1 Description d'un système et évolution vers un état nal
31.
Équilibre de formation du bromure de nitrosyle
Tous les constituants sont gazeux et seront assimilés à des gaz parfaits. Constante
des gaz parfaits : R = 8, 32 J.mol−1 .K−1 . Pression standard de référence : P 0 = 1
bar. Masse molaire du dibrome : MBr2 = 159, 81 g.mol−1 .
On étudie l'équilibre en phase gazeuse ci-dessous :
2NO(g) + Br2(g) = 2NOBr(g)
On introduit, jusqu'à la pression P1 = 6000 Pa, dans un récipient de volume constant
(V = 2, 0 L) initialement vide de l'oxyde d'azote (NO) à une température maintenue
constante T = 333 K. On ajoute ensuite dans ce récipient une masse mBr2 = 300 mg
de dibrome. Une fois l'état d'équilibre établi, la pression totale dans le récipient est
P2 = 8220 Pa.
(a) Calculer la quantité de matière de chaque composé introduit dans le récipient.
(b) Calculer la quantité de matière totale à l'équilibre.
(c) Déduire des questions précédentes l'avancement de la réaction
(d) Calculer la pression partielle de chaque composé à l'équilibre.
(e) Calculer la constante d'équilibre.
3.2 Évolution temporelle et mécanismes réactionnels
32.
Décomposition de N2 O5
L'étude expérimentale de la décomposition de N2 O5 peut se faire en phase liquide,
N2 O5 étant dissous dans le tetrachlorure de carbone CCl4 . Le bilan de la réaction
est le suivant :
1
N2 O5 → N2 O4 + O2(g)
2
N2 O5 et N2 O4 restent en solution ; on mesure le volume de O2 dégagé, dont on déduit la concentration en N2 O5 restant. Une expérience a donné les résultats suivants :
t (s)
[N2 O5 ] mol.L−1
0
2,35
184
2,08
349
1,91
526
1,67
867
1,36
1198
1,11
1877
0,72
2315
0,55
Montrer que la cinétique est d'ordre 1 par rapport à N2 O5 , et calculer la constante
de vitesse de la réaction.
14
4
Architecture de la matière
4.1 Classication périodique
33.
Masse molaire atomique
Le carbone naturel est constitué de x % de l'isotope 126 C et y % de l'isotope 136 C. La
masse molaire de l'isotope 13 est 13, 0063 g.mol−1 . Calculer les pourcentages isotopiques x et y sachant que la masse molaire de l'élément carbone est M = 12, 01115
g.mol−1 .
34.
Isotopie
Les éléments carbone et oxygène existent sous forme de diérents isotopes. On rappelle Z(C) = 6 et Z(O) = 8.
(a) Dénir le terme isotope.
(b) Citer deux isotopes du carbone. Donner la structure du noyau dans chaque cas.
(c) L'oxygène existe essentiellement sous deux formes isotopiques 16 O et 18 O dont
les masses molaires sont respectivement M16 = 15, 9949 g.mol−1 et M18 =
17, 9922 g.mol−1 . Sachant que la masse molaire de l'oxygène naturel est M =
15, 9989 g.mol−1 , estimer les proportions des deux isotopes.
4.2 Molécules et solvants
35.
Oxydes du carbone
La carbone (Z = 6) donne avec l'oxygène (Z = 8) deux oxydes CO et CO2 .
(a) Écrire les formules de Lewis correspondantes.
(b) Montrer que dans CO les atomes portent des charges formelles à déterminer.
15
5
Thermodynamique
5.1 Description macroscopique d'un système à l'équilibre
36.
L'eau et l'air
On constate que pour augmenter la température d'1 g d'eau liquide de 1◦ C, il faut
lui fournir un transfert thermique de 4,18 J.
(a) Quelle est la capacité thermique massique c de l'eau ?
(b) Et sa capacité thermique molaire cm ?
(c) En considérant l'air comme un gaz parfait diatomique, donner sa capacité thermique molaire à volume constant c0V,m .
(d) En déduire sa capacité thermique massique c0v .
