Traitement Numérique du Signal (Partie 2)
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EII2 Traitement Numérique du Signal (Partie 2) Support de cours Olivier SENTIEYS [email protected] http://r2d2.enssat.fr/enseignements/Tns/Tns.php Plan du cours Partie II IV. Analyse des filtres numériques 1. Spécification, classification, représentation 2. Analyse fréquentielle 3. Structures des filtres RII et RIF V. Transformées en TNS 1. TFD, convolution linéaire 2. TFR : Transformée de Fourier Rapide VI. Quantification - évaluation de la précision 1. Quantification 2. Effets de la quantification en TNS 2 Plan du cours Partie II (suite) VII. Synthèse des filtres numériques RII 1. Invariance Impulsionnelle 2. Transformation Bilinéaire VIII. Synthèse des filtres numériques RIF 1. Introduction 2. Filtres à Phase Linéaire 3. Méthode du Fenêtrage 4. Échantillonnage en Fréquence 3 Plan du cours (fin) IX. Analyse spectrale 1. Effets de la troncature 2. Caractéristiques des fenêtres 3. Influence sur l'analyse X. Systèmes multi-cadences 1. Définition 2. Décimation 3. Interpolation 4 IV. Analyse des filtres numériques 1. Spécification, classification, représentation 2. Analyse fréquentielle 3. Structures des filtres RII et RIF 5 IV Filtrage Numérique 1 Introduction Définition – Système Linéaire Discret (SLD) modifiant la représentation temporelle et fréquentielle de signaux Filtre Numérique x(n) <=> X(z) y(n) <=> Y(z) h(n) <=> H(z) 1. Introduction Un filtre numérique peut être représenté par : – une fonction de transfert en z : H(z) = Y(z) / X(z) X(z) H(z) Y(z) 6 Notes : IV Filtrage Numérique 1 Introduction H1(z) X(z) H(z) Y(z) X(z) + H2(z) Y(z) ... a) Forme directe HM(z) b) Forme parallèle X(z) H1(z) ... H2(z) HM(z) Y(z) c) Forme cascade ∞ y (nT ) = ∑ x(kT )h[(n − k )T ] k =0 ∞ y ( n) = ∑ x (k )h(n − k ) k =0 Notes : x(n) h(n) y(n) 7 IV Filtrage Numérique 1 Introduction si x(n) = δ(n) alors y(n) = h(n) – une équation aux différences (récursive ou non récursive) M N i =0 i =1 y (n) = ∑ bi .x(n − i ) −∑ ai . y ( n − i ) 8 Notes : IV Filtrage Numérique 2 Spécification d’un filtre numérique 2. Spécification d’un filtre numérique – Gabarit fréquentiel Passe-Bas (ou Passe-Haut) défini par sa sélectivité, son ondulation en BP et son atténuation en BA Bande de transition Bande atténuée Bande passante |H(f)| (dB) |H(f)| fp 1+δ1 1 1-δ1 20log(1+δ1) 0 dB 20log(1-δ1) δ2 f 20logδ2 fp fa a) Gabarit fréquentiel linéaire Notes : fa Fe/2 f b) Gabarit fréquentiel en dB 9 IV Filtrage Numérique 2 Spécification d’un filtre numérique Passe-Bande (ou Réjecteur de Bande) défini par sa fréquence centrale, sa sélectivité, son ondulation en BP et son atténuation en BA |H(f)| 1+δ1 1 1-δ1 δ2 fa- fp- fp+ fa+ fe/2 f 10 Notes : IV Filtrage Numérique 3 Classification des filtres numériques 3 Classification des filtres numériques Un filtre numérique peut être classé selon : – la durée de sa réponse impulsionnelle finie : les filtres RIF ont leur réponse impulsionnelle à support fini i.e. h(n) = 0 pour n<0 et n>N infinie : les filtres RII ont leur réponse impulsionnelle à support infini i.e. h(n) ≠ 0 ∀n – le type de représentation temporelle récursifs : la sortie y(n) dépend de l’entrée courante, des entrées précédentes et des sorties précédentes non récursifs : la sortie y(n) ne dépend que de l’entrée courante et des entrées précédentes Notes : 11 IV Filtrage Numérique 3.1 Filtres numériques non récursifs 3.1 Filtres numériques non récursifs (ou transversaux) M y (n) = ∑ bi x(n − i ) i =0 Y ( z) = H ( z) X ( z) M M ⇒ H ( z ) = ∑ bi z = ∑ h(n) z −n i =0 −i n =0 M ⇒ h(n) = ∑ bi δ (n − i ) i =0 Les coefficients bn du filtre sont les valeurs de la RI (h(n) = bn). Ceci montre qu'un filtre non récursif est à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF). M est appelée la longueur du filtre. 12 Notes : IV Filtrage Numérique 3.1 Filtres numériques non récursifs • Principales propriétés – Les RIF sont toujours stables (pas de pôles) – Les RIF peuvent avoir une caractéristique de phase linéaire • Retard constant en fréquence (temps de propagation de groupe) • Pas de distorsion harmonique • Symétrie de la RI – A sélectivité équivalente, ils sont toujours plus coûteux (en temps de calcul) que leur équivalent RII 13 Notes : IV Filtrage Numérique 3.2 Filtres numériques récursifs 3.2 Filtres numériques récursifs M N y (n) = ∑ bi x( n − i ) − ∑ ai y (n − i ) i =0 i =1 M ∑b z −i i ⇒ H ( z) = i =0 N 1 + ∑ ai z −i = N ( z) D( z ) i =1 En pratique on a N=M, N est appelée l'ordre du filtre. 