Éléments invariants d`une figure

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Éléments invariants d’une figure
1) Axes et centre de symétrie
a. Définitions
-
Un axe de symétrie d’une figure est une droite d telle que l’image de cette
figure par la symétrie orthogonale d’axe d est la figure elle-même.
Le centre de symétrie d’une figure est le point O tel que l’image de cette
figure par la symétrie centrale de centre O est la figure elle-même.
b. Propriétés
-
Une figure qui admet un nombre pair (différent de 0) d’axes de symétrie
admet un centre de symétrie, situé à l’intersection des axes.
Une figure qui admet un nombre impair d’axes de symétrie n’admet pas
de centre de symétrie.
c. Exemples
Deux axes et un centre
Cinq axes et pas de centre
Un centre et pas d’axes
2) Figures construites par rotation
a. Définitions
-
Une figure est construite par rotation si elle est l’image d’elle-même par
une rotation.
Son motif de base est le plus petit motif qui permet de construire la figure
par rotations successives.
L’angle du motif de base est le plus petit angle qui contient le motif de
base et dont le sommet est le centre de la rotation.
Exemples
-
motif apparaissant 5 fois
angle : 72°
-
motif apparaissant 8 fois
angle : 45°
b. Propriété
Si le motif de base apparaît n fois, l’amplitude de l’angle du motif de base
vaut
360°
𝑛
.
c. Propriétés des polygones réguliers
-
Un polygone régulier à n côtés possède n axes de symétrie.
Un polygone régulier à n côtés possède un centre de symétrie si n est pair.
Exemples
n pair
octogone régulier
n impair
Pentagone régulier
- un centre de symétrie
- n axes de symétrie :
 la moitié passant pas des
sommets opposés ;
 la moitié passant pas les milieux
de côtés opposés.
- pas de centre de symétrie
- n axes de symétrie passant par un
sommet et le milieu du côté opposé.
3) Symétrie des figures géométriques élémentaires
Figure
Axes de symétrie
Centre de symétrie
Segment
La médiatrice du segment et la
droite qui supporte ce segment
Le milieu du segment
La droite elle-même et toute
droite qui lui est
perpendiculaire
Tout point de la droite
Droite
Demi-droite
La droite qui supporte la demidroite
Aucun
Angle
La droite qui supporte la
bissectrice de l’angle
Aucun
Cercle
Cercle et corde
Toute droite qui prolonge un
diamètre
Le centre du cercle
La médiatrice de la corde
Aucun
Propriété
La médiatrice d’une corde du cercle passe par le centre du cercle.
4) Déterminer des triangles et des quadrilatères
a. Déterminer des triangles
Méthodes pour identifier des triangles
Pour déterminer si un triangle est isocèle, il suffit de vérifier
qu’il possède deux côtés de même longueur ou
qu’il possède deux angles de même amplitude ou
qu’il possède un axe de symétrie.
Pour déterminer si un triangle est équilatéral, il suffit de vérifier
qu’il possède trois côtés de même longueur ou
qu’il possède trois angles de même amplitude ou
qu’il possède trois axes de symétrie ou
qu’il existe une rotation de 120° qui applique le triangle sur lui-même.
b. Déterminer des quadrilatères
Arbre selon les éléments de symétrie
QUADRILATÈRE
+ centre de symétrie
+ médianes
axes de symétrie
PARALLÉLOGRAMME
RECTANGLE
+ diagonales
axes de symétrie
+ diagonales
axes de symétrie
LOSANGE
CARRÉ
+ médianes
axes de symétrie
Méthodes pour identifier des quadrilatères
Pour déterminer si un quadrilatère est un parallélogramme, il suffit de
vérifier
qu’il admet un centre de symétrie ou
que ses diagonales se coupent en leur milieu ou
qu’il possède les côtés opposés parallèles ou
qu’il possède les côtés opposés de même longueur ou
qu’il possède les angles opposés de même amplitude.
Pour déterminer si un quadrilatère est un rectangle, il suffit de vérifier
qu’il possède quatre angles droits ou
que ses médianes sont axes de symétrie ou
que ses diagonales se coupent en leur milieu et sont isométriques.
Pour déterminer si un quadrilatère est un losange, il suffit de vérifier
qu’il possède quatre côtés de même longueur ou
que ses diagonales sont axes de symétrie ou
que ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Pour déterminer si un quadrilatère est un carré, il suffit de vérifier
qu’il possède quatre côtés de même longueur et quatre angles droits
ou
que ses diagonales et ses médianes sont axes de symétrie
ou
que ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et
isométriques
ou
qu’il existe une rotation de 90° qui applique le quadrilatère sur luimême.
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