Electricité II
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CM Electricité II (SP2 09-10) 2/69 Sommaire Cours Magistraux [email protected] Electricité II (SP2 09-10) Sommaire ................................................................................................................................... 2 Chapitre 1. Electrostatique: champ, potentiel, force et énergie électrostatique (3h) ................. 5 1.1. Champ électrique............................................................................................................. 5 1.1.1. Calcul du champ électrique (dans le vide) ............................................................... 5 1.1.2. Représentation du champ électrique ........................................................................ 7 1.2. Potentiel électrique.......................................................................................................... 8 1.2.1. Calcul du potentiel électrique (dans le vide)............................................................ 8 1.2.2. Relation entre champ et potentiel électrique ............................................................ 8 1.2.3. Représentation des équipotentiels sur des lignes de champ électrique .................... 9 1.3. Force électrostatique (loi de Coulomb)........................................................................... 9 1.3.1. Relation entre la force et le potentiel ou le champ électrique .................................. 9 1.3.1.1. Application de la force électrostatique: l'oscilloscope .................................... 10 1.4. Influence sur un conducteur à l'équilibre électrostatique .............................................. 11 1.4.1. Notion d’écran ou de blindage électrostatique : la cage de Faraday ...................... 11 1.4.2. Application du théorème de Gauss au conducteur à l'équilibre (cas particuliers) . 12 1.4.2.1. Champ à la surface d'un conducteur: théorème de Coulomb .......................... 12 1.4.2.2. Influence de deux conducteurs : théorème des éléments correspondants ....... 12 1.4.3. Effet de pointe : origine du parafoudre .................................................................. 13 1.5. Influence sur un isolant: polarisation électrique ........................................................... 13 1.5.1. Définition d'un dipôle électrique et de la polarisation dipolaire ............................ 13 1.5.2. Mécanismes de polarisation d'un diélectrique........................................................ 14 1.5.3. Définition d'un diélectrique et d'un isolant............................................................. 14 1.6. Capacité électrique: application au condensateur ......................................................... 15 1.6.1. Capacité électrique ................................................................................................. 15 1.6.2. Condensateur.......................................................................................................... 15 1.6.2.1. Géométries et capacités de condensateurs ...................................................... 16 1.6.2.2. Modèle équivalent d’un condensateur............................................................. 16 1.6.2.3. Exemple d’application du condensateur ......................................................... 16 1.6.2.4. Réponse électrique d’un condensateur dans un circuit électrique................... 17 1.7. Energie électrostatique .................................................................................................. 17 1.7.1. Energie d’une charge ponctuelle plongée dans un champ Eext ............................. 17 1.7.2. Energie d’un ensemble de charges ......................................................................... 18 1.7.3. Relation entre énergie et force électrostatique ....................................................... 19 1.8. Quiz d’électrostatique ................................................................................................... 19 Chapitre 2. Magnétostatique: champ, force et énergie magnétostatique (3h).......................... 21 2.1. Champ d'induction magnétique B ................................................................................. 21 2.1.1. Calcul du champ d'induction magnétique B (dans le vide).................................... 21 2.1.2. Flux d'induction magnétique Ф: principe de conservation .................................... 24 2.1.3. Représentation du champ d'induction magnétique................................................. 25 2.2. Force magnétique .......................................................................................................... 25 2.2.1. Force magnétique sur une particule chargée (v<<c) (loi de Lorentz partielle)...... 25 2.2.1.1. Application de la force magnétique: la sonde à effet Hall .............................. 26 2.2.2. Actions magnétiques sur un circuit fermé parcouru par I (force de Laplace)........ 27 2.2.2.1. Application de la force de Laplace: la balance de Cotton............................... 28 2.2.2.2. Application de la force de Laplace: le galvanomètre à cadre mobile ............. 29 2.2.3. Actions magnétiques sur un dipôle magnétique..................................................... 29 2.3. Propriétés magnétiques de la matière et origines .......................................................... 30 2.3.1. Origine microscopique du magnétisme.................................................................. 30 CM Electricité II (SP2 09-10) 3/69 2.3.2. Classification des effets magnétiques .................................................................... 30 2.3.3. Champ d'excitation magnétique H ......................................................................... 30 2.3.4. Exemple d'application du magnétisme: l'IRM ....................................................... 31 2.3.5. Ferromagnétisme.................................................................................................... 32 2.3.5.1. Première aimantation et Cycle d'Hystérésis .................................................... 32 2.3.5.2. Energie d'un cycle d'Hystérésis....................................................................... 32 2.3.5.3. Applications: aimant permanent, circuit et enregistrement magnétique ......... 33 2.4. Circuit magnétique ........................................................................................................ 34 2.4.1. Application: point de fonctionnement d'un aimant (droite de permeance) ............ 35 2.4.2. Mutuelle inductance ............................................................................................... 37 2.4.3. Inductance .............................................................................................................. 37 2.4.4. Relation entre Auto inductance et Mutuelle inductance ........................................ 37 2.4.5. Application: Capteur de proximité inductif à réluctance variable L=N2/R............ 37 2.5. Energie magnétostatique ............................................................................................... 38 2.5.1. Energie d'un circuit parcouru par un courant I et plongé dans un champ Bext...... 38 2.5.2. Relation entre force magnétique et énergie magnétostatique d'un circuit.............. 38 2.5.3. Règle du flux maximum......................................................................................... 39 2.5.4. Calcul de la force de contact exercée par un aimant .............................................. 39 2.6. Quiz de magnétostatique ............................................................................................... 39 Chapitre 3. Force, induction et onde électromagnétique (2h) .................................................. 42 3.1. Force électromagnétique (loi de Lorentz) ..................................................................... 42 3.2. Induction électromagnétique (influence électromagnétique sur un conducteur) .......... 43 3.2.1. Force électromotrice induite................................................................................... 43 3.2.2. Loi de Faraday........................................................................................................ 43 3.2.3. Loi de Lenz............................................................................................................. 44 3.2.4. Induction de courant dans une masse conductrice (courant de Foucault).............. 45 3.2.4.1. Applications: le système de freinage des poids lourds (Telma®)....................... 45 3.2.4.2. Applications: le chauffage à induction................................................................ 45 3.3. Energie magnétique....................................................................................................... 46 3.3.1. Energie d'un circuit parcouru par un courant i ....................................................... 46 3.3.2. Energie d'un circuit parcouru par un courant i créant son propre champ magnétique B et placé dans un champ extérieur Bext ......................................................................... 47 3.3.3. Energie de deux circuits couplés et parcourus par des courants i1 et i2 ................. 47 3.3.4. Energies dissipées dans les milieux magnétiques .................................................. 47 3.3.4.1. Energie dissipée par Hystérésis....................................................................... 47 3.3.4.2. Energie dissipée par induction de courant dans le circuit magnétique (Foucault) ..................................................................................................................... 48 3.4. L'électromagnétisme (bonus) ........................................................................................ 48 3.4.1. Equations de Maxwell............................................................................................ 48 3.4.2. Ondes électromagnétiques...................................................................................... 49 3.4.2.1. Emission d'ondes électromagnétiques............................................................. 49 3.4.2.2. Réception d'ondes électromagnétiques............................................................ 50 3.5. Quiz d’électromagnétisme (force, induction et ondes) ................................................. 51 Chapitre 4. Electrotechnique: transformateur, machine tournante et réseau triphasé(2h) ....... 52 4.1. Réseau triphasé.............................................................................................................. 52 4.1.1. Couplage étoile "Y"................................................................................................ 52 4.1.2. Couplage triangle "Δ" ............................................................................................ 52 4.1.3. Cas des récepteurs déséquilibrés ............................................................................ 53 4.1.4. Puissances en triphasé ............................................................................................ 53 4.1.5. Mesure de puissance en triphasé ............................................................................ 54 4.1.6. Intérêt du triphasé................................................................................................... 55 CM Electricité II (SP2 09-10) 4/69 4.2. Transformateur (machine statique) ............................................................................... 56 4.2.1. Constitution ............................................................................................................ 56 4.2.2. 1er modèle équivalent d'un transformateur parfait.................................................. 57 4.3. Générateur et moteur (machine dynamique)................................................................. 57 4.3.1. Machine synchrone (alternateur ou moteur) .......................................................... 57 4.3.2. Machine asynchrone (générateur ou moteur)......................................................... 58 4.3.3. Machine à courant continu (générateur ou moteur) ............................................... 59 4.4. Quiz d’électrotechnique ................................................................................................ 59 Annexe: Dérivées des fonctions simples et systèmes de coordonnées .................................... 61 Annexe: Règles de symétrie (principe de Curie) ..................................................................... 62 Annexe: Aspects microscopiques du magnétisme dans la matière .......................................... 63 Annexe: Histoire du magnétisme et champ magnétique terrestre............................................ 67 Annexe: La foudre.................................................................................................................... 68 Résumé ..................................................................................................................................... 69 Bibliographie............................................................................................................................ 69 CM Electricité II (SP2 09-10) CM Electricité II 5/69 Chapitre 1. Electrostatique: champ, potentiel, force et énergie électrostatique (3h) 1.1. Champ électrique La composante oz du champ élémentaire créé au point M par la charge élémentaire P s'écrit: dE oz = σ .dS 4πε 0 PM Le champ électrique E en M d'une charge ponctuelle placée en O est une grandeur vectorielle dont l'amplitude est inversement proportionnelle au carré de la distance OM séparant la charge du point M. Le champ est orienté vers les charges négatives ou à l'opposé des charges positives. Le principe de superposition s'applique à cette grandeur (Éq. 1). E 4πε 0 OM 2 M O σ .r.dr cos α 2.ε 0 ( z / cos α ) 2 avec 2π .r.dr = dS et les simplifications naturelles ⇔ dE oz = σ . tan α .z.dr cos α 2.ε 0 ( z / cos α ) 2 avec tan α = r / z ⇔ dE oz = σ . tan α .z.dα .( z / cos 2 α ) cos α 2 2.ε 0 ( z / cos α ) 2 avec dr / dα = z.d (tan α ) / dα = z / cos α ⇔ dE oz = σ . sin α .dα 2.ε 0 avec tan α = sin α / cos α et les simplifications naturelles ⇒ E oz = ⇔ E oz = dr E = E ( z ).oz oy oz O M E ox α z ⇒ E oz = oz oy σ+ r min ⇔ E oz = M dS σ+ ox O r max Figure 1: Le principe de symétrie de Curie permet ici d'établir la dépendance et l'orientation du champ électrique créé (au point M) par un disque creux de densité de charge surfacique σ+ Éq. 2: Exemple de calcul du champ électrique créé (au point M) par un disque creux de densité de charge surfacique σ+ σ 2.ε 0 σ 2.ε 0 α max ∫α min sin α .dα [− cos α ]αα max min Relation générale d'un disque malléable (plein ou percé) ⎤ σ ⎡ z z − cos α = ⎢ ⎥ 2.ε 0 ⎣ r min 2 + z 2 r max 2 + z 2 ⎦ avec σ 2.ε 0 [− cos α ]π0 / 2 = σ 2.ε 0 z r + z2 2 avec un disque plein et infini Il est aussi possible de déterminer le champ électrique à l'aide du théorème de Gauss: Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée est égal au quotient des charges intérieures Qint et de la permittivité du vide ε0 (Éq. 3). Éq. 3 : Expression intégrale du théorème de Gauss (le veteur surface est normale à la surface et orienté vers l'extérieur) ∫∫ E.d S = surface fermée Le principe de symétrie de Curie nous permet d'établir que: avec dE oz = dE. cos α ⇔ dE oz = q+ Avant de ce lancer dans les calculs, il peut être judicieux de déterminer la dépendance et la direction du champ électrique. Pour cela, on peut s'appuyer sur le principe de symétrie de Pierre Curie, affirmant en substance que: les conséquences d'un phénomène physique possèdent au moins la symétrie de leur cause. cos α σ .dS cos α cos α = z / PM 4πε 0 ( z / cos α ) 2 avec Éq. 1 : Champ électrique d'une charge ponctuelle OM V F [en ] avec ε 0 = 8.854.10 −12 [en ] OM m m 2 ⇔ dE oz = 1.1.1. Calcul du champ électrique (dans le vide) q 6/69 E = E ( z ).oz Il existe une expérience simple, que tout le monde peut faire, permettant de percevoir une force électrostatique : il suffit de frotter une règle en plastique avec un chiffon bien sec et de l'approcher de petits bouts de papier. Les papiers se collent à la règle. L'expérience est simple à réaliser, cependant l'interprétation n'est pas simple puisque, si la règle est chargée par frottement, les bouts de papiers ne le sont a priori pas! Autre expérience du même style: un filet d'eau est dévié si on approche un film de cellophane. Plus simplement, tout le monde a reçu une décharge en attrapant un chariot par temps très sec ou en descendant ou montant dans une voiture. Ce sont des phénomènes où il s'est produit une accumulation de charges, d'électricité, d'électricité statique… L'électrostatique traite des charges électriques stables (ou d'une succession d'état stables) et des forces qu'elles exercent entre elles. E= (SP2 09-10) Q int ε0 CM Electricité II E = Eoz .oz (SP2 09-10) 7/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 8/69 1.2. Potentiel électrique S = S oz .oz oz oy M 1.2.1. Calcul du potentiel électrique (dans le vide) ox Qint Le potentiel électrique V en M d'une charge ponctuelle placée en O est une grandeur scalaire inversement proportionnelle à la distance OM séparant la charge du point M. Le principe de superposition s'applique à cette grandeur (Éq. 5). S = S ox .ox σ+ Éq. 5 : Potentiel électrique d'une charge ponctuelle q V = + Cst [enV ] 4πε 0 OM E M O V q+ 1.2.2. Relation entre champ et potentiel électrique Figure 2: Application du théorème de Gauss au calcul du champ produit par un plan infini Le champ et le potentiel électrique sont reliés par l'expression locale (Éq. 6). Éq. 6: Relation locale entre champ et potentiel électrique Éq. 4: Exemple de calcul du champ électrique crée au point M par un plan infini ∫∫ E oz .dS oz + surface oz ... + ∫∫ E oy ∫∫ E − oz surface − oz .dS oy + surface oy ⇒ 2.E oz .S oz = ⇒ E oz = ∫∫ E − oy surface − oy Q int ε0 .dS −oz + ∫∫ E ox .dS ox + surface ox .dS −oy = ∫∫ E − ox surface − ox E = − grad (V ) .dS −ox + ... ⇒ E = −( Q int ε0 ⇒E=− avec E oz = E −oz et S oz = dS −oz ∂V ∂V ∂V ox + oy + oz ) ∂x ∂y ∂z ∂V ox avec un champ orienté suivant ox ∂x a ⇒ Va − Vb = − ∫ E ox .dx avec un champ orienté suivant ox (loi des mailles originelle) Q int σ = S oz .