Énoncé - Page d`accueil

Devoir n°4 du samedi 05 décembre 2015
Durée 3 h
Les calculatrices sont autorisées.
Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction ainsi qu’à la
qualité des schémas. Les résultats non justifiés ou non encadrés ne seront pas pris en compte. Les candidats
doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée.
Tout commentaire pertinent, même non explicitement demandé, sera fortement apprécié du correcteur.
Si, au cours de l’épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit
sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Données qui peuvent servir dans l’ensemble du devoir
◘ Célérité de la lumière dans le vide
c = 3,00.108 ms−1
◘ Perméabilité du vide
µ0 = 4π.10−7 (SI)
◘ Permittivité du vide
ε0 = 8,85.10−12 (SI)
◘ Charge de l’électron
q = − e = −1,60.10−19 C
◘ Masse de l’électron
m = 9,11.10−31 kg
◘ Masse du proton
mp = 1,67.10−27 kg
◘ Constante d’Avogadro
NA = 6,02.1023 mol−1.
◘ Conditions aux frontières entre deux milieux (relations de passage) :
σ
lim
lim
[E (M2 ) − E (M1)] = n1→2
[B (M2 ) − B (M1)] = µ0.js ∧ n1→2
ε0
M1 → M ←M2
M1→ M ←M2
Problème I : Réflexion sur une surface métallique, ionisation, puissance limite (type Centrale)
Lors de la réflexion d’une onde électromagnétique de forte intensité sur une surface métallique, celle-ci risque d’être
endommagée du fait de l’ionisation du milieu sous l’effet du champ électrique. Dans cette partie, le but est de déterminer
l’ordre de grandeur de la puissance maximale de l’onde incidente pour éviter ce phénomène.
Le métal (de l’or) occupe tout le demi-espace z > 0, le demi-espace z < 0 étant de l’air assimilé au vide. L’onde incidente
est supposé monochromatique et se propage dans le vide suivant l’axe Oz dans le sens des z croissants
(incidence normale). La longueur d’onde dans le vide de cette onde est λ = 1050 nm.
Données
◘ Masse volumique de l’or
◘ Masse molaire de l’or
◘ Conductivité de l’or
µAu = 19,3.103 kg.m−3
MAu = 197 g.mol−1
γ0 = 4,5.107 S.m−1
Propagation d’une onde électromagnétique dans le métal
A - Conductivité du milieu
Le métal est constitué d’ions et d’électrons libres. On note n le nombre d’électrons libres par unité de volume, q = − e la
charge d’un électron et m sa masse. La vitesse d’un électron au point M à l’instant t est notée v(M,t).
On adopte le modèle suivant (modèle de Drude) :
◘ Les électrons sont traités dans le cadre de la mécanique classique.
∂v
(M,t).
◘ Le déplacement des électrons est faible devant la longueur d’onde. L’accélération des électrons en M est
∂t
◘ Les électrons subissent de la part du réseau cristallin une force de la forme –
m
v(M,t), où τ est une constante
τ
caractéristique du milieu.
◘ L’effet du champ magnétique sur un électron est négligeable.
1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un électron, donner l’équation différentielle vérifiée par v(M,t).
On se place pour toute la suite dans le cas d’un régime sinusoïdal forcé de pulsation ω :
v(M,t) = Re(v(M,t)) avec v(M,t) = v(M).expiωt.
Donner l’expression de v(M,t) en fonction du champ électrique complexe E(M,t).
2. Justifier que la contribution des ions au vecteur densité de courant électrique j(M,t) est négligeable.
γ0
3. Montrer que l’on peut écrire : j(M,t) = γ.E(M,t) avec γ =
où γ0 est une constante réelle à exprimer en fonction des
1 + iωτ
données. À quoi correspond γ0 ?
4. En supposant que chaque atome donne un électron libre, calculer la densité d’électrons n dans l’or ainsi que la
constante τ.
Montrer, en tenant compte des applications numériques précédentes, que l’on peut simplifier l’expression de la
ne2
conductivité à : γ = – i
.
mω
B - Nature de l’onde
On suppose que le milieu n’est pas magnétique et qu’à tout instant et en chaque point la densité volumique de charge
électrique est nulle.
5. Écrire les équations de Maxwell vérifiées par les champs électrique et magnétique dans le conducteur.
6. En déduire l’équation d’onde vérifiée par le champ électrique.
7. On cherche à étudier la propagation d’un champ de la forme E(M,t) = E(0).expi(ωt – kz)).ux.
ω2 − ωp2
2
Montrer que k doit être solution de k =
où c est la vitesse de la lumière dans le vide et ωp une constante
c2
caractéristique du matériau dont on donnera l’expression.
8. Calculer ωp et montrer que ω2 est négligeable devant ω2p . On pourra prendre n ≈ 6.1028 m–3.
9. En déduire k en fonction de ωp et c ainsi que les expressions des champs électrique et magnétique réels.
Quelle est la nature de l’onde ?
10. Calculer numériquement la distance caractéristique sur laquelle les champs sont non négligeables.
Justifier l’hypothèse milieu semi-infini.
Réflexion d’une onde électromagnétique
Nous voulons exprimer l’amplitude complexe du champ dans
le conducteur en fonction de l’amplitude de l’onde incidente.
