Colles semaine 2 : Oscillateur harmonique et ondes Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Exercice 5 : Onde progressive harmonique sur une corde vibrante [♦]
L’extrémité Sd’une corde est attachée à un vibreur qui lui impose un mouvement oscillant vertical, sinusoïdal, de
fréquence f= 100 Hz et d’amplitude Ym. Un dispositif adéquat empêche toute réflexion de l’onde à l’autre extrémité.
Chaque point de la corde est repéré par son abscisse xet sa position verticale instantanée ydans le repère (Oxy)où
Oest la position moyenne de S.
1 - Donner la forme mathématique que prend l’équation horaire du mouvement de S,yS(t) = y(x=0, t).
2 - À l’instant choisi comme étant t= 0,Spasse par sa position d’équilibre avec une vitesse verticale ascendante de
norme v0= 2,5 m ·s−1. En déduire la valeur numérique de toutes les quantités introduites à la question précédente.
3 - La plus petite distance entre deux points vibrant en opposition de phase est d= 6,0 cm. En déduire la longueur
d’onde λet la célérité cde l’onde qui se propage le long de la corde.
4 - On considère maintenant un point Mquelconque de la corde d’abscisse xM. Préciser son équation horaire.
5 - On choisit xM= 21 cm. Calculer le déphasage de yM(t)par rapport à yS(t)et commenter sa valeur numérique.
Solution de l’exercice 5 :
1Soscille de façon harmonique, donc
yS(t) = Ymcos(ω t +ϕ).
2Trouver la pulsation est direct : ω= 2πf = 628 rad ·s−1.
La phase se déduit en partie de l’information sur la position,
yS(t=0) = Ymcos ϕ= 0 d’où ϕ=±π
2.
Néanmoins, son signe reste à déterminer à ce stade.
Enfin, l’amplitude se déduit de l’information sur la vitesse,
vS(t) = dyS
dt=−ωYmsin(ωt +ϕ) = −ωYmsin ωt ±π
2d’où vS(t=0) = v0=−ωYmsin ±π
2
Comme la vitesse est ascendante, vS(t=0) >0, et il faut donc choisir ϕ < 0pour que le signe global soit correct. On
en déduit
ϕ=−π
2et Ym=v0
ω= 4,0 mm .
3Une OPH se propage le long de la corde, pour laquelle deux points vibrant en opposition de phase sont distants
de λ/2. On en déduit
λ= 2d= 12,0 cm
et d’après la relation de dispersion
c=λ f = 12,0 m ·s−1.
4Moscille harmoniquement et à la même fréquence et avec la même amplitude que S, mais avec un déphasage
supplémentaire ∆ϕM S dû à la propagation, d’où
yM(t) = Ymcos ωt −π
2−∆ϕM S
5Le déphasage est lié à la propagation, via la relation
∆ϕM S =−2π
λ(xM−xS) = 11 rad
Il est plus grand que 2π, ce qui est normal car les deux points sont séparés de plusieurs longueurs d’ondes.
3/6 Étienne Thibierge, 9 octobre 2015, www.etienne-thibierge.fr