test_diagnostique_ex.M105

École Polytechnique de Montréal
Département de mathématiques et de génie industriel
Test diagnostique
Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105
Durée: 1 heure
Directives:
 Donner une réponse complète à chaque question et cette réponse doit être expliquée et
justifiée.
 Pour chaque page du cahier, utiliser le recto pour rédiger vos réponses, et le verso comme
brouillon.
 Toute calculatrice interdite.
 Toute documentation interdite.
 Remettre le questionnaire à la fin de l’épreuve.
QUESTION #1 (10 points)
Résoudre le système :
x  2 y  3z  4
3x  y  z  8
2 x  4 y  3z  5
QUESTION # 2 (10 points)
 1 1 
 2 3 1 


Soit : A= 
 , B =  3 5 
5
0

1


 2 3
Déterminer :
a) 2 At  3B
b) AB
École Polytechnique de Montréal
Département de mathématiques et de génie industriel
Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105
Test diagnostique
page 2
QUESTION # 3 (15 points)
 3  1 0
 5 


On considère la matière A  4 1  1 et B   3 


 
 1 0
 4 
1
a) Calculer le déterminant de A .
b) Trouver l’inverse de la matrice A .
c) Utiliser l’inverse de la matrice A pour résoudre l’équation matricielle AX  B
QUESTION # 4 (10 points)
Soit A et B deux matrices carrées d’ordre 2 telles que A  2 et B  3 . Calculer
a)
2 AB t
b)
A1 B
QUESTION # 5 (10 points)
Soit 2 vecteurs u et v ayant respectivement pour norme 2 et 3 tels que l’angle entre ces vecteurs
est égal à 30º. Calculer
a) le produit scalaire entre les vecteurs u et v , c'est-à-dire u v ;
b) la norme du produit vectoriel des vecteurs u et v , c'est-à-dire u x v .
École Polytechnique de Montréal
Département de mathématiques et de génie industriel
Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105
Test diagnostique
page 3
QUESTION # 6 (5 points)
Calculer l’angle entre les vecteurs u (1, 2, 3) et v (3,  1, 2) .
QUESTION # 7 (5 points)
Trouver x si le vecteur u ( x  1, x  3, x  1) est perpendiculaire au vecteur v ( x  2, x  1, x  1) .
QUESTION # 8 (15 points)
On considère les points A(2, 1, 2) , B (1,  2, 0) et C (2,  2  1)
a) Calculer les composantes du vecteur 3 AB  2 AC ;
b) Calculer l’aire du triangle ABC ;
c) Trouver l’équation cartésienne du plan  passant par les points A, B et C .
QUESTION # 9 (10 points)
Déterminer si les vecteurs donnés forment une base de l’espace vectoriel donné. Jusitifier chaque
réponse.
a) les vecteurs u (1, 2, 3) et v (3, 2, 1) pour R 3 ?
b) les vecteurs u (1, 2) , v (3, 4) et w (4, 5) pour R 2 ?
c) les vecteurs u (4, 5, 4) , v (1, 3, 2) et w (2, 2, 2) pour R 3 ?
École Polytechnique de Montréal
Département de mathématiques et de génie industriel
Algèbre vectorielle et calcul matriciel – M105
Test diagnostique
page 4
QUESTION # 10 (10 points)
Soit le plan  : 7 x  6 y  5 z  16  0 , la droite d : ( x, y, z )  (7,  3,  8)  t (2, 9, 5) et un point
A(1, 2, 3) .
a) Trouver le point I d’intersection de la droite d avec le plan  ;
b) Trouver l’équation vectorielle de la droite D passant par le point A et perpendiculaire
au plan  .