14 Notes : IV Filtrage Numérique 3.2 Filtres numériques récursifs – Si N(z) n'est pas divisible par D(z) (cas général), on a un nombre infini de termes dans la division polynomiale. ∞ ∞ H ( z ) = ∑ ci z = ∑ h(n) z − n i =0 −i n =0 Les coefficients cn sont les valeurs de la RI (h(n) = cn). Ceci montre qu'un filtre récursif est, dans le cas général, à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII). – Si N(z) est divisible par D(z) (cas particulier), on a un nombre fini de termes dans la division polynomiale. Dans ce cas, le filtre est RIF. • Exemple : filtre moyenneur 15 Notes : IV Filtrage Numérique 3.2 Filtres numériques récursifs M – Si N(z)=1 : filtre tout-pôle – Si D(z)=1 : filtre RIF • Principales propriétés ∑b z −i i H ( z) = i =0 N 1 + ∑ ai z −i = N ( z) D( z ) i =1 – Les RII peuvent être instables : structure à base de pôles et de zéros M H ( z ) = b0 z N −M ∏ (z − z ) i i =1 N ∏ (z − p ) i i =1 – Bande de transition faible – Synthèse par réutilisation des méthodes analogiques – Instabilité numérique due au rebouclage : forme cascade plus stable 16 Notes : IV Filtrage Numérique 4 Analyse fréquentielle 4. Analyse fréquentielle L'analyse fréquentielle est l'étude du module, de la phase et du temps de propagation de groupe du filtre H. H ( e jΩ ) = H ( z ) z = e jΩ Ω est la pulsation relative : Ω = ωT = 2πfT La fonction de transfert en fréquence H(ejΩ) est périodique de période 2π. |H(ejΩ)| π Notes : 2π Ω 17 IV Filtrage Numérique 4 Analyse fréquentielle Conclusion Trois domaines de représentation – Temporel h(n), équation aux différences – Fonction de transfert en z, diagramme des pôles/zéros – Fréquentiel H(Ω), module, phase h( n ) TZ TZI ∞ i =0 N i =0 i =1 y (n) = ∑ bi .x( n − i ) −∑ ai . y ( n − i ) ∞ H ( z ) = ∑ ci z = ∑ h(n) z − n −i M TF n =0 z=e jΩ TFI H ( e jΩ ) = H ( z ) z = e jΩ 18 Notes : IV Filtrage Numérique 4 Analyse fréquentielle Exemple 1 pordre1.avi H ( z) = z z−a a∈ −1 ≤ a ≤ 1 19 Notes : IV Filtrage Numérique 4 Analyse fréquentielle Exemple 2 pzordre1.avi H ( z) = z z−a a, b ∈ −0.9 ≤ a, b ≤ 0.9 20 Notes : IV Filtrage Numérique 4 Analyse fréquentielle Exemple 3 paordre2.avi H ( z) = z ( z − p)( z − p*) p∈ p ≤1 21 Notes : IV Filtrage Numérique 4 Analyse fréquentielle Exemple 4 prordre2.avi H ( z) = z ( z − p)( z − p*) p∈ p = 0.9 22 Notes : IV Filtrage Numérique 5 Structures de réalisation 5. Structures de réalisation – Filtres RIF N y (n) = ∑ bi x(n − i ) i =0 x(n) b0 x(n) Z-1 x(n-1) + b1 x(n-N) + y(n) Z-1 y(n) b1 + + bN-1 + Z-1 b0 Z-1 bN-1 + bN bN a) Structure directe Z-1 b) Structure transposée 23 Notes : IV Filtrage Numérique 5 Structures de réalisation – Filtres RII N N i =0 i =1 y (n) = ∑ bi x( n − i ) − ∑ ai y (n − i ) N N ( z) 1 ⇒ H ( z) = = N ( z) × = ∑ bi z −i × D( z ) D( z ) i =0 1 N 1 + ∑ ai z −i i =1 b0 x(n) Z-1 Z-1 b1 + + + + bN-1 + + y(n) -a1 Z-1 Z-1 x(n-1) -aN-1 bN -aN RIF RII Z-1 Z-1 x(n-N) a) Structure directe Notes : b0 x(n) b1 + + y(n) -a1 Z-1 y(n-1) bN-1 + -aN-1 bN -aN Z-1 y(n-N) 24 IV Filtrage Numérique 5 Structures de réalisation – Filtres RII 1 H ( z) = × N ( z) = D( z ) N 1 N 1 + ∑ ai z −i × ∑ bi z −i i =0 i =1 N w(n) = x (n) − ∑ ai w(n − i ) i =1 N y (n) = ∑ bi w(n − i ) i =0 1 .X ( z) W ( z ) = D( z ) Y ( z ) = N ( z ).W ( z ) w(n) x(n) b0 + + + -a1 Z-1 Z-1 -aN-1 -aN RII Z-1 b1 + y(n) + bN-1 + Z-1 bN RIF 25 Notes : IV Filtrage Numérique 5 Structures de réalisation – Filtres RII x(n) b0 + w(n) + y(n) x(n) b0 Z-1 y(n) Z-1 b1 -a1 + + b1 + + -a1 w(n-1) Z-1 a) Structure canonique directe -aN-1 + Z-1 bN-1 bN-1 + + Z-1 -aN bN bN Z-1 + w(n-N) -aN-1 -aN b) Structure canonique transposée – Forme cascade de filtres du second ordre N +1 2 N +1 2 i =1 i =1 H ( z ) = ∏ Hi( z ) = ∏ X(z) Notes : H1(z) bi , 0 + bi ,1 z −1 + bi , 2 z − 2 H2(z) 1 + ai ,1 z −1 + ai , 2 z − 2 ... HK(z) Y(z) 26 V. Transformées en TNS 1. TFD, convolution linéaire 2. TFR : Transformée de Fourier Rapide 27 Notes : V Transformées en TNS 1 Rappels • TFSD : Transformée de Fourier d'un Signal ∞ Discret X (e jωT ) = ∑ x(nT ) e − jnωT n = −∞ x(nT) non périodique ∞ jΩ − jnΩ X (e ) = ∑ x( nT ) e n = −∞ π x( nT ) = 1 X (e jΩ ) e jnΩ dΩ 2π −∫π • Propriétés – Linéarité – Décalage en temps/fréquence – Produit de convolution en temps/fréquence – Théorème de Parseval – Transformées de fonctions réelles Notes : 28 V Transformées en TNS 2 Transformée de Fourier Discrète • TFD – En pratique, on prend seulement un nombre fini d'échantillons de x(nT). On ne peut donc obtenir qu'un nombre fini d'échantillons fréquentiels de X(ejΩ). kn N −1 − 2 jπ N X ( k ) = x ( n ) e k = 0..N − 1 ∑ n =0 kn N −1 + 2 jπ x ( n) = 1 N X ( k ) e n = 0..N − 1 ∑ N k =0 x(n) x(n) est considéré comme périodique de période N, x(n) = x(n+qN) X(k) est donc également périodique de période N, X(k) = X(k+qN) X(k) TFD N-1 Pas temporel : T=1/Fe Notes : N-1 n Pas fréquentiel : 1/NT=Fe/N k 29 V Transformées en TNS 2 Transformée de Fourier Discrète • Propriétés – Linéarité – Décalage en temps/fréquence – Produit de convolution en temps/fréquence • Convolution discrète • Convolution circulaire (ou périodique) – Théorème de Parseval – Transformées de fonctions réelles • Relation entre TFSD et TFD – Signaux de durée finie ou périodique – Cas général ? 