July08-to-trigraphic-final.qxp 11/17/2008 1:46 PM Page 123 ARTICLE DE FOND The winners of the 2008 CAP Best Student Presentation Competitions at the CAP Annual Congress, 2008 June 8-11, in Quebec City, Quebec are listed on page 122. The extended abstracts of those winners of the CAP and NSERC prizes who submitted them for publication are reproduced below. Ed. GÉNÉRATION EXPÉRIMENTALE GAUSS SPATIOTEMPORELS PAR DE FAISCEAUX BESSEL- MICHAËL DALLAIRE, NATHALIE MCCARTHY ET MICHEL PICHÉ I l n’est pas dans la nature des faisceaux laser de conserver leur taille et leur durée sur de très grandes distances de propagation, car la lumière est soumise aux lois physiques de la diffraction et de la dispersion. On peut cependant jouer d’astuce pour atténuer (et parfois même compenser complètement) l’effet de ces lois en combinant les effets non-linéaires à la dispersion et la diffraction pour obtenir notamment les solitons, ou encore en structurant adéquatement le champ transversal pour obtenir un faisceau Bessel quasi-invariant. faisceaux Bessel transversaux, qui ont été proposés par Durnin et al. en 1987 [3,4]. La figure 1a présente la distribution en intensité d’un faisceau Bessel transversal. On obtient une telle distribution en intensité en faisant interférer une multitude d’ondes planes uniformes dont les vecteurs d’onde sont disposés sur un cône d’angle 2θ. L’équation suivante représente la distribution en intensité du faisceau Bessel transversal: Un nouveau type de paquet d’onde quasi-invariant appelé faisceau Bessel spatiotemporel a récemment été proposé [1,2]. La distribution d’intensité de ce nouveau faisceau possède la propriété de ne pas subir les effets de la dispersion ni de la diffraction. Cependant, il est impossible de générer expérimentalement une fonction de Bessel pure étant donné les dimensions infinies de cette dernière. Pour contourner ce problème, on a recours à une enveloppe gaussienne, qui induit une légère variation de la distribution du champ lors de la propagation, d’où le qualificatif de faisceau quasi-invariant. La section qui suit présente les notions de base relatives aux faisceaux Bessel et Bessel-Gauss spatiotemporels. La troisième section est consacrée au montage utilisé pour générer expérimentalement ces faisceaux et les résultats expérimentaux sont présentés à la dernière section. où J0 est la fonction de Bessel de première espèce d’ordre zéro, β0(=2π/λ0) est le nombre d’onde, α = β0θ est la composante transversale du nombre d’onde, et A0 est l’amplitude du champ. L’éq. (1) est indépendante de la distance de propagation z, indiquant que ce faisceau serait parfaitement invariant. FAISCEAUX BESSEL ET BESSEL-GAUSS SPATIOTEMPORELS Afin de bien comprendre la nature des faisceaux Bessel spatiotemporels, il convient d’aborder en premier lieu les RÉSUMÉ On présente les éléments théoriques fondamentaux relatifs à de nouveaux faisceaux invariants, le montage expérimental permettant leur génération ainsi que les résultats confirmant leur synthèse. 2 2 I (r ) = A0 J 0 (β0 θr ) = A0 J 0 (αr ) , avec r = x 2 + y 2 (1) Les anneaux du faisceau Bessel spatiotemporel ne se situent pas dans le plan transversal à l’axe de propagation, mais plutôt dans le plan espace-temps (soit dans le plan x-z) tel que présenté à la figure 1b. Dans une telle configuration, les anneaux concentriques se déplacent le long de l’axe z, d’où un train d’ondes sur l’axe optique et une distribution spatiale au centre de l’impulsion correspondant à la fonction de Bessel. Pour décrire une telle distribution de champ, on définit une variable radiale spatiotemporelle telle que: ρ = x 2 − T / β0 β 2 , avec T = t - z / νg (2) où t est le temps, νg représente la vitesse de groupe, et β2 est le Fig. 1 Distribution d'intensité pour a) un faisceau Bessel transversal et b) un faisceau Bessel spatiotemporel. Michaël Dallaire <michael.dallaire.1@ ulaval.ca>, Nathalie McCarthy <nathalie.mccarthy@ phy.ulaval.ca>, Michel Piché <mpiche@ phy.ulaval.ca>, Centre d'optique, photonique et laser (COPL), Département de physique, de génie physique et d'optique, Université Laval, QC, Canada G1V 0A6 LA PHYSIQUE AU CANADA / Vol. 64, No. 3 ( juillet. à septembre (été) 2008 ) C 123 July08-to-trigraphic-final.qxp 11/17/2008 1:46 PM Page 124 GÉNÉRATION EXPÉRIMENTALE ... (DALLAIRE ET AL.) paramètre de dispersion du milieu de propagation, qui doit être négatif pour que le rayon ρ soit réel pour toute valeur de x et de T. Comme la fonction de Bessel est une fonction infinie, on en limite les dimensions spatiales et temporelles à l’aide d’une enveloppe gaussienne spatiotemporelle. L’équation représentant la distribution du champ d’un faisceau Bessel-Gauss spatiotemporel (BGST) à l’étranglement (z = 0) est la suivante: ⎡ u BG (ρ, z = 0) = A0 exp ⎢ − ρ2 ⎤ J 2 ⎥ 0 ⎣ wst ⎦ ( aρ ) (3) où wst représente la taille spatiotemporelle de l’enveloppe gaussienne et a est un paramètre de modulation permettant d’ajuster la dimension des anneaux. La présence de l’enveloppe gaussienne induit une variation de la distribution du champ lors de la propagation, telle que présentée à la figure 2. Fig. 2 que la séparation temporelle provient de la dispersion du milieu de propagation. Ainsi, on doit sélectionner les fréquences optiques appropriées en fonction de la position x, tel que présenté à la figure 3. Cette figure représente donc le masque à utiliser dans un modeleur spaFig. 3 Masque en réflexion utilisé tiotemporel d’impuldans le modeleur d'impulsions; ce dernier doit sions. effectuer la transformée de Fourier spatiale et temporelle des impulsions. Le montage présenté à la figure 4 a été conçu dans le but de générer un faisceau BGST à l’étranglement en effectuant la Représentation de l'évolution du faisceau BGST le long de l'axe de propagation. La distribution du champ avant l’étranglement peut être vue comme une multitude d’impulsions gaussiennes, distribuées sur un anneau, qui convergent spatialement et temporellement vers un centre commun qui se déplace à la vitesse de groupe. Dès que les impulsions sont suffisamment rapprochées pour interférer, les anneaux de la fonction de Bessel deviennent visibles, jusqu’à atteindre un maximum de contraste à l’étranglement (z = 0). Il est à noter que la taille des anneaux reste la même aussi longtemps que ces derniers sont visibles. Ainsi, la distance de Rayleigh d’un faisceau BGST est beaucoup plus longue que celle associée à un faisceau gaussien ayant la taille du lobe central du faisceau BGST, d’où le qualificatif de faisceau quasi-invariant. Si on laisse propager le faisceau BGST au-delà de l’étranglement, les diverses impulsions gaussiennes se séparent graduellement, de sorte qu’à partir d’une certaine distance de propagation, ces dernières sont trop éloignées les unes des autres pour interférer et il ne subsiste qu’un anneau divergent. Fig. 4 Modeleur d'impulsions spatiotemporel permettant de générer des faisceaux BGST à l'étranglement. Fig. 5 Traces d'autocorrélation expérimentale et théorique d'un faisceau BGST [1]. MONTAGE EXPÉRIMENTAL C’est dans la distribution du champ après (ou avant) l’étranglement que réside la clé pour générer un faisceau BGST. Dans le champ lointain, on obtient la transformée de Fourier spatiale et temporelle du faisceau. En effet, la distribution annulaire du champ est constituée de toutes les impulsions gaussiennes séparées spatialement et temporellement. La séparation spatiale provient de la divergence naturelle des impulsions alors 124 C PHYSICS IN CANADA / VOL. 64, NO. 3 ( July-Sept. (Summer) 2008 ) July08-to-trigraphic-final.qxp 11/17/2008 1:47 PM Page 125 GÉNÉRATION EXPÉRIMENTALE ... (DALLAIRE ET AL.)AA Fig. 6 Profils spatiaux a) théorique et b) expérimental obtenus à l'étranglement d'un faisceau BGST. transformée de Fourier du masque dans les domaines spatial et temporel de façon indépendante. Une impulsion incidente, émise