Etude des propriétés d`une particule dans un potentiel linéaire

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE FERHAT ABBAS-SETIF
THESE
Présentée à la Faculté des sciences
Département de Physique
Pour l’Obtention du Diplôme de
DOCTORAT
Option : Physique théorique
Par
MR. KRACHE LAHCENE
THEME
Etude des propriétés d’une particule dans un potentiel linéaire
dépendant du temps
Soutenue le : 06/11/2010
Devant le Jury
Président :
Dr. A. Layadi
Prof. Université Ferhat Abbas Setif
Rapporteur :
Dr. M. Maâmache
Prof. Université Ferhat Abbas Setif
Examinateur : Dr. A. Bouldjedri
Dr. N. Mebarki
Prof. Université Hadj Lakhdar Batna
Prof. Université Mentouri Constantine
REMERCIEMENTS
Je remercie Dieu tout puissant clément et miséricordieux de m’avoir soigné
et aidé.
Je tiens, avant tout, à exprimer ma profonde gratitude à Monsieur
Maâmache Mustapha, Professeur à l’université de Sétif, qui a assumé la
direction de ce travail. Qu’il veuille bien trouver ici l’expression de ma
reconnaissance pour son dévouement, sa patience, sa disponibilité, ses conseils et
son aide constante qu’il m’a apporté tout au long de ce travail.
Je remercie les membres de jury qui ont accepté de juger ce travail et d’y
apporter leur caution :
Monsieur Layadi Abdelhamid, Professeur à l’université de Sétif, qui me fait le
grand honneur d’accepter la présidence du jury.
Monsieur Bouldjedri Abdelhamid, Professeur à l’université de Batna, pour
l’honneur qu’il me fait en acceptant de participer à ce jury.
Monsieur Mebarki Noureddine, Profeseur à l’université de Constantine, pour
l’honneur qu’il me fait en acceptant également de participer à ce jury.
iii
DEDICACES
Je remercie le Dieu pour m’avoir donné la force d’accomplir ce travail pour
aller plus loin In Chaa Allah.
Je dédie ce travail à mes regrettés parents, sœursb et frères, à ma femme et
mes enfants ainsi qu’à mes collègues et amis ; plus particulièrement Yahia Saâdi.
Lahcene
iv
Table des matières
TABLE DES MATIERES
REMERCIEMENTS ................................................................................................................. iii DEDICACES............................................................................................................................. iv TABLE DES MATIERES ........................................................................................................ vi LE RESUME .......................................................................................................................... viii INTRODUCTION ......................................................................................................................9 LES SYSTEMES DEPENDANT DU TEMPS ........................................................................13 I. L’équation de Schrödinger : ......................................................................................13 II. Quelques méthodes mathématiques de résolution de l’équation de Schrödinger :
14 1) Les méthodes analytiques : ......................................................................................15 1. théorie de perturbation de Poincaré : .............................................................15 2. La méthode de centrage (Kryloff-Bogoliuboff-Haag) : .................................15 3. Les méthodes topologiques : ............................................................................15 4. La méthode de séparation de variables : ........................................................15 2) Les méthodes numériques : .....................................................................................16 1. Méthode d'Euler : .............................................................................................16 2. La méthode de Heun : ......................................................................................16 3. La méthode d'Euler améliorée.........................................................................16 4. La méthode de Runge et Kutta ........................................................................17 5. Méthode des approximations successives .......................................................17 III. L’équation de Schrödinger dépendant du temps : ..............................................17 1) Les méthodes exactes : .............................................................................................19 1. Recherche de l’opérateur d’évolution : ..........................................................19 2. Changement de représentation : .....................................................................20 3. Les transformations unitaires : .......................................................................20 4. La théorie des invariants :................................................................................20 2) Les méthodes approximatives : ................................................................................20 1. La théorie des perturbations : .........................................................................21 2. Méthode variationnelle : ..................................................................................21 3. Approximation soudaine : ................................................................................22 4. Approximation adiabatique : ...........................................................................22 5. La phase de Berry : ...........................................................................................23 a) Systèmes non cycliques : .................................................................................26 b) Systèmes non adiabatiques : ...........................................................................26 c) Systèmes non hermitiens : ...............................................................................26 LA THEORIE DES INVARIANTS .........................................................................................29 I. Introduction : ..............................................................................................................29 II. Solution de l’équation de Schrödinger : ...................................................................30 III. Comment trouver un invariant ? ..........................................................................33 IV. Dans le cas du spectre continu : .............................................................................34 APPLICATIONS DE LA THEORIE DES INVARIANTS .....................................................38 I. Oscillateur harmonique avec masse et fréquence variables : .................................38 II. Particule chargée dans un champ électromagnétique : ...........................................40 vi
Table des matières
III. Solution exacte de l'équation de Schrödinger pour un oscillateur singulier plus
le terme (1/x)p+p(1/x) : .......................................................................................................44 1) Introduction: ................................................................................................................44 2) Construction de l'invariant : .......................................................................................45 3) Valeurs et états propres de l'invariant : ......................................................................47 4) Calcul de la phase totale et la solution de l'équation de Schrödinger : ....................50 5) Discussion : ..................................................................................................................51 LES ETATS COHERENTS .....................................................................................................55 I. Introduction : ..............................................................................................................55 II. Les états cohérents d’un oscillateur harmonique : ..................................................56 III. Les états cohérents canoniques :............................................................................58 1) Continuité :...............................................................................................................59 2) Résolution de l’unité ................................................................................................59 1. preuve : ..............................................................................................................60 3) Incertitude de Heisenberg........................................................................................60 IV. Opérateur déplacement :........................................................................................61 V. Evolution des états cohérents au cours du temps : ..................................................62 LES ETATS COHERENTS GENERALISES D’UNE PARTICULE DANS UN POTENTIEL
LINEAIRE DEPENDANT DU TEMPS ..................................................................................66 I. Introduction : ..............................................................................................................66 II. Position du problème : ................................................................................................67 III. Recherche de l’invariant : ......................................................................................68 IV. Recherche des solutions : .......................................................................................70 1) Cas 2 0 : ............................................................................................................71 2) Cas 2 0 : ............................................................................................................73 3) Cas 2 0 : ............................................................................................................74 INTERFACE CLASSIQUE-QUANTIQUE D’UNE PARTICULE DANS UN POTENTIEL
LINEAIRE DEPENDANT DU TEMPS ..................................................................................77 I. Introduction : ..............................................................................................................77 II. Position du problème : ................................................................................................78 III. La particule libre : ..................................................................................................78 IV. Particule dans un potentiel linéaire : ....................................................................79 1) Paquets d'ondes d'Airy : ..........................................................................................80 2) Paquets d’ondes gaussiens : ....................................................................................81 V. Discussion : ..................................................................................................................82 CONCLUSION .........................................................................................................................84 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ..................................................................................86 vii
Le résumé
LE RESUME
Dans notre travail, nous prouvons que la construction des solutions pour un système
quantique soumis à une force uniforme dépendant du temps est accomplie de telle manière
que les états résultants aient des propriétés semblables aux états cohérents de l'oscillateur
harmonique. Nous employons l'invariant quadratique de Lewis et Riesenfeld pour résoudre
l'équation de Schrödinger associée à une particule libre dans un potentiel linéaire dépendant
du temps.
Les solutions obtenues ne sont que les états cohérents généralisés avec les paquets
d'ondes normalisables avec le mouvement classique.
Nous employons l'hypothèse importante de De Broglie "
", qui est un aspect de
l'étude de l'interface classique-quantique, pour relier le modèle simple d'une particule libre au
modèle d'une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps. Les solutions obtenues
ne sont d’autres que :
i) paquets d'ondes d'Airy non diffusés.
ii) les paquets d'ondes gaussiens avec un "centre de masse" se déplaçant le long de la
trajectoire classique.
viii
Introduction
INTRODUCTION
L’étude des systèmes quantiques décrivant des particules dans un potentiel linéaire a
un intérêt considérable dans la littérature. En fait, malgré la facilité apparente du système du
point de vue solution mathématique, l’étude de ce dernier est plus complexe.
En effet, le système est unitairement connecté à plusieurs autres systèmes quantiques
dont il accepte leurs solutions. Cette propriété permet l’utilisation du potentiel linéaire pour la
description de plusieurs systèmes quantiques, et inversement, permet d’utiliser les différentes
solutions de ces systèmes pour mieux comprendre le potentiel linéaire.
Le but de ce travail est de concrétiser ces liens pour deux cas très importants en
mécanique quantique, à savoir l’oscillateur harmonique à travers la notion des états cohérents
et la particule libre à travers la relation de Louis De Broglie.
On va d’abord rappeler, au premier chapitre, les différentes méthodes utilisées pour la
résolution de l’équation de Schrödinger dépendant du temps, ainsi que les différentes
difficultés rencontrées pour le faire.
Dans le deuxième chapitre, nous allons exposer l’une des méthodes les plus puissantes
qui fournit des solutions exactes pour les systèmes dépendant du temps. Cette méthode sera
utilisée plus loin pour résoudre le problème d’une particule dans un potentiel linéaire
dépendant du temps.
Au troisième chapitre on va présenter trois exemples pour illustrer l’utilisation de la
théorie des invariants, à savoir :
- L’oscillateur harmonique avec masse et fréquence variables,
- Une particule chargée dans un champ électromagnétique et finalement la solution
exacte de l'équation de Schrödinger pour un oscillateur singulier plus le terme (1/x) p+p (1/x).
Le quatrième chapitre s’intéresse à l’introduction des états cohérents, et l’étude de
leurs propriétés et évolution au cours du temps. Ce chapitre, est d’une grande importance pour
les chapitres suivants qui forment l’objet principal de ce travail.
Dans le cinquième chapitre, nous dérivons, en utilisant la méthode des opérateurs
invariants et une approche des transformations unitaires, que l'équation de Schrödinger dans
un potentiel linéaire dépendant du temps possède une corde infinie de paquets d'ondes
9
Introduction
conservant la forme ayant un mouvement classique. Les propriétés qualitatives du spectre des
valeurs propres de l'invariant (discret ou continu) sont décrites séparément pour les différentes
valeurs possibles de la fréquence d'un oscillateur harmonique. Nous montrons également que,
pour un spectre discret de valeur propre, les états
l'état cohérent
,
,
pourraient être obtenus à partir de
.
Finalement, nous employons l'approche des paquets d'ondes pour analyser des
solutions non triviales dépendant du temps d'un système quantique d'une particule dans un
potentiel linéaire. Nous trouvons un lien entre le système d'une particule libre avec celui d'une
particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps par l'utilisation de l'hypothèse de De
Broglie qui présente un aspect important dans l'étude de l'interface entre la mécanique
classique et quantique. Des résultats analytiques ont été obtenus comme : i) des paquets
d'ondes d'Airy non diffusés, ii) des paquets d'ondes gaussiens.
10
Chapitre I
Les systèmes
dépendant du temps
Les systèmes dépendant du temps
LES SYSTEMES DEPENDANT DU TEMPS
I. L’équation de Schrödinger :
Le 19ème siècle a connu l’apparition de l’une des deux grandes théories physiques du
siècle ; la physique quantique. Tout au début de la mécanique quantique on a été confronté au
problème de l’explication des états discrets d’un atome.
En mécanique classique l’état d’un système physique est donné par la résolution des
équations du mouvement du système [1, 2]. Par contre, en mécanique quantique l’état du
système est déterminé par la résolution de l’équation de Schrödinger [3, 4, 5]. Cette équation
a été proposée par E. Schrödinger en 1926 [26]. De Broglie et Schrödinger ont ainsi pu
développer un parallélisme entre la mécanique classique et l'optique et parvenir à la
conception de la mécanique ondulatoire [3, 4, 5].
Dans cette théorie, l'étude du mouvement d'un électron - ou d'un système atomique
quelconque - ne doit pas être fondée sur les trajectoires classiques, solutions des équations de
Newton, ce mouvement est décrit par une onde associée à l'électron, l'onde de De Broglie, que
r
définit une fonction complexe des coordonnées d'espace et de temps, ψ (r, t ) , solution d'une
équation aux dérivées partielles, l'équation de Schrödinger :
ih
∂
ψ (t ) = H (t ) ψ (t )
∂t
( I-1 )
L’équation de Schrödinger est une équation aux dérivées partielles, du premier ordre
par rapport au temps et du second ordre par rapport aux coordonnées de l’espace à laquelle on
doit associer des conditions aux limites convenables. Dans cette équation, l'Hamiltonien H (t )
est un opérateur linéaire tiré de la fonction hamiltonienne classique, en y remplaçant la
r
quantité de mouvement P par l'opérateur:
r
r
P = −i∇ rr
( I-2 )
r
Pour une particule de masse m(t ) et d’impulsion P en mouvement dans un potentiel
r
V (r , t ) l’Ha miltonien ci-dessus s’écrit:
13
Les systèmes dépendant du temps
r
r
P2
H (t ) =
+ V (r , t )
2m(t )
( I-3 )
A cause de l’interprétation probabiliste due à M. Born en 1926 [6, 7] des fonctions
d’onde, les solutions de l’équation de Schrödinger doivent appartenir à l’espace de Hilbert. En
plus de l’équation de Schrödinger, les solutions de cette dernière doivent vérifier l’équation de
continuité suivante [3, 4, 5] :
r
∂ρ ( r , t ) r r r
+ ∇. j ( r , t ) = 0
∂t
( I-4 )
avec
ρ ( x, t ) = ψ * ( x, t ).ψ ( x, t )
( I-5 )
représente la densité de probabilité, et
[
r
r
r
− ih *
j ( x, t ) =
ψ ( x, t ).∇ ψ ( x, t ) − ψ ( x, t ).∇ ψ * ( x, t )
2m
]
( I-6 )
est la densité du courant.
Schrödinger a démontré l'équivalence du formalisme développé par De Broglie et
Schrödinger d'une part, et celui de Heisenberg, de Born et de Jordan d'autre part. Dès lors la
fonction d'onde n'a aucune signification physique propre ; elle est un système abstrait
opératoire qui représente l'état physique d'un système elle contient toutes les informations sur
celui-ci et permet le calcul de la probabilité qu'une variable physique ait une valeur donnée
dans une mesure de la probabilité de transition d'un système physique entre deux états
possibles des valeurs moyennes des grandeurs physiques d'un système dans un état donné.
Malgré son importance physique, l'équation de Schrödinger n'appartient pas à un type
particulier d'équations, à savoir hyperbolique ou parabolique.
