Approche ondulatoire

TPC2
TD Mécanique quantique
Éléments de base - Approche ondulatoire
Exercice no 1 : Longueur d’onde de de Bröglie
1 – Calculer la longueur d’onde de de Bröglie pour :
- un électron, d’énergie cinétique égale à 10 eV ;
- une personne, de masse m = 70 kg, se déplaçant à une vitesse de l’ordre du mètre par seconde.
Commenter les ordres de grandeur obtenus.
2 – À ce jour, les fullerènes C60 sont les molécules les plus grosses pour lesquelles les phénomènes ondulatoires ont été observés. Dans les expériences correspondantes, les molécules ont une vitesse moyenne
de 220 m.s−1 . Calculer la longueur d’onde de de Bröglie de ces molécules. Comment se compare-t-elle
aux dimensions de la molécule (de l’ordre du nm).
Exercice no 2 : Gaz quantique ou classique
On considère de l’hélium gazeux à température ambiante et à la pression atmosphérique.
L’énergie cinétique moyenne d’un atome d’hélium est E = 3/2kB T , où kB est la constante de Boltzmann.
1 – a – Déterminer et évaluer numériquement la vitesse quadratique moyenne d’un atome d’hélium.
b – Calculer la longueur d’onde de de Bröglie correspondante. La comparer à la distance moyenne
entre les atomes d’hélium.
c – On s’attend à ce que les effets quantiques puissent jouer un rôle lorsque la longueur d’onde de
de Bröglie est de l’ordre de grandeur ou plus grande que la distance moyenne interatomique.
Expliquer pourquoi et dire si l’étude de ce gaz d’hélium semble ou non relever de la mécanique
quantique.
2 – Lors de la formation d’un cristal métallique, on suppose que chaque atome du cristal fournit un
électron. L’ensemble de ces électrons libres constitue un gaz où l’énergie de chaque électron est de
l’ordre de l’eV . La distance moyenne entre les électrons est supposée égale à la distance moyenne
entre les atomes.
a – Reprendre les arguments développés précédemment pour le gaz d’hélium dans le cas du gaz
d’électrons libres dans un métal. On pourra utiliser les valeurs numériques suivantes relatives
au cuivre : MCu = 63 g.mol−1 et µCu = 8, 9.103 kg.m−3 .
b – La conduction de l’électricité dans un métal est liée au gaz d’électrons libres. Relève-t-elle d’un
traitement quantique ou classique ?
Exercice no 3 : Le modèle de Bohr
Pour expliquer la stabilité de l’atome, Bohr imagina que les électrons devaient se mouvoir sur des orbites
circulaires. Sur la première orbite, de rayon a0 , la quantité de mouvement vérifie : p0 = ~/a0 .
1 – Afin que l’on puisse parler de trajectoire au sens classique du terme, quelle limitation doit-on imposer
aux indéterminations ∆r et ∆p pour l’orbite de Bohr considérée ?
2 – Montrer que ces limitations sont incompatibles avec l’inégalité de Heisenberg spatiale.
3 – Que doit-on en déduire pour le modèle de Bohr ?
1
Exercice no 4 : Parité des états stationnaires
Une particule de masse m se déplace dans un potentiel V (x) pair par rapport à l’origine. On suppose
connu un état stationnaire ϕ(x) d’énergie E, ni pair ni impair.
1 – Montrer, en considérant l’équation de Schrödinger, que la fonction ϕ∗ (x) = ϕ(−x) définit un nouvel
état stationnaire de même énergie E.
2 – En déduire que la particule possède au moins un état stationnaire symétrique et un état stationnaire
antisymétrique.
Exercice no 5 : Énergie de confinement quantique
On envisage un état stationnaire lié d’une particule d’énergie E dans un puits de potentiel de profondeur
V0 et de largeur L. On rappelle l’équation permettant de déterminer l’énergie de l’état fondamental :
~2 k 2
kL
et δ =
|cos( )| = kδ avec E =
2
2m
s
~2
.
2mV0
On suppose que E << V0 , de telle sorte que k est proche de la valeur k∞ donnant l’état fondamental dans
un puits de profondeur infinie.
1 – Exprimer k∞ en fonction de L.
2 – On pose k = k∞ (1 − ε). Déterminer ε en fonction de L et δ en limitant les calculs à l’ordre un en ε.
En déduire que tout se passe comme si on avait un puits infini de largeur effective Lef f = L + 2δ et
interpréter qualitativement.
Exercice no 6 : Puits semi-infini
On étudie les états stationnaires d’une particule liée d’énergie E telle que −V0 < E < 0 dans un puits de
potentiel de la forme :
V (x < 0) = +∞ ; V (0 < x < L) = −V0 ; V (x > L) = 0
avec V0 > 0.