par un laser femtoseconde Ti:saphir à une longueur d’onde centrale de 800 nm, est dispersée spatialement par un réseau. Le masque réfléchissant sélectionne les fréquences adéquates en fonction de la position x et le réseau en effectue la transformée de Fourier temporelle. La propagation s’effectue ensuite jusqu’à une lentille cylindrique (#2) qui effectue la transformée de Fourier spatiale. Ainsi, au plan focal de cette lentille, on obtient la distribution en intensité correspondant au faisceau BGST recherché. Fig. 7 Spectre résolu spatialement: a) modèle théorique et b) données expérimentales. fonction de Bessel ne sont pas d’intensité nulle, tel qu’on peut le voir sur les figures 6a et 6b. De plus, on peut visualiser le faisceau BGST comme étant constitué de trains d’impulsions dont la structure temporelle varie selon la position x. Ainsi, on obtient une distribution spectrale qui dépend de la position transversale, tel qu’illustré à la fig. 7a. L’imagerie du spectre résolu spatialement présenté à la fig. 7b, obtenue à l’aide d’un réseau et d’une caméra CCD, concorde bien avec le modèle théorique. CONCLUSION RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX Afin de vérifier si les faisceaux BGST produits expérimentalement correspondent au modèle théorique, on doit analyser la structure spatiale et temporelle des impulsions générées, ce qui ne peut se faire simultanément avec les diagnostics conventionnels d’analyse d’impulsions laser. La structure temporelle, présentée à la figure 5 (tirée de [1]), a été obtenue à l’aide d’un autocorrélateur de construction maison. Il est important de noter que les autocorrélateurs n’ont aucune résolution spatiale; la trace obtenue est donc la convolution temporelle de l’impulsion intégrée sur toute son étendue spatiale. En tenant compte de ces considérations expérimentales, les résultats obtenus correspondent bien au modèle théorique. L’analyse du profil spatial, présenté à la figure 6, permet également de constater un excellent accord avec le modèle théorique. En imageant spatialement le faisceau à l’aide d’une caméra CCD (figure 6b), on obtient un profil présentant une distribution en intensité s’apparentant à une fonction de Bessel altérée, étant donné que l’intégration se fait sur tous les anneaux spatiotemporels. Il en découle ainsi que les zéros de la L’approche présentée à la section 3, qui consiste à modeler une impulsion femtoseconde dans les domaines spatial et temporel de façon indépendante à l’aide d’un masque annulaire unique, donne des résultats expérimentaux qui sont en bon accord avec le modèle théorique, validant ainsi la notion de faisceau spatiotemporel quasi-invariant. L’impact de certains paramètres, tels l’épaisseur de l’anneau, l’étendue spectrale utilisée et la longueur focale de la lentille #2, devra être investigué afin de valider davantage le modèle théorique. De plus, la propagation quasi-invariante reste à être testée en présence de dispersion anomale. REMERCIEMENTS Ces recherches sont appuyées financièrement par le Conseil de recherche en sciences naturelles et en génie du Canada (CRSNG), le Fond québécois de la recherche sur la nature et les technologies (FQRNT) et l’Institut canadien pour les innovations en photonique (ICIP/CIPI). RÉFÉRENCES 1. 2. 3. 4. M. Dallaire, N. McCarthy, M. Piché, “Spatiotemporal Bessel beams”, Proc. SPIE, Vol. 6796, 67963O (2007) M. Dallaire, M. Piché, and N. McCarthy, “Analysis and Generation of Spatiotemporal Bessel Beams,” Frontiers in Optics, OSA Technical Digest, Optical Society of America, paper FWC2 (2007) J. Durnin, “Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory,” Journal of the Optical Society of America A (Optics and Image Science) 4(4), 651-654 (1987) J. Durnin, J.J. Miceli and J.H. Eberly, “Diffraction-free beams,” Physics Review Letters 58, 1499-1501 (1987) LA PHYSIQUE AU CANADA / Vol. 64, No. 3 ( juillet. à septembre (été) 2008 ) C 125