II. Quelques méthodes mathématiques de résolution de l’équation de
Schrödinger :
Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du
développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de
géométrie. Dans les premières investigations, l'on s'attachait surtout à calculer les solutions au
moyen de fonctions déjà connues, très vite ce point de vue s'affirma trop étroit ; c'est qu'en
effet le problème fondamental de la théorie des équations différentielles est de déduire les
14
Les systèmes dépendant du temps
propriétés des solutions d'une équation ou d'un système donné de la forme analytique de ceuxci ; or, en général, les équations qui résultent d'une investigation théorique en mathématiques
ou en physique ne sont pas explicitement intégrables et constituent, bien souvent, la principale
source pour la définition de nouvelles fonctions dont les propriétés peuvent être prévues par
une analyse systématique de grandes classes d'équations ou de systèmes.
Les méthodes mathématiques de résolution de l’équation de Schrödinger se divisent
en deux catégories analytiques ou numériques :
1) Les méthodes analytiques :
Parmi ces méthodes on peut citer par exemple :
1. théorie de perturbation de Poincaré :
Elle permet de donner une description satisfaisante du phénomène de synchronisation
des oscillateurs quasi linéaires, comme elle permet aussi de rendre compte du phénomène de
démultiplication de fréquence, c'est-à-dire l'existence de solutions sous-harmoniques
périodiques.
2. La méthode de centrage (Kryloff-Bogoliuboff-Haag) :
Cette méthode permet de prévoir l'existence de solutions périodiques et d'étudier
leur stabilité.
3. Les méthodes topologiques :
Les méthodes topologiques ont reçu durant les dernières décennies un développement
considérable et rendu possible la recherche de solutions périodiques de systèmes différentiels
dans de nombreux cas. L'application de cette méthode à l’étude des systèmes dynamiques,
constitue un prolongement naturel de la théorie des équations différentielles et a donné lieu à
de nombreux travaux : problèmes de stabilité, problèmes ergodiques, … etc.
Une autre généralisation importante consiste à considérer des équations différentielles
dans lesquelles la fonction inconnue a des valeurs dans un espace métrique, par exemple un
espace de Hilbert ou un espace de Banach, ce qui est le cas de la mécanique quantique.
4. La méthode de séparation de variables :
Elle consiste à la recherche des valeurs propres oα (t ) et vecteurs propres ϕα (t )
correspondant à un problème aux valeurs propres [8, 9, 10] :
15
Les systèmes dépendant du temps
Oˆ (t ) ϕα (t ) = oα (t ) ϕα (t )
( I-7 )
Où le nombre quantique α peut être un indice discret ou continu selon la nature du système
quantique considéré, et l’opérateur Ô (t ) est un opérateur hermitien dont les fonctions propres
forment une base de l’espace de Hilbert [3]. Il peut représenter par exemple l’Hamiltonien, le
spin, le moment cinétique … etc.
D’après le principe de superposition, la solution de l’équation de Schrödinger, dite
fonction d’onde [5], n’est que la superposition de ces vecteurs propres. La nature de la
superposition, c’est à dire une série, une intégrale ou bien les deux à la fois dépend de la
nature de l’indice α . Les valeurs propres d'un tel opérateur sont des nombres réels et figurent
les résultats numériques possibles des mesures de la grandeur physique correspondante.
Dans le cas de l’Hamiltonien les valeurs propres représentent les énergies du système.
Une valeur propre est dite dégénérée s’il lui correspond plus
Spectre
continu
Spectre
discret
Spectres discret
et continu
Figure I-1 : différents types du spectre d’un opérateur.
d’un vecteur propre. L’ensemble des valeurs propres oα (t ) constitue le spectre de l’opérateur.
Les différents types de ce spectre sont donnés par la figure ci dessus.
2) Les méthodes numériques :
On cite par exemple :
1. Méthode d'Euler :
2. La méthode de Heun :
3. La méthode d'Euler améliorée
16
Les systèmes dépendant du temps
4. La méthode de Runge et Kutta
5. Méthode des approximations successives
III. L’équation de Schrödinger dépendant du temps :
Dans le paragraphe précédent nous avons donné quelques méthodes de résolution de
l’équation de Schrödinger ( I-1 ) dans sa forme la plus générale .
Dans la suite de ce paragraphe nous nous
intéresserons à un cas particulier de
l’équation de Schrödinger ; le cas dépendant explicitement du temps.
La résolution de l’équation de Schrödinger dépendant explicitement du temps revient
à déterminer les coefficients de développement Γn (t ) tels que :
ψ (t ) = ∑ Γn (t ) ϕ n (t )
( I-8 )
n
avec les ϕ n (t ) représentant les vecteurs propres de l’Hamiltonien vérifiant l’équation aux
valeurs propres suivante :
H (t ) ϕ n (t ) = E n (t ) ϕ n (t )
( I-9 )
L’injection de ( I-8 ) dans l’équation de Schrödinger ( I-1 ) donne :
∂
∂
∑ ih ∂t Γ (t ) ϕ (t ) + ∑ Γ (t )ih ∂t
n
n
n
n
n
ϕ n (t ) = ∑ Γn (t )En (t ) ϕ n (t )
( I-10 )
n
en projetant sur l’état ϕ m (t ) et en appliquant la relation d’orthonormalisation :
ϕ m (t ) ϕ n (t ) = δ nm
( I-11 )
tel que δ nm est le symbole de Kronecker, on obtient donc :
ih
∂
∂
Γm (t ) == Γm (t )Em (t ) − ∑ Γn (t ) ϕ m (t ) ih
ϕ n (t )
∂t
∂t
n
( I-12 )
Si on prend comme exemple le cas particulier suivant :
∀n,
ϕ n (t ) = ϕ n
( I-13 )
on obtient :
ih
∂
Γm (t ) = Γm (t )Em (t )
∂t
( I-14 )
17
Les systèmes dépendant du temps
Le système d’équation ( I-12 ) s’intègre facilement et on trouve :
t
Γm (t ) = Γm (t0 ) e
−i
Em (t ' )dt '
h
∫
( I-15 )
t0
et la solution ( I-8 ) de l’équation de Schrödinger ( I-1 ) est donnée par :
t
ψ (t ) = ∑ Γn (t0 ) e
−i
En (t ' )dt '
h
∫
t0
ϕ n (t )
( I-16 )
n
En réalité, résoudre le système des équations ( I-12 ) avec ses conditions initiales n’est
pas toujours une chose évidente. Pour illustrer cette affirmation, prenant l’exemple le plus
simple et connu en mécanique quantique, celui de l’oscillateur harmonique à une dimension,
l’Hamiltonien pour ce système est donné par [3] :
H (t ) =
1
P2
2
+ m(t )ω (t ) x 2
2 m(t ) 2
( I-17 )
avec m(t ) la masse de la particule et ω (t ) sa fréquence. On démontre que cet Hamiltonien
admet comme vecteurs propres les fonctions suivantes [3] :
⎛ β (t )2
ϕ k ( x ; t ) = ⎜⎜
⎝ π
1
⎞4 −
⎟ e
⎟
⎠
β (t )2 x 2
2h
χ k (β (t ) x )
( I-18 )
où les χ k (β (t ) x ) sont les polynômes d’Hermite [10] et β (t ) est définie par :
β (t ) =
m(t )ω (t )
h
( I-19 )
avec les valeurs propres suivantes :
1⎞
⎛
E k (t ) = ⎜ k + ⎟ h ω (t )
2⎠
⎝
( I-20 )
En utilisant les propriétés des polynômes d’Hermite [10], on démontre que le système
des équations ( I-12 ) s’écrit pour cet exemple comme suit :
iΓ& 0 (t ) = Γ0 (t ) E0 (t ) + iΓ2 (t )
iΓ&1 (t ) = Γ1 (t )E1 (t ) + i Γ3 (t )
β& (t ) 2
β (t ) 2
( I-21 )
β& (t ) 6
β (t ) 2
( I-22 )
18
Les systèmes dépendant du temps
iΓ& k (t ) = Γk (t )Ek (t ) − i Γk −2 (t )
β& (t ) k (k − 1)
β& (t ) (k + 2)(k + 1)
+ Γk + 2 (t )
β (t )
2
β (t )
2
( I-23 )
Il est clair que se système n’admet pas une solution analytique. En effet, pour déterminer un
coefficient k , on a besoin du coefficient k + 2 , et comme k prend ces valeurs de 0 à l’infini,
le système ne peut être résolu.
Dans le cas général, le système d’équation ( I-12 ) n’admet pas de solutions
analytiques. Dans les paragraphes suivants , on rappellera les différentes méthodes, exactes ou
approximatives, de résolution de l’équation de Schrödinger ( I-1 ).
Commençons par les méthodes exactes :
1) Les méthodes exactes :
1. Recherche de l’opérateur d’évolution :
En général, résoudre l’équation de Schrödinger ( I-1 ) revient à trouver un opérateur
linéaire, soit U (t ,t 0 ) , qui vérifie :
U (t , t0 ) = U + (t , t0 )
( I-24 )
et qui est définit comme suit [3, 4]:
ψ (t ) = U (t , t0 ) ψ (t0 )
( I-25 )
ψ (t0 ) représente l’état initial du système.
Par définition, le rôle de cet opérateur est de déterminer l’évolution de l’état ψ (t 0 ) à
chaque instant t , d’où l’appellation opérateur d’évolution [3].
En injectant ( I-25 ) dans l’équation de Schrödinger ( I-1 ), U (t ,t 0 ) vérifie l’équation
différentielle suivante:
ih
∂
U (t , t 0 ) = H (t )U (t , t 0 )
∂t
( I-26 )
avec la condition initiale :
U (t 0 , t 0 ) = 1
( I-27 )
Alors résoudre l’équation de Schrödinger ( I-1 ), revient à résoudre l’équation ( I-26 )
cette dernière s’intègre formellement en donnant :
19
Les systèmes dépendant du temps
U (t , t 0 ) = 1 +
t
1
H (t ')U (t ' , t 0 )dt '
ih t∫0
( I-28 )
L’avantage de cette écriture est quelle permet d’établir des solutions approximées en
utilisant les différentes méthodes d’approximation, comme nous allons le voir dans les
paragraphes suivants.
2. Changement de représentation :
Les résultats donnés jusqu’ici ont été obtenus dans ce qu’on appelle la représentation
de Schrödinger, cette représentation n’est pas la seule.
En mécanique, le changement de représentation à l’aide de certains opérateurs
unitaires peut apporter plus d’avantage et facilite la résolution de l’équation de Schrödinger,
ou, au moins, il permet d’extraire quelques informations sur le système étudié [4].
Parmi ces représentations nous avons : la représentation de Heisenberg et la
représentation interaction ou représentation intermédiaire.
3. Les transformations unitaires :
En appliquant des transformations unitaires sur un système dépendant du temps on
peut le rendre indépendant du temps, à condition de trouver de tels opérateurs unitaires. Une
étude d’une classe d’Hamiltoniens non linéaires dépendant du temps à un seul degré de liberté
et faite par [11], dans laquelle, de tels systèmes sont transformés en des systèmes
indépendants du temps, à des facteurs dépendants du temps près, à l’aide de quelques
transformations appropriées.
4. La théorie des invariants :
Parmi les méthodes les plus puissantes et qui donnent des solutions exactes de
l’équation de Schrödinger dépendant du temps, nous avons la méthode des invariants [12].
A cause de son importance dans ce travail, nous allons l’étudier avec plus de détails.
Mais avant de le faire, donnons quelques méthodes d’approximations utilisées pour résoudre
l’équation de Schrödinger ( I-1 ).
2) Les méthodes approximatives :
Parfois, lorsqu’on ne peut pas trouver des résultats exacts , on fait appel aux méthodes
d’approximation, ces méthodes sont généralement très puissantes et applicables à de
nombreux systèmes physiques, elles sont beaucoup plus utilisées dans les domaines de la
20
Les systèmes dépendant du temps
physique appliquée ; telles que la physique du solide, physique des plasmas, l’information
quantique…etc. Parmi ces méthodes on a :
1. La théorie des perturbations :
Si on considère le cas particulier suivant [4] :
H (t ) = H 0 (t ) + λV (t )
( I-29 )
H 0 (t ) est un Hamiltonien d’une équation de Schrödinger que l’on sait intégrer
où
exactement et V (t ) un potentiel quelconque, et λ vérifie [13]:
λ << 1
( I-30 )
Il est montré que la solution de l’équation ( I-28 ) est donnée par la série suivante [4] :
∞
U (t , t 0 ) = U (0 ) (t , t 0 ) + ∑U (n ) (t , t 0 )
( I-31 )
n =1
avec U (0 ) (t ,t 0 ) est la solution de l’équation non perturbée. Les U (n ) (t , t 0 ), ∀ n ≥ 1 sont
données par [4] :
U
(n )
(t , t 0 ) = (ih )− n λn
∫
(t , t n )V (t n )U (0 ) (t n , t n −1 )V (t n −1 )
(0 )
(t 2 , t1 )V (t1 )U (0 ) (t1 , t 0 )
dt n dt n −1 L dt 1 U
t > t n > t n −1 >L> t1 > t 0 LU
(0 )
( I-32 )
Cette théorie consiste à ne prendre que les premiers ordres en λ .
La théorie des perturbations dépendant du temps permet donc de calculer
approximativement les fonctions d’ondes à partir des états stationnaires du système non
perturbés [5], et les différentes grandeurs physiques sont obtenues en calculant les valeurs
moyennes des opérateurs correspondants.
2. Méthode variationnelle :
Cette méthode s’appuie sur le théorème de Ritz [3] qui stipule que la valeur moyenne
de l’Hamiltonien calculé par rapport à une fonction d’onde χ (t ) , c'est-à-dire :
H (t ) =
χ (t ) H (t ) χ (t )
( I-33 )
χ (t ) χ (t )
est stationnaire si elle avoisine l’une de ces valeurs propres.
21
Les systèmes dépendant du temps
Alors, pour trouver les valeurs propres de l’Hamiltonien on choisit une fonction
d’essai appropriée dépendant d’un certain paramètre α , et en variant par rapport au paramètre
les valeurs propres de l’Hamiltonien correspondent aux valeurs α i pour lesquelles la valeur
moyenne ( I-33 ) est extrémale.