ε 0 2.ε 0 b Éq. 7: Exemple de calcul du potentiel électrique crée (au point M) par une charge ponctuelle q+ On retrouve par cette deuxième méthode le résultat précèdent… xM Vx M − Vx∞ = − ∫ E ox .dx avec x M = OM 1.1.2. Représentation du champ électrique ∞ Le champ électrique peut être visualisé à l'aide de lignes de champ. Ces lignes sont orientées suivant le champ et tangentes en tout point. xM ⇒ Vx M − Vx∞ = − ∫ x∞ q- q+ ⇒ Vx M − Vx∞ = − q .dx 4πε 0 x 2 q 4πε 0 xM 1 ∫x 2 .dx x∞ x ⇒ Vx M − Vx∞ = − Figure 3: Lignes de champs de quelques distribution de charges: dipôle électrique (g); deux charges positives; deux plan en regard ⇒ Vx M − Vx∞ = q ⎡ 1⎤ M − 4πε 0 ⎢⎣ x ⎥⎦ x∞ q 4πε 0 .x M CM Electricité II (SP2 09-10) 9/69 Si l'on considère l'origine des potentiels à l'infini Vx∞ = 0 (loin de toute charges) alors: ⇒ Vx M = q 4πε 0 .x M On retrouve par cette deuxième méthode la précédente expression du potentiel électrique créé par une charge ponctuelle. 1.2.3. Représentation des équipotentiels sur des lignes de champ électrique Les surfaces d'équipotentielles croisent les lignes de champ de façon perpendiculaire. Plus le champ est fort et plus les équipotentiels sont rapprochés. q+ Figure 4: Lignes d'équipotentiels de quelques distribution de charges: dipôle électrique (g); deux charges positives; deux plan en regard (tracer les équipotentiels perpendiculaires au lignes de champ) 1.3. Force électrostatique (loi de Coulomb) On constate expérimentalement que la force exercée par un charge ponctuelle q sur un charge q' est une grandeur vectorielle dont l'amplitude est inversement proportionnelle au carré de la distance OM séparant les deux charges. Cette force est proportionnelle au produit q.q' des deux charges. La force est attractive si les charges sont de signes opposés et répulsive si les charges sont de même signe. Le principe de superposition s'applique à cette grandeur (Éq. 8) 4πε 0 OM 2 OM [enN ] OM F ext →q ' = q ' E ext = − q '.grad (V ) avec E crée en M par une source extérieur Le champ électrique peut ainsi mettre en mouvement des particules chargées. À la différence du champ magnétique il est capable de les accélérer (nous le verrons plus tard). Bien que négligeable à une grande échelle (comme par exemple dans la majorité des systèmes planétaires), le champ électrique a un effet prépondérant à des échelles microscopiques et peut être par exemple utilisé pour l'étude de la matière dans les accélérateurs de particules, il est aussi à la base du phénomène de la foudre: lorsque le champ au voisinage d’un conducteur dépasse une certaine limite, une étincelle est observée : le milieu entourant le conducteur devient alors conducteur. Ce champ maximal, de l’ordre de 3 Méga V/m dans l’air, est appelé champ disruptif. Il correspond à l’ionisation des particules du milieu (molécules dans le cas de l’air). Dans un tube, on réalise un vide poussé. Avec un canon à électrons, des électrodes accélératrices (et de focalisation), on fabrique un pinceau d'électrons monocinétiques de vitesse horizontale Vz. La tension d'accélération étant de l'ordre de 2 à 3 kV, le théorème des forces vives appliqué à l'électron (½mv2 = qV) montre que cette vitesse est de l'ordre de 3.107 m/s. Ces électrons pénètrent entre deux plans horizontaux. La tension U que l'on souhaite visualiser est appliquée entre les deux électrodes, créant ainsi un champ électrique verticale Ey. L'influence de la pesanteur est négligeable devant l'effet du champ électrique (par contre il faut protéger le tube de l'influence du champ magnétique terrestre par un blindage). Le champ électrique Ey soumet les électrons à la force verticale f = qE. Cette force communique aux électrons une vitesse vy = q.E.t/m mais ne modifie pas Vy : à l'intérieur des deux électrodes, la trajectoire des électrons est parabolique. Le même processus à lieu suivant l'axe x mais cette fois ci le champ est créé par un circuit interne de base de temps assurant le balayage horizontal du faisceau. Quand les électrons quittent les zones d'influence, ils suivent une trajectoire rectiligne et arrivent sur la paroi du tube. C'est ainsi que la trajectoire verticale est l'image du champ entre les électrodes planes et donc de la ddp électrique en entrée. F Éq. 8 : Force électrostatique entre deux charges ponctuelles (loi de Coulomb) q.q ' (SP2 09-10) 10/69 1.3.1.1. Application de la force électrostatique: l'oscilloscope q- F q →q ' = CM Electricité II M O q'+ q+ Notons que l'expression du champ électrique est directement issue de l'expression de la force électrostatique donnée par la loi de Coulomb, et dépend du point de l'espace où l'on se place. 1.3.1. Relation entre la force et le potentiel ou le champ électrique La force et le champ électrique sont reliés par l'expression (Éq. 9). Éq. 9: Relation locale entre la force et le potentiel ou le champ électrique appliqué en M F q →q ' = q ' E créé par q = − q '.grad (V ) avec E en M crée par q Figure 5: Schéma de principe simplifié d'un oscilloscope. Le signal est présenté sur l'entrée CH1 (canal 1, channel en anglais), puis il est amplifié (ou atténué) grâce au réglage VOLTS/DIV. Le réglage TIME/DIV permet de faire varier la vitesse de balayage horizontal CM Electricité II (SP2 09-10) 11/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 12/69 1.4. Influence sur un conducteur à l'équilibre électrostatique 1.4.2. Application du théorème de Gauss au conducteur à l'équilibre (cas particuliers) Dans un conducteur isolé à l'équilibre, le champ électrique total est nul. En effet, lorsque le milieu conducteur contenant des charges libres est soumis à un champ extérieur, il apparaît sur les électrons libres une force (coulombienne) qui les déplace jusqu'aux limites du conducteur: sa surfaces. Leur accumulation produit un champ induit opposé au champ extérieur et l'équilibre est réalisé lorsque la force résultante sur les porteurs libres s'annule, ce qui correspond à l'annulation du champ interne total (en un temps très bref de l'ordre de 10-12s). Cette propriété d'écrantage total du champ extérieur (vous captez toujours?) n'est possible que par ce que le milieu comporte des charges libres de se déplacer. L'intérieur du conducteur parfait à l'équilibre est donc caractérisé par Eint=0 et le potentiel dont il dérive est donc constant (Figure 6). 1.4.2.1. Champ à la surface d'un conducteur: théorème de Coulomb Si l'on applique le théorème de Gauss sur une petit partie du conducteur à l'équilibre électrostatique alors le champ électrique créé en sa surface est doublé si l'on se compare à un plan de charge infini et non conducteur (car le champ est nul dans la partie conducteur). E oz = σ Champ à la surface du conducteur ε0 E = Eoz .oz S = S oz .oz M Qint σ+ oz oy ox S = S ox .ox Figure 6: Illustration de l'influence d'un champ extérieur sur un conducteur à l'équilibre électrostatique 1.4.1. Notion d’écran ou de blindage électrostatique : la cage de Faraday Un conducteur à l’équilibre a un champ nul : de ce fait, s’il possède une cavité, celle-ci se trouve automatiquement isolée (du point de vue électrostatique) du monde extérieur. On définit par écran électrostatique parfait tout conducteur creux maintenu à un potentiel constant (Figure 7). Figure 8: Théorème de Gauss appliqué à la surface d'un conducteur à l'équilibre électrostatique 1.4.2.2. Influence de deux conducteurs : théorème des éléments correspondants L'application du théorème de Gauss sur une surface de type tube de champ (Figure 9) permet de montrer que "Les charges électriques portées par deux éléments correspondants sont opposées" en somme Qs1=-Qs2. Figure 7: Illustration du principe de blindage: cage de Faraday Les applications de ce principe sont multiples : pour la protection contre la foudre, un paratonnerre est en général complété par un réseau de câbles entourant l’édifice à protéger, reliés à la Terre; pour le transport d'un courant faible, le conducteur entouré d’une gaine métallique (appelée blindage) reliée au sol. Cette gaine est parfois simplement le châssis de l’appareil. Éléments correspondants Figure 9: Illustration d'un tube de champ (flux nul) mettant en correspondance les éléments de surface S1 et S2 de deux conducteur. Le tube de champ est construit suivant les lignes de champ si bien que le flux embrassé reste toujours nul. L'application du théorème de Gauss permet de montrer que Qs1=-Qs2 Lorsque les éléments sont en total influence, ie lorsque l'ensemble des lignes de champ d'un conducteur aboutit sur l'autre conducteur, alors on voit apparaître la charge totale int Q2 =−Q1 sur la face correspondante interne de (A2) (Figure 10). CM Electricité II (SP2 09-10) 13/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 14/69 E p = q.OM C = p∧E M O O q+ C M p q+ qp H 2O = 6,11.10 -30 C.m qFigure 10: Exemple de conducteur en total influence: puisque l’ensemble des lignes de champ issues de (A1) aboutit sur (A2), on voit apparaître la charge Q2 int = − Q1 sur la face correspondante interne de (A2) Figure 12: Dipôle électrique de moment dipolaire p (g); Représentation d'une molécule d'eau et de son moment dipolaire=6,11.10-30 C.m à l'état gazeux (c); Illustration du couple C subit par un dipôle plongé dans un champ E extérieur (d) 1.4.3. Effet de pointe : origine du parafoudre 1.5.2. Mécanismes de polarisation d'un diélectrique L'effet de pointe (ou pouvoir de pointe) décrit le fait que, à proximité d’une pointe, la densité surfacique de charge est très élevée. En vertu du théorème de Coulomb, cela signifie que le champ électrostatique est toujours très intense au voisinage d’une pointe (Figure 11). V1 = V 2 ⇒ σ 1.R1 σ 2 .R2 σ R = ⇒ 1 = 2 ε0 ε0 σ 2 R1 Figure 11: On peut aborder ce phénomène à l'aide de deux sphères chargées de rayons différents, reliées par un fil conducteur et placées loin l’une de l’autre. On peut donc considérer que chaque sphère est hors d'influence de l'autre mais qu’elle partage le même potentiel V. L'égalité entre les deux potentiels électriques à la surface des sphères, conduit à l'expression simplifié: σ1.R1=σ2.R2. Conclusion à potentiel égal plus le rayon de courbure est petit et plus la densité surfacique de charge est grande et plus le champ est grand. 1.5. Influence sur un isolant: polarisation électrique Il existe quatre types de polarisation: électronique, ionique, dipolaire et interfaciale: Polarisation électronique: le déplacement des électrons par rapport au noyau d’un atome fait apparaître une polarisation dont le temps d’établissement est très court (10-15s). Polarisation ionique: l’application d’un champ externe produit un déplacement mutuel des ions constituant la molécule en un temps de l’ordre de 10-13s. Polarisation dipolaire ou d’orientation: étudiée par Debye, elle consiste dans l’orientation de molécules polaires sous l’action du champ électrique. Elle dépend de la température et apparaît dans les gaz, les liquides et les corps amorphes très visqueux. Dans certains corps (par exemple la cellulose), certains groupements moléculaires peuvent s’orienter, sans affecter le corps de la molécule. La relaxation des dipôles s’accompagne d’une dissipation d’énergie ; ainsi, sous l’influence d’un champ alternatif, il apparaît des pertes diélectriques. Polarisation interfaciale: phénomène d'accumulation de charge aux interfaces, par différence de conduction et de permittivité isolant/isolant ou isolant/conducteur. Dans un milieu diélectrique (ou isolant), la majorité des charges sont liées et l'application d'un champ externe provoque une orientation de dipôles insuffisante pour produire un écrantage total. En conséquence, le champ à l'intérieur du diélectrique est non nul et le potentiel électrostatique n'est pas constant. Nous définissons ci-après les termes de: dipôle; diélectrique et polarisation… 1.5.1. Définition d'un dipôle électrique et de la polarisation dipolaire On appelle dipôle électrique, un "ensemble rigide" de deux charges opposées et séparées d'une distance AB et on le caractérise par son moment dipolaire p=q.AB. L'application d'un champ électrique uniforme crée une force de rotation (couple) sur le dipôle, on appel cela la polarisation dipolaire (Figure 12). + + Interfaces α dipolaire α ionique α électronique UHF IR UV Figure 13: Variation de la polarisation molaire PM en fonction de la fréquence; polarisabilité α 1.5.3. Définition d'un diélectrique et d'un isolant On appelle diélectrique, une substance dont la propriété électromagnétique fondamentale est d’être polarisable par un champ électrique. Lorsque le vide est remplacé par une substance diélectrique, la permittivité égale le produit de la permittivité du vide par la CM Electricité II (SP2 09-10) 15/69 permittivité relative (au vide) du matériau, ie: ε = ε0. εr. La permittivité relative est une indication du pouvoir de polarisation de la substance. (Al2O3 εr=10 à 1MHz; Téflon εr=2 à 1MHz; Epoxy εr=3.7 à 1MHz). On appelle isolant, une substance qui a une conductivité électrique suffisamment faible pour être utilisée afin de séparer des pièces conductrices portées à des potentiels différents (Téflon ρ=1015[Ω.m] à 1MHz; Epoxy ρ=1013[Ω.m] à 1MHz). CM Electricité II 1.6.2.1. Géométries et capacités de condensateurs Éq. 12: Capacité d'un condensateur plan (cf TD) C = ε 0ε r Éq. 13: Capacité d'un condensateur cylindrique (cf TD) C = 2πε 0 ε r 1.6.1. Capacité électrique La capacité représente la quantité de charge électrique stockable pour un potentiel électrique donné. Elle est définie comme étant la somme des charges électriques d'un élément divisée par la différence de potentiel de l’élément par rapport à un autre élément (ou l’infini lorsqu’il est unique). La capacité est une grandeur toujours positive et exprimée en Farad (Éq. 10). Éq. 10: Définition de la capacité Qa Qb C= = [F ] Va − Vb Vb − Va Le calcul de la capacité passe par le calcul du champ électrique, puis du potentiel électrique pour enfin retrancher la charge électrique Q stockée. C = 4πε 0 ε r ( 1.6.2.2. Modèle équivalent d’un condensateur On rappel que la permittivité de la substance diélectrique placée entre les conducteurs varie avec la fréquence et que le phénomène de polarisation dipolaire engendre des pertes par échauffement. Dés lors le condensateur ne peut plus être considéré comme parfait, voici donc un premier modèle équivalent permettant de rendre compte de ces imperfections (Figure 15). Cp oz oy φ<0 ox Va 1.6.2. Condensateur + + + + + + + + + + + + + + ε =ε0.εr - Vb- Va+ + + + + + + + + + + + + Eext + + + + + + + + + + + + + + + + + + Va+ Q+ Edipôle ε =ε0. εr Figure 14: Illustration d’une condensation de charge avec et sans diélectrique U U rend compte de la capacité réelle rend compte des pertes Q--------- + + + + + Vb- Q- Eext + ε = ε0 Q+ Q- Rp Ir R1 Un condensateur est un assemblage de deux conducteurs isolés électriquement l'un de l'autre et que l’on peut porter à des potentiels différents. On qualifie la performance d'un condensateur d'après sa capacité. En général, les deux armatures sont séparées par un matériau isolant (un diélectrique), ce qui a pour effet d’accroître la capacité du condensateur (Figure 14). + + + + I I Ic Qa Avec Vb à l’∞=0 Va+ 1 1 − ) −1 R1 R2 δ>0 C = 4πε 0 ε r R1 Eext l R ln( 2 ) R1 Éq. 14: Capacité d'un condensateur sphérique (cf TD) Éq. 11: Capacité d'une Sphère Q+ A A d Notons que les substances isolante sont généralement diélectrique et réciproquement. 