30 Notes : V Transformées en TNS 2 Transformée de Fourier Discrète • Définition kn N −1 − 2 jπ N k = 0..N − 1 X ( k ) = ∑ x ( n) e n=0 kn N −1 + 2 jπ x( n) = 1 N X (k ) e n = 0..N − 1 ∑ N k =0 TFD X(k) ⇔ x(n) x(n) et X(k) sont, dans le cas général, des nombres complexes. • Forme Matricielle X(0) X(1) . . X(N-1) = 1 1 . . 1 1 W1N W2N . WN-1 N . W2N W4N . W2(N-1) N . . . . . 1 WN-1 N W2(N-1) N . W(N-1) N X=W. x WN = e (2) −2 jπ N WNn k = e Notes : 2 × x(0) x(1) . . x(N-1) − 2 jπ kn N 31 V Transformées en TNS 2 Transformée de Fourier Discrète n n Propriétés des W N = e -2jπ N k(N-n) kn = (W N )* WN kn k(n+N) (k+N)n WN = W N = WN n+N/2 n WN = -W N 2kn kn WN = W N/2 (3.1) (3.2) Périodicité (3.3) Symétrie (3.4) Complexité de calcul La TFD revient à calculer un produit matrice-vecteur où chaque élément est de type complexe. La complexité de calcul de la TFD est de N2 multiplications, et de N(N-1) additions sur des nombres complexes. Ceci revient à une complexité de 4N2 multiplications réelles et N(4N-2) additions réelles. Cet algorithme se comporte donc en O(N2), mais ne possède pas de problèmes d'adressage car les x(n) et les Wi sont rangés dans l'ordre en mémoire. – En 1965, Cooley et Tuckey [COOLEY 65] ont publié un algorithme applicable quand N est le produit de 2 ou plusieurs entiers dont la complexité est en O(Nlog2N) 32 Notes : V Transformées en TNS 3 Transformée de Fourier Rapide • TFR (FFT) partagée dans le temps (DIT) X(k) = ∑x(n).WNnk + ∑x(n).WNnk n pair X(k) = nimpair N/2−1 N/2−1 n=0 n=0 ∑ x(2n).WN2nk + ∑x(2n +1).WN(2n+1)k En exploitant la propriété 3.4, on obtient : X(k) = N/2−1 N/2−1 n=0 n=0 nk k nk + WN. ∑ x(2n+ 1).WN/2 ∑ x(2n).WN/2 X(k) = G(k) + WNk .H(k) (4) k = 0,1,...., N−1 où G(k): TFD sur N/2 points d'indices pairs, H(k): TFD sur N/2 points d'indices impairs. N/2−1 N N/2−1 n(k+N/2) n(k+N/2) + WNk+N/2. ∑x(2n +1).WN/2 X(k + ) = ∑x(2n). WN/2 2 n=0 n=0 N X(k + ) = G(k) − WNk.H(k) 2 33 Notes : ••• TFR DIT ••• x(0) 0 W8 x(2) TFD x(4) N/2 pts W 81 W x(6) 2 8 3 X(0) X(1) X(2) X(3) W8 x(1) W x(3) TFD x(5) N/2 pts 4 8 W 58 W x(7) 6 8 X(4) X(5) X(6) X(7) W 78 O(N 2 ) O(N) 2 TFD de taille N/2 N/2 papillons Xm+1 (p) Xm (p) r Xm+1 (p) = X m (p) + W N X m (q) r Xm+1 (q) = X m (p) - W N X m(q) Papillon DIT Xm (q) (6) Xm+1 (q) r WN -1 Complexité d'un papillon : 1 multiplication complexe, 2 additions/soustractions complexes 34 Notes : N log N multiplications de nombres complexes, 2 2 N log2 N additions/soustractions de nombres complexes, ou, ••• TFR DIT ••• 2 N log2 N multiplications de nombre réels, 3 N log2 N additions/soustractions de nombre réels. FFT DIT RADIX-2 en place sur 16 points X(0) X(0) X(1) X(8) 0 entrée ordre bit-reversed X(2) X(2) 0 X(12) 0 X(3) 2 X(4) 0 X(10) X(6) X(14) X(1) 0 X(5) 2 0 0 4 2 6 X(6) X(7) 0 X(9) X(5) 0 X(11) 0 X(15) 2 DIT: (Décimation en temps) X(12) 5 2 0 X(11) 4 0 X(7) X(10) 3 2 0 0 X(9) 2 0 X(13) X(3) X(8) 1 X(13) 6 4 X(14) 7 X(15) 6 FFT W= e A FFT inverse A' = A + BW B' = A - BW -2j π N k k A' = A + BW B' = A - BW W= e -2j π N sortie ordre normal X(4) A' -k -k k B B' 35 Notes : ••• TFR DIF ••• • TFR (FFT) partagée dans les fréquences (DIF) N/ 2 −1 N −1 n =0 n =N / 2 ∑ x(n).WNnk + ∑ x(n).WNnk X(k) = N/ 2 −1 ∑ X(k) = nk x(n).WN n =0 N/ 2 −1 X(k) = k.N / 2 + WN N/2-1 . ∑ x(n + n =0 N nk ).WN 2 (7) N ∑ [ x(n) + (−1) k .x(n + 2 )] WNnk n =0 Xm+1 (p) Xm (p) X(0) x(0) x(1) TFD N/2 pts x(2) x(5) x(6) x(7) X(4) Xm (q) X(6) x(3) x(4) X(2) W08 W18 W28 W38 -1 r Xm+1 (q) WN X(1) TFD N/2 pts X(3) X(5) X(7) Xm+1(p) = Xm(p) + Xm(q) r Xm+1(q) = [Xm(p) - Xm(q)] WN (8) 36 Notes : ••• TFR DIF FFT DIF RADIX-2 en place sur 16 points X(0) X(0) X(1) 0 X(2) X(3) 4 2 X(6) X(7) 4 0 6 4 0 X(9) 1 X(10) 2 0 X(11) 3 4 X(12) 4 0 X(13) 5 2 X(14) 6 4 0 X(15) 7 6 4 fréquence) -2j π N X(14) X(1) k A' = A + B B' = (A-B) W W= e -2j π N X(9) X(5) 0 X(13) X(3) 0 X(11) 0 X(15) X(7) A FFT inverse A' = A + B B' = (A-B) W X(10) X(6) 0 0 FFT W= e Notes : 0 X(8) (Décimation en X(12) X(2) 0 X(5) DIF: 0 -k sortie: ordre bit-reversed entrée: ordre normal X(4) X(8) X(4) 0 A' k B B' 37 Transformée de Fourier Rapide FFT DIT RADIX-2 en place sur 16 points X(0) X(0) X(8) 0 X(2) 0 X(3) 0 X(4) 0 X(5) 0 X(4) X(12) 4 X(2) X(10) X(6) 0 4 X(7) 0 4 2 X(14) 6 X(8) 0 X(9) 0 X(10) 0 2 X(11) 0 2 X(12) 0 4 X(13) 0 4 X(14) 0 4 6 X(15) 0 4 6 X(6) X(1) X(9) 1 X(5) X(13) 5 X(3) sortie: ordre bit-reversed entrée: ordre normal X(1) X(11) 3 X(7) X(15) 7 DIT: (Décimation