3. Approximation soudaine :
Supposant que le système est soumis à un champ extérieur pendant un intervalle de
temps T , On appelle approximation soudaine, l’approximation appliquée dans le cas limite
T → 0 , elle s’énonce comme suit [4, 13] :
« … A la limite où T → 0 , c'est-à-dire dans le cas du passage infiniment rapide, l’état
dynamique du système reste inchangé … ».
4. Approximation adiabatique :
En étendant les travaux d’Ehrenfest [14] sur l’approximation adiabatique en
mécanique classique et l’ancienne théorie des Quantas [4, 13, 15] à la mécanique quantique,
M. Born et V. Fock [16] ont ouvert un domaine de recherche de grand intérêt dans le comité
scientifique que se soit sur le plan théorique ou pratique, on peut citer par exemple :
physique des plasmas, fibres optiques, information quantique ... etc.
Supposons que l’Hamiltonien du système considéré dépend du temps à travers un
r
ensemble de paramètres X (t ) telle que la masse, la charge, un champs externe …etc. ici les
r
paramètres X (t ) dépendant de manière adiabatique du temps.
Le but de l’approximation adiabatique est la détermination de l’évolution du système
entre deux instants t 0 et t1 avec :
T = t1 − t 0
( I-34 )
représentant le paramètre adiabatique, et qui vérifie
T >>
( I-35 )
Le but de l’approximation adiabatique est de trouver l’opérateur d’évolution U (t1 , t 0 ) ,
lorsque T → ∞ , dans ce cas, le théorème adiabatique stipule que [4] : « si le système se
r
r
trouve à l’instant initial dans un état propre ϕ n X (t0 ) de H X (t 0 ) , il passe au temps t1 dans
(
22
)
(
)
Les systèmes dépendant du temps
(
(
)
)
r
r
l’état propre ϕ n X (t1 ) , à un facteur de phase près, de H X (t1 ) qui s’en déduit par
continuité » donc, les vecteurs propres constituent de bonnes approximations de la solution
exacte pour un système adiabatique [17].
5. La phase de Berry :
L’application du théorème adiabatique a connu un intérêt croissant dans les différents
domaines de la physique [15, 18], Parmi ces applications les plus importantes ,on a la phase
géométrique de Berry [19]. D’après le théorème adiabatique le système, préparé initialement
dans un état propre de l’Hamiltonien, reste à tout instant dans le même état propre à un facteur
de phase près, c'est-à-dire la solution de l’équation de Schrödinger ( I-1 ) s’écrit dans le cadre
de l’approximation adiabatique comme suit :
( )
r
ψ n (t ) = e ( ) ϕn X
r
iα n X
la période T
( I-36 )
est supposée très grande pour qu’on puisse appliquer l’approximation
adiabatique précédente, de plus, on suppose effectuer une évolution le long d’une courbe
r
fermée C dans l’espace des paramètres X , c'est-à-dire :
r
r
X (t1 ) = X (t 0 )
( I-37 )
Berry a montré qu’en plus de la phase dynamique, le système admet une nouvelle phase, en
effet, en injectant ( I-36 ) dans l’équation de Schrödinger ( I-1 ) on obtient :
( ) ( )
( ) ( )
( )
r
r
r
r
r
∂
1
∂
α n X ϕ n X = − En X ϕ n X + i ϕ n X
∂t
h
∂t
( )
r
en projetant sur ϕn X
( )
( )
( I-38 )
on trouve :
( )
( )
r
r
r ∂
r
∂
1
α n X = − En X + ϕ n X i ϕ n X
∂t
h
∂t
( I-39 )
d’où, on a :
( )
r
( )
r
( )
r
α n X = γ nD X + γ nG X
( I-40 )
( )
r
Ici la phase supplémentaire γ nG X
représente la phase célèbre de Berry, elle est donnée
d’après par :
23
Les systèmes dépendant du temps
( )
r
(
t
r
)
γ nG X = ∫ ϕ n X (t ') i
t0
(
)
r
∂
ϕ n X (t ') dt '
∂t '
( I-41 )
qui s’écrit encore après une période T :
( )
r
r
( )
r
r
γ nG = ∫ ϕ n X i∇ Xr ϕ n X dX
( I-42 )
C
Simon [20] a mis cette phase en relation avec le transport naturel défini sur le fibré des
rayons de Hilbert. Ce transport peut être interprété en introduisant une distance entre les
rayons dans l’espace projectif de Hilbert. Cette distance définit, dans le cas où les deux rayons
sont infiniment voisins, la métrique Fubinit-Study.
Le lien avec le transport de Berry a été fait par Maâmache et al [21], en moyennant et
minimisant la distance de Bures.
Pour cette raison, la phase de Berry s’appelle aussi phase géométrique [17, 22].
La sphère de toutes
les configurations
possibles
La courbe fermée
C
La courbe fermée
Les axes des
paramètres
Figure I-2 : L’angle solide enfermé par la
courbe [23].
C
La 2-forme
Figure I-3 : Le flux d’une 2-forme à travers une
surface enfermée par une courbe [23].
Depuis sa découverte en 1983, la phase de Berry a suscité un grand intérêt soit sur le
plan théorique ou expérimental1 [24, 25, 26, 27, 28, 29] ce qui montre que cette dernière n’est
pas une phase ordinaire. En fait, il est connu que la dynamique des systèmes quantiques ne
dépend que du module carré de la fonction d’onde quelque soit la phase attribuée à cette
dernière, ce qui laisse l’intention que la phase de Berry ne peut pas être mesurée
expérimentalement, ce qui n’est pas le cas [19, 30]. En effet, on peut imaginer une expérience
1
A. Shapere, F. Wilczek, Geometric Phases in Physics (World Scientific, Singapore, 1989) [15].
24
Les systèmes dépendant du temps
où on divise un faisceau de particules en deux parties : la première est soumise à une
modification adiabatique, et la deuxième est laissée libre, puis avec un mécanisme approprié
on recombine les deux parties ce qui donne une image d’interférence qui permet de mesurer
cette phase [22, 24, 30].
Parmi ces expériences d’interférence, nous avons, par exemple, celles effectuées par
des neutrons dans des champs magnétiques hélicoïdaux1 ou avec des photons polarisés dans
des fibres optiques tordues2 [22, 31, 32]. Elle est aussi observée dans les expériences de
résonance quadripolaire nucléaire (RQN), voir figure I-2 et I-3 [33].
Figure I-5 : L’effet Aharonov-Bohm dans une
boite transportée autour d’une ligne de Flux.
Figure I-4 : Le Déphasage de Berry dû à la
diffusion des atomes de Xénon [33].
La phase de Berry a de nombreuses applications [34, 35] qui s’étendent de l'effet Hall
quantique [15, 36], l’effet Aharonov-Bohm (fig. I-5 ) [37, 38, 39, 40], l’effet Young-Tailor
[35] et l’effet Güoy [27, 41] qui ne peuvent être expliqués qu’en terme de la phase de Berry, à
la compréhension de l'atténuation des excitations collectives dans les systèmes finis de Fermi
[34], ainsi qu’aux transitions de phase quantique qui se trouvent en dehors du modèle habituel
de Landau-Ginzburg-Wilson [28, 42].
En outre, le théorème et la phase adiabatiques de Berry ont joué des rôles importants
dans la conception des algorithmes quantiques et l'exécution des calculs géométriques de
l’information quantique [25, 28, 34, 43].
L’acquisition d’une phase géométrique dans une évolution adiabatique n’est pas
confinée aux phénomènes quantiques, en effet, J. H. Hannay3 a montré que l’analogue
1
T. Bitter, D. Dubbers, Phys. Rev. Lett. 59, 251 (1987) [48].
A. Tomita, R. Y. Chiao, Phys. Rev. Lett. 57, 937 (1986) [48].
3
J. H. Hannay, J. Phys. A 18, 221 (1985) [26, 37, 44, 45].
2
25
Les systèmes dépendant du temps
classique de la phase de Berry existe [26, 29, 37, 44, 45, 46, 47]. Cette dernière, notée :
∆θ G (t ) , est souvent connue sous le nom de l’angle de Hannay.
Pour les systèmes intégrables1, l'angle de Hannay n'est qu’un décalage supplémentaire pris par
les variables d'angle du système classique quand les paramètres de ce dernier subissent une
modification adiabatique le long d'un circuit fermé dans l'espace de paramètre [49].
Dans un autre papier, Berry et Hannay ont établi une relation semi-classique entre la phase de
Berry et l’angle de Hannay, soit [29, 52] :
∂γ kG (t )
∆θ (t ) = −
∂k
G
( I-43 )
La phase de Berry a connu de différentes généralisations, Parmi celles-ci :
on cite :
a) Systèmes non cycliques :
Comme nous l’avons vu précédemment, la phase de Berry est calculée lorsque le
système effectue une évolution le long d’une courbe fermée C ,
Ce résultat a été généralisé par
J. Samuel, R. Bhandari [50] dans le cas d’une
évolution non cyclique et non unitaire [17].
b) Systèmes non adiabatiques :
En 1987, Y. Aharonov et J. Anandan [22] ont montré qu’une phase géométrique peut
émerger dans le cas des systèmes non adiabatiques [51], la découverte de cette phase a permis
d’enlever le mystère de pourquoi la phase de Aharonov-Bohm [40], devrait émerger de la
phase de Berry malgré que l’effet de Aharonov-Bohm soit indépendant de l’approximation
adiabatique [22].
c) Systèmes non hermitiens :
Il est montré que les systèmes non hermitiens ou dissipatifs admettent aussi une phase
analogue à la phase de Berry [19].
On note vers la fin que la phase de Berry admet un analogue classique qui est l’angle
de Hannay découverte par J. H. Hannay [52].
1
Là où il est possible d'écrire l’hamiltonien du système en termes de variables d'action et d'angle [44].
26
Chapitre II
La théorie des invariants
La théorie des invariants
LA THEORIE DES INVARIANTS
I. Introduction :
L'étude des systèmes dépendant du temps a fait sujet d'un grand intérêt dans la
littérature, que ce soit en mécanique classique [53, 54] ou quantique [55]. Le retentissement
d'intérêt sur ce sujet est dû au fait que les systèmes dépendant du temps peuvent être traités
comme un modèle exactement soluble et peuvent être utilisés dans plusieurs applications en
physique tel que l'optique, la mécanique quantique, ...
La théorie des invariants pour des Hamiltoniens Hermitiens a été introduite par Lewis
et Riesenfeld (1969) [56], où ils ont dérivé une simple relation entre les vecteurs propres de
l’invariant et la solution de l’équation de Schrödinger.
La théorie des invariants représente l’un des piliers fondamentaux dans l’étude des
systèmes dépendant du temps. Cette importance de la théorie des invariants relie au langage
mathématique puissant qui l’a caractérisé, et sur sa souplesse dans la solution de l’équation de
Schrödinger dépendante du temps. Dans cette partie de notre travail, on donne quelques
notions essentielles concernant la théorie des invariants. Á travers ces notions on peut
approcher aux lecteurs au moins une idée sur le rôle de la théorie des invariants dans la
solution de l’équation de Schrödinger dépendant du temps qui sera appliquée ultérieurement
dans les chapitres suivants.
On considère la théorie des invariants pour un système quantique général dont
l'opérateur Hamiltonien H(t) est explicitement dépendant du temps. Bien sûr, un tel système
n'est pas fermé, dans le sens où il y a des influences externes qui peuvent changer les
paramètres du système, changer son énergie totale ou le moment angulaire, etc.…
La théorie du rayonnement semi-classique fournit un exemple bien connu ; dans ce
cas le système quantique est pris pour être un atome ou une molécule qui subit une transition
radiative, et le terme explicitement dépendant du temps dans l'Hamiltonien est l'interaction
avec le champ de la radiation classique.
Les techniques des approximations habituelles pour traiter un tel système sont la
théorie de perturbation dépendant du temps (dans laquelle le terme dépendant du temps est
considéré petit), l'approximation adiabatique (dans laquelle l'échelle de variation du terme
La théorie des invariants
dépendant du temps est grande, comparée à toutes les périodes caractéristiques du système),
et l'approximation "soudaine" (dans laquelle les changements externes sont très rapide
comparés à la période caractéristique la plus courte). Les résultats de l'approximation
adiabatique et soudaine seront déduits comme des limites des résultats rigoureux de la théorie
des invariants.
L’idée de base de la théorie des invariants est la dérivation de la relation entre les états
propres de l'invariant et la solution de l'équation Schrödinger. On peut trouver une
transformation de phase dépendant du temps pour chaque état propre d'un invariant telle que
la fonction propre devient une solution de l'équation de Schrödinger, et la phase est
déterminée en résolvant une simple équation différentielle du premier ordre.
II. Solution de l’équation de Schrödinger :
Nous considérons un système dont l'Hamiltonien
est explicitement dépendant du
temps, et nous supposons l'existence d'un autre opérateur Hermitien non trivial
,
est dit un invariant s’il satisfait les conditions :
,
0
( II-1 )
( II-2 )
L'équation de Schrödinger qui détermine le vecteur d'état dépendant du temps |
|
|
est :
( II-3 )
En appliquant l'équation ( II-1 ) sur |
et en utilisant l'équation ( II-3 ), nous obtenons la
relation :
|
|
1
,
|
0
|
( II-4 )
Cette dernière formule implique que l'action de l'invariant sur un vecteur d'état produit une
autre solution de l'équation Schrödinger. Ce résultat est valide pour tout invariant, même si ce
dernier implique des opérations de dérivation par rapport au temps. Si l'invariant n'implique
pas des dérivations par rapport au temps, alors nous sommes capables de dériver une règle
simple et explicite pour choisir les phases des fonctions propres de
30
telles que ces états
La théorie des invariants
eux-mêmes satisfassent l'équation de Schrödinger. Dans ce qui suit, On suppose que
n'implique pas des dérivations par rapport au temps. Les invariants que nous allons rencontrer
dans ce travail vérifient cette exigence.
a un ensemble complet de fonctions propres.