1.6. Capacité électrique: application au condensateur (SP2 09-10) 16/69 Vb- Figure 15: Modèle équivalent d'un condensateur: les valeurs de Rp et Cp sont mesurables à l'aide d'un analyseur d'impédance (cf TP) 1.6.2.3. Exemple d’application du condensateur Hormis les applications standard du condensateur pour le filtrage et le stockage d'énergie, on peut l'utiliser pour réaliser des capteurs de pression: le déplacement d'un électrode sous l'effet d'une pression suffit à faire varier la capacité mesurable à l'aide d'un oscillateur (Figure 16). CM Electricité II (SP2 09-10) 17/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 18/69 énergie ne peut provenir que d’un autre réservoir énergétique, appelé énergie potentielle. Comment s’est constituée cette énergie potentielle gravitationnelle ? Grâce au déplacement du corps par l’opérateur. Ainsi, le travail effectué par celui-ci est une mesure directe de l’énergie potentielle. On va suivre le même raisonnement pour l’énergie électrostatique. Éq. 16: Principe fondamental de la thermodynamique ΔEc + ΔEp = ∑W + ∑ Q travaux chaleurs L’énergie potentielle électrostatique d’une particule chargée placée dans un champ électrostatique est égale au travail qu’il faut fournir pour amener de façon quasi-statique cette particule de l’infini à sa position actuelle. Figure 16: Capteur capacitif de pression Pourquoi appelle-t-on ces dispositifs des condensateurs ? Parce qu’ils permettent de mettre en évidence le phénomène de "condensation de l’électricité", à savoir l’accumulation de charges électriques dans une petite zone de l’espace. Ainsi, en construisant des condensateurs de capacité C élevée, on obtient des charges électriques Q élevées avec des tensions U faibles. 1.6.2.4. Réponse électrique d’un condensateur dans un circuit électrique Éq. 17: Travail fourni pour déplacer une particule de l’infini vers un point M M M M ∞ ∞ ∞ W∞→ M = ∫ dW = ∫ Fext .dr = − ∫ q.E ext .dr = q[VM − V∞ ] Puisqu’on peut toujours définir le potentiel nul à l’infini, on obtient l’expression suivante pour l’énergie électrostatique d’une charge ponctuelle située en M (Éq. 18). Éq. 15: Petite réflexion sur la réponse électrique d'un circuit RC t = 0 ⇒ Va − Vb = E = (Va − Vc) + (Vc − Vb) ⇒ E = (q / C ) + Ri ⇒ E = (q / C ) + Rdq / dt avec dq = idt q E ⇒ q& + = RC R Solution generale de l ' équation sans sec ond membre : q sgessm = K .e −t / RC Prenons une particule de charge q placée dans un champ E. Pour la déplacer de l’infini vers un point M, un opérateur doit fournir une force qui s’oppose à la force de Coulomb. Si ce déplacement est fait suffisamment lentement, la particule n’acquiert aucune énergie cinétique. Le travail fourni par l’opérateur sera donc (Éq. 17): Éq. 18: Energie potentiel d’une particule placée sous un potentiel électrostatique V ΔEp = W∞→ M d'après le principe de conservation (Éq. 16) i C E Solution particulière de l ' équation avec sec ond membre : q speasm = E.C Va q Vc ⇒ ΔEp = q[VM − V∞ ] ⇒ Ep M = q.VM + Ep ∞ avec V∞ définit comme étant nul à l'infini Ep = q.V avec Ep ∞ choisie arbitrairement nulle à l’infini R Vb Solution generale de l ' équation avec sec ond membre : q = K .e −t / RC + E.C or q (0) = 0 ⇒ q = E.C (1 − e −t / RC ) E ⇒ i = q& = − e −t / RC R 1.7. Energie électrostatique 1.7.1. Energie d’une charge ponctuelle plongée dans un champ Eext Comment mesure-t-on l’énergie potentielle gravitationnelle d’un corps de masse m ? On le déplace d’une position initiale jusqu’à une position finale (on exerce donc une force) puis on le lâche sans vitesse initiale. S’il acquiert une vitesse, c’est qu’il développe de l’énergie cinétique. Or, en vertu du principe de conservation de l’énergie (Éq. 16), cette On voit donc que le potentielle électrostatique est une mesure (à un facteur q près) de l’énergie électrostatique. Le potentiel électrostatique est en fait défini à partir de l’énergie potentielle de la charge. Autre remarque importante : l’énergie est indépendante du chemin suivi. 1.7.2. Energie d’un ensemble de charges Dans la section précédente, nous avons considéré une charge q placée dans un champ E extérieur et nous avons ainsi négligé le champ créé par la charge elle-même. Mais lorsqu’on a affaire à un ensemble de N charges ponctuelles qi , chacune d’entre elles va créer sur les autres un champ électrostatique et ainsi mettre en jeu une énergie d’interaction électrostatique. Quelle sera alors l’énergie potentielle électrostatique de cet ensemble de charges ? CM Electricité II Ep = N 1 ∑ qi.Vi = 4πε .∑∑ couples 0 i =1 j > i qi.qj 1 N 1 = .∑ 2 i =1 4πε 0 rij ∑ j ≠i (SP2 09-10) 19/69 qi.qj 1 N = .∑ qi.Vi rij 2 i =1 Où le facteur ½ apparaît parce que chaque couple est compté deux fois. L'énergie électrostatique d'un ensemble de N charges ponctuelles est donc (Éq. 19): Éq. 19: Energie électrostatique d’un ensemble de charges ponctuelles 1 N Ep = .∑ qi.Vi( Pi ) 2 i =1 avec Vi( Pi ) = 1 4πε 0 qj ∑ rij le potentiel créé en Pi par toutes les autres charges i≠ j Éq. 20: Energie électrostatique d’un ensemble de conducteurs chargés Qi 1 N Ep = .∑ Qi.Vi 2 i =1 Ceci est l’énergie nécessaire pour amener un ensemble de conducteur de capacité Ci au potentiel Vi. Par exemple, pour un condensateur constitué de deux armatures. L’énergie électrostatique du système à deux conducteurs est (Éq. 21): Éq. 21: Energie électrostatique d'un condensateur 1 1 1 1 1 Q2 2 Ep = (Q1 .V1 + Q2 .V2 ) = Q(V1 − V2 ) = Q.U 12 = C.U 12 = 2 2 2 2 2 C 1.7.3. Relation entre énergie et force électrostatique Figure 17: Relation entre force conservative (eg. electrostatique) et énergie potentielle F ext = − grad (Ep ) 1.8. Quiz d’électrostatique Quelle est la source du champ électrostatique ? Quelle est l’expression du vecteur champ électrique produit par une charge q ? Quel est le principe qui permet de déterminer orientation et dépendance du champ ? Quelle est l’expression intégrale du théorème de Gauss ? Comment se répartissent les lignes de champ dans un condensateur plan polarisé ? Quelle est l’expression du potentiel électrique produit par une charge q ? Quelle est la relation générale entre champ et potentiel électrique ? Comment se répartissent les lignes d’équipotentiel dans un condensateur plan polarisé ? CM Electricité II (SP2 09-10) 20/69 Quelle est l’expression de la force d’interaction de deux charges q+ et q+’ ? Quelle est la relation générale entre la force et le champ (loi de coulomb) ? Comment peut on accélérer une particule chargée ? Quel est le principe du blindage (cage de Faraday) ? Quelle est l’expression du champ à la surface d’un conducteur chargé ? Quel est le théorème des éléments correspondants ? Qu’est ce que l’effet de pointe ? Qu’est ce qu’un dipôle électrique ? Quels sont les 4 différents types de polarisation ? Qu’est ce qu’un diélectrique ? Quelle est la définition de la capacité ? Quelle est la capacité d’un condensateur plan de surface S et d’écartement e (calculer)? Quels types de capteurs peut on fabriquer sur la base de ce chapitre ? Quelle est l’énergie potentielle d’une particule chargée q soumise à un potentiel V ? Qu’est ce qu’un électron volt (eV) ? Quelle est l’énergie stockée dans un condensateur C, polarisé sous une tension U ? Quelle est la relation entre l’énergie et la force électrostatique ? De quels phénomènes électrostatiques dépend la foudre ? CM Electricité II (SP2 09-10) 21/69 CM Electricité II Chapitre 2. Magnétostatique: champ, force et énergie magnétostatique (3h) dl La magnétostatique est l'étude des phénomènes où le champ magnétique est statique, c’est-à-dire ne dépend pas du temps. Un champ magnétique statique se rencontre lorsque le déplacement de charges électriques forme un courant électrique ne dépendant pas du temps ou lorsque le champ magnétique est produit par un aimant immobile. I I oy P oz O M B dl Éq. 22: Champ d'induction magnétique d'une charge en mouvement (v<<c) B= 4π . OM 2 v ∧ OM [en T ] OM q+ 1 avec μ 0 = = 4.π .10 − 7 [en H / m] ε 0c 2 oz B oy v << c ox Éq. 23: Champ d'induction magnétique créé par un courant électrique (formule de Biot et Savart) M ∫ circuit dl ∧ OM OM 3 [en T ] O Éq. 24: Exemple de calcul du champ magnétique crée (au point M) par une spire traversée par I Le principe de symétrie de Curie nous permet d'établir que: D'après le formule de Biot et Savart, la composante oz du champ élémentaire créé au point M par le fil élémentaire dl situé en P s'écrit: μ 0 .I ⇒ dBoz = ⇒ dBoz = oy ox Avant de ce lancer dans les calculs, il peut être judicieux de déterminer la dépendance et la direction du champ magnétique. Pour cela, on peut s'appuyer sur le principe de symétrie de Pierre Curie, affirmant en substance que: les conséquences d'un phénomène physique possèdent au moins la symétrie de leur cause. 2 4π PM oz B I dl petit élément de fil B = B ( z ).oz z Figure 18: Le principe de symétrie de Curie permet ici d'établir la dépendance et l'orientation du champ magnétique créé (au point M) par une spire traversée par un courant I dBoz = L’unité du champ magnétique dans le système international est le Tesla (T). Le facteur μ0 [Henry] est la perméabilité du vide : il décrit la capacité du vide à "laisser passer" le champ magnétique. μ .I B= 0 4π P ox B = B( z ).oz M O α M R Le champ magnétique B créé en un point M par une particule de charge q située en un point O et animée d’une vitesse v dans un référentiel galiléen est une grandeur "pseudo" vectorielle dont l'amplitude est inversement proportionnelle au carré de la distance OM séparant la charge du point M. Le champ est orienté suivant la règle de la main droite: le pousse donne la direction de la charge en mouvement et les doits celle du champ magnétique. Le principe de superposition s'applique à cette grandeur (Éq. 22, Éq. 23). μ 0 .q oy O ox 2.1. Champ d'induction magnétique B 2.1.1. Calcul du champ d'induction magnétique B (dans le vide) (SP2 09-10) 22/69 ⇒ Boz = ⇒ Boz = ⇔ Boz = dl. sin α avec dBoz = dB. sin α μ 0 .I 2 4π . PM R.dθ . sin α avec dl = R.dθ μ 0 .I dθ . sin 3 α avec PM 4π .R 2 = R2 sin 2 α 2π μ 0 .I . sin 3 α . ∫ dθ avec Boz = ∫ dBoz 4π .R 0 circuit μ 0 .I 2 .R μ 0 .I 2 . sin 3 α . (R R2 2 +z ) 2 3/ 2 avec sin 3 α = R3 PM 3 = R3 (( R + z 2 )1 / 2 ) 3 2 Prolongeons ce calcul au cas d'un solénoïde constitué d’un enroulement d’un fil conducteur autour d’un cylindre (Figure 19). On suppose que ce fil est suffisamment mince pour pouvoir modéliser ce solénoïde comme une juxtaposition de spires coaxiales, avec N spires par unité de longueur. Chaque spire est alors parcourue par un courant permanent I. oz CM Electricité II (SP2 09-10) 23/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 24/69 Figure 19: Prolongation du calcul au cas d'un solénoïde traversée par un courant I Éq. 25: Exemple de calcul du champ magnétique crée (au point M) par un solénoïde traversée par I Autour d’un point P situé en z, sur une épaisseur dz, il y a N.dz spires. Ces spires créent donc un champ en un point M quelconque de l’axe tel que: Figure 20: Application du théorème d'Ampère au calcul du champ produit par un solénoïde infini B Contour 1: ∫B oz A ⇒ dBoz = ⇒ dBoz = ⇒ Boz = ⇒ Boz = ⇒ Boz = μ 0 .N .I .dz 2 .R μ 0 . N .I . sin 3 α μ 0 . N .I α 2 2 2 μ 0 . N .I 2 Relation générale d'un solénoïde allongeable oz 0 I2 enlacés B C D A A B C D ∫ Boz .d AB + ∫ Boy .d BC + ∫ B−oz .d CD + ∫ B−oy .d DA = 0 B D A C ⇒ ∫ Boz .d AB + ∫ B−oz .d CD = 0 On obtient le même résultat, c’est à dire un champ uniforme à l’extérieur du solénoïde. Mais comme ce champ doit être nul à l’infini, on en déduit qu’il est nul partout. = μ 0 . N .I dS dl ∫ B.dl = μ .∑ I D ∫ dB solenoide Il est aussi possible de déterminer le champ magnétique à l'aide du théorème d'Ampère: La circulation de B le long d’une courbe C quelconque, orientée et fermée (appelée contour d’Ampère) est égale à μ0 fois la somme algébrique des courants qui traversent la surface délimitée par C (Éq. 26). contour fermé C C Contour 2: [− cos α ]αα 12 Éq. 26: Théorème d'Ampère C B Donc, le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde (infini). avec Boz = [− cos α ]π0 A A R 1 ⇒ dz / dα = R. 2 zM − z sin α ∫ sin α .dα α1 μ 0 . N .I D D ⇒ ∫ Boz .d AB + ∫ B−oz .d CD = 0 . sin α .dα avec tan α = 2 B C .d AB + ∫ Boy .d BC + ∫ B−oz .d CD + ∫ B−oy .d DA = 0 B moy I3 B Contour 3: ∫B A oz C D A B C D .d AB + ∫ Boy .d BC + ∫ B−oz .d CD + ∫ B−oy .d DA = − Nlμ 0 I D ⇒ ∫ B−oz .d CD = − Nlμ 0 I C ⇒ Boz = Nμ 0 I Bmoy .L = μ0 .(− I1 + I 2 ) Contour fermé C de longueur L Cette relation fondamentale est l’équivalent du théorème de Gauss pour le champ électrostatique : elle relie le champ (B ou E) à sa source (le courant I ou la charge Q) dans le vide (à l’intérieur d’un matériau nous verrons qu'il faut remplacer μ0 par μ= μ0+ μr). On retrouve par cette deuxième méthode le résultat précédent Voici quelques ordres de grandeur de champ d'induction magnétique: aimant courant B ≈ 10[mT]; électroaimant ordinaire B ≈ 1[T]; bobine supraconductrice B ≈ 20[T]; bobine résistive B ≈ de 30 à 1000[T]; champ magnétique interstellaire moyen B≈[μG] (1Gauss = 104 [T]); champ magnétique dans une tache solaire B≈[kG]≈0.1[T]; champ magnétique terrestre verticale ≈ 0,4G, B horizontal ≈ 0.3G; champ magnétique d’une étoile à neutrons B ≈ 108[T]. 2.1.2. Flux d'induction magnétique Ф: principe de conservation Le flux d'induction magnétique Ф exprimé en Weber est le produit scalaire du champ d'induction magnétique B par une surface orientée S (Éq. 27). CM Electricité II (SP2 09-10) 25/69 Éq. 27: Flux d'induction magnétique (la surface est orientée dans le sens de parcours du flux) Φ= ∫∫ B.dS [Wb] θ S F → q = q.(v ∧ B) en [ N ] Cette expression de la force magnétique peut être utilisée dans le calcul des trajectoires de particules dans le formalisme de la mécanique classique tant que leurs vitesses restent très inférieures à celle de la lumière. oy ox Le flux de champ magnétique à travers un surface fermée quelconque est nul (Éq. 28). Éq. 28: Loi de conservation du flux d'induction magnétique Φ= (SP2 09-10) 26/69 Éq. 29: Expression de la force magnétique exercée sur une particule chargée en mouvement (v<<c) oz B Φ = B.S . cos θ surface CM Electricité II ∫∫ B.dS = 0 La force magnétique courbe la trajectoire d'une particule chargée et en mouvement. A la différence du champ électrique, elle ne fournit pas de travail. Cette force peut être utilisée par exemple pour l'étude de la matière dans un synchrotron ou un spectromètre de masse elle est aussi à l'origine de l'effet Hall permettant de mesurer le champ électrique. 2.2.1.1. Application de la force magnétique: la sonde à effet Hall surface fermée La conservation du flux magnétique est une propriété très importante et montre une différence fondamentale entre le champ magnétique et le champ électrostatique. On ne connaît pas de charge magnétique analogue à la charge électrique (se serait un "monopôle magnétique"): La source la plus élémentaire de champ magnétique est un dipôle (deux polarités), comme l’aimant dont on ne peut dissocier le pôle nord du pôle sud. 2.1.3. Représentation du champ d'induction magnétique Lorsqu'un courant traverse un barreau en matériau semi-conducteur (ou conducteur), et si un champ magnétique d'induction B est appliqué perpendiculairement au sens de passage du courant, une tension, appelée tension Hall, proportionnelle au champ magnétique et au courant apparaît sur les faces latérales du barreau. Cette tension est proportionnelle à la vitesse de déplacement des porteurs de charge qui est considérablement plus grande dans les matériaux semi-conducteurs que dans les conducteurs métalliques. Le champ d'induction magnétique peut être visualisé à l'aide de lignes de champ (également appelées lignes de force). Ces lignes sont orientées suivant le champ et tangentes en tout point. Ce sont ces lignes de champ qui sont tracées par la matière sensible au champ magnétique, telle que la limaille de fer au voisinage d’un aimant. l Aimant I Fil infini Terre Fe=-e.E h N oz oy Fm=-ev^B S ox B Spire B B B I I Solénoïde Figure 22: Représentation schématique de l'effet Hall B Éq. 30: Démonstration de l'effet Hall Figure 21: Lignes de champs d'induction magnétique de quelques électroaimants et générateurs naturels 2.2. Force magnétique 2.2.1. Force magnétique sur une particule chargée (v<<c) (loi de Lorentz partielle) La force magnétique subie par une particule de charge q et de vitesse v (<<c) dans un référentiel galiléen dépend du produit vectorielle de la vitesse par le champ magnétique auquel elle est soumise (Éq. 29). Le courant qui traverse le matériau conducteur est produit par des charges (les électrons libres) qui se déplacent avec une vitesse que l'on notera v. I= ∫∫ j.dS = ρ surface lh m .v.l.h ⇒ v = I ρ m l.h ρm étant la densité des porteurs mobiles Sous l'influence d'un champ B, ces électrons sont donc soumis à une force magnétique: F m = −e.v ∧ B où -e étant la charge d'un électron. CM Electricité II (SP2 09-10) 27/69 Il en découle un déplacement d'électrons et une concentration de charges négatives sur l'un des côtés du matériau ainsi qu'un déficit de charges négatives du côté opposé. Cette distribution de charge donne naissance à la tension Hall VH ainsi qu'à un champ électrique EH. Ce champ électrique est lui même responsable d'une force électrique qui agit sur les électrons. F e = −e E H (Force de Coulomb) L'équilibre est atteint lorsque la somme des deux forces est nulle (2ième loi de Newton). E H oz = −vBoz avec B normal au plan oxz I .B ⇒ E H oz = − ⇒UH = ρ m l.h oz en utilisant l'expression de la vitesse écrite précédemment h I .B avec V H + − V H + = − ∫ E H .dz = − E H .h ρ ml 0 CM Electricité II un courant électrique constant d'exactement 6 241 509 629 152 650 000 charges élémentaires par seconde. Cette dernière valeur est l'inverse de 1,602 10-19, la valeur de la charge élémentaire. De fait, il n'existe pas encore de démonstration convaincante d'un effet quantique qui permettrait de définir le courant. Par conséquent, le triangle métrologique (« volt - ohm - ampère ») n'est pas bouclé. 