(e) Commenter ces ordres de grandeur.
(f) Evaluer pour 1 g d'eau liquide la variation d'énergie interne si sa température
augmente de 1◦ C.
(g) Même question pour 1 g d'air.
5.2 Énergie échangée par un système au cours d'une transformation
37.
Questions qualitatives
(a) On dépose un glaçon sortant d'un congélateur dans une coupelle et on l'abandonne à l'air libre.
i. Quel est l'état nal ?
ii. Dans cette transformation, le système constitué par le glaçon échange-t-il
de l'énergie sous forme thermique avec l'extérieur ? Si oui, dans quel sens ?
iii. Mêmes questions pour un éventuel échange d'énergie sous forme de travail.
(b) En hiver, un ballon de baudruche initialement à l'équilibre dans un lieu chaué
est apporté à l'extérieur.
i. Le système constitué par le ballon et l'air qu'il contient échange-t-il de
l'énergie sous forme thermique ? dans quel sens ?
ii. Mêmes questions pour un éventuel échange d'énergie sous forme de travail.
(c) Comment peut-on qualier les transformations précédentes ?
5.3 Premier principe
38. Énoncer le premier principe pour un système fermé.
39.
Vrai ou faux ?
Justier les réponses et rectier les armations fausses si c'est possible.
(a) L'énergie interne d'un gaz ne dépend que de la température.
16
(b) Au cours d'une transformation monobare, le transfert thermique est égal à la
variation d'enthalpie.
(c) La température d'un corps pur augmente quand on lui fournit un transfert
thermique.
(d) La température d'un système isolé reste constante.
(e) Un système fournit adiabatiquement du travail.
i. Sa température ne varie pas.
ii. Son énergie interne diminue.
(f) Un gaz est contenu dans un cylindre fermé par un piston. On diminue son volume
de moitié de manière soit adiabatique, soit isotherme. Le travail à fournir est :
i. plus grand si la compression est adiabatique que si elle est isotherme ;
ii. égal à la variation d'énergie interne dans les deux cas.
40.
Transformations polytropiques
Une transformation polytropique est une tranformation quasistatique vériant pV k
constante.
(a) Calculer le travail des forces de pression pour un gaz parfait subissant une transformation polytropique entre (p0 , V0 , T0 ) et (p1 , V1 , T1 ) en fonction des pressions
et volumes ainsi que de k .
C
(b) On consière un gaz parfait et on note γ = Cvp qui est une constante dans ce cas.
Trouver une expression du transfert thermique au cours de la transformation
précédente de la forme C(T1 − T0 ) où C est une constante.
(c) Quelle est la dimension de C .
(d) Étudier en les interprétant physiquement les cas suivants :
i. k = γ ;
ii. k = 0 ;
iii.
1
k
= 0;
iv. k = 1.
41.
Détermination de la chaleur massique du cuivre
Rappel : La valeur en eau d'un calorimètre est la masse d'eau qui aurait la même
capacité thermique que le calorimètre.
Dans un calorimètre dont la valeur en eau est de 41 g, on verse 100 g d'eau. Une
fois l'équilibre thermique atteint, on mesure une température de 20◦ C. On plonge
alors une barre métallique dont la masse est 200 g et dont la température initiale est
de 60◦ C. À l'équilibre, on mesure une température de 30◦ C. Déterminer la capacité
thermique massique du métal.
On donne la capacité thermique massique de l'eau ce = 4, 18 kJ.kg−1 .K−1 et on
suppose que les capacités thermiques massiques sont constantes dans le domaine de
températures considérées.
17
5.4 Deuxième principe
42.
Détente isentropique
L'hélium est assimilé à un gaz parfait ; on suppose qu'il se détend de manière adiabatique et réversible à partir d'un état à pression 106 Pa, T = 250 K, jusqu'à atteindre
une pression égale à 105 Pa.
(a) L'hélium étant monoatomique, préciser la valeur de γ .
(b) Déterminer la température nale.
(c) La température d'un gaz parfait qui vient de subir une détente isentropique
est-elle toujours inférieure à la température initiale ?
5.5 Machines thermiques
43.