On suppose que l'invariant
Soit
, et |
la valeur propre de
,
ses fonctions propres, où
représente tous
les autres nombres quantiques nécessaires pour spécifier les états propres. L'équation aux
valeurs propres s'écrit comme :
|
|
,
|
,
,
( II-5 )
′, ′
, ′
( II-6 )
, ′
En vertu de l'équation ( II-2 ), les valeurs propres
sont réelles et indépendantes du
temps, comme on peut le déduire facilement En dérivant l'équation ( II-5 ) par rapport au
temps, on obtient :
|
|
,
|
,
|
,
On applique l'équation ( II-1 ) sur l'état propre |
|
|
,
|
,
,
,
,
, ce qui donne
0
( II-8 )
′, ′ | est
le produit scalaire de l'équation ( II-7 ) avec un état
′, ′
′
,
( II-7 )
′, ′ | |
,
0
( II-9 )
ce qui implique
′, ′
,
0
( II-10 )
en prenant maintenant le produit scalaire de l'équation ( II-7 ) avec
′, ′
,
|, on obtient
,
0
( II-11 )
Comme les valeurs propres sont indépendantes du temps, il est clair que les états
propres doivent être dépendants du temps.
Pour trouver le rapport entre les états propres de
et les solutions de l'équation
Schrödinger, on écrit en premier lieu l'équation du mouvement de |
par l'équation ( II-7 ) et en utilisant l'équation ( II-11 ), on aboutit à :
31
,
, en commençant
La théorie des invariants
|
|
,
,
.
( II-12 )
En prenant le produit scalaire avec
′, ′ | et utilisant l'équation ( II-9 ) pour éliminer
′, ′
′
pour
,
on obtient :
′, ′
,
′, ′ | |
′
,
( II-13 )
′, on déduit :
′, ′
′, ′ | |
,
,
( II-14 )
L'équation ( II-13 ) n'implique pas
, ′
Si l'équation ( II-14 ) est valable pour
immédiatement que |
, ′ | |
,
,
′ aussi bien que pour
′, alors on déduit
satisfait l'équation de Schrödinger, c'est-à-dire, |
,
,
est
une solution particulière de l'équation de Schrödinger.
Jusqu’ici, on n’a pas parlé de la phase de |
,
: On suppose qu'une phase
quelconque a été choisie, mais on est encore libre de multiplier par un facteur de phase
dépendant du temps arbitraire. C'est-à-dire, on peut définir un nouvel ensemble des vecteurs
propres de
|
lié à notre ensemble par une transformation de jauge dépendant du temps.
,
où
,
|
,
( II-15 )
est une fonction réelle du temps arbitrairement choisie. Ces |
,
associés à , aussi bien que les|
états propres orthonormaux de
Si on choisit bien les phases
,
,
,
sont des
.
, l'équation ( II-14 ) sera vérifiée pour
′ et donc
l'objectif sera atteint. Il faut juste avoir :
′
,
′, ′
,
( II-16 )
Mise à part ces changements de phase, on peut introduire la deuxième propriété importante de
cet invariant : tous les états propres de ces invariants sont aussi les solutions de l'équation de
Schrödinger ( II-3 ).
32
La théorie des invariants
satisfait l'équation de
Du fait que chacun de ces nouveaux états propres de
Schrödinger, la solution générale est donnée par :
|
où
∑
,
,
,
,
( II-17 )
sont des coefficients indépendants du temps et correspondent à |
|
|
|
,
0
,
,
,
0
|
est la solution de l'équation de Schrödinger et |
0
via
, ,0
,
sont les états propres de
l'invariant.
En résumé:
(1) L'action de l'invariant sur une solution de l'équation de Schrödinger ( II-3 ) donne
une autre solution de cette équation.
(2) Cet invariant a un spectre indépendant du temps.
(3) Si a un spectre non-dégénéré, toutes ses fonctions propres sont aussi solutions de
l'équation de Schrödinger ( II-3 ) à une phase près. Et s’il a un spectre dégénéré, on peut
introduire des bases adaptées à chaque sous-espace propre, dont les éléments deviennent des
solutions de l'équation de Schrödinger.
III. Comment trouver un invariant ?
Une fois que l'on connaît l'intérêt d'utiliser les invariants pour décrire les solutions, on
peut aborder directement le problème pour trouver ces invariants.
Dans le cas d'un système de dimension finie, il y a un résultat dù à [55] qui stipule
qu’on peut avoir un invariant pour le système ( II-3 ) si et seulement si, on peut construire une
algèbre de Lie1. Dans le cas de dimension infinie, pour qu'un système de la forme ( II-3 ) ait
un invariant, il faut que l'algèbre de Lie soit de dimension infinie.
Paradoxalement, plusieurs exemples d'intérêt physique (comme l'oscillateur
harmonique), ont une algèbre de Lie de dimension finie (elle est même de dimension réduite).
Donc on se met là, dans le cas d'un système de dimension infinie, sous l'hypothèse
d'avoir une algèbre de Lie de dimension finie. On va voir, comment cette hypothèse peut nous
aider à trouver l'ensemble des invariants de notre système de Schrödinger.
1
On peut trouver un invariant sans construire une algèbre de Lie; le problème traité par ce mémoire est un bon
contre exemple.
33
La théorie des invariants
Supposons par exemple que l'algèbre de Lie engendrée par
est donnée par
l'ensemble des opérateurs hermitiens :
,
Λ
,…,
( II-18 )
On essaiera donc de trouver des invariants
qui se décomposent complètement sur cette
algèbre de Lie. On prend alors sous la forme:
∑
.
( II-19 )
En injectant cette forme dans la formule ( II-1 ), on voit bien que les
doivent vérifier un
système d'équations.
Pour retrouver ces équations différentielles, nous avons besoin de connaître la décomposition
des commutateurs
,
dans la base . En faisant cela, on trouvera les coefficients
∑
,
( II-20 )
Connaissant ces coefficients, on peut donner les équations différentielles, que les
doivent vérifier:
∑
,
1,2, … ,
Ainsi, à chaque ensemble des
∑
invariant
( II-21 )
qui vérifient ( II-21 ), est associé un
.
IV. Dans le cas du spectre continu :
Dans le cas d’un spectre discret, α λk (t ) peut prendre, d’après la relation ( II-16 ), la
forme suivante :
, ,
,
, ,
′
( II-22 )
Alors que la solution générale de L’équation de Schrödinger dépendant du temps
est donnée par ( II-17 ).
La question qui se pose maintenant et que nous rencontrons lors de notre étude, est la
suivante: que se passe-t-il quand on traite un cas d’un spectre continu (états de diffusion) en
utilisant la théorie des invariants? En fait, la relation qui donne l’expression générale de la
phase dans le cas d’un spectre continu est :
,
, ,
|
,
,
, ,
,
34
,
( II-23 )
La théorie des invariants
Où k est un indice qui varie de façon continue dans les valeurs réelles et les fonctions
|
, ,
, ,
sont orthonormalisées de telle sorte que :
|
,
,
′
( II-24 )
Il apparaît dans ce cas, dans l’expression ( II-23 ), une fonction delta de Dirac, l’idée
pour que cette fonction puisse être enlevée ; est d’intégrer sur toutes les valeurs de l’indice k
dans cette expression. On a donc
,
, ,
′
,
,
( II-25 )
alors
,
′
, ,
′
,
,
′
( II-26 )
d’où
,
, ,
,
,
Une fois trouvée, l’expression de la phase
′
( II-27 )
,
, on peut écrire la solution particulière de
l’équation de Schrödinger comme:
|
, ,
,
|
, ,
( II-28 )
Notre étude présente un exemple sur ce cas important. Il est à noter qu’il y a une forte
ressemblance entre l’expression de la phase obtenue dans le cas d’un spectre discret et celle
obtenue dans le cas d’un spectre continu.
35
Chapitre III
Applications
de la théorie des invariants
Applications de la théorie des invariants
APPLICATIONS DE LA THEORIE DES INVARIANTS
I. Oscillateur harmonique avec masse et fréquence variables :
La résolution de l'équation Schrödinger pour l'oscillateur harmonique dépendant du
temps (OHDT) a un grand intérêt en mécanique quantique. La méthode des invariants
introduite par Lewis et Riesenfeld [8] donne une méthode typique et puissante pour étudier ce
système. L'intérêt principal de ce problème est qu'il peut être traité comme un modèle
exactement soluble et offre plusieurs applications dans la description des systèmes physiques
dans différents domaines de la physique.
On se propose de résoudre l'équation de Schrödinger de l'oscillateur harmonique à
masse et fréquence dépendantes du temps.
|
où
|
est une coordonnée canonique,
du temps et
( III-1 )
son moment conjugué,
est une fonction arbitraire
la masse. Les équations canoniques du mouvement sont :
1
1
1
,
,
Pour la construction d'un invariant du système décrit par l'Hamiltonien dépendant du
temps ( III-1 ), on utilise l'approche algébrique (algèbre de Lie) [57, 58], soit la base
hermitienne suivante :
1
2
1
2
,
,
1
2
,
avec les relations de commutation
,
2
,
,
2
,
,
Maintenant, on cherche l'invariant sous la forme
∑
( III-2 )
En utilisant ( II-1 ) et la comparaison des coefficients d'un système d'équations
dans ( III-2 ) on aboutit à :
linéaires de premier ordre pour les inconnues
38
Applications de la théorie des invariants
( III-3 )
2
où
Ce système peut être simplifié en posant
est la solution de l'équation auxiliaire
( III-4 )
En utilisant ( III-3 ) on arrive à déterminer
et
1
1
Ainsi, l'invariant s'écrit sous la forme :
1
( III-5 )
, considérons la transformation unitaire :
Pour obtenir les fonctions propres de
,
′
,
( III-6 )
avec
exp
( III-7 )
Sous cette transformation unitaire l'équation aux valeurs propres devient :
′
,
′
′
,
( III-8 )
et
′
( III-9 )
, on peut écrire l'équation aux valeurs propres
En définissant la nouvelle variable
( III-8 ) comme suit :
( III-10 )
avec :
′ ,
( III-11 )
39
Applications de la théorie des invariants
est introduit dans l'équation ( III-8 ) pour garantir la condition de
Le facteur
normalisation
,
′
′
,
1
La solution de l'équation ( III-10 ) [59] est :
!
exp
√
où
, et
,
!
( III-12 )
le polynôme d'Hermite d'ordre . Alors :
exp
√
( III-13 )
Maintenant, il ne reste qu’à trouver la phase
,
on passe de
,
à ′
. Pour cela, on utilise (1.16 ), puis
, on obtient :
′
′
′
où, on a utilisé l'équation auxiliaire ( III-4 ) pour éliminer
( III-14 )
de
. Ensuite, en substituant
l'équation ( III-11 ) dans équation ( III-14 ), on obtient :
′
( III-15 )
En utilisant l'équation ( III-8 ) et la normalisation de
on trouve :
′
( III-16 )
Enfin, on utilise l'équation (1.17 ) et ( III-13 ), on trouve la solution de l'équation de
Schrödinger suivante :
,
∑
!
√
′
exp
( III-17
)
II. Particule chargée dans un champ électromagnétique :
Dans cette partie, on considère une particule de masse variable
et de charge , sous
l'action d'un champ magnétique constant de symétrie axiale. Le champ magnétique constant
est défini par un potentiel vecteur.
40
Applications de la théorie des invariants
( III-18 )
et un potentiel scalaire (
1)
( III-19 )
où
est le vecteur de la position,
est le vecteur unité dans la direction de l'axe de symétrie,
est la distance par rapport à l'axe de symétrie et
une fonction du temps continue par
morceaux et arbitrairement choisie. Les champs électrique et magnétique sont donc donnés
par :
( III-20 )
et
,
Alors, l'équation de Schrödinger du système dans le plan
(en coordonnées polaires) est
donnée par:
( III-21 )
où :
tan
1
2
avec :
,
,
,
( III-22 )
On calcule exactement comme dans le cas de l'oscillateur harmonique dépendant du
temps l'algèbre de Lie engendrée par l'Hamiltonien et on trouve que cette algèbre est donnée
par :
( III-23 )
41
Applications de la théorie des invariants
avec les relations de commutations suivantes :
,
,
,
0
,
2
( III-25 )
,
2
( III-26 )
( III-24 )
,
( III-27 )
On remarque que
commute avec les autres générateurs, c.-à-d. qu'il commute avec
, d'où les fonctions d'ondes ont la forme suivante :
( III-28 )
avec
L'équation de Schrödinger ( III-21 ) devient :
Ω t r
( III-29 )
où
Ω t
e
η t
M t
ω
4
Maintenant, nous cherchons un invariant sous la forme (1.19 ). En utilisant l'équation ( II-1 )
et comparant les coefficients d'un système d'équations linéaires du premier ordre avec trois
inconnus
,
1,2,3 on obtient :
2
Ω
1
2 Ω
Pour simplifier ce système d'équation en pose
où
est la solution de l'équation
auxiliaire
Ω
( III-30 )
on arrive à
42
Applications de la théorie des invariants
et :
1
1
ainsi, l'invariant s'écrit sous la forme :
1
( III-31 )
on a l'équation aux valeurs propres :
, ,
,
,
, ,
,
( III-32 )
Considérons d'abord la transformation unitaire :
′
, ,
,
, ,
,
( III-33 )
avec :
exp
( III-34 )
sous l'action de cette transformation unitaire l'équation aux valeurs propres ( III-32 ) devient
′ ′
,
, ,
,
′
,
, ,
( III-35 )
avec :
′
( III-36 )
l’équation aux valeurs propres prend alors la forme :
′
Faisons le changement de variable
′
,
, ,
,
,
′
,
( III-37 )
, alors
( III-39 )
,
,
,
,
,
avec
,
2
43
| |
1
Applications de la théorie des invariants
Pour trouver les solutions de l'équation de Schrödinger on doit calculer la phase. Si on
exprime la phase par les fonctions propres de ′
et on utilise l'équation ( II-16 ) et ( III-33 ),
on trouve :
′
,
,
alors la phase est
| |
2
′
1
( III-40 )
La solution de l'équation de Schrödinger d'une particule chargée dans un champ
magnétique constant est donnée par
,
, ,
,
,| |
exp
1;
2
2
′
| |
′
1
2
′
exp
, ,
( III-41 )
∑
, ,
où la solution générale est
,
| |
exp
,
,
, ,
2
2
′
2
,
′
| |
,| |
| |
′
1
1;
exp
III. Solution exacte de l'équation de Schrödinger pour un oscillateur singulier
plus le terme (1/x)p+p(1/x) :
1) Introduction:
En mécanique quantique, le modèle des oscillateurs harmoniques a joué un rôle
important dans l'explication de beaucoup de phénomènes physiques. L'étude du modèle de
l’oscillateur harmonique quantique par la méthode des invariants, en systèmes dépendant du
temps, a été proposé par Lewis et Riesenfeld [8] et étendu par plusieurs auteurs pour le cas de
l'oscillateur harmonique généralisé et l'oscillateur singulier [60]. Dans ce chapitre, nous
traitons le problème d'un système physique décrit par l'Hamiltonien [61]:
, ,
( III-42 )
44
Applications de la théorie des invariants
Dont on ne rencontre pas souvent dans la littérature, cet Hamiltonien représente un
système physique quadratique et quadratique inverse plus un terme symétrique
C(t)((1/x)p+p(1/x)), où x et p sont les opérateurs quantiques de position et impulsion
respectivement. Les paramètres A (t)-C (t) sont des fonctions dépendant du temps et le terme
C(t)((1/x)p+p(1/x)) donne le terme (1/x)(∂/(∂x)) qui apparaît dans la partie radiale de
l'équation de Schrödinger décrivant l'évolution des systèmes quantiques à N corps [62].