2.2.2.1. Application de la force de Laplace: la balance de Cotton La balance de Cotton constitue une application directe de loi de Laplace et sert principalement à la mesure du champ magnétique dans l'entrefer d'un électroaimant. Le circuit électrique est constitué de bandes métalliques (de cuivres généralement) fixées sur un arc circulaire de plexiglas dont le centre est situé sur l'axe de rotation de la balance. De ce fait, les forces qui agissent sur les brins AD et BC du circuit sont opposées et passent par l'axe de la balance; elles n'interviennent donc pas dans l'équilibre. L'élément AB est placé si possible perpendiculairement au champ magnétique B pour que la force F qui agit sur lui soit maximum, dans ces conditions et avec l=AB, on montre que l'équilibre est atteint lorsque m=B.I.l/g. Les grandeurs UH, I, l et B étant toutes mesurables, on peut, pour un conducteur (ou semi-conducteur) donné, en déduire la valeur de la constante de Hall (K=1/ρm) et connaître ainsi la densité volumique des porteurs libres. Inversement si on connaît K, les mesures de UH, I et l nous permettent de déterminer la valeur du champ magnétique B; c'est sur ce principe que fonctionne la sonde à effet Hall. 2.2.2. Actions magnétiques sur un circuit fermé parcouru par I (force de Laplace) La force qui s’exerce sur un conducteur fermé, parcouru par un courant permanent I, appelée force de Laplace, a pour expression (Éq. 31): D I dl C B A ox B l=|AB| - + F=B.I.l oz F=m.g ∫∫∫ j ∧ B.dv volume F→ circuit = I . oy L Éq. 31: Force de Laplace F →charge mobile = (SP2 09-10) 28/69 Figure 23: Représentation schématique de la balance de Cotton ∫ dl ∧ B en [ N ] circuit Cette force s’applique sur un circuit qui est un solide. On ne considèrera que des circuits pour lesquels on pourra appliquer le principe fondamental de la mécanique, assimilant ceux-ci à des points matériels (leur centre d’inertie). Aucun élément de longueur ne sera privilégié : la force s’applique au milieu de chaque portion dl. Pour anecdote, la définition de l'Ampère donnée par le Comité international des poids et mesures en 1948 repose sur la force de Laplace. Par définition, un ampère est l'intensité d'un courant constant qui, s'il est maintenu dans deux conducteurs linéaires et parallèles, de longueurs infinies, de sections négligeables, et distants d'un mètre dans le vide, produirait entre ces deux conducteurs, une force égale à 2×10-7 Newton par mètre linéaire. Depuis que le système international définit et maintient la tension exprimée en volt et la résistance en ohm avec les effets quantiques de Josephson (constantes de Josephson (CIPM (1988) Recommandation 1, PV 56 ; 19, (KJ ≡ 4,835 979×10+14 Hz/V)) et de von Klitzing, basée sur l'effet Hall quantique (CIPM (1988), Recommandation 2, PV 56 ; 20), RK ≡ 2,581 280 7×10+4 Ω), il est possible de combiner ces valeurs afin de définir l'ampère comme étant Éq. 32: Démonstration de la balance Cotton Le bilan des forces tournantes de la balance est le suivant. F Laplace = I . ∫ dl ∧ B ⇒ F AB = − B.I .l.oy circuit FGravité = m g ⇒ F gravité = − m.g .oy à l'équilibre et en prenant un champ normal au plan de la balance, le bilan des couples peut alors s'écrire comme suite: B.I .l.L = m.g.L ⇒ B = m.g I .l CM Electricité II (SP2 09-10) 29/69 si l'on s'arrange pour que le coefficient g/I.l soit un nombre simple on peut avoir une lecture presque directe de B. eg: B = m avec l=2cm et I=0.98A (g étant égal à 9.8m/s2) 2 2.2.2.2. Application de la force de Laplace: le galvanomètre à cadre mobile Une bobine B en forme de cadre est soutenue par deux pivots P. Elle peut tourner autour de son axe mais deux ressorts S en forme de spirale la ramènent à une position de repos. Cette position de repos est celle de l'aiguille G indiquant le zéro sur le cadran C. La bobine est placée dans l'entrefer d'un aimant A. Lorsqu'une différence de potentiel est appliquée aux bornes + et - le courant qui traverse la bobine provoque la rotation de cette dernière d'un angle proportionnel à l'intensité du courant (force de Laplace). L'inversion du sens de passage du courant provoque une déviation de l'aiguille en sens inverse. Le déplacement de l'aiguille est limité dans les deux sens par deux butées non représentées sur le dessin. Un courant trop élevé dans le cadre peut le détruire ; l'ordre de grandeur du courant provoquant une déviation complète de l'aiguille est de 25 à 1000 µA (Figure 24). CM Electricité II (SP2 09-10) 30/69 On appelle moment magnétique d'un circuit plan, le produit du courant I par la surface orientée S (Éq. 33): m dS Éq. 33: Moment magnétique d'un circuit plan I m = I .S [ A.m 2 ] Le moment de la force magnétique (couple magnétique) est le produit vectoriel du moment magnétique par le champ (Éq. 34). m Éq. 34: Couple magnétique B C = m ∧ B [ N .m] dS I B Cette expression se déduit de la force de Laplace, elle permet parfois de faire l'économie de calculs fastidieux (cf §2.2.2.2 Galvanomètre). 2.3. Propriétés magnétiques de la matière et origines 2.3.1. Origine microscopique du magnétisme A l'échelle microscopique c'est le mouvement des électrons dans le nuage électronique qui est responsable de l'existence d'un magnétisme dit orbital, alors que la rotation sur eux-mêmes est responsable du magnétisme de spin. Il n'est pas possible d'ignorer l'aspect quantique de ces phénomènes : en 1919, dans sa thèse de Doctorat, J. H. van Leeuwen prouva qu'il était impossible d'expliquer le magnétisme uniquement à l'aide de l'électrodynamique de Maxwell et de la mécanique statistique classique. (cf aspects quantiques de l'annexe) 2.3.2. Classification des effets magnétiques Figure 24: Représentation schématique d'un galvanomètre L'appareil doit son nom à Luigi Galvani. Même si William Thomson (Lord Kelvin) avait déjà eu l'idée d'utiliser des appareils similaires pour mesurer et enregistrer des courants, le premier galvanomètre fut construit par Johann Schweigger de Nuremberg à l'Université de Halle le 16 septembre 1820. André-Marie Ampère contribua ensuite au développement du galvanomètre. Leopoldo Nobili perfectionna l'instrument en le soustrayant à l'influence du champ magnétique terrestre (galvanomètre astatique). Arsène d'Arsonval inventa un modèle adapté à la mesure de très faibles courants en électrophysiologie (galvanomètre balistique). 2.2.3. Actions magnétiques sur un dipôle magnétique Faraday a montré que toute substance est aimantable mais le plus souvent l'effet n'est appréciable que dans un champ magnétique intense; plaçons dans un champ magnétique non uniforme des barreaux de substances différents: certains sont attirés vers les régions de champ intense en s'orientant parallèlement aux lignes de champ comme le ferait un barreau de fer doux; d'autres sont repoussées vers les régions où le champ magnétique est faible et s'orientent perpendiculairement aux lignes de champ; de telles substances sont dites diamagnétiques (argent, or, cuivre, mercure, plomb, presque tous les composés organiques…). Les substances qui sont comparables au fer sont dites ferromagnétiques (fer, cobalt, nickel et un grand nombre de leurs alliages en particulier les aciers) et certain de leurs composés ainsi que certaines combinaisons d'éléments non ferromagnétiques. Les substances qui subissent des actions de même nature que le fer mais beaucoup moins intenses sont dites paramagnétiques (aluminium, chrome, platine… et certains composés d'éléments ferromagnétiques par exemple l'alliage 68% fer 32% de nickel). 2.3.3. Champ d'excitation magnétique H Lorsque le vide est remplacé par de la matière, il y a interaction entre les moments magnétiques de la matières et le champ d'induction résultant. Afin de rendre compte de l'influence de la matière sur le champ d'induction résultant, on introduit une deuxième CM Electricité II (SP2 09-10) 31/69 grandeur vectorielle H (exprimée en A/m) qu'on appelle: champ d'excitation magnétique. Cette grandeur est indépendante du matériau et elle est à l'origine du champ d'induction B tel que (Éq. 35): Éq. 35: Relation entre champ d'induction et champ d'excitation magnétique B = μ 0 .μr.H avec μr la perméabilité relative de la substance CM Electricité II (SP2 09-10) 32/69 2.3.5. Ferromagnétisme Le ferromagnétisme est la propriété qu'ont certains corps de s'aimanter très fortement sous l'effet d'un champ magnétique extérieur, et pour certains (aimants, matériaux magnétiques durs) de garder une aimantation importante même après la disparition du champ extérieur. Cette propriété résulte du couplage collectif des spins entre centres métalliques d'un matériau ou d'un complexe de métaux de transition, les moments de tous les spins étant orientés de la même façon au sein de la substance (Figure 26). ⇒ B = μ.H avec μ = μ 0 .μ r la perméabilité du matériau ⇒ B = μ 0 H (1 + χ ) avec μ r = 1 + χ et χ la susceptibilité magnétique du matériau ⇒ B = μ0 (H + χ H ) La résonance magnétique est un phénomène qui apparaît lorsque certains atomes sont placés dans un champ magnétique et reçoivent un rayonnement radio adapté. En effet, les atomes dont le noyau est composé d'un nombre impair de constituants (en particulier l'hydrogène, dont le noyau se résume à un proton) présentent une sorte de moment magnétique, appelé moment magnétique de spin. Lorsqu'un noyau est placé dans un champ magnétique (mécanique quantique oblige) il ne peut se placer que dans deux états distincts. On peut toutefois faire passer un noyau d'un état à l'autre avec un photon de pulsation adaptée : on parle de résonance. Ce phénomène affectant le noyau d'un atome, on parle de résonance magnétique nucléaire. Un noyau affecté retourne à l'équilibre en reprenant son état d'origine et en émettant un photon. Ce rayonnement, en plus d'indiquer la présence du noyau, peut également informer sur son voisinage au sein d'une molécule. En effet, il se produit des couplages, qui influencent notamment sa fréquence. En RMN, on appelle ces écarts à un solvant de référence les "déplacements". L'imagerie par résonance magnétique nucléaire (IRM) est l'application de cet effet en imagerie médicale, permettant d'avoir une vue 2D ou 3D d'une partie du corps, notamment du cerveau. Figure 25 : IRM encéphalique (coupe sagittale passant par la ligne médiane) B Br is é 2.3.4. Exemple d'application du magnétisme: l'IRM sta bi l B = μ0 (H + M ) tio n Éq. 37: Relation générale entre champ d'induction, d'excitation magnétique et l'aimantation Lorsque l'on a magnétisé un échantillon de matériau jusqu'à la saturation (alignement maximum des moments magnétiques du matériau) et que l'on fait décroître l'excitation H, on constate que B décroît également mais en suivant une courbe différente qui se situe au dessus de la courbe de première aimantation. Ceci est le fait d'un retard à la désaimantation. On dit qu'il y a hystérésis. Lorsque H est ramené à 0, il subsiste un champ magnétique Br appelé champ rémanent (du latin remanere, rester). Pour annuler ce champ rémanent, il est nécessaire d'inverser le courant dans le solénoïde, c’est-à-dire d'imposer à H une valeur négative. Le champ magnétique s'annule alors pour une valeur de l'excitation Hc appelée excitation coercitive (Figure 27). yst éré s is D’où l'expression générale reliant le champ d'induction magnétique au champ d'excitation magnétique ainsi qu'à l'aimantation M (Éq. 37). 2.3.5.1. Première aimantation et Cycle d'Hystérésis Hc H d 'h M = χH aim an ta Éq. 36: Relation entre champ d'excitation et aimantation de la matière Figure 26: Schéma représentant l'évolution des domaines de Weiss avec un champ magnétique extérieure croissant. Les domaines de Weiss (du nom du physicien Pierre Weiss), sont les plus petits domaines microscopiques continus d'un matériaux ferromagnétique contenant une aimantation homogène pour laquelle tous les spins sont orientés dans une direction donnée (sens parallèles ou bien antiparallèles) . 1e re le vecteur aimantation (moment magnétique) acquise Cy cle On définit en même temps par la matière tel que (Éq. 36): Figure 27: Courbe de première aimantation et stabilisation d'un cycle d'hystérésis 2.3.5.2. Energie d'un cycle d'Hystérésis CM Electricité II (SP2 09-10) 33/69 L'aimantation de la matière absorbe de l'énergie qui n'est que partiellement restituée au cours de la désaimantation. Cette énergie est dissipée sous forme calorifique, le matériau s'échauffe. On démontre que l'énergie qu'il faut fournir pour décrire un cycle hystérésis est proportionnelle à l'aire du cycle d'hystérésis et au volume v du matériau. W = v. ∫ H .dB ⇔ P = f .v. ∫ H .dB avec f la fréquence de H (ou de I) cycle cycle 2.3.5.3. Applications: aimant permanent, circuit et enregistrement magnétique Dans le cas où la substance ferromagnétique doit décrire un grand nombre de cycles d'hystérésis (machines tournantes, transformateurs) il faut choisir des matériaux tels que l'aire du cycle soit aussi petite que possible. Ces matériaux sont dits magnétiquement doux à l'opposé, c'est grâce à une hystérésis importante que l'on peut réaliser des aimants permanents. On utilise pour leur fabrication des matériaux magnétiquement durs : certains aciers à l'aluminium, au nickel ou au cobalt conviennent parfaitement. On réalise aussi des aimants avec de la poudre de fer agglomérée dans un isolant (Figure 28). CM Electricité II (SP2 09-10) 34/69 comme autant d'aimants. Lorsque le champ qui vient impressionner la bande magnétique est très fort, tous ces petits aimants s'alignent avec lui et cette partie de la bande porte alors une aimantation très forte. Lorsque le courant circulant dans la bobine est moins intense, le champ magnétique auquel il donne naissance sera lui aussi moins intense, et les petits aimants de la bande magnétique s'orienteront seulement partiellement avec lui : l'information résultante portée par la bande sera un champ magnétique d'une intensité moins grande. On arrive ainsi à stocker l'information donnant l'intensité du signal. La bande avance sans cesse à une vitesse constante : les variations temporelles de l'intensité du signal (sa fréquence) sont ainsi transcrites en variation spatiales de l'intensité du signal magnétique sur la bande (Figure 29). H Figure 29: Enregistrement sur "bande magnétique" par polarisation d'aiguille ferromagnétiques 2.4. Circuit magnétique Figure 28: Cycle stabilisé d'un matériau doux (à gauche), eg: SuperMalloy (fer, nickel, molybdène, etc.) Hc =0,16 A.m-1, Br=1,2 T (l'un des plus doux); Fer (+ 3 % de Silicium grains orientés) Hc=8 A.m-1 Br =1,0T. Cycle d'un matériau dur (à droite), eg: les Terres rares (alliages samarium-cobalt ou néodyme-ferbore) ne se désaimantent pas, même lorsqu'on annule le champ magnétique interne l'excitation HcB vaut alors plusieurs centaines de kA.m-1. Pour annuler (en fait inverser) l'aimantation, il est nécessaire de fournir une excitation magnétique que l'on appelle HcM : excitation de désaimantation irréversible. L'enregistrement magnétique est présent partout dans la vie quotidienne : Ticket de bus ou Metro : aviez-vous déjà porté votre attention sur la petite ligne marron au centre du ticket ? Carte magnétique : là encore une ligne marron magnétique...Cassette audio : rien qu'une longue bande magnétique... Cassette vidéo : encore une longue bande magnétique, plus large que celle de la cassette audio car ici on doit en plus du son stocker l'image... Disquette : à l'intérieur un disque souple de même aspect que la bande magnétique des cassettes audio et video...et pour cause : c'est le même matériau... On y lit les informations en mesurant la polarisation de particules magnétiques (oxyde de fer) incluse dans un substrat souple. On y écrit en modifiant cette orientation. La tête d'enregistrement magnétique est en fait un électroaimant : elle est constituée d'un anneau en fer non fermé (l'espace vide entre les deux branches de l'anneau s'appellant l'entrefer) autour duquel est enroulé un fil conducteur en forme de bobine. Le signal électrique à enregistrer circule sous forme d'un courant dans cette bobine. Lorsqu'un courant circule dans cette bobine, cela crée un champ magnétique. Ce champ est canalisé par l'anneau de fer et les lignes de champ ne "s'échappent" de l'anneau qu'au niveau de l'entrefer. Elles viennent alors impressionner la bande magnétique qui circule au dessus de l'anneau. La bande magnétique est constituée de très fines particules magnétiques collées sur un support en plastique, ces très fines particules magnétiques sont Un circuit magnétique est un circuit généralement réalisé en matériau ferromagnétique au travers duquel circule un flux de champ magnétique. Le champ est généralement créé soit par des enroulements enserrant le circuit magnétique et traversés par des courants, soit par des aimants contenus dans le circuit magnétique. Lorsque plusieurs circuits électriques sont bobinés autour d'un même circuit magnétique, ils constituent des circuits magnétiquement couplés. Pour des tronçons de circuit magnétique homogènes, c’est-à-dire constitué d'un seul matériau et de section homogène, et non saturé, (fonction de la perméabilité et de la géométrie) on définit un cœfficient appelé: réluctance reliant la circulation du champ au flux suivant l'Éq. 38. Éq. 38: Théorème d'Ampère et loi d'Opkinson ∑ H .l Ampere = ∑ N .I = Opkinson ∑ R.