Transparents de l`exposé

LES PROBABILITES
DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
St´ephane ATTAL
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LES AXIOMES DE LA
MECANIQUE QUANTIQUE
(Premi`ere version)
1. Etats
•Espace des ´etats = un espace de Hilbert complexe H.
•Etats possibles = vecteurs Ψ ∈ H, de norme 1 : les fonctions d’ondes.
•La fonction d’onde contient toute l’information sur le syst`eme en question.
2. Observables
•Observables du syst`eme H= op´erateurs auto-adjoints sur H.
•Ensemble des valeurs num´eriques possibles de la mesure de l’observable
H= le spectre (r´eel) σ(H) de H.
•En dimension finie, Hest une matrice hermitienne, de spectre
σ={λ1,...,λn}
et de diagonalisation
H=
n
X
i=1
λiPi.
La mesure de Hprend la valeur λiavec probabilit´e
<Ψ, PiΨ>=||PiΨ||2
si l’´etat du syst`eme est Ψ.
•En dimension quelconque, si Hest dans l’´etat Ψ, si l’observable Hadmet
une mesure spectrale A7→ 1lA(H), alors la probabilit´e de mesurer H`a
valeurs dans l’ensemble Avaut
<Ψ,1lA(H) Ψ > .
Aussi ´egale `a
||1lA(H) Ψ||2= Tr|ΨihΨ|1lA(H).
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3. Evolution temporelle
•Observable ´energie du syst`eme = hamiltonien du syst`eme.
•Soit Hcet hamiltonien. On consid`ere le groupe unitaire
Ut=e−itH .
Si Ψ0est l’´etat du syst`eme `a l’instant 0, il devient
Ψt=UtΨ0
`a l’instant t.
4. R´eduction du paquet d’onde
•En dimension finie, si la mesure de Hvaut λi, alors Ψ devient
PiΨ
||PiΨ|| .
•En dimension quelconque, si la mesure de Happartient `a Aalors l’´etat
Ψ devient 1lA(H) Ψ
||1lA(H) Ψ|| .
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SYSTEMES QUANTIQUES OUVERTS
•Syst`eme quantique Hen interaction avec un autre K:
H ⊗ K.
•Situation typique : on n’a acc´es qu’`a H.
– Syst`eme Ktrop compliqu´e (environnement, bain thermique, canal
bruit´e ...)
– Syst`eme Knon accessible (information quantique, paire partag´ee, ...)
•Etat Ψ sur H⊗K, observable Xsur H, que donne le r´esultat de la mesure
de X?
Prob(X=λi) = <Ψ,(Pi⊗I) Ψ >
= Tr|ΨihΨ|(Pi⊗I)
= TrTrK(|ΨihΨ|)Pi
= Trρ Pi
avec ρ= TrK(|ΨihΨ|).
•L’observateur de Hne voit pas Ψ mais ρ= TrK(|ΨihΨ|).
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LES AXIOMES DE LA
MECANIQUE QUANTIQUE
(Deuxi`eme version)
1. Etats
•Etats possibles = les op´erateurs ρsur Hqui sont positifs, `a trace et de
trace 1, les matrices densit´es de H.
ρ=X
n
λn|ΨnihΨn|
(λn≥0,Pnλn= 1).
•La premi`ere version correspondait `a
ρ=|ΨihΨ|.
2. Observables
•Si Hest dans l’´etat ρ, si l’observable Hadmet une mesure spectrale
A7→ 1lA(H), alors la probabilit´e de mesurer H`a valeurs dans l’ensemble A
vaut
Tr(ρ1lA(H)) .
•En dimension finie, Hest une matrice hermitienne, de spectre
σ={λ1,...,λn}
et de diagonalisation
H=
n
X
i=1
λiPi.
La mesure de Hprend la valeur λiavec probabilit´e
Tr(ρ Pi).
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