Éléments invariants d`une figure
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Éléments invariants d’une figure 1) Axes et centre de symétrie a. Définitions - Un axe de symétrie d’une figure est une droite d telle que l’image de cette figure par la symétrie orthogonale d’axe d est la figure elle-même. Le centre de symétrie d’une figure est le point O tel que l’image de cette figure par la symétrie centrale de centre O est la figure elle-même. b. Propriétés - Une figure qui admet un nombre pair (différent de 0) d’axes de symétrie admet un centre de symétrie, situé à l’intersection des axes. Une figure qui admet un nombre impair d’axes de symétrie n’admet pas de centre de symétrie. c. Exemples Deux axes et un centre Cinq axes et pas de centre Un centre et pas d’axes 2) Figures construites par rotation a. Définitions - Une figure est construite par rotation si elle est l’image d’elle-même par une rotation. Son motif de base est le plus petit motif qui permet de construire la figure par rotations successives. L’angle du motif de base est le plus petit angle qui contient le motif de base et dont le sommet est le centre de la rotation. Exemples - motif apparaissant 5 fois angle : 72° - motif apparaissant 8 fois angle : 45° b. Propriété Si le motif de base apparaît n fois, l’amplitude de l’angle du motif de base vaut 360° 𝑛 . c. Propriétés des polygones réguliers - Un polygone régulier à n côtés possède n axes de symétrie. Un polygone régulier à n côtés possède un centre de symétrie si n est pair. Exemples n pair octogone régulier n impair Pentagone régulier - un centre de symétrie - n axes de symétrie : la moitié passant pas des sommets opposés ; la moitié passant pas les milieux de côtés opposés. - pas de centre de symétrie - n axes de symétrie passant par un sommet et le milieu du côté opposé. 3) Symétrie des figures géométriques élémentaires Figure Axes de symétrie Centre de symétrie Segment La médiatrice du segment et la droite qui supporte ce segment Le milieu du segment La droite elle-même et toute droite qui lui est perpendiculaire Tout point de la droite Droite Demi-droite La droite qui supporte la demidroite Aucun Angle La droite qui supporte la bissectrice de l’angle Aucun Cercle Cercle et corde Toute droite qui prolonge un diamètre Le centre du cercle La médiatrice de la corde Aucun Propriété La médiatrice d’une corde du cercle passe par le centre du cercle. 4) Déterminer des triangles et des quadrilatères a. Déterminer des triangles Méthodes pour identifier des triangles Pour déterminer si un triangle est isocèle, il suffit de vérifier qu’il possède deux côtés de même longueur ou qu’il possède deux angles de même amplitude ou qu’il possède un axe de symétrie. Pour déterminer si un triangle est équilatéral, il suffit de vérifier qu’il possède trois côtés de même longueur ou qu’il possède trois angles de même amplitude ou qu’il possède trois axes de symétrie ou qu’il existe une rotation de 120° qui applique le triangle sur lui-même. b. Déterminer des quadrilatères Arbre selon les éléments de symétrie QUADRILATÈRE + centre de symétrie + médianes axes de symétrie PARALLÉLOGRAMME RECTANGLE + diagonales axes de symétrie + diagonales axes de symétrie LOSANGE CARRÉ + médianes axes de symétrie Méthodes pour identifier des quadrilatères Pour déterminer si un quadrilatère est un parallélogramme, il suffit de vérifier qu’il admet un centre de symétrie ou que ses diagonales se coupent en leur milieu ou qu’il possède les côtés opposés parallèles ou qu’il possède les côtés opposés de même longueur ou qu’il possède les angles opposés de même amplitude. Pour déterminer si un quadrilatère est un rectangle, il suffit de vérifier qu’il possède quatre angles droits ou que ses médianes sont axes de symétrie ou que ses diagonales se coupent en leur milieu et sont isométriques. Pour déterminer si un quadrilatère est un losange, il suffit de vérifier qu’il possède quatre côtés de même longueur ou que ses diagonales sont axes de symétrie ou que ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Pour déterminer si un quadrilatère est un carré, il suffit de vérifier qu’il possède quatre côtés de même longueur et quatre angles droits ou que ses diagonales et ses médianes sont axes de symétrie ou que ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et isométriques ou qu’il existe une rotation de 90° qui applique le quadrilatère sur luimême.