Φ avec R. = H .l B.l l = = [ H −1 ] Φ μ 0 .μr.B.S μ 0 .μr.S Cette relation révèle une forte analogie entre les circuits électriques et les circuits magnétiques. Il est ainsi possible de réaliser des calculs de circuits magnétiques à l'instar des calculs d'électrocinétique (loi d'Ohm; loi des mailles; loi des nœuds…etc.) (Figure 30, Tableau 1). CM Electricité II (SP2 09-10) 35/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 36/69 l2 H2 R2 Éq. 39: Détermination de l'équation de la droite de "permeance" R2 R1 Ф S2 NI H1 NI Ha.La + H 1 .L1 + H 2 .L2 + He.Le = 0 car en l'absence de bobine magnétisante NI=0 H2 l2=R2Ф H1 l1=R1Ф ⇒ Ha.La + He.Le = 0 avec H 1 .L1 + H 2 .L2 << Ha.La + He.Le car matériaux doux R1 ⇒ Re .Φ = − Ha.La avec la loi d'Opkinson Re .Φ = He.Le Ф ⇒ Re .Ba.Sa = − Ha.La avec Sa la section de l'aimant S1 l1 ⇒ Ba = − Figure 30: Analogie d'Opkinson (parallèle entre les circuits électriques et les circuits magnétiques) La .Ha Re .Sa Le Tableau 1: Analogie circuit électrique / circuit magnétique Circuits électriques Circuits magnétiques Intensité du courant électrique Flux du champ magnétique dans le circuit Résistance Réluctance Conductivité Perméabilité Force électromotrice Force magnétomotrice Loi d'Ohm Loi d'Hopkinson He Le=ReФ fer doux He Re L2 H2 R1 R2 H1 L1 Sa Ф Re R2 H2 L2=R2Ф H1 L1=R1Ф R1 Ф Ha B a fer dur -Ha La La Figure 31: Circuit magnétique équivalent ou 2.4.1. Application: point de fonctionnement d'un aimant (droite de permeance) Un aimant (eg. un matériaux en fer dur ayant été aimanté jusqu'à saturation) est caractérisé par un champ d'induction magnétique Ba et un champ d'excitation démagnétisant Ha. Ces valeurs dépendent de l'environnement du matériau aimanté et sont caractérisées par un point de fonctionnement (B, H) de la courbe de désaimantation du matériau croisant la droite de charge magnétique dite de "permeance" (Éq. 39). Pour calculer cette droite considérons le cas le plus simple, ou l'aimant est associé à un circuit magnétique composé d'une carcasse en fer doux qui canalise les flux vers une zone d'utilisation appelée entrefer. L'association série d'un matériau dur et d'un matériau doux revient à ne considérer que le matériau dur. Le cycle d'hystérésis de l'association est pratiquement identique à celui du matériau dur à condition que le Bsat du matériau doux soit supérieur au Bsat du matériau dur. On peut alors considérer que le circuit magnétique équivalent est celui d'un aimant en série avec la reluctance de l'entrefer (Figure 32 g). Par ailleurs, si l'on souhaite optimiser les propriétés de l'aimant, on montre (suivant le critère d'Evershed) que le volume V du matériau magnétique peut être minimal lorsque le produit B H dans le matériau dur est maximal (Figure 32 d). Dr = oite ch d ar e p ge e rm éa nc ei m Cycle d'hystérésis imposé par le matériau dur = source po sé ep ar l 'en tr e fe r Figure 32 (g): Le point de fonctionnement d'un aimant est obtenu par l'intersection de la courbe de désaimantation du matériaux de fer dur qui le compose et de la droite de permeance dite aussi droite de l'entrefer. (d): Représentation des points d'Evershed (produit BH maximum pour minimiser le volume du matériaux) sur un réseau de courbes de désaimantation de matériaux durs CM Electricité II (SP2 09-10) 37/69 2.4.2. Mutuelle inductance Soient deux circuits électriques fermés, orientés, traversés par des courants I1 et I2. Le premier crée un champ magnétique B1 dont on peut calculer le flux Φ12 à travers le deuxième circuit, De même, le deuxième crée un champ magnétique B2 dont on peut calculer le flux Φ21 à travers le premier circuit, qu’on peut simplement écrire (Éq. 40): Éq. 40: Définition du coefficient d'induction mutuelle M φ12 = M 12 I 1 φ 21 = M 21 I 2 M = M 21 = M 12 [ H ] Où M est le coefficient d’induction mutuelle ou inductance mutuelle exprimé en Henry. Le signe des coefficients dépend de l’orientation respective des circuits et suit la même logique que pour le courant induit. D’après les choix pris ici pour le sens de circulation le long de chaque circuit, les flux sont négatifs pour des courants I1 et I2 positifs. Donc les coefficients sont négatifs. 2.4.3. Inductance Si on considère un circuit isolé, parcouru par un courant I, on s’aperçoit qu’on peut produire le même raisonnement que ci-dessus. En effet, le courant I engendre un champ magnétique dans tout l’espace et il existe donc un flux de ce champ à travers le circuit luimême, qu’on peut simplement écrire (Éq. 41): Éq. 41: Définition du coefficient d'auto-inductance (ou self) φ = L.I CM Electricité II (SP2 09-10) 38/69 entre la cible et la tête du capteur jouant le rôle d’un entrefer détermine la réluctance du circuit magnétique. La grandeur qui varie avec la distance à la cible est alors l'inductance. Un circuit électronique permet de transformer cette inductance en grandeur électrique simple comme une tension électrique, image de la distance. 2.5. Energie magnétostatique 2.5.1. Energie d'un circuit parcouru par un courant I et plongé dans un champ Bext Si l'on évalue le travail de la force de Laplace lors d’un déplacement virtuel d'un circuit parcouru par un courant permanent I et plongé dans un champ magnétostatique Bext (méthode des travaux virtuels, comme en électrostatique), on montre que "le déplacement d’un circuit électrique fermé dans un champ magnétique extérieur engendre un travail des forces magnétiques égal au produit du courant traversant le circuit par le flux coupé par celui-ci lors de son déplacement" (Théorème de Maxwell) (Éq. 43). Éq. 43: Travail des forces magnétiques engendré par le déplacement d'un circuit placé dans ce champ Wmagnétique = I .ΔΦ ext = I .Φc Dés lors, l'énergie potentielle d’interaction magnétique d'un circuit électrique parcouru par un courant permanent I et placé dans un champ magnétique statique se déduit comme étant égale au travail qu'il faut fournir au circuit pour amener de façon quasistatique ce circuit de l'infini à sa position actuelle (Éq. 44). Éq. 44: Energie d'interaction magnétostatique d'un circuit placé dans un champ magnétique extérieur ΔEp = W∞ → M d'après le principe de conservation (Éq. 16) ⇒ ΔEp = −Wmagnétique ∞ → M par opposition des efforts ⇒ ΔEp = − I .ΔΦ ext où L est le coefficient d’auto-induction ou auto-inductance (ou self), exprimé en Henry. Il ne dépend que des propriétés géométriques du circuit et est nécessairement positif (alors que le signe de l’inductance mutuelle dépend de l’orientation d’un circuit par rapport à l’autre). 2.4.4. Relation entre Auto inductance et Mutuelle inductance On définit le coefficient de couplage k entre deux circuits tel que (Éq. 42): Éq. 42: Définition du coefficient de couplage entre deux circuits k= M L1 L2 ≤1 2.4.5. Application: Capteur de proximité inductif à réluctance variable L=N2/R Il s’agit dans la plupart des cas d'une seule et même bobine dont le circuit magnétique inclut l’objet en déplacement. Celui-ci doit donc être de nature ferromagnétique. L’intervalle ⇒ Ep M − Ep ∞ = − I .(Φ ext M − Φ ext ∞ ) ⇒ Ep M = − I .Φ ext M + Ep∞ avec Φ ext ∞ définit comme nul à l'infini Ep = − I .Φ ext avec Ep ∞ choisie arbitrairement nulle à l’infini Un circuit parcouru par un courant permanent placé dans un champ magnétique ambiant possède donc une énergie potentielle d’interaction magnétique proportionnelle au produit du flux par le courant. 2.5.2. Relation entre force magnétique et énergie magnétostatique d'un circuit Éq. 45: Relation entre force magnétique et énergie magnétostatique (loi des forces conservatives) F = − grad ( Ep) = I .grad (Φ ext ) La force totale (s’exerçant donc sur le centre d’inertie du circuit) a tendance à pousser le circuit vers les régions où le flux sera maximal. Cette expression est valable uniquement CM Electricité II CM Electricité II (SP2 09-10) 39/69 pour des courants permanents. Noter qu’elle s’applique néanmoins pour des circuits déformés et donc pour lesquels il y aura aussi une modification du flux sans réel déplacement du circuit. Quelle est la source du champ d’induction magnétique ? Quelle est l’expression du vecteur champ d’induction magnétique produit par une charge q en mouvement (v<<c)? Quelle est l’expression du vecteur champ d’induction magnétique produit par un courant électrique I (Formule de Biot et Savart)? Quelle est l’expression du champ d’induction dans un solénoïde infini où circule un courant I ? Quelle est l’expression intégrale du théorème d’Ampère ? Quelle est l’expression du flux d’induction magnétique ? Quelle est la loi de conservation du flux d’induction magnétique ? Comment se répartissent les lignes de champ dans un solénoïde ? Quelle est l’expression de la force magnétique que subit une particule chargée q se déplaçant à la vitesse v et plongée dans un champ d’induction B (Loi de Lorenz partielle)? Quel est le principe d’une sonde à effet Hall ? Quelle est l’expression de la force magnétique que subit un circuit parcourue par un courant I se déplaçant à la vitesse v et plongée dans un champ d’induction B (Laplace) ? Quel est le principe d’une balance de Cotton ? Quel est le principe d’un Galvanomètre ? Qu’est ce qu’un moment magnétique ? Quelle est la relation entre le couple et le moment magnétique ? Quelles sont les 2 origines microscopiques du magnétisme de la matière ? Quelles sont les propriétés des matériaux : ferromagnétiques, diamagnétiques et paramagnétiques ? Quelle est la relation entre le champ d’induction et le champ d’excitation magnétique ? Quelle est la relation entre l’aimantation de la matière et le champ d’excitation ? Quelle est la relation entre : le champ d’induction, l’aimantation et le champ d’excitation ? Comment explique t’on l’hystérésis qui lie le champ d’induction au champ d’excitation ? Comment définit-on le champ rémanent et le champ coercitif ? Quelle énergie faut il fournir pour décrire un cycle d’hystérésis ? Quelles sont les applications respectives potentielles des fers doux et de fers durs ? 2.5.3. Règle du flux maximum Un solide est dans une position d’équilibre stable si les forces et les moments auxquels il est soumis tendent à le ramener vers cette position s’il en est écarté. D’après le théorème de Maxwell on a: dWmagnétique = I .dΦ ext = I .(Φ ext f − Φ ext i ) = F .dr Si la position est stable, cela signifie que l’opérateur doit fournir un travail, autrement dit un déplacement dr dans le sens contraire de la force qui sera une force de rappel, donc dW<0 ou Φf<Φi. Un circuit tend toujours à se placer dans des conditions d’équilibre stable (diminution de son énergie potentielle), où le flux du champ est maximum. Cette règle est très utile pour se forger une intuition des actions magnétiques. 2.5.4. Calcul de la force de contact exercée par un aimant Si l'on connaît l'intensité du champ magnétique B produit par l'aimant à sa surface, on peut calculer une bonne approximation de la force nécessaire pour le décoller d'une surface en fer. On imagine que la force Fa décolle l'aimant d'une distance e de la surface de fer. La distance e est très petite de sorte que l'on puisse accepter que dans tout le volume situé entre l'aimant et le fer le champ magnétique est égal à B. Le travail fait par la force F est: W = F .e Ce travail s'est transformé en énergie du champ magnétique (cf prochain chapitre) dans le volume créé entre l'aimant et le fer. La densité d'énergie par unité de volume due au champ magnétique est : 1 B2 [J.m-3] avec μ la perméabilité de l'air proche du vide μ0. w= 2 μ Le volume de l'espace créé entre l'aimant et le fer est égal à S.e où S est la surface de l'aimant qui était collée au fer. Le travail fait s'est transformé en énergie : W = S .e.w = 1 S .e.B 2 2 μ On déduit la valeur de la force de contact : F= 1 S .B 2 2 μ Pour un aimant de 2,54 cm (1 pouce) de diamètre et produisant un champ égal à 1 Tesla dans le circuit magnétique formé avec la pièce métallique au contact de laquelle il se trouve, la force obtenue est de 205 newtons, c'est-à-dire environ égale au poids de 21 kilogrammes. 2.6. Quiz de magnétostatique (SP2 09-10) 40/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 41/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 42/69 Quelle est la loi d’Opkinson ? Chapitre 3. Force, induction et onde électromagnétique (2h) Quelle analogie peut on faire d’un circuit magnétique (composé de deux matériaux) sur le quel viennent s’enlacer N spires parcourues par un courant I (Opkinson) ? Comment calcul ton la point de fonctionnement d’un matériau aimanté inséré dans un circuit magnétique à entrefer (droite de perméance)? Quelle est la relation entre le flux créé par un circuit, le courant qui le parcourt et son inductance caractéristique ? Jusqu’à maintenant, nous nous sommes intéressés essentiellement à la création d’un champ magnétique à partir d’un courant permanent. A présent posons nous la question inverse: puisque ces deux phénomènes sont liés, comment produire un courant à partir d’un champ magnétique ? Guidé par cette question, le physicien anglais Faraday, fit un certain nombre d’expériences qui échouèrent car il essayait de produire un courant permanent. En fait, il s’aperçut bien de certains effets troublants, mais ils étaient toujours transitoires… Quelle est la relation entre le flux (embrassé par un premier circuit) créé par la circulation d’un courant I dans un deuxième circuit, et la mutuelle inductance ? Quelle est l’expression de l’énergie potentielle d’un circuit électrique parcouru par un courant I et placé dans un champ magnétique extérieur ? Quelle est la règle du flux maximum ? Expérience 1: on enroule sur un même cylindre deux fils électriques. L’un est relié à une pile et possède un interrupteur, l’autre est seulement relié à un galvanomètre, permettant ainsi de mesurer tout courant qui serait engendré dans ce second circuit. En effet, Faraday savait que lorsqu’un courant permanent circule dans le premier circuit, un champ magnétique serait engendré et il s’attendait donc à voir apparaître un courant dans le deuxième circuit. En fait rien de tel n’était observé : lorsque l’interrupteur était fermé ou ouvert, rien ne se passait. Par contre, lors de son ouverture ou de sa fermeture, une déviation fugace de l’aiguille du galvanomètre pouvait être observée (cela n’a pas été perçu immédiatement). Une telle déviation pouvait également s’observer lorsque, un courant circulant dans le premier circuit, on déplaçait le deuxième circuit. Expérience 2: prenons un aimant permanent et plaçons le à proximité d’une boucle constituée d’un fil conducteur relié à un galvanomètre. Lorsque l’aimant est immobile, il n’y a pas de courant mesurable dans le fil. Par contre, lorsqu’on déplace l’aimant, on voit apparaître un courant dont le signe varie selon qu’on approche ou qu’on éloigne l’aimant. De plus, ce courant est d’autant plus important que le déplacement est rapide. Ces deux