On pose V0 + E = ~2 k 2 /2m. Montrer que l’on doit chercher la partie spatiale de la fonction d’onde sous la
forme :
ϕ(x < 0) = 0 ; ϕ(0 < x < L) = Ae(ikx) + Be(−ikx) ; ϕ(x > L) = Ce(−αx) .
Exercice no 7 : Oscillateur harmonique quantique
On considère une particule quantique, de masse m, soumise à une énergie potentielle de la forme
1
V (x) = mω 2 x2 .
2
E
Dans un état stationnaire d’énergie E, on écrit la fonction d’onde sous la forme : Ψ(x, t) = ϕ(x)exp(−i t).
~
1 – Écrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps dans le cas considéré.
x2
2 – Pour l’état fondamental, on a ϕ(x) = N exp(− 2 ).
a
a – Déterminer la constante de normalisation N .
b – Représenter l’allure de la densité de probabilité de présence de la particule. En déduire, sans
calcul, la valeur de la position moyenne < x > de la particule.
c – Déterminer l’expression de l’énergie E et de a en fonction de ~, m et de ω.
r
Z +∞
π
2
On donne :
exp(−αu )du =
.
α
−∞
2
Exercice no 8 : Énergie minimale d’un oscillateur harmonique
Un oscillateur harmonique unidimensionnel a une masse m, une pulsation propre ω0 . Il est soumis à une
1
énergie potentielle V (x) = mω02 x2 . La position moyenne < x > et la quantité de mouvement moyenne
2
< px > de l’oscillateur sont nulles.
1 – Utiliser la relation d’incertitude de Heisenberg spatiale pour montrer que la valeur moyenne de
l’énergie de cet oscillateur est bornée inférieurement :
< E >≥
~2
1
+ mω02 (∆x)2 ,
2
8m(∆x)
2
où ∆x représente l’indétermination quantique sur la position x de l’oscillateur.
2 – Déterminer la valeur minimale que peut prendre la valeur moyenne de l’énergie de l’oscillateur en
fonction de ~ et ω0 .
Exprimer l’amplitude de l’indétermination quantique ∆x en fonction de m, ~ et ω0 .
3 – À température non nulle, en raison de l’agitation thermique, il existe aussi des fluctuations ∆xT de
la position de l’oscillateur
autour de sa valeur moyenne.
s
kB T
On donne ∆xT =
, où kB = 1, 38.10−23 J.K −1 est la constante de Boltzmann.
mω02
a – Donner l’expression de la température Tc en dessous de laquelle les fluctuations quantiques sont
plus importantes que les fluctuations thermiques.
b – Application numérique.
- Donner la valeur numérique de Tc dans le cas d’un oscillateur mécanique constitué d’une masse
suspendue à un ressort. Choisir une fréquence d’oscillation correspondant à une expérience réalisable au laboratoire de physique. Commenter la valeur obtenue pour Tc .
- En 2010, une équipe de l’Université de Californie à Santa Barbara atteint le régime quantique
en amenant un microrésonateur piézo-électrique de fréquence très élevée (6,0 GHz) à une température de 25 mK.
Commenter le choix d’un oscillateur de fréquence élevée et d’une température aussi faible.
Exercice no 9 : Particule dans une boîte unidimensionnelle
Une particule de masse m, d’énergie E, est confinée dans l’intervalle 0 ≤ x ≤ L où son énergie potentielle
est choisie nulle : V (x) = 0.
1 – On adopte, dans cette question seulement, un traitement classique. On admet que la densité de
probabilité de présence classique de la particule entre x et x + dx est proportionnelle à la durée de
passage dt entre ces deux abscisses.
a – En exploitant la conservation de l’énergie, exprimer la vitesse classique v(x) de la particule à
l’abscisse x.
b – Montrer qu’après normalisation, la densité de probabilité de présence classique s’exprime ainsi :
1
dPc`
= .
dx
L
c – Calculer la probabilité de présence de la particule entre les abscisses 0 et L/4.
2 – On adopte maintenant un traitement quantique. L’énergie E de la particule correspond à un état
stationnaire représenté par la fonction d’onde :
x
E
Ψn (x, t) = An sin(nπ )exp(−i t),
L
~
où n est un entier positif.
3
a – Déterminer la constante An en normalisant correctement cette fonction d’onde.
b – Calculer la probabilité de présence de la particule entre les abscisses 0 et L/4.
c – Que devient ce dernier résultat dans la limite où n >> 1 ? Comment ce résultat se compare-t-il
au résultat de la théorie classique ?