en temps) FFT A' = A + BW B' = A - BW W= e Notes : A FFT inverse -2j π N k k A' = A + BW B' = A - BW W= e -2j π N A' -k -k k B B' 38 Transformée de Fourier Rapide FFT GEOMETRIE CONSTANTE sur 16 points X(0) X(0) 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 4 2 0 0 6 3 0 4 0 4 0 4 2 5 0 4 4 6 0 4 6 7 X(1) X(4) X(12) X(2) X(3) entrée: ordre bit-reversed X(2) X(10) X(4) X(5) X(6) X(14) X(6) X(7) X(1) X(9) X(8) X(9) X(5) X(13) X(10) X(11) X(3) X(11) X(12) X(13) X(7) X(15) X(14) FFT Géométrie Constante FFT inverse A' = A + B•W B' = A - B•W W= e Notes : sortie: ordre normal X(8) -2jš N k k A' = A + B•W B' = A - B•W W= e -2jš N X(15) A A' -k -k B k B' 39 Transformée de Fourier Rapide FFT DIF RADIX-4 en place sur 16 points X(0) X(0) X(1) X(8) 0 X(2) X(3) entrée: ordre normal X(2) X(5) 0 X(6) 1 X(7) 2 X(14) X(8) 3 X(1) X(10) 0 X(9) X(6) X(9) 0 X(10) X(11) X(5) X(13) X(12) sortie: ordre bit-reversed X(12) X(4) X(3) X(13) X(11) 0 X(14) X(15) X(7) X(15) FFT inverse A A' = A+B+C+D -k B' = (A-jB-C+jD)W -2k C' = (A-B+C-D)W D' = (A+jB-C-jD)W -3k B FFT A' = A+B+C+D k B' = (A-jB-C+jD)W C' = (A-B+C-D)W 2k D' = (A+jB-C-jD)W 3k W=e Notes : X(4) -2jš N W=e -2jš N A' B' k C D 2k 3k C' D' 40 V.4 Convolution et corrélation 1 Définitions • Corrélation – Soit x1 et x2, 2 signaux de durée finie [0 ... N-1], la corrélation est : N −1 y ( n ) = ∑ x1 (i ) x 2 (i + n ) i=0 • Convolution linéaire – Soit x et h, 2 signaux de durée finie respectivement N et M, la convolution est définie par : y ( n ) = ( x ∗ h )( n ) ∞ ∞ i=0 i=0 y ( n ) = ∑ x (i ) h ( n − i ) = ∑ h (i ) x ( n − i ) Le signal y(n) est de durée [0 ... N+M-2] 41 Notes : V.4 Convolution et corrélation 1 Définitions ∞ • Exemple de convolution y ( n ) = ∑ x (i ) h ( n − i ) i=0 N>M x(i) h(i) * N-1 i n-M+1 i M-1 h(n-i) h(-i) n i n y ( n ) = ∑ x (i ) h ( n − i ) i y(n) i =0 N+M-2 n 42 Notes : V.4 Convolution et corrélation 1 Définitions • Propriétés – Y(z) = H(z) X(z) (TZ) – Y(k) ≠ H(k) X(k) (TFD) • Vue matricielle de la convolution y (0) h (0) y ( 1 ) . = h ( M − 1) . . 0 y ( N + M − 2 ) 0 0 . . h (0) . . . . . . . . 0 . . x (0) y (1) 0 × 0 . h (0) . h ( M − 1) x ( N − 1) 0 O(N2) 43 Notes : V.4 Convolution et corrélation 2 Convolution circulaire • Convolution circulaire – Soit x et h, 2 signaux périodiques de période N, la convolution circulaire est définie par : N −1 y ( n ) = ∑ x (i ) h ( n − i ) i =0 y (n) = x(n) ∗ h(n) Le signal y(n) est de période N h(n-i) est évalué modulo N TFD : Y(k) = H(k).X(k) 44 Notes : V.4 Convolution et corrélation 2 Convolution circulaire • Convolution circulaire – On passe de la convolution circulaire à la convolution linéaire en remplissant de zéros chaque séquence jusqu'à M+N-1 {x(n)}{0….0} N+M-1 * {y(n)} {h(n)}{0….0} 45 Notes : V.4 Convolution et corrélation 3 Convolution rapide • Convolution rapide – Passer dans le domaine de Fourier par une TFD : la convolution se transforme en produit – Utiliser la FFT sur P points pour accélérer les calculs {x(n)}{0….0} FFT X Longueur P {h(n)}{0….0} FFT-1 {y(n)} FFT – Compléter les suites x(n) et h(n) par des zéros jusqu’à N+M-2, avec P = O(Nlog2N) Notes : P> 2p. 46 V.4 Convolution et corrélation 3 Convolution rapide – Problème : h(n) et x(n) doivent être de durée finie – Application : FIR rapide • h(n) de durée M : H(k) peut être calculé une fois pour toute • x(n) de durée infinie • Convolution sectionnée – x(n), de durée infinie, est découpé en blocs xk de taille M pour kM ≤ n < ( k + 1) M x(n) xk ( n ) = O y (n) = h(n) * ailleurs ∞ ∑x k (n) k = −∞ y (n) = ∞ ∑y k (n) k = −∞ 47 Notes : V.4 Convolution et corrélation 3 Convolution rapide • Méthode OLA (Overlap Add) – Blocs xk de taille M – Addition des recouvrements entre les yk • Méthode OLS (Overlap Save) – Blocs xk de taille N+M avec recouvrement – Troncature des yk sur M points, addition entre les yk 48 Notes : VI Quantification Évaluation de la précision Introduction : pourquoi la quantification ? 1. Formats de codage (rappels) Virgule fixe, complément-à-2 2. Modèle de quantification Caractéristiques de quantification Modèle de bruit, caractéristiques de dépassement 3. Bruit de conversion Filtrage d’un bruit 4. Limitation des chemins de données 5. Effets en TNS Filtrage RIF, RII, cycles limites, quantification des coefficients 49 Notes : Codage en virgule fixe complément à 2 • Rappel codage en virgule fixe 2-n m 0 m-1 21 2 S bm-1 bm-2 b1 b0 -2 2 2 -1 b-1 b-2 b-n+2 b-n+1 b-n n m pMSB pLSB Partie entière Partie fractionnaire m −1 x = −2 S + ∑ bi 2i m i =− n • m : distance (en nombre de bits) entre la position du bit le plus significatif pMSB et la position de la virgule pV • n : distance entre la position de la virgule pV et la position du bit le moins significatif