types d’expériences ont amené Faraday à écrire ceci : "Quand le flux du champ magnétique à travers un circuit fermé change, il apparaît un courant électrique". Dans les deux expériences, si on change la résistance R du circuit, alors le courant I apparaissant est également modifié, de telle sorte que e=RI reste constant. Tous les faits expérimentaux mis en évidence par Faraday peuvent alors se résumer ainsi : la variation temporelle du flux magnétique à travers un circuit fermé y engendre une fém induite (Loi de Faraday) L’induction électromagnétique est donc un phénomène qui dépend intrinsèquement du temps et, au sens strict, sort du cadre de la magnétostatique (étude des phénomènes magnétiques stationnaires). L’induction est l’équivalent magnétique de l’influence électrostatique… 3.1. Force électromagnétique (loi de Lorentz) La force totale, électrique et magnétique (on dit électromagnétique) subie par une particule de charge q et de vitesse v mesurée dans un référentiel galiléen est la force de Lorentz (Éq. 46). L'interaction électromagnétique est une des quatre interactions fondamentales. Elle explique le comportement des objets de l'échelle atomique (comportement des électrons, des atomes et des molécules). Éq. 46: Force électromagnétique (loi de Lorentz) F ext →q = q ( E + v ∧ B) ⇔ F ext →q = Fe + Fm ⎧⎪ F = q.E e composante électrique avec ⎨ e ⎪⎩ Fm = q.v ∧ B = q.E m composante magnétique CM Electricité II (SP2 09-10) 43/69 La circulation d’un champ électrique E = E e + E m peut être non nulle à cause du terme électromoteur (d’où son nom d’ailleurs) : celui-ci peut donc créer une différence de potentiel qui va engendrer un courant, ce qui n’est pas possible avec un champ purement électrostatique dans un milieu conducteur. CM Electricité II (SP2 09-10) 44/69 Le premier terme décrit la circulation non nulle d’un champ électromoteur, associé à la variation temporelle du champ magnétique, tandis que le deuxième terme décrit la présence d’un flux coupé dû au déplacement du circuit et/ou à sa déformation. e(t)= -Ldi/dt 3.2. Induction électromagnétique (influence électromagnétique sur un conducteur) i(t) 3.2.1. Force électromotrice induite Posons-nous la question de Faraday. Comment crée-t-on un courant électrique? Un courant est un déplacement de charges. Ces charges sont mises en mouvement grâce à une différence de potentiel (ddp) qui est maintenue par une force électromotrice ou fém (elle s’exprime donc en Volts). B B B A A A W A→ B = ∫ F .dl = ∫ − grad ( Ep).dl = ∫ − 1 . F .dl q ∫A i(t) i(t) R q A F u(t) e(t)= -dФc/dt e(t)=-Ldi/dt ∂qV .dl = − qVB + qV A = q.e AB ∂l e AB B ⇒ e AB = R u(t) R u(t) B Or, la force de Coulomb est incapable de produire une fém sur un circuit fermé, puisque la circulation du champ électrostatique (donc le travail) est nulle … Figure 34: Création d'une fém composée d'une auto-induction e(t)= -dФc/dt -Ldi/dt 3.2.2. Loi de Faraday i(t) Pour créer un courant dans un circuit fermé, il faut un champ électromoteur dont la circulation le long du circuit ne soit pas nulle. L’expérience de Faraday montre que c’est l’existence d’un champ magnétique qui permet l’apparition d’un courant. Cela signifie que la force de Lorentz est ici responsable de la fém (Éq. 47). R e(t)= -dФc/dt e(t)=-Ldi/dt Éq. 47: Force électromotrice ⇒e= ∫ ( E + v ∧ B).dl e=-Ldi/dt circuit dΦ c dΦ c ∂B ⇒ e = − ∫∫ .dS − = ∫ E m .dl − ∂ t dt dt circuit circuit ⇒e=− dΦ dt r B i(t) i dt R e=-dФc/dt Figure 33: Exemple du rail de Laplace u(t) R u(t) Figure 35: Création d'une fém composée d'une variation du flux extérieur et d'une auto-induction 3.2.3. Loi de Lenz Éq. 48: Expressions développées de la fém dΦ propre i(t) v Le flux peut se décomposer en deux contributions: le flux propre créé par le circuit et le flux créé par une source extérieure. On peut ainsi décomposer l'expression de la fém en deux termes (Éq. 48, Figure 33, Figure 34, Figure 35). e=− u(t) − dΦ exterieur dL.i (t ) dL.i (t ) dΦ c =− − =− − ∫ (v ∧ B).dl dt dt dt dt circuit "L’induction produit des effets qui s’opposent aux causes qui lui ont donné naissance". Cette loi est, comme la règle du flux maximum, déjà contenue dans les équations et donc n’apporte rien de plus, hormis une intuition des phénomènes physiques. En l’occurrence, la loi de Lenz n’est que l’expression du signe "-" contenu dans la loi de Faraday, eg. si on approche un circuit du pôle nord d’un aimant, le flux augmente et donc la fém induite est négative. Le courant induit sera alors négatif et produira lui-même un champ magnétique induit opposé à celui de l’aimant. L’augmentation du flux à travers le circuit est alors amoindrie et il apparaît une force de Laplace négative, s’opposant à l’approche de l’aimant. CM Electricité II (SP2 09-10) 45/69 La détermination du sens du courant induit se fait de la façon suivante : 1. On se choisit arbitrairement un sens de circulation le long du circuit. 2. Ce sens définit, grâce à la règle de la main droite, une normale au circuit. 3. Le signe du flux est alors déterminé en faisant le produit scalaire du champ magnétique par cette normale. 4. En utilisant ensuite la loi de Faraday, on obtient la valeur et le signe de la fém. 5. Enfin, le courant est obtenu à partir de la loi d’Ohm (son signe peut aussi être directement connu en utilisant la loi de Lenz). 3.2.4. Induction de courant dans une masse conductrice (courant de Foucault) On appelle courants de Foucault les courants électriques créés dans une masse conductrice, soit par la variation au cours du temps d'un champ magnétique extérieur traversant ce milieu (le flux du champ à travers le milieu), soit par un déplacement de cette masse dans un champ magnétique constant. Ils sont une conséquence de l'induction magnétique. En effet, le champ magnétique variable au cours du temps est responsable de l'apparition d'une force électromotrice à l'intérieur du milieu conducteur. Cette force électromotrice induit des courants dans la masse. Ces courants ont deux effets : ils provoquent un échauffement par effet Joule de la masse conductrice ; ils créent un champ magnétique qui s'oppose à la cause de la variation du champ extérieur (loi de Lenz). Ce phénomène a été découvert par le physicien français Léon Foucault en 1851. 3.2.4.1. Applications: le système de freinage des poids lourds (Telma®) Lorsque la variation de flux est due à un déplacement du milieu devant un champ magnétique constant, les courants de Foucault sont responsables de l'apparition de forces de Laplace qui s'opposent au déplacement, d'où l'effet de freinage observé. Des systèmes de freinage à courants de Foucault sont utilisés notamment sur les véhicules poids lourds et sur les autocars sous le nom de « ralentisseur », ou sous le nom commercial Telma, marque d'un important fabricant de ce système de freinage, ainsi que sur certains freins ferroviaires, notamment les ICE (train à grande vitesse allemand) 3.2.4.2. Applications: le chauffage à induction Les courants de Foucault sont responsables de pertes localisées dans les masses conductrices telles que les circuits magnétiques des machines électriques alternatives et des transformateurs… dans de tels cas on cherche alors à minimiser ces pertes. Dans d'autre cas on les maximise afin de chauffer de la matières: on parle alors de plaques de cuisson à induction et dans le secteur de la métallurgie on utilise des fours à induction qui chauffent la masse métallique contenus dans la roche jusqu'à faire fondre les minerais de fer. CM Electricité II (SP2 09-10) 46/69 3.3. Energie magnétique 3.3.1. Energie d'un circuit parcouru par un courant i Si l'on souhaite évaluer le travail électrique fourni à un circuit d'inductance L parcouru par un courant i créant un champ magnétique propre B, on montre en passant par le calcul de puissance électrique (Éq. 43) que le travail peut être exprimé suivant l'Éq. 50 Éq. 49: Puissance fournie à un circuit parcouru par un courant i créant son propre champ magnétique B Pmagnétique = −e.i = L d .i L d .i 2 .i = dt 2 dt [W] Éq. 50: Travail fourni à un circuit parcouru par un courant i créant son propre champ magnétique B t t 0 0 Wmagnétique = ∫ P.dt = L ∫ t d .i i2 1 .i.dt = L ∫ i.di = L[ ]t0 = .L.[i 2 (t ) − i 2 (0)] dt 2 2 0 [J ] Dés lors, l'énergie potentielle d'un circuit électrique parcouru par un courant i se déduit comme étant égale au travail qu'il faut fournir au circuit pour que celui-ci crée un champ B (on néglige pour l'heure toute dissipation) (Éq. 51). Éq. 51: Energie magnétique d'un circuit parcouru par un courant i créant son propre champ magnétique B ΔEp = Wmagnétique 0 →t d'après le principe de conservation (Éq. 16) 1 ⇒ Ep(t ) − Ep(0) = .L.[i 2 (t ) − i 2 (0)] 2 1 ⇒ Ep (t ) = .L.i 2 (t ) + Ep(0) défini comme nul à l'instant t=0 2 1 Ep (t ) = .L.i (t ) 2 avec Ep(0) choisi arbitrairement nulle quant i est nul 2 Un circuit parcouru par un courant i créant son propre champ magnétique possède donc une énergie potentielle magnétique proportionnelle au produit de son inductance L par le carré du courant i. On montre de manière plus générale (eg. en calculant l'énergie potentielle magnétique dans une partie d'un solénoïde infiniment long dont on connaît l'expression du champ) que l'énergie potentielle magnétique est localisée en tous points où règne un champ magnétique, ce qui peut s'exprimer par l'Éq. 52: Éq. 52: Expressions générales de l'énergie magnétique d'un milieu ou règne un champ B dans un volume v Ep = v.∫ B (t ) 0 Figure 36: Chauffage par induction d'une bouteille en métal : la variation d'un champ magnétique induit des courants (dit de Foucault) dans le corps de l'objet, qui échauffent celui-ci par effet Joule 1 H .dB = v. .H .B 2 CM Electricité II (SP2 09-10) 47/69 1 B2 ⇒ Ep = v. . avec H et B colinéaires et sans hystérésis 2 μ 3.3.2. Energie d'un circuit parcouru par un courant i créant son propre champ magnétique B et placé dans un champ extérieur Bext Si l'on place un circuit électrique parcouru par un courant i créant son propre champ B et placé dans un champ Bext, l'énergie potentielle magnétique totale peut alors s'écrire comme la somme de l'énergie d'interaction magnétique (Éq. 44) et l'énergie magnétique (Éq. 51) suivant l'Éq. 53. Éq. 53: Energie potentielle magnétique totale d'un circuit parcouru par un courant i créant son propre champ magnétique B et placé dans un champ extérieur Bext 1 Ep (t ) = .L.i (t ) 2 − I .Φ ext 2 CM Electricité II ⇒ v.∫ B (t 2) B ( t1) (SP2 09-10) 48/69 H .dB = Wmagnétique cycle d 'hystérésis Wmagnétique cycle d 'hystérésis = v. ∫ H .dB avec H et B colinéaires cycle ⇔ P = f .v. ∫ H .dB avec f la fréquence de H (ou de I) cycle 3.3.4.2. Energie dissipée par induction de courant dans le circuit magnétique (Foucault) Nous avons vu déjà vu que les variations du champ magnétique génèrent par induction des courants. Une partie de ces courants induits sont généré dans la matière magnétique et se rebouclent sur eux-mêmes. Il y a donc échauffement par effet joule du circuit magnétique. On montre cette fois-ci que ces pertes sont proportionnelles au carré de la fréquence (Éq. 56): Éq. 56: Pertes par courant de Foucault 3.3.3. Energie de deux circuits couplés et parcourus par des courants i1 et i2 P = k . f 2 .B 2 Dans un tel cas, chacun des deux circuits est parcouru par un courant i et engendre un champ propre B et les deux circuits induisent mutuellement un champ extérieur Bext. On comprend ainsi que l'énergie d'un tel système se déduit de l'Éq. 53, ce qui conduit à l'expression suivante (Éq. 54): Lorsque l'on souhaite limiter ces pertes (eg. dans un transformateur), on cherche à réduire le parcours des courants induits, c’est pour cette raison que l’on utilise des circuits magnétiques feuilletés isolés. Éq. 54: Energie de deux circuits couplés et parcourus par des courants i1 et i2 3.4. L'électromagnétisme (bonus) 1 1 Ep (t ) = .L1 .i1 (t ) 2 + .L2 .i2 (t ) 2 − i1 .Φ 2→1 2 2 1 1 ⇒ Ep(t ) = .L1 .i1 (t ) 2 + .L2 .i2 (t ) 2 + i1 .i2 .M 21 avec M<0 2 2 3.3.4. Energies dissipées dans les milieux magnétiques 3.3.4.1. Energie dissipée par Hystérésis Grâce à l'expression Éq. 52 il nous est à présent permis d'exprimer l'énergie en tout point ou règne un champ magnétique. Or lorsque la relation entre H et B n'est plus linéaire mais tend à décrire un cycle d'hystérésis, il apparaît donc que l'énergie déployée pour décrire un cycle est non nulle. On comprend à pressent pourquoi l'on a pu écrire §2.3.5.2 que "l'aimantation de la matière absorbe de l'énergie qui n'est que partiellement restituée au cours de la désaimantation. […] L'énergie qu'il faut ainsi fournir pour décrire un cycle hystérésis est proportionnelle à l'aire du cycle d'hystérésis et au volume v du matériau.": c'est le travail d'aimantation. Éq. 55: Expression des pertes par hystérésis 3.4.1. Equations de Maxwell L'électromagnétisme est né de l'unification par James Maxwell de théories antérieures comme l'électrostatique, l'électrocinétique ou la magnétostatique. Cette théorie unifiée explique entre autre le comportement des charges et courants électriques, des aimants, ou des ondes électromagnétiques telle que la lumière ou les ondes radio. Les équations de Maxwell déterminent le champ électromagnétique à partir de ses sources, les charges électriques et les courants associés. Elles peuvent s'exprimer en fonction de B et E tant qu'il y a linéarité entre B et H et E et D (le déplacement électrique). Ces équations sont au nombre de quatre (Éq. 57, Éq. 58, Éq. 59, Éq. 60) Éq. 57: Equation de Maxwell-Faraday Rot E = − ∂B ∂t Éq. 59: Equation de Maxwell-Gauss Div E = ρ ε Éq. 58: Equation de Maxwell-Ampère Rot B = μ ( j + ε ∂E ) ∂t Éq. 60: Equation de Maxwell-Flux Div B = 0 ΔEp = Wmagnétique ⇒ Ep(t 2 ) − Ep(t1 ) = Wmagnétique cycle d 'hystérésis avec le cycle décrit de l'instant t2 à t1 Les expressions jusqu'à présent utilisées sont des versions développées, qui peuvent se déduire des ces quatre équations, dont on rappel par leur nom de quel théorème elles sont issues. CM Electricité II (SP2 09-10) 49/69 3.4.2. Ondes électromagnétiques A partir des équations de Maxwell, on peut déduire qu'un conducteur, dans lequel des charges oscillent, est entouré par des champs magnétiques et électriques oscillants. Le champ électrique oscillant génère un champ magnétique et réciproquement. C'est en vertu de ce principe que les ondes sont susceptibles de quitter la matière et de se propager dans le vide. CM Electricité II (SP2 09-10) 50/69 Parmi toutes les gammes des ondes électromagnétiques, les ondes radio sont avec les ondes du spectre visible, les seules à ne pas être arrêtées par l'atmosphère (Figure 39). Les variations des champs électrique et magnétique sont liées par les équations de Maxwell, on peut donc représenter l'onde par un seul de ces champs, en général le champ électrique. On peut alors écrire l'équation générale d'une onde plane monochromatique se propageant à la vitesse dite de la lumière c (c=2.998.108m/s dans le vide). E (r , t ) = cos(ωt − k .r + ϕ ).E 0 Avec r le vecteur position du point considéré; k le vecteur d'onde dont la norme vaut 2π/λ=ω/c, λ la longueur d'onde; et ϕ la phase à l'origine. E Figure 39: Le graphique ci-dessus montre l'altitude à laquelle l'intensité des radiations dans les différentes longueurs d'ondes est diminuée de moitié. Une très faible partie de ces longueurs d'ondes arrive jusqu'au sol. Par contre les ondes du spectre visible et la plus grande partie des ondes radio ne sont pas arrêtées par les gaz de l'atmosphère et parviennent en quasi totalité jusqu'au sol. 3.4.2.2. Réception d'ondes électromagnétiques k B Figure 37: Représentation d'une onde électromagnétique : oscillation couplée du champ électrique et du champ magnétique, modèle du dipôle vibrant 3.4.2.1. Emission d'ondes électromagnétiques Nous n'avons conscience de l'existence de ces ondes que si nous disposons d'un récepteur pour les capturer. Notre oeil, avec les millions de cônes et de bâtonnets qui composent notre rétine, est un excellent capteur pour les longueurs d'ondes comprises entre 400 et 700 nanomètres. C'est ce qui nous permet d'avoir une représentation en images en couleur de notre environnement. Il existe aussi des capteurs électroniques qui sont sensibles aux mêmes radiations ce qui permet à un appareil photo numérique de fabriquer une image ressemblant fort à ce que voit notre oeil. Pour capteur une onde il suffit de capteur un champ électrique ou magnétique, généralement on capte la composante électrique avec un fil conducteur (Figure 40). Nous baignons en permanence dans un flot d'ondes électromagnétiques. Elles nous sont envoyées par le soleil et les autres corps célestes mais aussi par des émetteurs terrestres de plus en plus présents dans notre environnement. La façon le plus élémentaire de créer une onde est de créer un champ électrique variable par exemple à l'aide d'un générateur de tension et deux files non bouclés ou un fil, l'autre étant incarné par la terre. Parmi les fréquences électromagnétiques, la gamme des ondes radio est très utilisée et l'attribution des fréquences est étroitement surveillée et réglementée (Figure 38). k e k e Figure 40: Captation d'onde électromagnétiques visibles et proches Figure 38 (g): Gamme de fréquence occupées par les ondes radio. (d): Modèles d'antennes CM Electricité II (SP2 09-10) 51/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 52/69 3.5. Quiz d’électromagnétisme (force, induction et ondes) Chapitre 4. Electrotechnique: transformateur, machine tournante et réseau triphasé(2h) Quelle est l’expression vectorielle de la force que subit une particule chargée, animée d’un vitesse v et soumise à une induction magnétique B (Loi de Lorenz)? Quelle est la loi qui traduit l’apparition d’une f.