Exercice no 10 : Colorants organiques et modèle de Kuhn
Une particule de masse m, d’énergie E, est confinée dans l’intervalle 0 ≤ x ≤ L où son énergie potentielle
est choisie nulle : V (x) = 0. En 1949, Hans Kuhn proposa, pour calculer les propriétés électroniques d’une
molécule présentant des liaisons conjuguées, comme celle représentée ci-dessous, d’oublier le squelette
d’atomes de carbone, d’azote et d’hydrogène, et d’attribuer les propriétés optiques dans le domaine visible
au seul nuage d’électrons π. Dans le modèle simple, Kuhn propose que les N électrons π sont prisonniers
d’un puits de potentiel infiniment profond, de longueur L.
1 – La molécule représentée ci-dessus appartient à la famille des cyanines symétriques. En incluant les
atomes d’azote qui font partie du chromophore, quel est, en fonction de p, le nombre N d’électrons
délocalisés ? On note ` la longueur moyenne d’une liaison carbone-carbone ou carbone-azote. Dans
son modèle kuhn propose L = N `.
2 – En exploitant l’analogie avec la corde vibrante, retrouver les valeurs des différents niveaux d’énergie
en fonction de }, de la masse me de l’électron et de L. On introduira un nombre quantique entier n.
3 – On admet que les électrons se répartissent dans les différents niveaux d’énergie en respectant les
règles de Hund et de Pauli. Justifier que l’existence d’une bande d’absorption est due à une transition
électronique du niveau d’énergie occupé le plus haut vers le niveau d’énergie libre le plus bas. Identifier
ces deux niveaux.
4 – En déduire l’expression de la longueur d’onde λ0 du rayonnement électromagnétique absorbé en
fonction de me , c, de la constante de Planck h, de L et de N .
5 – Pour la famille des cyanines symétriques, les raies d’absorption ont été mesurées :
On donne ` = 0, 139 nm. Comparer ces valeurs expérimentales aux valeurs fournies par le modèle de
Kuhn. Quelles peuvent être les origines des écarts constatés ?
4
Exercice no 11 : Évolution d’une particule dans un potentiel inconnu
Un faisceau de particules quantiques incidentes, de masse m et d’énergie E, provient de x → −∞. Chaque
particule est astreinte à se déplacer le long de l’axe (x0 Ox). Elle est soumise à un champ de force qui dérive
de l’énergie potentielle V (x). On admet que cette énergie s’annule quand x → ±∞.
Sur le graphe ci-dessous est représentée la densité de probabilité de présence P (x) d’une particule quantique. Les oscillations qui apparaissent sont sinusoïdales.
1 – L’état de chaque particule quantique est-il un état "lié" ou un état de "diffusion" ?
2 – Quelle interprétation peut-on donner aux oscillations de P (x) pour x ≤ 0 ? Le même comportement
est-il observable en mécanique classique ?
3 – L’énergie potentielle V (x) de la particule est constante par morceaux. Déterminer son allure possible
en fonction de x.
4 – La fonction d’onde associée à cet état stationnaire est notée ψ(x, t) = ϕ(x)exp(−iEt/~).
Dans la mesure du possible, proposer une expression de ϕ(x) pour chacune des trois régions :
x ≤ −a/2 ; |x| ≤ a/2 ; x ≥ a/2.
Donner les conditions de raccordement qui doivent être vérifiées en ±a/2.
Exercice no 12 : Marche de potentiel
On étudie le mouvement d’une particule quantique dans le potentiel V (x) (marche de potentiel) représenté
sur la figure suivante et défini par :
V (x) = 0 pour x < 0 (région I) ; V (x) = V0 > 0 pour x ≥ 0 (région II).
On envisage le cas d’une particule
q quantique incidente d’énergie E > V0 .
√
2m(E − V0 )
2mE
et k2 =
.
On pose k1 =
~
~
1 – Montrer qu’un état stationnaire de la particule peut être représenté par la fonction d’onde propre :
ϕ(x) = Aexp(ik1 x) + rAexp(−ik1 x) pour x < 0 (région I) et ϕ(x) = tAexp(ik2 x) pour x ≥ 0 (région
II), où A est une constante non nulle.
2 – Écrire les relations de raccordement en x = 0 et en déduire les expressions de r et de t.
Examiner le cas où E >> V0 et commenter.
3 – En superposant des états stationnaires d’énergies voisines de E, on forme un paquet d’ondes représentant une particule quantique incidente. La figure ci-après représente l’évolution dans l’espace et
dans le temps de ce paquet d’ondes, c’est à dire sa réflexion et sa transmission sur une marche de
potentiel. La zone grisée représente la région II. Le temps s’écoule du haut vers le bas de la figure.
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Commenter aussi précisément que possible ces graphes.
4 – Dans la situation où E < V0 , l’expression de la fonction d’onde propre dans la région I doit être
conservée. Expliquer cependant comment est modifié k2 et par suite, le coefficient r.
En déduire alors l’expression de la probabilité de réflexion R de la particule. Commenter.
Une demi-heure de méditation est essentielle, sauf quand on est très occupé.
Alors une heure est nécessaire.
Saint François de Sales.
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