pLSB 50 Notes : VI Quantification 2 Modèle en VFCG • Modèle bruit additif x(n) xQ(n) = Q[x(n)] = k.q Q x(n) + xQ(n) e(n) = Q[x(n)] - x(n) – Définition : approximation de chaque valeur d’un signal x(n) par un multiple entier du pas de quantification élémentaire q. – e(n) est l’erreur de quantification • Sources de bruit – Bruit de conversion A/N – Limitation des chemins de données de l’architecture cible Élimination de bits lors d’un changement de format 51 Notes : VI Quantification 2 Caractéristiques de quantification (a) Arrondi Q(x) = k.q si (k-0.5).q ≤ x < (k+0.5).q Etude statistique Q(x) P(e) 3q 2q q 1/q q 2q x e -q/2 q/2 (b) Troncature Q(x) = k.q si k.q ≤ x < (k+1).q Q(x) P(e) 1/q 3q 2q q q 2q e x -q 0 • {e(n)} est une séquence d’un processus aléatoire continu et stationnaire • {e(n)} est décorrélée de {x(n)} • {e(n)} est un bruit blanc additif • la distribution de probabilité de {e(n)} est uniforme sur l’intervalle de quantification • ergodicité : moyennes temporelles = moyennes statistiques • moyenne me = moyenne temporelle • variance σe2 = puissance du bruit variance = q2/12 52 Notes : VI Quantification 2 Caractéristiques de quantification • Bruit lié à l’élimination de k bits Bits supprimés Bits restants 2m-1 20 2-1 2-j 2-j-1 S bm-1 b0 b-1 b-j b-j-1 j p(e) b-n+2 b-n+1 b-n k n • Processus aléatoire discret (a) Arrondi 2-n p(e) (b) Troncature e.2 n e.2 n • Moments (q = 2 ) −j µb = 0 σ b2 = q2 ( 1 − 2−2 k ) 12 µb = q ( 1 − 2−k ) 2 σ b2 = q2 ( 1 − 2−2 k ) 12 53 Notes : VI Quantification 2 Caractéristiques de dépassement x(n) D[x(n)] D – Valeurs de x(n) lorsqu'il sort de la dynamique de codage Saturation Modulaire – – – Complexe Moins d'effets indésirables D(x) Xmax Effets indésirables Xmax D(x) Xmax 54 Notes : VI Quantification 2 Caractéristiques de dépassement – Afin d'éviter le dépassement, on diminue l'amplitude avant ou pendant le traitement par un facteur d'échelle A < 1 (scaling). x(n) A h(n) y(n) • A peut être combiné avec les valeurs des coefficients • A puissance de 2 (en pratique) • Critères – Critère du pire-cas (ou norme L1) Pas de dépassement tant que |x(n)|<Xmax – Critère de puissance (ou norme L2) Pas de dépassement tant que Px<Pmax – Critère bande étroite (ou norme Chebychev) Pas de dépassement tant que |x(n)| < Xmax, avec x(n) sinusoïdal. Notes : 55 VI Quantification 3 Bruit de conversion A/N Quantification d'une sinusoïde Quantification en conversion A/N x(n) xQ(n) 3q 2q q n 3q 2q q n e(n) x(n) CAN xQ(n) q/2 n - q/2 xQ(n) = Q[x(n)] e(n) = xQ(n) - x(n) |e(n)| ≤ q/2 56 Notes : Filtrage d'un bruit • Exemple : filtrage du bruit de conversion x(n) CAN Q xQ(n) Filtre H(z) y(n) x(n) • En entrée du filtre + xQ(n) Filtre H(z) y(n) e(n) – Signal x(n) + Bruit de conversion e(n) q2 2 σ e = , σ x 2 puissance du signal d ' entrée 12 σ x2 σ x2 2 RSB = 2 = 2 = 12.2 2 ( b −1) σ x q / 12 σe RSBdB = 10 log RSB = 6.02 b + 4.77 + 10 log σ x 2 Le RSB augmente de 6dB par bit ajouté 57 Notes : VI Quantification 4 Limitation des chemins de données • Limitation des chemins de données de l’architecture cible – Multiplication => Quantification – Addition => Débordement 0,1101 + 0,1001 01,0110 0,8125 + 0,5625 1,375 0,1101 x 0,1001 00,0111 0101 x 0,8125 0,5625 0,4570 3125 58 Notes : Exemple du filtre FIR • Sources de bruit : bx x (n) z-1 + c0 × bgm0 + z-1 × c1 z-1 cN-2 bgm1 + × bgm N-2 + cN-1 × bgm N-1 + bg mem + + + + + y (n) x(n) N.bgm bx + h y(n) + bg mem Notes : 59 Exemple du filtre FIR • Puissance du bruit en sortie (arrondi) σ = σ +σ 2 by 2 be′ σ =σ 2 by σ 2 by +∞ 2 be N −1 2 bmem + ∑ σ b2gm . i ∑ h(m) m = −∞ i =0 2 +σ N −1 2 bmem + ∑ σ b2gm . i i =0 2 2 qe2 N −1 2 qmem qmi = ∑ cm + + N. 12 m =0 12 12 60 Notes : VII. Synthèse des filtres numériques RII 1. Introduction 2. Rappels sur la synthèse des filtres analogiques 3. Invariance impulsionnelle 4. Transformation bilinéaire 61 Notes : VII Synthèse des filtres RII 1 Introduction • Recherche de H(z) correspondant aux spécifications (gabarit) – Transposition des méthodes de synthèse applicables aux filtres analogiques, puis transformation de H(p) vers H(z) Invariance impulsionnelle Transformation bilinéaire – Synthèse directe en z – Méthodes d'optimisation : minimiser un critère d'erreur entre courbe réelle et courbe idéale 62 Notes : VII Synthèse des filtres RII 2 Synthèse de filtre analogique Spécification Gabarit analogique Normalisation Gabarit normalisé Ordre du filtre Approximation de H(p) Types de filtre (Butterworth, Chebyshev,...) HNorm(p) Dénormalisation H(p) Filtrage numérique Filtrage analogique Transformation Choix d’une structure p=f(z) invariance impulsionnelle, bilinéaire Notes : Rauch, Sallien-Key, Biquadratique 63 VII Synthèse des filtres RII 2 Synthèse