Les champs électriques des ondes incidente et réfléchie
dans le vide sont respectivement :
z
Ei(z,t) = E0.exp[iω(t – )].ux
c
z
Er(z,t) = r.E0.exp[iω(t + )].ux
c
où r est le coefficient, éventuellement complexe, de réflexion.
Onde incidente
Onde transmise
O
z
Onde réfléchie
Métal
11. Donner les expressions des champs magnétiques correspondants.
12. Quelles relations les champs électriques et magnétiques des ondes incidente, réfléchie et transmise doivent-ils
vérifier ?
13. En déduire l’expression du coefficient de réflexion.
Que peut-on dire de l’amplitude de l’onde réfléchie par rapport à celle de l’onde incidente ?
14. Donner l’expression de l’amplitude E(0) = |E(0)| du champ électrique à la surface du conducteur en fonction de E0, ω et
ωp.
15. On note v0 la vitesse maximale atteinte par les électrons dans le conducteur. En tenant compte des ordres de grandeur
ε
de ω et ωp, montrer que : v0 = 2 0 E0.
nm
Ionisation dans le métal, limite en puissance
Les électrons accélérés risquent d’ioniser par impact les atomes voisins, l’équilibre de la matière ainsi rompu provoque
l’éjection de particules hautement ionisés et la destruction du dépôt.
16. Sachant que l’or a pour numéro atomique Z = 79 et un rayon atomique r = 140 pm, estimer l’ordre de grandeur de
l’énergie nécessaire pour provoquer une ionisation. Calculer cette énergie.
En fait les tables donnent une énergie de l’ordre de 9 eV.
Comment peut-on expliquer l’écart entre les deux valeurs. On prendra la valeur tabulée pour la suite des calculs.
17. En supposant que lors d’un choc électron-ion toute l’énergie cinétique de l’électron est transmise à l’ion, quelle est
l’ordre de grandeur de la vitesse susceptible de créer une ionisation supplémentaire.
18. Quelle est l’amplitude du champ électrique de l’onde incidente susceptible de donner lieu à une telle vitesse ?
19. Quelle est la puissance moyenne de cette onde sachant que la section du faisceau est de l’ordre de 260 cm2 ?
20. Expérimentalement, pour une impulsion de une picoseconde, on mesure un seuil d’endommagement de 0,5 J.cm−2.
Comparer au résultat précédent et commenter la pertinence du modèle.
Problème II : Communications spatiales (type E3A)
Un satellite communique avec la Terre en émettant des ondes électromagnétiques. Ces ondes traversent le vide, et
l’atmosphère, assimilée ici au vide, à l’exception d’une couche appelée ionosphère située environ entre 100 km et 500 km
d’altitude. L’ionosphère est constituée d’un gaz sous très faible pression et partiellement ionisé par le rayonnement solaire,
encore appelé plasma ionosphérique.
Ce plasma contient donc des ions positifs de charge +e et de masse M et des électrons de charge −e et de masse m.
L’ionosphère étant électriquement neutre, ions positifs et électrons ont même densité particulaire n. On négligera les
collisions entre particules.
Au sein de l’ionosphère, on étudie la possibilité de propagation selon une verticale
locale (Figure ci-contre) d’une onde électromagnétique monochromatique plane
progressive décrite par les champs E et B :
E = E0.exp[i(ωt + kz)].ux
B = B0.exp[i(ωt + kz)].uy
2
avec ω réel et constant et i = −1. On admettra qu’étant donné les conditions
ω
expérimentales, ≈ c.
k
21. Appliquer le postulat fondamental de la dynamique à chacun des porteurs de
charges. Dans quelle condition peut-on négliger la contribution du champ
magnétique devant celle du champ électrique ? À quelle condition sur l’amplitude E0
du champ électrique peut-on négliger le poids des porteurs ?
22. On suppose que les conditions précédentes sont satisfaites.
Exprimer en notation complexe la vitesse ve prise par un électron ; exprimer de
même la vitesse Vi prise par un ion. En déduire la densité de courant j qui apparaît
dans le plasma. Simplifier cette expression en tenant compte de la relation M >> m.
23. Écrire les équations de Maxwell dans le plasma.
24. En déduire que l’équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ E est :
1 ∂2 E
µ ne2 ∂ E
∆E = 2 2 – i 0
.
ωm ∂t
c ∂t
25. Déterminer l’expression de
k2
en fonction de ω et des données. On posera ωp =
z
Ionosphère
y
Terre
ne2
.
mε0
26. Discuter suivant la valeur de ω la possibilité de propagation de l’onde à travers le plasma.
On montrera que l’ionosphère se comporte comme un filtre dont on donnera la nature et la fréquence de coupure fc.
27. Dans le cas où la propagation est possible, donner la relation de dispersion, puis la vitesse de phase vϕ.
Le milieu est-il dispersif ? Tracer le graphe de vϕ en fonction de ω.
28. La densité particulaire est n = 2.1010 m−3. Calculer la fréquence de coupure fc.
29. Comment se modifie la fréquence de coupure lorsque la densité particulaire passe de la valeur de n0 = 2.1010 m−3
(valeur typique de nuit) à n1 = 5.1011 m−3 (valeur typique de jour) ? Proposer une plage de fréquences permettant de
communiquer avec le satellite à chaque instant. À quel domaine du spectre électromagnétique correspondent-elles ?
x