Cycle de Carnot
Tracer un cycle de Carnot (moteur) pour un gaz parfait dans un diagramme de Clapeyron entre les températures T1 et T2 . Redémontrer l'expression de son rendement.
44.
Pompe à chaleur
Qu'est-ce qu'une pompe à chaleur ditherme ? Rappeler la dénition de son ecacité.
Démontrer l'expression de l'ecacité maximale d'une telle machine.
45.
Machine à glaçons
Une machine frigorique fonctionne de façon réversible entre une source froide constituée par une grande masse d'eau sous forme initialement liquide à la température
t0 = 0◦ C et une source chaude constituée par l'air extérieur à la température
t1 = 20◦ C.
La puissance électrique consommée par cette machine est P = 100 W.
(a) Exprimer et calculer le transfert thermique Qf reçu par la machine depuis la
source froide pendant une durée ∆t = 5 min.
(b) En déduire la masse mg de glace formée en ∆t par la machine.
Donnée : Lfus = 334 J.g−1 l'enthalpie massique de fusion de la glace à 0◦ C.
18
6
Induction et forces de Laplace
6.1 Champ magnétique
46.
Cartes de champs
Figure 8 Cartes de champs magnétiques
Dans les cartes de champs magnétique de la gure 8,
(a) Où le champ est-il le plus intense ?
(b) Où sont placées les sources ?
(c) Le courant électrique sort-il du plan de la gure ou rentre-t-il dedans ?
6.2 Action d'un champ magnétique
47.
Rails de Laplace
Figure 9 Rails de Laplace
~
On considère des rails de Laplace disposés verticalement . Le champ magnétique B
−2
est alors horizontal ainsi que la tige T, de masse m = 2.10
kg et 1a longueur
19
d = 4 cm. T peut glisser sans frottement etsans que ses extrémités ne quittent le
contact des rails (un guidage est prévu). À l'extrémité des rails de Laplace, on place
une source de courant d'intensité I constante.
(a) On désire maintenir la tige en équilibre. Quelles sont les actions à prendre en
compte ? Le sens de circulation du courant est-il indiérent pour obtenir cet
équilibre ?
(b) Quelle valeur d'intensité doit-on choisir pour assurer l'équilibre de T ? On notera
g = 10 m.s−2 l'accélération de la pesanteur, le champ magnétique est d'intensité
B = 0, 25 T.
(c) Un tel équilibre est-il stable ? Quelle diculté expérimentale rencontre-t-on ?
48.
Spire oscillante dans B terrestre
On suspend à un l inextensible mais sans raideur de torsion une spire circulaire
de moment d'inertie J par rapport à l'axe du l, de rayon R, et parcourue par
un courant stationnaire d'intensité I . Elle est plongée dans le champ magnétique
~ 0.
terrestre, supposé localement uniforme et de valeur B
(a) Exprimer le moment magnétique de la spire.
(b) Combien la spire a-t-elle de position(s) d'équilibre ? Si il y en a plusieurs, qu'estce qui les distingue ?
(c) On écarte la spire d'un petit angle θ0 à partir d'une position d'équilibre stable,
puis on la lâche sans vitesse initiale. Déterminer le mouvement ultérieur de la
spire.
(d) Montrer que l'on peut ainsi mesurer la composante horizontale du champ magnétique terrestre.
6.3 Lois de l'induction
49.
Spire en rotation
Une spire circulaire de surface S est en rotation, à la vitesse angulaire constante ω ,
autour d'un de ses diamètre, qui constitue l'axe ∆. Elle est placée dans un champ
~ , orthogonal à ∆.
magnétique uniforme et stationnaire B
(a) Établir l'expression de la f.é.m. induite e dans la spire.
(b) Sachant que le courant induit vaut i = Re , où R est la résistance électrique de
la spire, établir la valeur du moment magnétique de la spire.
(c) En déduire le couple de Laplace instantané puis moyen qui s'exerce sur la spire.
6.4 Circuit xe dans un champ magnétique qui dépend du temps
50.