de filtre analogique • Normalisation – Calcul de la sélectivité s |HNorm(p)| |HNorm(p)| (dB) 1 s ∆1 1+δ1 1 1-δ1 0 −∆1 δ2 ω ∆2 1 1/s a) Gabarit prototype linéaire ω b) Gabarit prototype en dB 64 Notes : VII Synthèse des filtres RII 2 Synthèse de filtre analogique • Ordre du filtre et fonction de transfert normalisée – Butterworth, Chebyschev, Elliptique, Bessel, Legendre, ... – HNORM(pN) • Dénormalisation – Passe-bas : pN = p / ωc – Passe-haut : pN = ωc / p – Passe-bande : pN = 1/B (p / ω0 + ω0 / p) • On obtient une fonction de transfert H(p) respectant le gabarit analogique spécifié ⇒ Passage vers H(z) 65 Notes : VII Synthèse des filtres RII 3 Invariance impulsionnelle • Le filtre numérique et le filtre analogique ont la même réponse impulsionnelle ha(t) h(nT) t x(t) Ha(p) y(t) filtre analogique t T x(nT) filtre numérique h(nT) = ha(t) Notes : y(nT) H(z) / t = nT 66 VII Synthèse des filtres RII 3 Invariance impulsionnelle • Le filtre numérique et le filtre analogique ont la même réponse impulsionnelle −1 L = nT Tz H a ( p ) → ha (t ) t → h ( nT ) → H (z) ou formulatio n directe H (z) = H a ( p) Résidus ∑ 1 − z −1e pT , p i { pôles p i de H a ( p ) } – Conserve la réponse temporelle et la stabilité – Phénomène de recouvrement de spectre du à l'échantillonnage – Non respect de la spécification fréquentielle H ( e jΩ ) = 1 T ∑ H ( jω + j π ) a 2 k T k 67 Notes : VII Synthèse des filtres RII 3 Invariance impulsionnelle • Réponse fréquentielle Ha(p) 1 p H(Ω) 1/T Ω −2Π Π 2Π – Normalisation (xT) ou (/H(0)) 68 Notes : VII Synthèse des filtres RII 4 Transformation bilinéaire • Approximation d'une intégrale par la méthode des rectangles1 e(nT) S(n) = S(n-1) + T[e(n) + e(n-1)]/2 (n-1)T e(n) H(z) Intégrateur numérique 1Appelée s(n) nT e(t) t 1/p Intégrateur analogique s(t) 2 1 − z −1 p= T 1 + z −1 également, selon les sources, méthode des trapèzes Notes : 69 VII Synthèse des filtres RII 4 Transformation bilinéaire – Conservation de la stabilité plan p plan z z = ejω T π 0 p = jωa – Relation entre fréquences numériques et analogiques 70 Notes : VII Synthèse des filtres RII 4 Transformation bilinéaire ω analogique – Distorsion en fréquence connue T T = tg ω numérique 2 2 ωT π π/T ωa −π fe/2 filtre analogique Notes : fe/2 filtre numérique 71 VII Synthèse des filtres RII 4 Transformation bilinéaire • Procédure de synthèse – A partir du gabarit en fréquence numérique ωn – Effectuer une prédistorsion en fréquence ωa T T = tg ω n 2 2 – Synthèse de H(p) par méthodes du chapitre V.2 – Transformation bilinéaire H ( z) = H ( p) 2 1 − z −1 p= T 1 + z −1 72 Notes : ωa ωa π Ω δ2 1+δ1 1 1-δ1 ωa p ωa a |Ha(jωa)| ωa=2/T tan(Ω/2) 1+δ1 1 1-δ1 |H(ejΩ)| δ2 Ωp Ωa Notes : π Ω 2π73 VII Synthèse des filtres RII Exemple • Filtre numérique analogique du premier ordre 1 H ( p) = 1+ ωc = p fc = 1 KHz, fe = 10 Khz ωc 1 R .C – Invariance impulsionnelle : Hi(z) – Transformation bilinéaire : Hb(z) 74 Notes : VIII. Synthèse des filtres numériques RIF 1. Introduction 2. Filtres à Phase Linéaire 3. Méthode du Fenêtrage 4. Échantillonnage en Fréquence 75 Notes : VIII Synthèse des filtres RIF 1 Introduction • Recherche de H(z) correspondant aux spécifications (gabarit) – Synthèse directe en z – Filtres à phase linéaire ou minimale • 3 méthodes de synthèse – Méthode du fenêtrage – Méthode de l'échantillonnage fréquentiel – Méthodes d'optimisation : minimiser un critère d'erreur entre courbe réelle et courbe idéale 76 Notes : VIII Synthèse des filtres RIF 2 Phase linéaire • Filtre à phase minimale – Zéros dans le cercle unité • Filtre à phase linéaire H ( e jΩ ) = A ( Ω ).e jϕ ( Ω ) A( Ω ) : pseudo − module ( amplitude ) avec ϕ ( Ω ) = β − α Ω – Condition pour avoir une phase linéaire Symétrie ou antisymétrie par rapport à α = (N-1)/2 77 Notes : VIII Synthèse des filtres RIF 2 Phase linéaire réponse impulsionnelle symétrique β=0 h(n) Type I réponse impulsionnelle antisymétrique β=±π/2 Type III h(n) N impair α entier α α N-1 Type II h(n) N pair α non entier Type IV h(n) α α N-1 N-1 N-1 78 Notes : VIII Synthèse des filtres RIF 2 Phase linéaire Réponses fréquentielles Type I H (e jΩ )=e − jα Ω α ∑a n cos( n Ω ) Type III j jΩ π H (e ) = e e 2 − jα Ω α ∑c a 0 = h (α ), a n = 2 h (α − n ), n = 1… α c n = 2 h (α − n ), n = 1… α H ( 0 ) = H (π ) = 0 Type II jΩ H (e ) = e Passe Bande Dérivateur Tout filtre N pair − jα Ω N /2 ∑b n sin( n Ω ) n =1 n=0 N impair n cos[( n − 1 / 2 ) Ω ] Type IV H (e jΩ j π )=e e 2 − jα Ω N /2 ∑d n sin[( n − 1 / 2 ) Ω ] n =1 n =1 bn = 2 h ( N / 2 − n ), n = 1… N / 2 d n = 2 h ( N / 2 − n ), n = 1… N / 2 H (π ) = 0 H (0) = 0 Notes : Passe Haut Passe Haut Dérivateur 79 VIII Synthèse des filtres RIF 2 Phase linéaire Réponses fréquentielles Type I π N