é.m. dans un circuit traversé par un flux d’induction magnétique (loi de Faraday)? Quelle ce qui distingue un flux propre, d’un flux extérieur pour un circuit donné ? Étymologiquement l'électrotechnique désigne l'étude des applications techniques de l'électricité. En réalité, l'électrotechnique regroupe les disciplines traitant l'électricité en tant qu'énergie. On peut citer la production (machines tournantes), le transport (réseau triphasé), la distribution, le traitement, la transformation (transformateurs), la gestion et l'utilisation de l'énergie électrique (machines tournantes). Parfois appelée Génie électrique, on peut situer sa naissance avec l'invention de la dynamo en 1869… Qu’elle est le schéma électrique équivalent d’un solénoïde (de résistance R et d’inductance L) alimenté par un générateur parfait ? 4.1. Réseau triphasé Le réseau triphasé est un système composé de trois fils (phases), portés à des tensions sinusoïdales de même fréquence mais déphasées entre elles de 120 ° (2π/3 radians). Qu’elle est le schéma électrique équivalent d’un solénoïde (de résistance R et d’inductance L) en court circuit et traversé par un flux extérieur ? Que signifie la loi de Lenz ? Qu’est ce qu’un courant de Foucault ? Lorsque les trois conducteurs sont parcourus par des courants de même valeur efficace et portés a des potentiels de même amplitude, alors le système est dit équilibré. Quelles sont les 2 principales application des courants Foucault ? 4.1.1. Couplage étoile "Y" Quelle est l’énergie potentielle d’un circuit d’inductance L et parcourue par un courant I ? De quelles grandeurs dépendent distinctement les pertes fers (induites par courant de Foucault et par hystérésis) ? Quelles sont les 4 équations de Maxwell d’où découles toutes les relations précédentes ? L'agencement de trois récepteurs ou de trois générateurs avec un point commun (le neutre) s'appelle le couplage étoile. Dans le fil neutre le courant IN=I1+I2+I3=0 (ce fil n'est donc pas nécessairement connecté). L'amplitude d'une tension composée U (U12, U23, U31) est géométriquement liée au module des tensions simples V (V1, V2, V3) par la relation U=√3.V Le courant dans les phases I (I1, I2, I3) est le même que celui qui circule dans les branches de l'étoile (Figure 41). Comment les ondes EM se propagent elles dans le vide ? Quel est le principe d’une antenne ? Quels sont les deux types d’ondes qui ne soient pas absorbées par l’atmosphère ? v1(t)=V√2.sin(ωt) ; v2(t)=V√2.sin(ωt-2π/3); v3(t)=V√2.sin(ωt+2π/3) V3 I1 phase1 phase2 U31 U12 U23 phase3 neutre J1N I3 V1 J2N I2 I3 IN U31= V3-V1 π/6 V2 V3 U23 I2 I1 φ V1 U12 J3N V2 Figure 41 (g): Couplage étoile. (d): Diagramme de Fresnel (cas d’un récepteur inductif φ>0) 4.1.2. Couplage triangle "Δ" Le branchement de chacun des trois récepteurs ou trois générateurs entre deux phases distinctes s'appelle le couplage triangle. Le neutre n'est pas relié mais on peut s'y référer pour mesurer une tension simple V. L'amplitude des courants de phase I (I1, I2, I3) est géométriquement liée à celle des courants de branches J (J12, J23, J31) par la relation IΔ=√3.JΔ (Figure 42). CM Electricité II (SP2 09-10) 53/69 I1 U12 I3 J31 V1 Tableau 2: Expressions des puissances en triphasé J12 I2 (SP2 09-10) 54/69 Un système triphasé équilibré est équivalent à la juxtaposition de trois systèmes monophasés identiques. Ainsi pour le triphasé la puissance totale correspond à trois fois la puissance d'un dipôle (récepteur ou générateur) (Tableau 2). U31 phase1 CM Electricité II 2π/3 Puissance active P[W] Puissance réactive Q[VAR] Puissance apparente S[VA] P = 3.V .I . cos(ϕ ) Q = 3.V .I . sin(ϕ ) S = 3.V .I ⇔ P = 3.U .I . cos(ϕ ) ⇔ Q = 3.U .I . sin(ϕ ) ⇔ S = 3.U .I Figure 42 (g): Couplage triangle. (d): Diagramme de Fresnel (cas d’un récepteur inductif φ>0) Force utile Force électromagnétique Maximum des Forces S=P+j.Q 4.1.3. Cas des récepteurs déséquilibrés (eg: Une résistance chauffe P=R.I2). (eg: Une inductance accumule Q=Lω.I2, un condensateur génère Q=-I2/Cω) (eg: Un transformateur est caractérisé par la puissance apparente) phase2 U31 U23 phase3 V2 I3 J23 I2 J31 J23 J12 V3 neutre U12 φ I1=J12- J31 U23 Dans le cas d'un récepteur déséquilibré relié au neutre, les courants de lignes sont différents et par conséquent un courant vient à circuler dans le neutre. Mais grâce au fil de neutre, le fonctionnement pour chacune des branches reste normal, ie. il n'y a pas de surtension ou de sous-tension aux bornes de chaque branches car le point commun est maintenu à 0V par le neutre. C'est ce qui se passe pour les installations domestiques ou chaque abonné (statistiquement dispatché sur les 3 branches du secteur) ne demande pas la même puissance, donc pas la même intensité. Mais grâce au fil neutre la tension de chaque installation reste à peu prés égale à 230V efficace. En réalité si cela diffère de cette valeur, c'est à cause d'une chute de tension (due à la ligne et au transformateur de votre quartier) proportionnelle aux différents courants appelés par chaque branche (Figure 43 (g). V3 V3 I3 IN VN'N V1 U23 I2 U12 V2 V1 U23 I1 U12 V2 Figure 43 (g): Charge déséquilibrée avec neutre relié. (d): Charge déséquilibrée sans neutre Dans le cas d'un récepteur déséquilibré sans neutre, les tensions composées ne sont pratiquement pas modifiées. Comme il n'y a pas de neutre, la somme vectorielle des trois intensités différentes est forcément nulle. Il y a donc déplacement du point neutre N'. Ainsi les trois tensions simples n'ont plus la même valeur et ne sont plus également déphasées. Il peut aussi exister entre phase et point commun N' une tension V>U/√3 (Figure 43 (d). 4.1.4. Puissances en triphasé D'après le principe de conservation d'énergie on montre que pour une installation comprenant plusieurs récepteurs, la puissance active totale est la somme algébrique des puissances active consommées par chaque récepteur élémentaire, la puissance réactive totale est la somme algébrique des puissances réactives consommées par chaque récepteur élémentaire (Éq. 61). Éq. 61: Conservation des puissances (méthode de Boucherot) 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ S total = Q 2 total + P 2 total = ⎜ ∑ Pi ⎟ + ⎜ ∑ Qi ⎟ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ 2 Ainsi, cette loi permet de connaître très rapidement le courant consommé par l'ensemble d'une installation et le facteur de puissance global. Pour cela il suffit de faire un bilan des puissances active et réactive consommées par chaque appareil et de faire la somme algébrique. Ensuite on trouve S=√(P2+Q2), puis I =S/(√3.U) et Fp = P/S = cos(φ). 4.1.5. Mesure de puissance en triphasé En triphasé, nous disposons pour câbler le wattmètre de trois intensités, trois tensions simples et trois tensions composées, cela rend le problème plus difficile mais offre davantage de possibilité de mesures. A l'aide de simples wattmètres analogiques monophasés il est possible de réaliser indirectement des mesures de puissance actives et réactives en triphasé (Tableau 3). La mesure directe de puissance en triphasé est possible à l'aide d'un wattmètre analogique triphasé qui n'est autre qu'un wattmètre monophasé connecté à un neutre fictif construit à l'aide d'un récepteur étoile équilibré. Un tel système ne permet que des mesures de puissance sur réseau équilibré. Enfin il existe de multiples déclinaisons de wattmètres numériques, permettant généralement tous les types de mesures (P,Q, S et Facteur de puissance: Fp) sur tous types de réseaux (équilibrés, non équilibrés, avec et sans neutre). CM Electricité II (SP2 09-10) 55/69 Tableau 3: Branchements de wattmètre permettant la mesures de puissances 3ph avec W=V.I.cos(V^I) ph1 W1 ph1 W1 ph1 W1 ph1 ph2 W2 ph2 W2 ph2 W2 ph2 ph3 W3 ph3 W3 ph3 W1 ph3 N CM Electricité II (SP2 09-10) 56/69 avec I N = I 1 + I 2 + I 3 = 0 Conclusion en triphasé équilibré il faut deux fois moins de cuivre pour construire la ligne. Dans la pratique en distribution les charges ne sont pas tout à fait équilibrées et la connexion de neutre N, N' doit être conservée. Mais on utilise un fil de même section que pour les phases. L'économie sur la quantité de cuivre est alors de 33%. Il en résulte une réduction des contraintes sur les pylônes. Éq. 63: Démo. annulation de la puissance fluctuante par un système diphasé En monophasé le calcul de puissance instantanées p(t) conduit à écrire que: p(t ) = v(t ).i (t ) P=W1+W2+W3 Système équilibré P=W1+W2 ⇒ p(t ) = V 2 . sin(ωt ).I 2 . sin(ωt + ϕ ) Q=(W1+W2+W3)/√3 Q=√3.(W1-W2) Q=√3.(W1) Système équilibré Système équilibré Système équilibré Système déséquilibré Système déséquilibré ⇒ p(t ) = V .I . cos(ϕ ) − V .I . cos(2ωt + ϕ ) En biphasé n=2 le calcul de puissance instantanées p(t) conduit à écrire que: p (t ) = v1(t ).i1(t ) + v 2(t ).i 2(t ) Avec neutre (ou artif) ⇒ p(t ) = V 2 . sin(ωt ).I 2 . sin(ωt + ϕ ) + V 2 . cos(ωt ).I 2 . cos(ωt + ϕ ) ⇒ p(t ) = V .I . cos(ϕ ) − V .I . cos(2ωt + ϕ ) + V .I . cos(ϕ ) + V .I . cos(2ωt + ϕ ) Avec neutre (si équ.) Sans neutre Sans neutre Sans neutre ⇒ p(t ) = 2.V .I . cos(ϕ ) 4.2. Transformateur (machine statique) 4.1.6. Intérêt du triphasé L'énergie électrique sous forme de système triphasé s'avère la plus avantageuse sur le plan de la production, du transport et de la consommation. Par exemple, à puissance transportée égale, on montre que les pertes en ligne sont moindres par une distribution trois fils, que par trois distributions monophasées indépendantes (Éq. 62). La puissance massique des machines triphasées est supérieure à celle des machines monophasées. Enfin les puissances fluctuantes disparaissent avec les systèmes polyphasés (n=2, 3 etc…) (Éq. 63). Le choix qui a été fait pour l'ensemble des réseaux du monde est 2π/n avec n=3. Éq. 62: Démo. diminution des pertes dans les lignes de transport Comparons en monophasé et en triphasé les quantités de cuivre nécessaires à la construction des lignes reliant les sources aux récepteurs distants de L, à puissance transportée égale, donc à courant de ligne I égaux et à tensions simple V égales… I1 I V1 Monophasé n=1 v n =1 = 3.2.L. j I2 Triphasé n=3 v n =3 = 3.L. I j I3 IN V2 V3 Un transformateur électrique est un convertisseur, qui permet de modifier les valeurs de la tension et de l'intensité du courant délivrées par une source d'énergie électrique alternative en un système de tension et de courant de valeurs différentes, mais de même fréquence et de même forme. Il effectue cette transformation avec un excellent rendement. Il est analogue à un engrenage en mécanique (le couple sur chacune des roues dentées étant l'analogue de la tension et la vitesse de rotation étant l'analogue du courant). 4.2.1. Constitution Un transformateur est constitué de deux parties : le circuit magnétique et les enroulements. Les enroulements créent ou sont traversés par un flux magnétique que le circuit magnétique permet de canaliser afin de limiter les pertes. Le circuit magnétique d'un transformateur est soumis à un champ magnétique variable au cours du temps. Pour les transformateurs reliés au secteur de distribution, cette fréquence est de 50 ou 60 hertz. Le circuit magnétique est généralement feuilleté pour réduire les pertes par courants de Foucault, qui dépendent de l'amplitude du signal et de sa fréquence. Pour les transformateurs les plus courants, les tôles empilées ont la forme de E et de I, permettant ainsi de glisser une bobine à l'intérieur des fenêtres du circuit magnétique ainsi constitué (Figure 44). CM Electricité II (SP2 09-10) 57/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 58/69 Si l'on place un aimant (ou électroaimant) sur un axe de rotation (appelé rotor) animé d'une vitesse angulaire Ω, on crée alors un champ magnétique tournant. Si à présent l'on dispose trois bobines tout autour de cette axe espacées chacune d'elle de 120° et fixées à une partie statique que l'on appel stator (Figure 46). Alors chacune des ces bobines sera le siège d'une fém telle que: ⎧e1 (t) = V1 .cos(Ω.t ) ⎪ ⎨e2 (t) = V2 .cos(Ω.t - 2π/3) ) ⎪e (t) = V .cos(Ω.t + 2π/3 3 ⎩ 3 Ce mode de fonctionnement correspond à un mode générateur synchrone plus connu sous le nom d'alternateur. C'est ainsi que l'on donne naissance au réseau triphasé. Figure 44: Constitution d'un transformateur 4.2.2. 1er modèle équivalent d'un transformateur parfait Dans le cas d'un transformateur monophasé parfait pour lequel toutes les pertes et les fuites de flux sont négligées, le rapport du nombre de spires primaires et secondaires détermine totalement le rapport "m" de transformation du transformateur. Ainsi, si on note respectivement note N1 et N2 le nombre de spires au primaire et au secondaire, on obtient le modèle suivant (Figure 45). i1(t) Figure 46: Machine synchrone (générateur ou moteur) i2(t) e1 (t) = - N1dΦ/dt ⎫ e 2 (t) N = − 2 = −m ⎬ e 2 (t) = - N 2 d - Φ/dt ⎭ e1 (t) N1 u1(t) e1(t) e2(t) R u2(t) N1.i1 (t ) − N 2 .i2 (t ) = R.Φ ⎫ i 2 (t) N1 1 = = ⎬ idéal ⇒ μ → ∞ ⇒ R = 0⎭ i1 (t) N 2 m Figure 45: Modèle équivalent et équation fondamental d'un transformateur parfait 4.3. Générateur et moteur (machine dynamique) Une machine électrique dynamique est un dispositif permettant la conversion d'énergie électrique en énergie mécanique : les moteurs rotatifs produisent un couple par un déplacement angulaire tandis que les moteurs linéaires produisent une force par un déplacement linéaire. Les forces engendrées par les champs magnétiques, formulées par la relation de Lorentz, permettent d'envisager des dispositifs qui utilisent un tel champ pour transformer l'énergie électromagnétique en énergie mécanique. Le premier moteur électrique fut construit par Peter Barlow : une roue, soumise à un champ magnétique permanent, est parcourue par un courant électrique. Il s'exerce donc une force sur cette roue, qui se met alors en rotation : c'est la roue de Barlow. Elle constitue de fait le premier moteur électrique à courant continu. 4.3.1. Machine synchrone (alternateur ou moteur) Si l'on garde la même architecture mais que l'on alimente les bobines par un systèmes triphasé, alors inversement, les 3 bobines créent un champ magnétique tournant à la vitesse angulaire Ω, entraînant avec lui l'aimant situé au rotor tel une boussole suivant son pole nord. Ce mode de fonctionnement correspond à un mode moteur synchrone C'est ainsi que les deuxièmes générations de TGV tel que le TGVA étaient équipés. 