Cet Hamiltonien a été étudié pour la première fois par J. R. Choi [63] à l'aide de la
théorie des invariants. C'est cette dérivation, et notamment la méthode utilisée pour obtenir la
solution exacte de l'équation de Schrödinger ( II-3 ) qui est commenté de manière critique
dans l'article figurant à la fin de ce chapitre. Avant de commencer cette discussion, on note
qu'on ne va pas contredire les résultats obtenus dans le travail de J. R. Choi, mais on va les
corriger par une subtilité différente de lui.
2) Construction de l'invariant :
Comme on va le voir, une utilisation correcte de la méthode des invariants [8] permet
d'obtenir la solution générale de l'équation de Schrödinger ( II-3 ), mais l'utilisation de cette
méthode son tenir en compte les effets des contraintes sur les paramètres de l'Hamiltonien
peut conduire à des résultats incorrects. Pour bien éclairer au lecteur le problème fortuit
rencontré par J. R. Choi dans son travail [63], on va essayer de traiter ce problème d'une façon
où on ne néglige pas certaines restrictions.
Revenons maintenant au travail de J. R. Choi où il a commencé son calcul par la
supposition de la condition1 E (t)/A (t)=Cte et il n'a pas tenu en considération une autre
condition : C (t)/A (t)=Cte, malgré qu'ils sont déterminées à l'aide des équations (7)-(9), (11)
de son travail [63]. L'absence de cette dernière condition a conduit J. R. Choi à l échec dans le
calcul de la phase totale et par conséquent il n'est pas arrivé à une solution exacte de
l'équation de Schrödinger ( II-3 ). Ces erreurs de calcul dans la solution de ce problème nous
ont motivé à contribuer et à corriger la solution finale par la méthode des invariants mais par
une subtilité un petit peut différente de lui dans la recherche de l'invariant et les valeurs
propres de l'invariant ainsi que la phase totale.
Pour élaborer un invariant exact du système quantique décrit par l'Hamiltonien
( III-42 ), on utilise la transformation unitaire dépendant du temps
1
D'après lui cette condition est proposée par Trifonov (1999).
45
Applications de la théorie des invariants
,
,
( III-43 )
tel que :
( III-44 )
Sous cette transformation unitaire l'équation de Schrödinger ( II-3 ) devient :
,
,
( III-45 )
tandis que le nouveau Hamiltonien :
, ,
, ,
( III-46 )
dont on peut écrire sous la forme:
, ,
, ,
( III-47 )
À cet égard il est intéressant de développer une méthode différente de celle de Choi
pour l'élaboration de l'opérateur invariant. Cette méthode ne devrait pas exiger l'écriture de
Hamiltonien transformé sous forme factorisable1. Pour cette raison, nous avons choisi la
transformation unitaire ( III-44 ) pour mettre le nouveau Hamiltonien sous la forme:
∑
,
( III-48 )
Le retour aux conditions: E(t)/A(t)=Cte et C(t)/A(t)=Cte, nous permettra d'écrire
, ,
Hamiltonien
du système sous forme d'une combinaison linéaire des générateurs du
groupe algébrique de Lie SU(1,1)
( III-49 )
avec :
( III-50 )
et ces générateurs forment une algèbre SU(1,1) fermée
,
,
,
4
4
( III-51 )
2
1
Nous proposons donc une nouvelle méthode algébrique SU(1.1). On aimerait exploiter la force de cette
méthode pour élaborer l'invariant d'une manière simple et rapide.
46
Applications de la théorie des invariants
On note que l'algèbre formée engendrée par les générateurs {T1 , T2 , T3} est identique
à celle d'un oscillateur. Alors, pour construire l'invariant exact pour le système Hamiltonien
transformé ( III-47 ), on s'inspire de l'approche de l'algèbre de Lie [58] qui consiste à chercher
un invariant sous la forme:
( III-52 )
En utilisant l'équation ( II-1 ), on obtient les relations entre les coefficients µi(t) de
l'expression ( III-52 ) sous la forme:
4
2
4
( III-53 )
dont on peut simplifier par le choix µ1 (t)=ρ² (t), où la fonction auxiliaire ρ (t) satisfait
l'équation non linéaire de Pinney [64]:
2 2
2
4
( III-54 )
et
2
( III-55 )
2
Finalement, l'invariant s'écrit
2
2
( III-56 )
Ces résultats sont en accord avec ceux obtenus par J. R. Choi dans le cas où ((C(t))/(A(t)))=Cte
dans l'équation (22) du papier de Choi.
3) Valeurs et états propres de l'invariant :
Selon la théorie de Lewis-Riesenfeld développée ci-dessus, pour obtenir la solution
exacte de l'équation de Schrödinger ( II-3 ):
i.
Il faut résoudre l'équation aux valeurs propres:
, ,
,
,
( III-57 )
47
Applications de la théorie des invariants
où λn sont des valeurs propres constantes de I(t) et les états
,
sont les vecteurs propres
correspondants.
Il faut déterminer la phase αn (t) qui vérifie l'équation
ii.
( III-58 )
où la fonction d'onde
,
,
évolue selon l'équation de Schrödinger
dépendant du temps ( III-45 ).
Pour cette raison on introduit pour la deuxième fois, une transformation unitaire
dépendant du temps :
Φ
,
( III-59 )
où l'opérateur S est donné par:
( III-60 )
Le but général de cette transformation unitaire est de trouver une représentation dans
laquelle l'évolution temporelle du système physique parait la plus simple. Souvent un
changement de représentation peut nous apporter de nouvelles interprétations physiques ou
des avantages techniques dans les calculs. Dans ce cas l'invariant I (t) se transforme à un
nouveau invariant indépendant du temps I′=SIS‐¹ et les équations aux valeurs propres ( III-57 )
se transforment en:
Φ
Φ
Φ
( III-61 )
où on a utilisé les deux relations connus:
( III- 62 )
( III-63 )
Comme on l’a indiqué ci-dessus, le problème étudié est réduit à un problème à une
dimension indépendant du temps, c'est-à-dire notre problème s'est réduit à l'équation de
Schrödinger indépendant du temps à une dimension
Φ
0
48
( III-64 )
Applications de la théorie des invariants
tel que a=(2iC/( h A)), c=(E/( h ²A)) et d=((E+i h C)/( h ²A)). Cette dernière équation est
équivalente à l'équation radiale d'un oscillateur harmonique à deux dimensions en présence de
l'effet Aharonov-Bohm [40, 65]. Pour chercher les solutions de l'équation différentielle
( III-64 ), effectuons le changement de variable suivant :
( III-65 )
et introduisons ensuite le changement :
Φ
( III-66 )
tel que les deux constantes k et q sont données par les deux expressions:
( III-67 )
( III-68 )
Insérons l'équation ( III-66 ) dans ( III-64 ), on obtient une équation différentielle bien
connue :
1
1
0
( III-69 )
avec
( III-70 )
( III-71 )
Cette dernière équation ( III-69 ) s'écrit sous une forme hypergéométrique qui admet
comme solutions les polynômes de Laguerre, dont on peut exprimer par :
( III-72 )
tel que :
1
( III-73 )
et par conséquent la valeur propre λn est exactement :
2
2
1
( III-74 )
49
Applications de la théorie des invariants
Une fois à nouveau, les valeurs propres λn sont similaires aux celles trouvées par Choi
[63], s'il a considéré la condition (C(t)/(A(t)))=Cte dans l'équation (40) de la référence [63].
On remarque que les valeurs propres de l'invariant I′ sont constantes, et les vecteurs
propres correspondants sont donnés par
Φ
( III-75 )
En utilisant la relation qui représente l'action de l'opérateur S(t) sur l'état
,
,
,
:
( III-76 )
on obtient les états propres de l'invariant I(t) sous la forme:
Φ
,
( III-77 )
Subtilement, on a trouvé les fonctions propres de l'invariant I(t), mais elles ne sont pas
similaires aux celles de Choi, car il y a une différence dans l'expression de la constante m
définie par l'équation ( III-71 ) qui est différente de la forme de m définie dans l'équation (36)
de la référence [63].
4) Calcul de la phase totale et la solution de l'équation de Schrödinger :
Il nous reste de déterminer la phase αn(t) qui satisfait l'équation ( III-58 ). Appliquons
la transformation unitaire S(t) à gauche et à droite de l'équation ( III-58 ) et utilisons l'équation
auxiliaire de Pinney1 ( III-54 ) on obtient la relation
Φ
Φ
( III-78 )
Substituons les équations ( III-57 ) et ( III-74 ) dans ( III-78 ), nous obtenons la phase
associée au Hamiltonien
2 2
1
sous la forme
1
( III-79 )
On utilise l'équation de pinney pour éliminer le terme D(t) de .
50
Applications de la théorie des invariants
Finalement, la solution exacte de l'équation de Schrödinger ( II-3 ) associée à
l’Hamiltonien H(x, p, t) est :
,
,
( III-80 )
où la phase totale est donnée par l'expression :
2 2
1
( III-81 )
5) Discussion :
Nous avons obtenu la solution exacte de l'équation de Schrödinger pour l'Hamiltonien
dépendant du temps ( III-42 ), et nous avons montré que la solution obtenue par Choi [63], ne
représente pas une solution de l'équation de Schrödinger ( II-3 ).
Nous avons remarqué que la fonction d'onde obtenue ici ( III-80 ) et la phase totale ( III-81 )
sont différentes de celles dérivées par Choi même si (C/A) est considéré comme une constante
dans l'équation (46) de son papier [63]. La cause essentielle de l'erreur de Choi réside dans le
calcul de la phase et par conséquent dans la solution de l'équation de Schrödinger ( II-3 ).
L'expression ( III-80 ) de ψn(x, t) est contient le cas particulier C=0, qui a été
considéré auparavant par Pedrosa et al [59]; Trifonov [66]. Alors que, on peut se rétablir le
cas C=0 par la fonction d'onde de Choi qui peut donner les fonctions d'ondes trouvées par
Pedrosa et al et Trifonov, où on multiplie la phase par un facteur 1/2; et pour vérifier cette
dernière on substitue A→A/2 et E→E/2 dans l'expression de la phase (45) de Choi.
Pour, B=C=0 et A=E=0 la fonction d'onde ψn(x, t) ( III-80 ) coïncide avec celle
trouvée par Didonov et al [67].
Finalement, on ne cherche pas la simplicité de la méthode développée ici et non pas sa
beauté mathématique, mais on cherche la possibilité de généraliser ces techniques de calcul et
de traitement analytique pour des systèmes Hamiltoniens plus complexes. De plus ce système
est l’un des modèles rares des oscillateurs qu’on ne rencontre pas souvent dans la littérature.
Pour faciliter les calculs et enrichir la discussion dans les problèmes physiques dépendant du
51
Applications de la théorie des invariants
temps, on a présenté ce chapitre, comme un commentaire un petit peu critique sur un article
publié par un autre auteur [63], qu’il a été pour nous, l’occasion d'une mise en garde contre
des erreurs explicites ou implicites présentées dans la littérature et de plus, on donne une
approche alternative et correcte
pour trouver la fonction d'onde du système décrit par
Hamiltonien ( III-42 ). Cette méthode est basée sur les invariants dynamiques et l'algèbre
SU (1,1).
52
Chapitre IV
Les états cohérents
Les états cohérents
LES ETATS COHERENTS
I. Introduction :
Les états cohérents ont été introduits par Glauber1, en 1963, dans le contexte de
l’optique quantique. Ils ont constitué un outil, à la fois, nécessaire et efficace pour
décrire les radiations d’une émission laser. Ils permettent, en particulier, de rendre
compte de l’une des propriétés essentielles d’un faisceau laser, à savoir sa cohérence.
Cette dernière se traduit par le fait que tous les trains d’onde sont en phase.
C’est pour cette raison que la dénomination états cohérents (EC) a été alors léguée
aux états de Glauber.
Au cours de l’année même, Klauder2 introduit un système d’états, similaire à
celui de Glauber, dans l’objectif de sonder, en termes de valeurs moyennes, la relation
entre systèmes quantiques et classiques. Notons que la contribution de Klauder
s’inscrit, en fait, dans le même élan de l’idée ayant été déjà émise par Schrödinger en
1926 lorsqu’il a étudié les états associés à l’oscillateur harmonique quantique qui
permettent aux valeurs moyennes des opérateurs impulsion et position de se
rapprocher le plus possible de leurs homologues classiques [68]. L’apport qui mérite
d’être souligné à propos de ces travaux de Kaluder est qu’ils incarnent la possibilité de
généraliser la notion d’EC [68, 69] à différents domaines de la physique.
La généralisation des EC, au sens de leur extension à des domaines de la
physique régis par un formalisme Hamiltonien autre que celui de l’oscillateur
harmonique, a commencé à émerger à partir des années soixante-dix. Les premières
tentatives ont été marquées par des inadéquations qui se traduisent par des résultats
divergents3 [69]. L’approche de généralisation la plus adéquate a été établie par
Perelomov4 et Gilmore [68]. Ces deux auteurs ont, indépendamment l’un de l’autre,
1
R. G. Glauber: Phys. Rev. Vol. 130 (1963) 2529 ibid Vol. 131,(1963) 2766.
J. R. Klauder: J. Math. Phys. 4 (1963)1058.
3
A. O. Barut and L. Girardello: Commun. Math. Phys. 21 (1971) 41. C. Aragonne and al: J. Phys. A: Math. Gen.
7 (1974) L 149.
4
A. M. Perelomov: Theor. Math. Phys. 6 (1971) 156, A. M. Perelomov: Commun. Math. Phys. 26 (1972) 222,
A. M. Perelomov: “Generalized Coherent States and their Applications”.
2
55
Les états cohérents
trouvé l’issue qui consiste à établir le lien entre la théorie des groupes et la
construction des EC.