Énergie magnétique d'une bobine
Démontrer l'expression de l'énergie stockée dans une bobine d'inductance L.
20
Figure 10 Cadre qui chute dans un champ localisé
6.5 Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire
51.
Cadre qui chute dans un champ localisé
Un cadre conducteur, constitué de quatre segments de longueur a, tombe dans le
plan de la gure sous l'eet de la gravité. Sa résistance électrique est notée R, son
inductance propre L.
L'espace est divisé en deux régions :
pour x < 0, il n'y a pas de champ magnétique,
pour x > 0 un champ magnétique est présent. Il est uniforme, stationnaire et
orthogonal au plan de la gure.
Établir les équations diérentielles régissant la vitesse ~v (t) du cadre dans les trois cas
possibles :
~ = ~0,
(a) Le cadre est entièrement dans la région où B
~ = ~0 et B
~ 6= ~0 ;
(b) le cadre est à cheval sur les régions où B
~ 6= ~0.
(c) le cadre est entièrement dans la région où B
21
7
Architecture de la matière condensée : solides cristal-
lins
52. Le fer γ cristallise dans le système cubique à façes centrées. Sa masse volumique est
7900 kg.m−3 . Quel est le rayon atomique du fer ? On donne la masse molaire du fer :
MF e = 55, 9 g.mol−1 .
22
8
Transformations chimiques en solution aqueuse
8.1 Réactions d'oxydo-réduction
53.
Pile de concentration
R
Fe
Fe
Fe2+
Fe2+
Compartiment (1)
Compartiment (2)
Figure 11 Pile de concentration
Dans l'expérience correspondant à la gure 11, les volumes des deux récipients valent
V1 = 200 mL à gauche et V2 = 50 mL à droite. Ces récipients contiennent une
solution aqueuse d'ions ferreux (Fe2+ ) avec deux concentrations initiales diérentes,
[Fe2+ ]1 = 10−2 mol.L−1 à gauche et [Fe2+ ]2 = 10−1 mol.L−1 à droite. Dans chaque
récipient trempe une lame de fer et les deux compartiments sont reliés par un pont
salin an que l'ensemble forme une pile (pile de concentration). À t = 0, on ferme
l'interrupteur et on laisse le système évoluer.
(a) Déterminer l'état nal.
(b) En déduire la quantité d'électricité qui a traversé le l reliant les deux électrodes.
8.2 Réactions acide-base et de précipitation
54.
Précipitation de BaSO4
On mélange 50 cm3 de BaCl2 et 100 cm3 de Na2 SO4 , tous deux de concentration
10−3 mol.L−1 . Ces sels se dissocient totalement.
(a) Déterminer la quantité de BaSO4(s) (pKs = 9,3) qui précipite.
(b) Calculer les concentrations à l'équilibre.
8.3 Diagrammes potentiel-pH
La gure 12 donne le diagramme potentiel-pH du vanadium à 298 K. Les espèces
présentes dans ce diagramme sont V(s) , V2+ , V3+ , VO2+ , VO+
2 et les hydroxydes
solides notés V(OH)2(s) , V(OH)3(s) , VO(OH)2(s) et VO2 (OH)(s) . L'axe des ordonnées est volontairement non gradué.
23
Figure 12 Diagramme potentiel-pH du vanadium
Aecter les espèces aux domaines correspondants. On expliquera brièvement le raisonnement.
24
9
Outils mathématiques
55. Rappeler l'expression de l'élément de volume ou volume élémentaire en coordonnées
cylindriques. Rappeler l'expression de l'élément de surface d'une sphère de rayon R
en coordonnées sphériques.
56.
Coordonnées cylindriques
Soit un point M de l'espace (Ox,Oy ,Oz ) de coordonnées cylindriques (r,θ,z ).
(a) Faire un schéma indiquant ces coordonnées ainsi que la base cylindrique associée.
−−→
(b) Exprimer dans la base cylindrique son vecteur position OM.
−−→
(c) Exprimer dans la base cylindrique son vecteur déplacement élémentaire dOM.
(d) Exprimer les coordonnées cartésiennes du point M en fonction de (r,θ,z ).
25