impair 2π Tout filtre Type III π 2π π 2π Passe Bande Dérivateur N pair Type II π Notes : 2π Passe Haut Type IV Passe Haut Dérivateur 80 VIII Synthèse des filtres RIF 3 Méthode du fenêtrage • Développement en série de Fourier du filtre idéal H (e jΩ )= ∞ ∑ h(n) e − jn Ω n = −∞ h(n) = 1 2π π ∫ π H (e − jΩ ).e jn Ω d Ω – Filtre non causal, de type RII • Passage de h(n) idéal au RIF approché par fenêtrage de h(n) ha ( n ) = h ( n ).w ( n ) 81 Notes : VIII Synthèse des filtres RIF 3 Méthode du fenêtrage • Exemple : filtre passe-bas idéal 1 |H(ejΩ)| Filtre passe-bas idéal −π h(n) = −Ωc Ωc π Ω Ω c sin( n Ω c ) π nΩ c 82 Notes : VIII Synthèse des filtres RIF 3 Méthode du fenêtrage • Prise en compte d'une condition de phase linéaire par décalage de α • Fenêtrage de h(n) ha ( n ) = h ( n ).w ( n ) ⇔ H a ( e jΩ ) = H ( e jΩ ) ∗ W ( e jΩ ) H(Ω) W(Ω) * ^ Ω) H( = 83 Notes : VIII Synthèse des filtres RIF 3 Méthode du fenêtrage – Largeur de la zone de transition ∆Ω ⇔ 1/2 largeur du lobe principal – Atténuation ∆A ⇔ amplitude du premier lobe secondaire ^ Ω) H( 1+∆A 1 1−∆A H(Ω) ∆A ∆Ω W(Ω) 84 Notes : VIII Synthèse des filtres RIF 3 Méthode du fenêtrage • Fenêtres usuelles – Rectangle, Triangle, Hanning, Hamming, Blackman, Kaiser, ... – Réponses temporelles Rectangulaire Bartlett Hanning Hamming Blackman 1 0.8 w(n) 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 n Notes : 50 60 85 VIII Synthèse des filtres RIF 3 Méthode du fenêtrage • Fenêtres usuelles Fenêtre rectangulaire Fenêtre de Bartlett −60 −20 W dB −40 −40 −60 0 0.2 −80 0.4 0 0.4 Notes : 0.2 0.4 0 0.4 Fenêtre rectangulaire 0.8 −40 −80 0.2 1 −60 0 −80 |W| lineaire −20 W dB W dB −20 −60 0.2 Fenêtre de Blackman 0 −40 −40 −60 Fenêtre de Hamming 0 −80 0 −20 W dB W dB −20 −80 Fenêtre de Hanning – Réponses fréquentielles (linéaire, dB) 0 0 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0 0 0.1 0.2 86 VIII Synthèse des filtres RIF 3 Méthode du fenêtrage • Influence de la fenêtre Fenêtre Rectangulaire Triangulaire Hanning Hamming Blackman Lobe secondaire -13dB -25dB -31dB -41dB -57dB Demi largeur du Atténuation lobe principal minimum 2π/N -21dB 4π/N -25dB -44dB 4π/N -53dB 4π/N 6π/N -74dB – Le type de fenêtre influe sur ∆A et ∆Ω – Le nombre de points influe sur ∆Ω 87 Notes : VIII Synthèse des filtres RIF 4 Méthode de l'échantillonnage • Échantillonnage en fréquence – Échantillonnage du filtre idéal H(ejΩ) H(kΩe) 1 π Ωc 2π Ω – TFD inverse de H(kΩe) 1 h(n) = N N −1 ∑ H ( kΩ e )e j 2π n .k N k =0 – Méthode valable pour tout type de filtre – Possibilité d'utiliser un fenêtrage 88 Notes : IX. Analyse spectrale 1. Effets de la troncature 2. Caractéristiques des fenêtres 3. Influence sur l'analyse 89 Notes : IX Analyse spectrale 1 Définition • Analyse spectrale de signaux continus – Etude du contenu fréquentiel (spectre) d'un signal continu xc(t) – Nombre limité d'échantillons du signal d'entrée pour la TFD xc(t) Filtre P.Bas anti-repliement Ωc = π CAN Fe x(n) x xN(n) FFT ||2 φ fenêtre wN(n) • Troncature temporelle – xN(n) = x(n) . wN(n) avec wN(n) fenêtrage sur N points – T0 = N.T : horizon d'observation 90 Notes : IX Analyse spectrale 2 Troncature temporelle • Troncature temporelle – xN(n) = x(n) . wN(n) avec wN(n) fenêtrage sur N points • Influence sur le spectre X N ( e jΩ ) = X ( e jΩ ) * W N ( e jΩ ) – Convolution fréquentielle • TFD du signal tronqué L −1 X N (k ) = ∑ x N (n) e − 2 jπ kn L k = 0 .. L − 1 n=0 L≥N X N ( k ) = X N ( e jΩ ) Ω = 2πk / L 91 Notes : IX Analyse spectrale 2 Troncature temporelle • Exemple – Fenêtre rectangulaire, N=31 fenêtre rectangulaire 1 0.6 r w [n] 0.8 0.4 0.2 0 0 5 10 15 n 20 25 30 (j.2.pi.f)) |Wr(e | 1 Amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.5 Notes : −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 f 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 92 IX Analyse spectrale 3 Influence de la fenêtre – fonction cosinus fenêtrée sur N=32 points (a) : Fonction cos(2pi f n) échantillonnée tronquée sur N=32 points o 1 xN(n) 0.5 0 −0.5 −1 0 5 10 15 20 j2pif (b) : X (e )=TF{x (n(} N 25 30 35 N 20 15 10 5 0 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 (c) : XN(k)=TFD{xN(n)} 0.2 0.3 0.4 0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 15 10 5 0 −0.5 Notes : 0 0.1 93 IX Analyse spectrale 3 Influence de la fenêtre • Influence de la fenêtre Fenêtre Lobe secondaire Largeur du lobe principal λ = 20log|W(fs)/W(0)| LLP = ∆Ωm Rectangulaire Triangulaire Hanning Hamming Blackman -13dB -25dB -31dB -41dB -57dB 4π/N 8π/N 8π/N 8π/N 12π/N – Le type de fenêtre influe sur λ et ∆Ωm – Le nombre de points influe sur ∆Ωm W(Ω) λ ∆Ωm/2 π 1/NT fs fe/2 ∆Ωm Notes : Ω f 94 IX Analyse spectrale 3 Influence de la fenêtre • Fenêtres usuelles – Rectangle, Triangule, Hanning, Hamming, Blackman, Kaiser, ... – Réponses temporelles Rectangulaire Bartlett Hanning Hamming Blackman 1 0.8 w(n) 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 n Notes : 50 60 95 IX Analyse spectrale 3 Influence de la fenêtre • Fenêtres usuelles Fenêtre rectangulaire Fenêtre de Bartlett −60 −20 W dB −40 −40 −60 0 0.2 −80 0.4 0 0.4 Notes : 0.2 0.4 0 0.4 Fenêtre rectangulaire 0.8 −40 −80 0.2 1 −60 0 −80 |W| lineaire −20 W dB W dB −20 −60 0.2 Fenêtre de Blackman 0 −40 −40 −60 Fenêtre de Hamming 0 −80 0 −20 W dB W dB −20 −80 Fenêtre de Hanning – Réponses fréquentielles (linéaire, dB) 0 0 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0 0 0.1 0.2 96 IX Analyse spectrale 4 Paramètres de l'analyse • Finesse en fréquence – Capacité de l'analyseur à détecter 2 raies proches – Masquage fréquentiel – Largeur du lobe principal : LLP = 2∆Ω – Dépend de N et du type de fenêtre Exemple sur transparent 9 • Finesse en amplitude – Capacité de l'analyseur à détecter des raies de faibles amplitudes ou masquée par une autre raie proche – Masquage d'amplitude ou bruit de l'analyse λ = 20log|W(fs)/W(0)| – Dépend du type de fenêtre Exemple sur transparent 10 Notes : 97 IX Analyse spectrale 4 Paramètres de l'analyse Spectre théorique 1 0.5 0 −0.5 1.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 Spectre pour N=21 0.2 0.3 0.4 0.5 Fenêtre rectangulaire 1 0.5 0 −0.5 1.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 Spectre pour N=41 0.2 0.3 0.4 0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 Spectre pour N=121 0.2 0.3 0.4 0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 0.5 0 −0.5 1.5 1 0.5 0 −0.5 Notes : 0 0.1 98 IX Analyse spectrale 4 Paramètres de l'analyse Spectre théorique 1 0.5 0 0.1 1 0.12 0.14 0.16 0.18 N=128, 0.2 0.24 Spectre pour fenetre 0.22 rectangulaire 0.26 0.28 0.3 0.12 0.14 0.16 0.18 N=128, 0.2fenetre 0.22 0.24 Spectre pour de Hamming 0.26 0.28 0.3 0.12 0.14 0.16 0.18 N=256, 0.2fenetre 0.22 0.24 Spectre pour de Hamming 0.26 0.28 0.3 0.12 0.14 0.16 0.26 0.28 0.3 0.5 0 0.1 0.6 0.4 0.2 0 0.1 0.6 0.4 0.2 0 0.1 Notes : 0.18 0.2 0.22 0.24 99 IX Analyse spectrale 5 Zero-padding – Ajout de L-N zéros à la suite de x(n) avant TFD sur L points w [n] (N=8 points) r 1 0.5 0 10 0 1 2 3 4 5 6 7 5 0 −0.5 10 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 5 0 −0.5 10 5 0 −0.5 10 5 0 −0.5 Notes : 100 X. Systèmes multi-cadences 1. Définition 2. Décimation 3. Interpolation 101 Notes : X Systèmes multi-cadences 1 Définition • Systèmes multi-cadences – Systèmes dans lesquels on pourra avoir plusieurs fréquences d'échantillonnage dans une même chaîne de traitement – Ils tirent partie de la forme spectrale d'un signal en gardant Fe toujours à sa valeur optimale -> Réduction de la complexité xc(t) 1 t −ω0 Xc(ω) ω0 ω 102 Notes : X Systèmes multi-cadences 1 Définition x(nT) t T xd(nT') T' t −π/T 1/T X(ejΩ) −ω0 ω0 1/T' Xd(ejΩ) −π/T' π/T' π/T ω ω 103 Notes : X Systèmes multi-cadences 2 Décimation • Décimation d'un facteur M x(nT) ↓M xd(nT') t t T' = MT F'e = Fe/M xd (n) = x (nM ) 1 X d (e ) = M jΩ M −1 ∑ X (e j ( Ω / M − 2πi / M ) ) i =0 – Pour éviter le recouvrement de spectre, le signal xc(t) doit être à bande limitée et respecter le théorème de Shannon par rapport à T' X c (ω ) = 0 pour ω ≥ ω 0 et π/T' = π/(MT) ≥ ω 0 ou F ' e = Fe / M ≥ ω 0 104 Notes : X Systèmes multi-cadences 2 Décimation • Filtres à décimation – Filtre suivi d'un décimateur T' = MT Filtre Passe Bas Gain = 1 Ωc = π/M x(nT) v(nT) y(nT') ↓M • Optimisation du filtre à décimation x(nT) b0 T T b1 T b2 b3 v(nT) + + + y(nT') ↓2 105 Notes : X Systèmes multi-cadences 3 Interpolation • Interpolation d'un facteur L – Objectif : augmenter la fréquence d'échantillonnage d'un signal x(n) échantillonné à la période T d'un facteur L xi (n) = x(n / L) = xc (nT ' ), avec T ' = T / L • Elévateur de fréquence – Ajout de L-1 zéros entre 2 échantillons de x(n) x(nT) t ↑L xe(nT') t x(n / L), n = 0, ± L, ± 2 L, ... xe (n) = 0 ailleurs X e (e jωT ' ) = X (e jωT ) X e ( e jΩ ) = X ( e jΩ L ) Notes : Pas d'effet sur le spectre 106 X Systèmes multi-cadences 3 Interpolation t 1/T X(ejΩ) 1/T' Xe(ejΩ) −π/T t −π/T' • Interpolateur π/T −π/T π/T ω π/T' ω – Succession d'un élévateur de fréquence et d'un filtre passe-bas idéal de gain L, de période d'échantillonnage T' et de fréquence de coupure Fc = 1/2T (i.e. Ωc = π/L). x(nT) Notes : ↑L xe(nT') Filtre Passe Bas Gain = L Ωc = π/L xi(nT') 107 X Systèmes multi-cadences 3 Interpolation • Optimisation du filtre à interpolation x(nT) ↑2 v(nT') b0 T T b1 T b2 b3 y(nT') + + + • Multiplication de Fe par un facteur rationnel R=L/M – T' = T.M/L x(nT) ↑L Filtre Passe Bas Gain = L Ωc = min(π/L, π/M) ↓M y(nT') 108 Notes :
