test_diagnostique_ex.M105

École Polytechnique de Montréal
Département de mathématiques et de génie industriel
Test diagnostique
Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105
Durée: 1 heure
Directives:
 Donner une réponse complète à chaque question et cette réponse doit être expliquée et
justifiée.
 Pour chaque page du cahier, utiliser le recto pour rédiger vos réponses, et le verso comme
brouillon.
 Toute calculatrice interdite.
 Toute documentation interdite.
 Remettre le questionnaire à la fin de l’épreuve.
QUESTION #1 (10 points)
Résoudre le système :
2 3 4
38
2 4 3 5
x y z
x y z
x y z
QUESTION # 2 (10 points)
Soit :
2 3 1
=5 0 1 A
,
11
= 3 5
23
B
Déterminer :
a)
23
t
AB
b)
AB

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QUESTION # 3 (15 points)
On considère la matière
3 1 0
4 1 1
1 0 1
A
et
5
3
4
B
a) Calculer le déterminant de
A
.
b) Trouver l’inverse de la matrice
A
.
c) Utiliser l’inverse de la matrice
A
pour résoudre l’équation matricielle
AX B
QUESTION # 4 (10 points)
Soit
A
et
B
deux matrices carrées d’ordre 2 telles que
2A
et
3B
. Calculer
a)
2t AB
b)
1
AB
QUESTION # 5 (10 points)
Soit 2 vecteurs
u
et
v
ayant respectivement pour norme 2 et 3 tels que l’angle entre ces vecteurs
est égal à 30º. Calculer
a) le produit scalaire entre les vecteurs
u
et
v
, c'est-à-dire
uv
;
b) la norme du produit vectoriel des vecteurs
u
et
v
, c'est-à-dire
xuv
.

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QUESTION # 6 (5 points)
Calculer l’angle entre les vecteurs
( 1, 2, 3)u
et
( 3, 1, 2)v
.
QUESTION # 7 (5 points)
Trouver
x
si le vecteur
( 1, 3, 1)u x x x  
est perpendiculaire au vecteur
( 2, 1, 1)v x x x  
.
QUESTION # 8 (15 points)
On considère les points
( 2, 1, 2)A
,
(1, 2, 0)B
et
(2, 2 1)C
a) Calculer les composantes du vecteur
32AB AC
;
b) Calculer l’aire du triangle
ABC
;
c) Trouver l’équation cartésienne du plan
passant par les points
,AB
et
C
.
QUESTION # 9 (10 points)
Déterminer si les vecteurs donnés forment une base de l’espace vectoriel donné. Jusitifier chaque
réponse.
a) les vecteurs
(1, 2, 3)u
et
( 3, 2, 1)v
pour
3
R
?
b) les vecteurs
(1, 2)u
,
(3, 4)v
et
(4, 5)w
pour
2
R
?
c) les vecteurs
( 4, 5, 4)u
,
(1, 3, 2)v
et
(2, 2, 2)w
pour
3
R
?

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QUESTION # 10 (10 points)
Soit le plan :
7 6 5 16 0x y z   
, la droite d :
( , , ) (7, 3, 8) ( 2, 9,5)x y z t    
et un point
A( 1, 2,3)
.
a) Trouver le point I d’intersection de la droite d avec le plan
;
b) Trouver l’équation vectorielle de la droite D passant par le point A et perpendiculaire
au plan .