A la lumière de cet apport, on s’aperçoit que les EC de Glauber sont eux-mêmes
en rapport avec une structure algébrique qui est le groupe de Weyl- Heisenberg [68].
Perelomov et Gilmore ont ainsi ouvert un horizon sans limite à l’extension et à
la généralisation des EC. L’idée repose sur la détermination de l’algèbre de Lie qui est
en rapport avec le groupe régissant les symétries du système étudié. Ensuite, on en
déduit le groupe dynamique qui joue dans la construction des EC relatifs au système
en question, un rôle similaire à celui du groupe de Weyl-Heisenberg dans le cas de la
construction des EC correspondants à l’oscillateur harmonique bosonique.
Ainsi, on assiste à l’apparition d’une vaste littérature qui concerne l’extension
de la notion d’EC à divers domaines de la physique. Ces généralisations ne sont pas
stimulées uniquement pour répondre à des questions posées par les mathématiques1
(ou la physique mathématique), mais aussi pour des nécessités d’ordre physique2 [68].
En effet, dans plusieurs contextes, les EC constituent un outil à la fois efficace et
pertinent qui permet de déterminer les grandeurs physiques caractéristiques des
systèmes étudiés.
Pour rendre compte du rôle joué par les EC en physique, nous citerons deux
références importantes dont l’une est due à Klauder [69] et l’autre à Gilmore [68].
Ces deux références peuvent être considérées comme étant de véritables
«catalogues » dans lesquels on peut trouver un très grand nombre d’exemples concrets
d’application des EC dans divers domaines de la physique.
II. Les états cohérents d’un oscillateur harmonique :
Dans la mécanique quantique, un état cohérent est un état spécifique de l’oscillateur
harmonique quantique dont la dynamique ressemble le plus étroitement au comportement
1
A. Kundu and B; Mallick: “q-déformation of Holstein-Primakoff and other bosinisations of quantum groups”;
Preprint SINP/TNP/90-15, Calcutta (1990).
2
S.T. Ali , J. P. Antoine and J.P. Gazeau : “Coherent States, Wavelets and and their Generalizations”
(Springer-Verlag, New York, 2000), F.Madouri, Y. Hassouni and M. El Baz: Int. Jour. Mod. Phys. B Vol. 17 No
27 (2003) 4859
56
Les états cohérents
d’un système d’oscillateur harmonique classique; dans ces états, les valeurs moyennes des
opérateurs position et impulsion ont des propriétés aussi proches que possible des valeurs
et de l’impulsion
classiques de la position
. C’est pour cette raison que les états
cohérents jouent un rôle privilégié dans la limite semi-classique.
Nous allons rappeler les définitions et les propriétés élémentaires des états cohérents
usuels ou dites de l’oscillateur harmonique et leurs évolutions au cours du temps, puis on va
voir comment, généraliser cette notion des états cohérents pour le potentiel linéaire.
Les oscillateurs harmoniques sont un prototype Hamiltonien quadriques exactement
soluble [4]. Hamiltonien d’un oscillateur unidimensionnel de masse m et de pulsation
est :
( IV-1 )
où
,
( IV-2 )
x et p sont respectivement les opérateurs position et impulsion.
Pour simplifier le formalisme on introduit les opérateurs réduits (sans dimensions)
et
( IV-3 )
√
Les opérateurs création et annihilation s’écrivent :
( IV-4a )
( IV-4b )
Ils vérifient les relations de commutation
,
,
,
et
,
( IV-5 )
avec
: Opérateur nombre de particules
( IV-6 )
Hamiltonien s’écrit donc sous la forme :
1⎤
⎡
H = hω ⎢ N + ⎥
2⎦
⎣
Les états propres normalisés de H sont donnés par [4] :
|
√ !
|0
( IV-7 )
57
Les états cohérents
avec n = 0, 1, 2 …
On a
|
|
( IV-8a )
( IV-8b )
L’état fondamental est tout simplement |0 , il vérifie :
0|0
1
|0
( IV-9 )
0
( IV-10 )
Les états |
|
|
vérifient :
√
1|
√ |
1
1
( IV-11 )
( IV-12 )
D’autre part moyennant les expressions des opérateurs x et p en fonction des
opérateurs création et annihilation on obtient :
|
|
|
|
1
( IV-13 )
1
( IV-14 )
La fonction d’onde normalisée est exprimée à l’aide du polynôme d’Hermite :
|
√ 2
!
( IV-15 )
avec :
III. Les états cohérents canoniques :
Les états cohérents canoniques c’est-à-dire relatifs à l’oscillateur harmonique
unidimensionnel sont exprimés par [68,69] :
| |
|
|
∑
∑
√ !
√ !
|
( IV-16a )
|
( IV-16b )
58
Les états cohérents
Moyennant les relations ( I-16.a-b ), on obtient facilement :
|
|
( IV-17a )
|
|
( IV-17b )
|
|
( IV-18a )
et :
|
|
( IV-18b )
Equations ( IV-17a ) et ( IV-18a ) rendent clair que les ECC sont des états propres de
l’opérateur annihilation de l’oscillateur harmonique bosonique.
Les ECC, contrairement aux états| , ne sont pas orthogonaux entre eux. En effet, on a
[5] :
|
( IV-19 )
Cette dernière équation est appelée aussi terme de chevauchement. En outre, on a :
0|
|
1
0
( IV-20 )
|
|0
0
( IV-21 )
1) Continuité :
Moyennant l’expression analytique de l’état |
||
|
|
il est facile de montrer que
0 lorsque
.
2) Résolution de l’unité
Dans l’espace de Fock, les ECC obéissent à une relation de « fermeture » bien
spécifique. Elle est dite aussi résolution de l’unité et s’écrit sous la forme :
|
|
1
( IV-22 )
La mesure est donnée par :
| |
L’intégration porte sur tout le plan complexe
( IV-23 )
∞
59
,
∞ .
Les états cohérents
1. preuve :
En faisant appel aux expressions de |
|
|
∑
,
et
√ ! !
|
|, on a:
|
| |
( IV-24 )
En utilisant les coordonnées polaires, on peut écrire :
|
|
∑
,
|
|
( IV-25 )
où le terme I est une intégrale exprimée par :
( IV-26 )
,
avec
0
∞ et 0
2
Un calcul élémentaire montre que :
√ !
!
( IV-27 )
,
d’où il vient :
|
|
∑
|
|
1
( IV-28 )
La résolution de l’unité vérifiée par les ECC signifie qu’ils constituent un système
complet. En fait, ils réalisent un système plus que complet car ils sont caractérisés par un
chevauchement non nul.
3) Incertitude de Heisenberg
Montrons que :
Δ Δ
,
1
( IV-29 )
On sait que
Δ
|
|
| |
( IV-30 )
Δ
|
|
| |
( IV-31 )
Un simple calcul direct donne :
| |
( IV-32a )
√
60
Les états cohérents
|
|
| |
|
1
( IV-32b )
( IV-33a )
√
|
1
( IV-33b )
En regroupant les termes, on peut écrire :
Δ
|
|
| |
( IV-34 )
Δ
|
|
| |
( IV-35 )
d’où :
Δ Δ
( IV-36 )
IV. Opérateur déplacement :
Les états cohérents peuvent être aussi obtenus à partir du vide |0 par l’action de
,
l’opérateur de déplacement unitaire
|
| |
|0
|0
Ici on a utilisé la formule de Baker-Campbell-Hausdorff :
,
Cette formule est valable si A et B commutent avec [A, B]; c’est à dire
,
B]] = [B, [A, B]] = 0: Puisque
et
, d’où
[A, [A,
qui est un nombre, donc il commute avec
s’écrit sous la forme:
| |
or,
|0
1
|0
2!
|0
d’où,
|
| |
|0
| |
!
est unitaire puisque
| |
|0
√ !
, ce qui entraîne
1
61
|
Les états cohérents
V. Evolution des états cohérents au cours du temps :
Une fois définis , les états cohérents usuels, on s’intéresse maintenant à leur évolution
au cours du temps. Un ensemble d’états quantiques paramétrés donné, est dit réalisable pour
un système physique, si l’évolué |
de tout état initial |
cours du temps [70, 71]. En d’autres termes|
reste toujours état cohérent au
, obéit aux critères qui définissent
l’ensemble pour n’importe quel instant t. Dans ce cas, on dit que l’évolution temporelle (de
l’ensemble d’états paramétrés) est stable [70, 71]. Dans la mécanique quantique Hermitienne
ceci signifie que la dépendance de temps des états est incluse (à un facteur de phase prés) dans
les paramètres d’état.
Supposons que l’oscillateur harmonique soit à un instant
|
|
0
0 dans l’état
, à un instant t, on a :
|
,0 |
0
( IV-37 )
où U(t,0) est l’opérateur d’évolution :
,0
( IV-38 )
1,
(H étant Hamiltonien qui s’écrit en prenant,
|
|
|
∑
√ !
|
)
( IV-39 )
on peut donc écrire :
|
|
|
( IV-40 )
Il est donc clair qu’au cours de son évolution l’état |
évolue, à un facteur de phase
, en l’état | . Ceci veut dire que les états cohérents évoluent en restant des états
près
propres de l’opérateur annihilation a [68].
Tout ket |
|
De même un bras
|
de l’espace de Fock peut-être représenté par la fonction d’onde :
∑
|
( IV-41 )
√ !
| peut-être représenté par la fonction :
∑
|
( IV-42 )
√ !
Moyennant la résolution de l’unité, le produit scalaire s’écrit :
|
|
|
( IV-43 )
62
Les états cohérents
Comme conséquence, on peut représenter les états |
par les fonctions
√ !
; ce qui veut dire
simplement que :
|
( IV-44a )
√ !
De même on a :
|
( IV-44b )
√ !
D’autre part comme l’ensemble des états |
forme une base orthonormée complète,
on peut écrire [68]:
( IV-45 )
,
√ ! !
Les éléments de matrices des opérateurs création et annihilation entre ECC s’écrivent :
| |
|
|
|
( IV-46 )
|
( IV-47 )
De même on a :
| |
( IV-48 )
|
|
( IV-49 )
Tout opérateur qui s’écrit sous la forme
|
|
|
,
,
,
|
,
peut-être représenté par :
|
( IV-50a )
,
Réciproquement, toute fonction
( IV-50b )
,
des variables
et t peuvent être représentées
comme étant des éléments de matrice d’un opérateur normalement ordonné
,
:
La représentation
,
:
,
:
( IV-51 )
|
d’un opérateur est appelée représentation de Bergman [72].
63
Chapitre V
Les états cohérents
généralisés d’une particule
dans un potentiel linéaire
dépendant du temps
Les états cohérents généralisés d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
LES ETATS COHERENTS GENERALISES D’UNE
PARTICULE DANS UN POTENTIEL LINEAIRE DEPENDANT
DU TEMPS
I. Introduction :
L'évolution d'un système quantique soumis à une force uniforme dépendant du temps a
attiré l'intérêt considérable dans la littérature. Les récents travaux [73-82] se concentrent
beaucoup sur les solutions exactes et leurs propriétés. D'abord, Guedes [74] a obtenu, en
utilisant la méthode des opérateurs invariants introduite par Lewis et Riesenfeld (L-R) [8],
une solution spéciale pour le potentiel linéaire dépendant du temps.
L'idée est que n'importe quel opérateur satisfaisant l'équation de Liouville-Von
Neumann quantique fournit ses états propres comme solutions de l'équation de Schrödinger
dépendant du temps jusqu'à un facteur de phase dépendant de temps.
Plus tard, Feng [75] a trouvé les solutions de type onde plane et paquet d'Airy en
utilisant une méthode de transformation d'espace-temps.
Bekkar et autres [77] ont précisé que la solution d'Airy est en fait une superposition
des ondes planes. D'ailleurs, Bauer [76] a prouvé que la solution proposée dans la référence
[74] est un cas spécial de la solution dite de Volkov avec un vecteur d'onde k nul.
Récemment, Luan et autres [78] ont réexaminé l'invariant linéaire proposé par Guedes
[74] et indiqué que sans compter les solutions décrites dans Refs.[74-77], une solution
gaussienne peut naturellement être dérivée de la méthode de L-R si un invariant linéaire nonHermitien est employé. Dunkel et Trigger [79] ont considéré une gaussienne initiale
d'incertitude minimale pour un potentiel linéaire dépendant du temps sinusoïdal.
Bowman [80] a étudié l'évolution d'un état quantique général pour le système linéaire
dépendant du temps, qui s'est avéré celui d'un état de particule libre plus un mouvement
global résultant de la force classique. Sang Pyo Kim [81] a prouvé qu'une particule libre
chargée dans un champ électrique constant et/ou oscillant a un paquet d'onde gaussien lié, qui
est un état logique d'un état fondamental dépendant du temps pour l'Hamiltonien d'une
particule libre. En utilisant la méthode de fonction test, Gengbiao Lu et al. [82] ont construit
une solution de type n train exact de paquets d'ondes (n-GWPT), dont ils constatent que les
66
Les états cohérents généralisés d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
valeurs d'espérance de la position et du moment sont égales aux résultats classiques
correspondants.
Les états cohérents
,
originellement obtenus par Schrödinger [83] sont des
états quantiques telles que les valeurs moyennes des opérateurs position et du moment étaient
identiques à celles des solutions classiques. Ces états (comme on l'a vu précédemment)
pourraient être d'une manière équivalente définis comme (i) états propres de l'opérateur
destruction, a, ou (ii) l'état a trouvé en appliquant l'opérateur de déplacement,
, sur l'état
fondamental, ou (iii) l'état minimisant les relations d'incertitude.
Plusieurs auteurs [84-90] se sont demandés s'il y a d'autres paquets d'onde, autres que
les paquets d’états cohérents, qui conservent leurs formes et suivent le mouvement classique.
Ils ont constaté que n'importe quel état de nombre déplacé suit le mouvement classique et
garde sa forme.
II. Position du problème :
Dans notre travail [91], nous prouvons que la construction des solutions pour un
système quantique soumis à une force uniforme dépendant du temps est accomplie de telle
manière que les états résultants aient des propriétés semblables aux états cohérents de
l'oscillateur harmonique. Nous employons l'invariant quadratique de Lewis et Riesenfeld pour
résoudre l'équation de Schrödinger associée à une particule libre dans un potentiel linéaire
dépendant du temps. Les solutions obtenues ne sont que les états cohérents généralisés avec
les paquets d'onde normalisable avec le mouvement classique.