4.3.2. Machine asynchrone (générateur ou moteur) Dans cette autre configuration, les courants statoriques créent un champ magnétique tournant dans le stator. La fréquence de rotation de ce champ est imposée par la fréquence des courants statoriques, c’est-à-dire que sa vitesse de rotation est proportionnelle à la fréquence de l'alimentation électrique. La vitesse de ce champ tournant est appelée vitesse de synchronisme. L'enroulement au rotor est donc soumis à des variations de flux (du champ magnétique). Une force électromotrice induite apparaît qui crée des courants rotoriques. Ces courants sont responsables de l'apparition d'un couple qui tend à mettre le rotor en mouvement afin de s'opposer à la variation de flux (Lenz). Le rotor se met donc à tourner pour tenter de suivre le champ statorique. La machine est dite asynchrone car elle est dans l'impossibilité, sans la présence d'un entraînement extérieur, d'atteindre la même vitesse que le champ statorique. En effet, dans ce cas, vu dans le référentiel du rotor, il n'y aurait pas de variation de champ magnétique ; les courants s'annuleraient, de même que le couple qu'ils produisent, et la machine ne serait plus entraînée. La différence de vitesse entre le rotor et le champ statorique est appelée vitesse de glissement. Lorsqu'il est entraîné au-delà de la vitesse de synchronisme (fonctionnement hypersynchrone) la machine fonctionne en générateur alternatif. Mais son stator doit être forcément relié au réseau car lui seul peut créer le champ magnétique nécessaire pour faire apparaître les courants rotoriques. CM Electricité II (SP2 09-10) 59/69 Figure 47: Machine asynchrone (générateur ou moteur) 4.3.3. Machine à courant continu (générateur ou moteur) Enfin, une autre possibilité est de créer un champ permanent au stator à l'aide d'aimants permanent ou d'enroulements parcourus par un courant continu et de réaliser un champ magnétique "non tournant" au rotor par un système de connexions glissantes afin que ce champ rotorique reste en quadrature avec le champ statorique. C'est le principe mis en œuvre pour la machine à courant continu (Figure 48). On s'explique alors aisément la mise en rotation du moteur par la force de Lorentz (ou de Laplace). Les premiers TGV été ainsi motorisés. Ces machines permettent aussi de fonctionner en générateur. Pour l'anecdote, les métro Parisien sont ainsi motorisés, si bien qu'en phase de freinage la rame de métro produit de l'énergie électrique pour les autres rames consommatrice d'énergie (c'est une forme de funiculaire à plat !). Figure 48: Machine à courant continue (générateur ou moteur) 4.4. Quiz d’électrotechnique Qu’est ce qu’un réseau triphasé ? Qu’est ce qu’un coupage étoile ? Qu’elle est le diagramme de Fresnel d’une charge à composante inductive couplée en Y ? Qu’est ce qu’un coupage triangle ? Qu’elle est le diagramme de Fresnel d’une charge à composante inductive couplée en Δ ? CM Electricité II (SP2 09-10) 60/69 Que ce passe t’il si le récepteur déséquilibré est relié au neutre ? Que ce passe t’il si le récepteur déséquilibré n’est pas relié au neutre ? Quelles sont les expressions de la puissance active, réactive et apparente en triphasé ? En quoi consiste la méthode de Boucherot ? Comment définit-on le facteur de puissance ? Pourquoi le transport de puissance en triphasée nécessite 2 fois moins de cuivre qu’en monophasé (à puissance transportée égale) ? Quel est le schéma équivalent d’un transformateur ? Quel est le principe et les applications possibles d’une machine synchrone (alternateur) ? Quel est le principe et les applications possibles d’une machine asynchrone ? Quel est le principe et les applications possibles d’une machine à courant continue ? CM Electricité II (SP2 09-10) 61/69 Annexe: Dérivées des fonctions simples et systèmes de coordonnées CM Electricité II (SP2 09-10) 62/69 Annexe: Règles de symétrie (principe de Curie) "Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits" Tableau 4: Dérivées de fonctions simples Fonction Fonction dérivée Fonction Fonction dérivée y' = (1/q) . x (1/q-1) y' = (p/q) . x (p/q-1) Dans une espace homogène et isotrope, si l’on fait subir une transformation géométrique à un système physique S (ex : ensemble de particules, distribution de charges et/ou de courants) susceptible de créer certains effets (forces, champs), alors ces effets subissent les mêmes transformations. Si un système physique S possède un certain degré de symétrie, on pourra alors déduire les effets créés par ce système en un point à partir des effets en un autre point. y=c y' = 0 y = x 1/q y = x p/q y=x y = ax + b y = ax² + bx + c y' = 1 y' = a y' = 2ax + b y = sin x y = cos x y = tan x y' = cos x y' = - sin x y' = 1 + tan² x = 1/ cos² x Voici quelques règles simples et très utiles, permettant de déterminer de quelle(s) variable(s) dépend l'effet (eg: B(x), E(y) etc..) y=a/x y=u/v y' = - a / x² y' = (u'.v - u.v') / v² y = ln x y = lga x y' = 1 / x y' = 1 / (x . ln a) Invariance par translation: si S est invariant dans toute translation parallèle à un axe Oz, les effets ne dépendent pas de z. y=a.xr y' = a . r . x r-1 y = ex y = ax y' = ex y' = ax . ln a Symétrie axiale: si S est invariant dans toute rotation θ autour d’un axe Oz, alors ses effets exprimés en coordonnées cylindriques (ρ,θ,z) ne dépendent pas de θ. Figure 49: Déplacements, vitesses et accélérations dans les différents systèmes de coordonnées M Symétrie sphérique: si S est invariant dans toute rotation autour d’un point fixe O, alors ses effets M exprimés en coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) ne dépendent que de la distance au centre r . oz oz oy O ox O oθ r or θ Repère cartésien Repère cylindrique OM = r.or + z.oz v = x&.ox + y& .oy + z&.oz v = r&.or + r.θ&.oθ + z&.oz a = &x&.ox + &y&.oy + &z&.oz avec v = d OM vecteur vitesse dt d v vecteur accélération et a = dt a = [&r& − θ& 2 ].or + [ 2r&θ& + rθ&&].oθ + &z&.oz n ρ M θ r ρ O ϕ Repère intrinsèque (Frenet) s = ±OoM abscisse curviligne a = &s&.τ + s& 2 ρ n d OM ds et ρ rayon de courbure or oϕ oθ vecteur tangent unitaire avec n = ρ dτ ds vecteur normale unitaire Plan de symétrie Π: si S admet un plan de symétrie Π, alors en tout point de ce plan: un effet à caractère vectoriel est contenu dans le plan et un effet à caractère pseudo vectoriel lui est perpendiculaire. Notions de Vecteurs et pseudo-vecteurs Vecteurs et pseudo-vecteurs se transforment de la même manière dans une rotation ou une translation. Il n’en est pas de même dans la symétrie par rapport à un plan ou à un point. Dans ces transformations: un vecteur est transformé en son symétrique; un pseudo-vecteur est transformé en l’opposé du symétrique M τ O Voici quelques règles simples et très utiles, permettant de déterminer la(les) direction(s) de l'effet (eg: Box, Eoy etc..) Plan d’antisymétrie Π’: si, par symétrie par rapport à un plan Π’, S est transformé en -S, alors en tout point de ce plan: un effet à caractère vectoriel est perpendiculaire au plan• un effet à caractère pseudo vectoriel est contenu dans ce plan. OM = x.ox + y.oy + z.oz v = s&.τ avec τ = Symétrie cylindrique: si S est invariant par translation le long de l’axe Oz et rotation autour de ce même axe, alors ses effets exprimés en coordonnées cylindriques (ρ,θ,z) ne dépendent que de la distance à l’axe ρ. Repère sphérique OM = r.or + z.oz v = r&.or + r.θ&.oθ + r. sin ϕ& .oρ CM Electricité II Annexe: Aspects microscopiques du magnétisme dans la matière (SP2 09-10) 63/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 64/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 65/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 66/69 CM Electricité II (SP2 09-10) 67/69 Annexe: Histoire du magnétisme et champ magnétique terrestre CM Electricité II (SP2 09-10) 68/69 Annexe: La foudre Historique: Les aimants sont connus depuis l’Antiquité, sous le nom de magnétite, pierre trouvée à proximité de la ville de Magnesia (Turquie). C’est de cette pierre que provient le nom actuel de champ magnétique. Les chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants, il y a plus de 1000 ans, pour faire des boussoles. Elles étaient constituées d’une aiguille de magnétite posée sur de la paille flottant sur de l’eau contenue dans une récipient gradué. Au XVIIIème siècle, Franklin découvre la nature électrique de la foudre (1752). Or, il y avait déjà à cette époque de nombreux témoignages de marins attirant l’attention sur des faits étranges : les orages perturbent les boussoles et la foudre frappant un navire aimante tous les objets métalliques. Franklin en déduisit "la possibilité d’une communauté de nature entre les phénomènes électriques et magnétiques". Coulomb (1785) montre la décroissance en 1/r2 des deux forces. Mais il faut attendre la fin du XIXème siècle pour qu’une théorie complète apparaisse, la théorie de l’électromagnétisme. Tout commença avec l’expérience de Oersted en 1820. Il plaça un fil conducteur au dessus d’une boussole et y fit passer un courant. En présence d’un courant l’aiguille de la boussole est effectivement déviée, prouvant sans ambiguïté un lien entre le courant électrique et le champ magnétique. Par ailleurs, il observa : si on inverse le sens du courant, la déviation change de sens et la force qui dévie l’aiguille est non radiale. L’étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut faite par les physiciens Biot et Savart (1820). Ils mesurèrent la durée des oscillations d’une aiguille aimantée en fonction de sa distance à un courant rectiligne. Ils trouvèrent que la force agissant sur un pôle est dirigée perpendiculairement à la direction reliant ce pôle au conducteur et qu’elle varie en raison inverse de la distance. De ces expériences, Laplace déduisit ce qu’on appelle aujourd’hui la loi de Biot et Savart. Une question qui s’est ensuite immédiatement posée fut : si un courant dévie un aimant, alors est-ce qu’un aimant peut faire dévier un courant ? Ceci fut effectivement prouvé par Davy en 1821 dans une expérience où il montra qu’un arc électrique était dévié dans l’entrefer d’un gros aimant. L’élaboration de la théorie électromagnétique mit en jeu un grand nombre de physiciens de renom : Oersted, Ampère, Arago, Faraday, Foucault, Henry, Lenz, Maxwell, Weber, Helmholtz, Hertz, Lorentz et bien d’autres. Si elle débuta en 1820 avec Oersted, elle ne fut mise en équations par Maxwell qu’en 1873 et ne trouva d’explication satisfaisante qu’en 1905, dans le cadre de la théorie de la relativité d’Einstein. Champ magnétique terrestre: L'ensemble des lignes de champ magnétique de la Terre situées au-dessus de l'ionosphère, soit à plus de 1000 km, est appelé magnétosphère. L'influence du champ magnétique terrestre se fait sentir à plusieurs dizaines de milliers de kilomètres. Le pôle Nord magnétique terrestre est en réalité un pôle de magnétisme "sud" qui attire le pôle "nord" (en rouge sur la figure) de l'aimant que constitue l'aiguille de la boussole. Cette erreur historique d'appellation conventionnelle des pôles de magnétisme nord sera difficile à rectifier ; noter sur la Figure 50 que le pôle de magnétisme nord de l'"aimant terrestre" pointe vers le sud géographique. En 2007, l'axe géomagnétique, passant par les deux pôles magnétiques, fait un angle de 11,5° par rapport à l'axe de rotation de la Terre et de ce fait, le pôle nord magnétique (Nm) est à environ 1000 km du pôle nord géographique (Ng), en direction du Canada. La position actuelle du pôle nord magnétique est 81°N et 110°W mais il se rapproche actuellement du pôle nord géographique à une vitesse moyenne de 40 km/an. En outre la position du pôle magnétique varie au cours de la journée, se déplaçant ainsi de plusieurs dizaines de km autour de sa position moyenne. Le pôle Sud magnétique, quant à lui, se trouve au large de la Terre Adélie, dans la mer d'Urville, à 65° S et 138°E. Les premiers expérimentateurs de l'électricité avaient remarqué qu'il est presque impossible de charger un corps conducteur muni d'une pointe effilée, comme si le fluide électrique fuyait par cette pointe. De même, un corps chargé devant lequel on présente une pointe effilée mise à la terre se décharge rapidement. Ce phénomène est accompagné d'une lueur bleuâtre. On sait maintenant que ce phénomène est dû à des avalanches électroniques consécutives à une ionisation de l'air, se produisant lorsque le champ électrique dépasse un seuil d'environ 30 kV / cm (potentiel disruptif). Les feux de Saint Elme remarqués par les marins sont la manifestation du même phénomène. Ce pouvoir des pointes s'explique par la déformation du champ électrique au voisinage des aspérités, qui concentrent les lignes de force du champ. Cette concentration dépend de la géométrie de l'aspérité, et les charges se concentrent dans les régions de forte courbure. Ainsi, le champ au voisinage d'une demi sphère posée sur un plan au potentiel de la terre est le triple du champ à grande distance de la demi sphère. Pour une aspérité plus pointue, comme un ellipsoïde allongé, le coefficient multiplicateur du champ peut atteindre quelques milliers. Les phénomènes orageux prennent naissance dans des nuages en forme d'enclume, se développant sur une très grande hauteur, pouvant atteindre 15 km, les cumulo-nimbus. Constitués d'eau à leur base, leur sommet est formé de particules de glace. Le nuage se forme sous l'effet de courants ascendants violents qui se créent lorsque des masses d'air d'humidité et de température différentes se rencontrent. Il peut aussi se former un orage de chaleur, lorsque le sol est très chaud, et que l'humidité de l'air est élevée. Un cumulo-nimbus peut aspirer des kilomètres cube d'air chaud et humide et il peut contenir des centaines de milliers de tonnes d'eau. Le cumulo-nimbus est le siège de phénomènes violents: des courants ascendants et descendants peuvent atteindre des vitesses de 20 m/s. Il est aussi le siège de phénomènes électriques : les particules d'eau qui le constituent se congèlent lorsqu'elles atteignent l'isotherme 0°C. Les particules de glace s'élèvent et se rassemblent au sommet du nuage, alors que les gouttelettes d'eau restent à la base. Il semble que les chocs violents entre cristaux leur arrachent des électrons, ce qui conduit à une charge électrique positive au sommet du nuage, et les gouttes d'eau de la base se chargent négativement. La physique de ce phénomène de séparation des charges n'est pas encore élucidée de manière satisfaisante : il est possible aussi que les changements de phase de l'eau produisent une électrisation… Quoi qu'il en soit, les différentes parties du nuage sont électriquement chargées. La surface terrestre sous le nuage est chargée positivement, du fait de l'influence électrostatique du nuage. Il apparaît donc un champ électrique sous le nuage. Lorsque la différence de potentiel entre les parties électriquement chargées devient trop importante, il y a décharge. C'est le coup de foudre, l'éclair en est la manifestation optique et le tonnerre la manifestation acoustique. La décharge peut se produire entre régions du nuage, ou entre le nuage et la terre. Lorsque le champ électrique au sol sous le nuage atteint 10 à 15 kV / m, on peut dire qu'une décharge est imminente. Lorsque le champ électrique atteint un seuil critique, la décharge a lieu. Une étude de l'éclair montre qu'une première décharge de faible intensité se produit. C'est le traceur, qui progresse par bonds en zigzags à environ 200 km/s, jusqu'à ce qu'il rencontre un obstacle élevé. Un traceur ascendant peut également se développer à partir du sol, lorsque des obstacles plus ou moins conducteurs sont soumis à un champ électrique suffisamment élevé pour qu'une ionisation se produise. Lorsque les traceurs se rejoignent, il se forme un canal ionisé, par lequel la décharge proprement dite s'effectue. La longueur de ce canal peut aller de100 m à plusieurs km. La température de l'air dans ce canal peut atteindre 30 000° C, et la différence de potentiel entre le nuage et le sol peut aller jusqu'à 100 millions de volts. Plusieurs décharges successives dans le même canal peuvent se produire. Le tonnerre lui-même est produit par l'expansion des gaz entourant le canal et causée par la décharge, qui peut porter ces gaz à plusieurs dizaines de milliers de degrés. Figure 50 (g): Représentation du champ magnétique terrestre. (d) : Les particules chargées du vent solaire canalisées par la magnétosphère, excitent alors les atomes de l'ionosphère provoquant l'aurore boréale CM Electricité II (SP2 09-10) 69/69 Résumé Nous apprenons dans la première partie de ce cours les grands principes de l'électrostatique. Dans la suite du cours, nous aborderons de la même façon les grands principes de magnétostatique. Nous verrons ensuite comment ces deux aspects de la physique se couplent en abordant l'électromagnétisme. Enfin nous terminerons par une initiation à l'électrotechnique dont une grande part des applications est issue de l'électromagnétisme. A l'issu de ce cours nous devrions être initié aux lois de l'électromagnétisme et à leur application en électrotechnique. Mots clefs: Electrostatique (champ électrique; potentiel; condensateurs; énergie électrostatique; applications capteurs); Electromagnétisme (champ d'excitation magnétique H; champ d'induction B; flux d'induction Ф; loi d'induction; force de Lorentz; loi de Laplace; Circuits magnétiques; Ferromagnétisme; énergie électromagnétique; pertes par hystérésis, pertes par courants de Foucault); Electrotechnique (réseau triphasé; transformateur monophasé; principe des machines tournantes) Bibliographie [1] Cours d’Electrostatique - Electrocinétique, Jonathan Ferreira, L1, UJF. [2] Diélectriques: Bases théoriques, Robert Fournié et Roland Coelho, Tech. de l'Ing. [3] Cahier de TP Electricité II (TP Physique), Gilles Palluel, IUT Mesures Physique,UJF [4] Le cours de physique de Richard P Feynman (Nobel 1965), InterEditions (1979), I ISBN 2-7296-0028-0. Réédité par Dunod, ISBN 2-10-004861-9. [5] Émile Durand; Électrostatique, Masson (1953): Vol 1: Distributions, Vol 2: Problèmes généraux & conducteurs, Vol 3: Méthodes de calcul. [6] Milieux conducteurs, diélectriques et magnétiques, Bertrand Berche, L3, UHP.