Pour le cas discret, nous montrons comment les états cohérents généralisés
pourraient être obtenus à partir des états cohérents
,
,
.
Le problème est de trouver les solutions de l'équation de Schrödinger,
,
,
( V-1 )
pour l’Hamiltonien
( V-2 )
où
et
sont des paramètres arbitraires réels dépendant du temps et la masse m de la
particule est constante.
67
Les états cohérents généralisés d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
Rappelons D'abord la méthode générale pour présenter la théorie des opérateurs
invariants pour les systèmes dont l'opérateur invariant a des valeurs propres discrètes ou
continues. Pour un système dont l'invariant a un spectre complètement discret, spécifié par un
Hamiltonien H(t) dépendant du temps et un opérateur d'évolution U(t) correspondant, un
invariant est un opérateur I(t) tel que
,
0
( V-3 )
Il possède une propriété remarquable que n'importe quel état propre de I(0) évolue en
un état propre de I(t). De plus, si l'ensemble d'états propres de référence |
pour
l'opérateur I(t) est continu par rapport à t (tous les états propres sont associés à la même
valeur propre indépendant du temps
), les phases globales
par la relation associée aux fonctions d'onde |
|
correspondant sont définies
:
|
( V-4 )
Il découle de l'équation de Schrödinger (1) pour |
, que
satisfait la relation
( V-5 )
Très récemment, Maâmache et Saadi [93] ont présenté une démonstration rigoureuse
pour l'évolution quantique exacte pour les systèmes dont l'opérateur invariant I(t) vérifiant
l’Eq.( V-3 ) a un spectre complètement continu c-.à-d., telles que ses valeurs propres
sont
purement continues et constantes
|
|
( V-6 )
Et ont constaté que les fonctions propres dans un spectre continu |
invariable I(t) et la solution |
|
de l'équation de Schrödinger sont sous la forme :
|
où la phase globale
de l'opérateur
( V-7 )
est donnée par
( V-8 )
III. Recherche de l’invariant :
Choisissons la forme suivante pour l’invariant d’essai proposé
( V-9 )
68
Les états cohérents généralisés d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
,
où
,
,
et
sont des fonctions arbitraires dépendant du temps à
déterminer Substituant ( V-2 ) et ( V-9 ) dans ( V-3 ) et accomplissant l'intégration, nous
obtenons
( V-10 )
,
( V-11 )
est une constante. Ceci peut être vérifié par une différentiation
où
directe de
par rapport au temps.
Noter que dans les équations ci-dessus, xc(t) est la solution particulière de l'équation
classique du mouvement dans l'espace des x, et pc(t) est la solution particulière
correspondante dans l'espace des p, dérivé de l'équation de Hamilton du mouvement.
On
cherche
une
transformation
unitaire
dépendant
du
temps
telle que
,
,
,
( V-12 )
l'indice λ dépend de la nature du spectre, discrète pour λ=n ou continu pour λ=k, c-.à-d., U(t)
apporte n'importe quelle solution de l'équation aux valeurs propres de l'opérateur
,
,
,
,
( V-13 )
à une solution de l’équation aux valeurs propres
( V-14 )
,
( V-15 )
( V-16 )
On peut facilement montrer que sous ces transformations les opérateurs de position et
du moment changent selon
( V-17 )
69
Les états cohérents généralisés d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
2
( V-18 )
( V-19 )
On voit que l'équation aux valeurs propres transformée ( V-14 ) peut alors s’écrire
comme :
4
( V-20 )
qui est une équation de Schrödinger indépendant du temps unidimensionnelle ordinaire de
l'oscillateur harmonique. Il est important de noter qu'ici nous rapportons la solution d'une
particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps à celle d'un oscillateur harmonique
indépendant du temps dont la fréquence est 2 . Le fait que
d'étudier le système pour trois cas séparés :
système est discret pour
0,
0 et
est constant nous permet
0. L'état propre du
0 car l'opérateur invariant transformé Eq. ( V-20 ), correspond
à celui du système d'oscillation tandis que les deux autres cas sont continus.
IV. Recherche des solutions :
Afin de résoudre le problème quantique et déterminer la solution
,
de
l'équation de Schrödinger dépendant du temps, nous pouvons évaluer les opérateurs
et
, tenant compte des Eqs.( V-17 )-( V-19 ). Alors il est
possible d'évaluer les valeurs moyennes dans un état |
|
Le produit scalaire
|
,et qui s'avèrent être :
( V-21 )
dépend de la nature du spectre de l'invariant c'est-à-dire,
|
( V-22 )
Pour le cas discret
|
( V-23 )
Pour le cas continu.
Nous pouvons employer ces résultats pour obtenir la phase θλ (t) définie dans les
Eqs. ( V-5 ) et ( V-8 ) :
70
Les états cohérents généralisés d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
( V-24 )
0:
1) Cas
Comme cité précédemment, le spectre des valeurs propres dans Eq. ( V-20 ) est discret
0.
pour
Afin d'avoir une expression pour la solution dans la représentation de position, nous
devrions tenir compte de quelques propriétés bien connues des polynômes de Hermite
,
nous obtenons alors l'expression pour les fonctions propres normalisées de l'oscillateur
( V-25 )
!
√
2
dont les valeurs propres correspondantes sont
fonctions propres orthonormales
. Une fois que nous avons les
, nous pouvons exprimer les états normalisés en
utilisant une propriété importante des transformations
et
qui, quand elles
agissent sur une fonction d'onde dans la représentation position, donne
2
2
et
. Les états
sont maintenant obtenus par la transformation inverse sur
,
,
,
et ont la forme
,
,
( V-26 )
Il y a des états de nombres déplacés trouvés en appliquant la forme fonctionnelle du
déplacement
sur
les
fonctions
propres
,
de
l'opérateur
invariant
décrivant l'oscillateur harmonique généralisé
,
√
( V-27 )
!
Pour récapituler, la solution de l'équation de Schrödinger (1) est
,
,
,
,
,
( V-28 )
où la phase ( V-5 ) est indiquée par
( V-29 )
71
Les états cohérents généralisés d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
La solution
|
,
,
a une probabilité ou un paquet de densité de nombre
, | qui maintient sa forme et se déplace classiquement, ainsi c'est un état
propre déplacé excité ou un état cohérent généralisé.
Les valeurs moyennes de la coordonnée et du moment dans l'état sont :
,
,
( V-30 )
,
,
( V-31 )
,
,
,
,
2
2
1
1
et l'incertitude dans le paquet d'onde
Δ Δ
2
( V-32 )
( V-33 )
,
,
est
1
( V-34 )
Comme n=0, 1, 2, 3…, l'incertitude minimale n'est pas nécessaire pour la cohérence.
Le produit d'incertitude élevé est une manifestation du fait que le paquet d'onde
,
,
a
n+1 bosses et n'est pas localisé comme l'état cohérent de Schrödinger. Quand nous plaçons
n=0, le produit d'incertitude est
Δ Δ
( V-35 )
et le paquet d'onde
,
,
,
( V-36 )
N’est que l’état cohérent.
Nous sommes intéressés à obtenir l'état cohérent généralisé
,
de l'état cohérent
. Nous voyons aisément que
,
,
,
où l'opérateur création
,
√ !
,
( V-37 )
est lié à l'opérateur création bien connu
. De plus
harmonique par la relation
72
de l'oscillateur
Les états cohérents généralisés d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
,
,
,
√ !
Comme
,
√ !
translate
,
et
√ !
( V-38 )
, on doit montrer
( V-39 )
√ !
donc
,
,
,
,
√ !
( V-40 )
Maintenant, la signification de l'état cohérent
,
d'une particule dans un
potentiel linéaire dépendant du temps apparaît clairement comme le n-ième état de
l'oscillateur dont l'état fondamental est
(un état cohérent) au lieu de |
,
comme
dans le cas habituel. En d'autres termes, les états cohérents généralisés sont les états excités de
l'oscillateur déplacé. Par conséquent, nous observons que l'état cohérent généralisé
est lié à l'état cohérent
|
,
juste comme l’état de nombre|
,
est lié à l'état du vide
.
Il est intéressant de mentionner que la plupart de nos résultats réduiront exactement à
ceux de la référence [82] quand nous ajustons convenablement les paramètres du système.
0:
2) Cas
Dans la suite, nous étudions le spectre continu des valeurs propres dans l’Eq. ( V-20 )
0. Nous commencerons la recherche sur l'état quantique par
pour
0, dans ce cas-ci,
Eq .( V-20 ) peut être simplifiée à :
( V-41 )
ce qui représente une équation libre de particules dont les solutions sont les ondes planes,
( V-42 )
√
où les valeurs propres correspondantes sont
par :
,
. La solution complète est ainsi donnée
,
( V-43 )
où la phase [Eq. ( V-8 )] est donnée par
73
Les états cohérents généralisés d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
( V-44 )
0:
3) Cas
Maintenant, étudions le système pour le ω²<0, qui est un autre cas où le spectre des
valeurs propres dans Eq ( V-20 ) est continu. Pour la convenance, introduisons la notation
alors Eq.( V-20 ) devient
4
0
,
( V-45 )
et est semblable à l'équation aux valeurs propres de l'oscillateur harmonique inversé
indépendant du temps [93, 94]. Les solutions de l'Eq. ( V-38 ) peuvent être exprimées en
termes des fonctions cylindriques de Weber [93-95]
,
( V-46 )
4
et les valeurs propres correspondantes sont
,
,
. Il est évident que la solution est
,
( V-47 )
où la phase ( V-8 ) est :
( V-48 )
74
Chapitre VI
Interface classiquequantique d’une particule
dans un potentiel linéaire
dépendant du temps
Interface classique-quantique d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
INTERFACE CLASSIQUE-QUANTIQUE D’UNE PARTICULE
DANS UN POTENTIEL LINEAIRE DEPENDANT DU TEMPS
I. Introduction :
Il y a eu un intérêt considérable pour le système d'une particule dans un potentiel
linéaire (avec des paramètres dépendant du temps) où le propagateur exact a été longtemps
connu [96]. Ce modèle a des fonctions propres (paquets d'ondes) décrites par la fonction
d'Airy [1]. Ce système et les fonctions d'onde d'Airy sur un demi axe ont été employés pour
modeler la production de la génération harmonique élevée dans l'irradiation de laser aux gaz
rares [97], et le gaz d'électron de bord [98, 99]. Le modèle des domaines par morceaux et les
fonctions d'ondes ont été fréquemment employés pour modeler les divers systèmes physiques
[100]. Les travaux récents [73-82] se sont concentrés plus loin sur les solutions exactes et
leurs propriétés et plusieurs méthodes ont été employées pour résoudre ce système.
En utilisant un opérateur unitaire particulier de transformation, qui ressemble à celui
responsable de l'existence des états cohérents dans les oscillateurs harmoniques, Song [102]
relie le système d'une particule dans un potentiel linéaire à celui d'une particule libre et a
trouvé un paquet d'ondes général décrit par une fonction d'Airy. L'équation de Schrödinger
pour une particule libre a également été intéressante parce que l'équation est formellement
identique à l'équation d'ondes d'un faisceau de lumière dans l'approximation paraaxiale [103].
Dans le travail actuel, la relation entre les deux systèmes surgit naturellement. L'opérateur
unitaire n'est pas proposé à l'avance, il apparaîtra naturellement dans la dérivation.
Dans des travaux récents précédents [91], nous avons dérivé les solutions d'un système
quantique soumis à une force dépendant du temps dans l'espace uniforme et prouvé que les
solutions, dans le cas discret, sont les états cohérents généralisés obtenus en appliquant
l'opérateur de déplacement, D(t), voir chapitre précédent pour plus de détails. Le travail
actuel, tout en traitant le même système, emploie une manière différente, originale et élégante
pour étudier les solutions.
L'approche actuelle est basée sur une réalisation particulière des mécanismes
quantiques de grande importance pratique, à savoir la mécanique ondulatoire, utilisée pour
décrire le mouvement d'une particule quantique dans l'espace unidimensionnel. C'est cette
réalisation qui sert d'introduction aux principes fondamentaux de la mécanique quantique
77
Interface classique-quantique d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
dans la plupart des manuels. Nous prouvons que la construction des solutions pour un système
quantique soumis à une force dans l'espace uniforme et dépendant du temps est accomplie de
telle manière que les états résultants aient la similitude à celle pour un système quadratique ce
qui donnent les états cohérents. L'idée fondamentale de ces développements est d'établir un
raccordement intime entre la fonction d'onde de la solution de l'équation de Schrödinger pour
la particule libre avec le problème physique qui est considéré dans le cas d'une particule dans
un potentiel linéaire dépendant du temps. Nous employons l'hypothèse importante de
De Broglie "
", qui est un aspect de l'étude de l'interface classique-quantique, pour
relier le modèle simple d'une particule libre au modèle d'une particule dans un potentiel
linéaire dépendant du temps. Les solutions obtenues ne sont rien d’autre que - i) paquets
d'ondes d'Airy non diffusés, - ii) les paquets d'ondes gaussiens avec un "centre de masse" se
déplaçant le long de la trajectoire classique.
II. Position du problème :
Le problème est de trouver les solutions de l'équation de Schrödinger,
,
,
( VI-1 )
pour l’Hamiltonien
( VI-2 )
où
est un paramètre arbitraire réel dépendant du temps et la masse m de la particule est
et
constante. Les solutions
pour l'équation classique du mouvement sont données
par
( VI-3 )
( VI-4 )
Les conditions initiales
et
correspondent au cas où
0, c.-à-d. aux conditions
initiales d’une particule libre.
III. La particule libre :
Dans ce qui suit, nous discutons brièvement les résultats de la particule libre,
La fonction d'onde
,
0.
pour la particule libre unidimensionnelle de masse m évolue
dans l'espace de position selon l'équation de Schrödinger
78
Interface classique-quantique d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
,
,
( VI-5 )
dont la solution est décrite par une fonction d'onde correspondant à une onde plane :
,
où
( VI-6 )
√
.
La solution générale Ψ
,
dans la représentation position de l'équation de
Schrödinger dépendant du temps peut être écrite, naturellement, comme combinaison linéaire
des solutions
Ψ
,
,
( VI-7 )
où g(k) est une fonction poids arbitraire de k. Ce paquet d'ondes décrit la propagation d'une
particule libre ; sa vitesse de groupe est identifiée comme vitesse de la particule classique
correspondante. Ceci suggère que nous devrions regarder le "centre" du paquet d'ondes
comme celui d'une particule qui obéit les lois de la mécanique classique :
( VI-8 )
( VI-9 )
Puisque les caractéristiques corpusculaires (l'énergie et le moment) d'une particule sont reliées
à ses caractéristiques ondulatoires (la fréquence ω et le vecteur d'onde k) par les relations
et
, nous voyons comment le concept de paquet d'onde offre un
raccordement clair entre la description classique d'une particule et sa description quantique.
IV. Particule dans un potentiel linéaire :
Après cette brève discussion des résultats des particules libres, nous revenons
maintenant à notre tâche principale ; calculer la fonction d'onde d'une particule dans un
potentiel linéaire dépendant du temps. Pour cela, nous établissons une correspondance entre la
vitesse des particules et la vitesse de groupe des paquets d'ondes. Ceci peut être impliqué
immédiatement de l'Eq. ( VI-4 ), il s'avère que le moment classique pour une particule dans
un potentiel linéaire dépendant du temps est obtenu à partir de celui d'une particule libre par la
substitution
, qui suggère, de l'hypothèse de De Broglie, que la
fonction d'onde pour une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps est obtenue à
79
Interface classique-quantique d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
partir de celle d'une particule libre par la substitution
. après avoir
effectué ce décalage de en ( VI-6 )
,
,
( VI-10 )
√
et en utilisant les identités
( VI-11 )
On obtient cette expression générale pour la fonction d’onde
,
( VI-12 )
√
il est facile de vérifier que
,
vérifie l’équation de Schrödinger
,
,
( VI-13 )
C'est une équation de Schrödinger unidimensionnelle ordinaire d'une particule dans un
potentiel linéaire dépendant du temps.
En ce moment, n'importe quel choix approprié de g(k) conduit à des solutions
conventionnelles comme les fonctions d'Airy ou les paquets d'ondes gaussiens.
1) Paquets d'ondes d'Airy :
Mettons
√
, et faisons le changement de variable
, où B est
une constante arbitraire, en utilisant la représentation de la fonction d'Airy
( VI-14 )
après l'intégration de l'Eq. ( VI-7 ), on obtiendra la solution sous forme d'une fonction d'Airy
Ψ ,
Ψ
,
( VI-15 )
80
Interface classique-quantique d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
Nous voyons que Ψ
correspond au paquet d'ondes des Refs. [75, 77, 97, 102, 104] qui
propagent dans l'espace libre sans déformation et avec une accélération constante.
2) Paquets d’ondes gaussiens :
La distribution gaussienne standard de la représention des moments, qui donne un
et une position
moment initial
de valeurs arbitraires, peuvent être écrites sous la forme
( VI-16 )
où a est une constante réelle positive. La forme explicite de la fonction d'onde de l'espace
position est donnée par l'intégrale gaussienne
Ψ ,
√
√2
( VI-17 )
ce qui peut être évalué sous la forme fermée (en employant le changement des variables
et des intégrales standards) pour obtenir une solution gaussienne pour une
particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
√
Ψ ,
( VI-18 )
√
Il est important de noter que la solution gaussienne physiquement acceptable ( VI-18 )
a été obtenue sans n'importe quelle contrainte imposée dans le paquet d'ondes comme a été
fait dans le papier de Luan et al. [78] (Eq. ( V-26 )).
Les valeurs moyennes dépendant du temps de la position et du moment sont
,
,
∆
,
Δ
( VI-19 )
qui sont des résultats familiers et mènent à la relation d'incertitude
Δ ∆
( VI-20 )
L'égalité se tient à t=0 et le paquet d'ondes gaussien s'appelle le paquet d'ondes d'incertitude
minimum.
On peut réécrire ( VI-18 ) comme suit :
81
Interface classique-quantique d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
Ψ ,
∆
√
∆
( VI-21 )
D'ailleurs, la densité dépendant du temps de probabilité liée à ce paquet d'ondes gaussien est
gaussienne toujours
|Ψ ,
|
∆
( VI-22 )
∆
nous voyons que ∆
représente la largeur du paquet d'ondes à l'instant t. On le vérifie
également aisément que la densité de probabilité dépendant du temps est conservée et est
donnée par
|Ψ ,
|
1
( VI-23 )
Les équations ( VI-21 ) et ( VI-22 ) décrivent un paquet d'ondes gaussien qui est centré
dont la largeur ∆
à
paquet s'est déplacé de
∆
∆
varie avec le temps. Ainsi, pendant le temps t, le centre du
0 à
∆
et sa largeur a augmenté de
à
. Le paquet d'onde subit donc une déformation ; bien qu'il reste
gaussien, sa largeur s'élargit avec le temps tandis que sa taille,
∆
, diminue avec le temps.
De plus, il convient de noter que la largeur du paquet gaussien ne dépend pas de la force
. Ainsi la forme du paquet d'onde n'est pas changée par l'excitation externe. Ceci
externe
signifie que la force externe
agit uniformément dans le paquet d'onde.
V. Discussion :
Avant la conclusion, faisons quelques remarques au sujet de la fonction d'onde
( VI-12 ) qui peut être réécrite comme suit :
,
,
,
( VI-24 )
où l’opérateur unitaire
,
( VI-25 )
est l'opérateur unitaire de déplacement étroitement lié à celui qui est responsable de
l'existence des états cohérents pour un oscillateur harmonique. Pour le cas
opérateur unitaire de déplacement ( VI-25 ) coïncide avec celui trouvé par Song [102].
82
0, cet
Interface classique-quantique d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps
, sans aucun changement de forme,
La fonction d'onde est translatée, avec
juste un changement de phase. Il est clair que l'évolution de
,
partir de celui de
,
,
puisse être obtenue à
en appliquant un opérateur unitaire dépendant du temps
.
La relation unitaire entre un système de particule libre et le système linéaire
correspondant ressemble étroitement à celui des oscillateurs harmoniques (généralisés), dont
la distribution de probabilité de la fonction d'onde unitairement transformée se déplace
globalement, selon la solution classique, de la distribution de la fonction d'onde originale,
alors que les formes des deux distributions sont identiques [102] Les formes ont pu évoluer au
cours du temps, comme dans les états cohérents généralisés.
Nous notons que, le paquet d'ondes d'Airy Ψ ,
solution de ( VI-15 ) pour une
particule dans le potentiel linéaire dépendant du temps est un paquet d'onde d'Airy déplacé
résultant de l'application de l'opérateur de déplacement sur le paquet d'onde d'Airy libre
Ψ
,
. Ceci laisse Ψ ,
sous forme de paquet d'Airy avec probabilité ou densité de
nombre Ψ
,
qui maintient sa forme. Ça explique également
pourquoi la fonction d’Airy demeure non diffusée même avec un potentiel homogène
dépendant du temps. La solution gaussienne pour une particule dans le potentiel linéaire
dépendant du temps Ψ ,
Eq. ( VI-18 ) est le paquet d’ondes gaussiennes déplacées
résultant de l'application de l'opérateur de déplacement sur le paquet d'ondes gaussien
Ψ
,
.
Enfin nous pouvons voir que, pour trouver la relation entre les deux systèmes, c.-à-d. le
système d'une particule libre et le système d'une particule dans un potentiel linéaire, nous
commençons à partir du système d'une particule libre et prouvons que le système d'une
particule dans un potentiel linéaire est obtenu en faisant la substitution
.
Ceci a été fait par l'utilisation de l'hypothèse de De Broglie. La substitution
est semblable à l'application de l'opérateur transformation unitaire ou
l'opérateur de déplacement
paquet d'onde Ψ
,
, sur la fonction d'onde
,
(ou le
) pour la particule libre unidimensionnelle, comme trouvé par Song [102].
83
Conclusion
CONCLUSION
Dans notre travail, après avoir introduit les différents outils nécessaires ; les systèmes
dépendant du temps, la théorie des invariants et les états cohérents, nous avons pu généraliser
la notion des états cohérents connue pour l’oscillateur harmonique pour décrire le système
d’une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps. De plus, dans un résultat qui
n’a pas était établi avant ce travail et qui peut être d’un grand intérêt pour l’étude des
systèmes dépendant du temps, nous avons établi un lien entre le système quantique d’une
particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps et le système très connu d’une
particule libre.
En effet, nous avons montré dans le premier travail que la signification de l'état
cohérent
,
d'une particule dans un potentiel linéaire dépendant du temps apparaît
clairement comme le n-ième état de l'oscillateur dont l'état fondamental est
cohérent) au lieu de |
(un état
,
comme dans le cas habituel. En d'autres termes, les états
cohérents généralisés sont les états excités de l'oscillateur déplacé. Par conséquent, nous
avons observé que l'état cohérent généralisé
comme l’état de nombre |
est lié à l'état cohérent
,
est lié à l'état du vide |
,
juste
.
Il est intéressant de mentionner que la plupart de nos résultats se réduiront exactement
à ceux de la référence [82] quand nous ajustons convenablement les paramètres du système.
Enfin nous avons observé que, pour trouver la relation entre le système d'une particule
libre et le système d'une particule dans un potentiel linéaire, nous commençons à partir du
système d'une particule libre et prouvons que le système d'une particule dans un potentiel
linéaire est obtenu en faisant la substitution
′
l'utilisation de l'hypothèse de De Broglie. La substitution
à l'application de l'opérateur
,
′. Ceci a été fait par
′
′ est semblable
transformation unitaire ou l'opérateur de déplacement
,
, sur la fonction d'onde
(ou le paquet d'onde Ψ
) pour la
particule libre unidimensionnelle, comme trouvé par Song [102].
Les deux travaux, ont comme résultat commun, le fait qu’ils sont en concordance avec
l’évolution classique du système soit à travers la notion des états cohérents qui souvent sont
84
Conclusion
utilisés pour passer à la limite classique des systèmes quantiques ou celle des paquets d’onde
d’Airy ou gaussiens dont les centres des paquets suivent exactement la trajectoire classique.
85
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89
Abstract:
:‫اﻟﻤﻠﺨﺺ‬
In our work, we prove that the construction
of the solutions for a quantum system subjected to a
uniform time dependent force is accomplished in such
a way that the resulting states have properties similar
to the coherent states of the harmonic oscillator. We
use the quadratic invariant of Lewis and Riesenfeld to
‫ ﻧﺒﺮهﻦ ﺑﺄن اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺣﻠﻮل ﻣﻦ‬،‫ﻣﻦ ﺧﻼل هﺬا اﻟﻌﻤﻞ‬
‫أﺟﻞ ﻧﻈﺎم آﻤﻮﻣﻲ ﺧﺎﺿﻊ ﻟﻘﻮة ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﺘﻌﻠﻘﺔ ﺑﺎﻟﺰﻣﻦ ﻳﺘﻢ ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن‬
‫ﻟﺪوال اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﺧﺼﺎﺋﺺ ﻣﺸﺎﺑﻬﺔ ﻟﺪوال اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻤﺘﻨﺎﺳﻘﺔ ﻟﻠﻤﻬﺘﺰ‬
‫ ﺳﻨﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻼﻣﺘﻐﻴﺮ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻠﻮﻳﺲ و رﻳﺰﻧﻔﻴﻠﺪ ﻣﻦ أﺟﻞ ﺣﻞ‬.‫اﻟﺘﻮاﻓﻘﻲ‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺷﺮودﻳﻨﺠﺮ اﻟﻤﺮﻓﻘﺔ ﺑﺠﺴﻴﻤﺔ ﺣﺮة ﺧﺎﺿﻌﺔ ﻟﻜﻤﻮن ﺧﻄﻲ ﻣﺘﻌﻠﻖ‬
.‫ﺑﺎﻟﺰﻣﻦ‬
solve the Schrödinger equation associated with a free
particle in a time dependent linear potential.
The solutions obtained are the generalized
‫اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﺎ هﻲ إﻻ دوال اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻤﺘﻨﺎﺳﻘﺔ‬
.‫اﻟﻤﻌﻤﻤﺔ ﻣﻊ اﻟﺤﺰم اﻟﻤﻮﺟﻴﺔ اﻟﻤﻨﺘﻈﻤﺔ اﻟﻤﻮاﻓﻘﺔ ﻟﻠﺤﺮآﺔ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ‬
coherent states with the normalized wave packets
‫ و اﻟﺘﻲ ﺗﻌﺘﺒﺮ‬،‫آﻤﺎ ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻔﺮﺿﻴﺔ اﻟﻬﺎﻣﺔ ﻟﺪو ﺑﺮوﻏﻠﻲ‬
having classical motion.
،‫وﺳﻴﻠﺔ ﻟﺪراﺳﺔ اﻟﺤﺪ اﻟﻔﺎﺻﻞ ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻴﻜﺎﻧﻴﻜﺎ اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻴﺔ و ﻣﻴﻜﺎﻧﻴﻜﺎ اﻟﻜﻢ‬
We relate the system of a free particle with
‫ﻣﻦ أﺟﻞ اﻟﺮﺑﻂ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﻤﻮذج اﻟﺒﺴﻴﻂ ﻟﻠﺠﺴﻴﻤﺔ اﻟﺤﺮة ﻣﻊ ﻧﻤﻮذج اﻟﺠﺴﻴﻤﺔ‬
that of a particle in a time-dependent linear potential
‫ اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻣﺎ هﻲ‬.‫اﻟﺨﺎﺿﻌﺔ ﻟﻜﻤﻮن ﺧﻄﻲ ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﺰﻣﻦ‬
by the use of the De Broglie hypothesis which is an
:‫إﻻ‬
important aspect of the study of the classical-quantum
interface. Closed-form analytic results have been
.‫ اﻟﺤﺰم اﻟﻤﻮﺟﻴﺔ اﻟﻐﻴﺮ ﻣﻨﺘﺸﺮة ﻷﻳﺮي‬.1
‫ اﻟﺤﺰم اﻟﻤﻮﺟﻴﺔ اﻟﻐﻮﺻﻴﺔ ذات ﻣﺮآﺰ آﺘﻠﺔ ﻣﺘﺤﺮك وﻓﻖ اﻟﻤﺴﺎر‬.2
obtained as:
i)
Nonspreading Airy wave packets,
ii)
Gaussian wave packets.
.‫اﻟﻜﻼﺳﻴﻜﻲ‬