Electricité II

Cours Magistraux
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Electricité II
(SP2 09-10)
CM Electricité II (SP2 09-10) 2/69
Sommaire
Sommaire ................................................................................................................................... 2
Chapitre 1. Electrostatique: champ, potentiel, force et énergie électrostatique (3h) ................. 5
1.1. Champ électrique............................................................................................................. 5
1.1.1. Calcul du champ électrique (dans le vide) ............................................................... 5
1.1.2. Représentation du champ électrique ........................................................................ 7
1.2. Potentiel électrique.......................................................................................................... 8
1.2.1. Calcul du potentiel électrique (dans le vide)............................................................ 8
1.2.2. Relation entre champ et potentiel électrique............................................................ 8
1.2.3. Représentation des équipotentiels sur des lignes de champ électrique .................... 9
1.3. Force électrostatique (loi de Coulomb)........................................................................... 9
1.3.1. Relation entre la force et le potentiel ou le champ électrique.................................. 9
1.3.1.1. Application de la force électrostatique: l'oscilloscope .................................... 10
1.4. Influence sur un conducteur à l'équilibre électrostatique.............................................. 11
1.4.1. Notion d’écran ou de blindage électrostatique : la cage de Faraday...................... 11
1.4.2. Application du théorème de Gauss au conducteur à l'équilibre (cas particuliers) . 12
1.4.2.1. Champ à la surface d'un conducteur: théorème de Coulomb.......................... 12
1.4.2.2. Influence de deux conducteurs : théorème des éléments correspondants....... 12
1.4.3. Effet de pointe : origine du parafoudre .................................................................. 13
1.5. Influence sur un isolant: polarisation électrique ........................................................... 13
1.5.1. Définition d'un dipôle électrique et de la polarisation dipolaire ............................ 13
1.5.2. Mécanismes de polarisation d'un diélectrique........................................................ 14
1.5.3. Définition d'un diélectrique et d'un isolant............................................................. 14
1.6. Capacité électrique: application au condensateur ......................................................... 15
1.6.1. Capacité électrique ................................................................................................. 15
1.6.2. Condensateur.......................................................................................................... 15
1.6.2.1. Géométries et capacités de condensateurs ...................................................... 16
1.6.2.2. Modèle équivalent d’un condensateur............................................................. 16
1.6.2.3. Exemple d’application du condensateur ......................................................... 16
1.6.2.4. Réponse électrique d’un condensateur dans un circuit électrique................... 17
1.7. Energie électrostatique .................................................................................................. 17
1.7.1. Energie d’une charge ponctuelle plongée dans un champ Eext............................. 17
1.7.2. Energie d’un ensemble de charges......................................................................... 18
1.7.3. Relation entre énergie et force électrostatique ....................................................... 19
1.8. Quiz d’électrostatique ................................................................................................... 19
Chapitre 2. Magnétostatique: champ, force et énergie magnétostatique (3h).......................... 21
2.1. Champ d'induction magnétique B ................................................................................. 21
2.1.1. Calcul du champ d'induction magnétique B (dans le vide).................................... 21
2.1.2. Flux d'induction magnétique Ф: principe de conservation ....................................24
2.1.3. Représentation du champ d'induction magnétique................................................. 25
2.2. Force magnétique .......................................................................................................... 25
2.2.1. Force magnétique sur une particule chargée (v<<c) (loi de Lorentz partielle)...... 25
2.2.1.1. Application de la force magnétique: la sonde à effet Hall .............................. 26
2.2.2. Actions magnétiques sur un circuit fermé parcouru par I (force de Laplace)........ 27
2.2.2.1. Application de la force de Laplace: la balance de Cotton............................... 28
2.2.2.2. Application de la force de Laplace: le galvanomètre à cadre mobile ............. 29
2.2.3. Actions magnétiques sur un dipôle magnétique..................................................... 29
2.3. Propriétés magnétiques de la matière et origines.......................................................... 30
2.3.1. Origine microscopique du magnétisme.................................................................. 30

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2.3.2. Classification des effets magnétiques .................................................................... 30
2.3.3. Champ d'excitation magnétique H ......................................................................... 30
2.3.4. Exemple d'application du magnétisme: l'IRM ....................................................... 31
2.3.5. Ferromagnétisme.................................................................................................... 32
2.3.5.1. Première aimantation et Cycle d'Hystérésis.................................................... 32
2.3.5.2. Energie d'un cycle d'Hystérésis....................................................................... 32
2.3.5.3. Applications: aimant permanent, circuit et enregistrement magnétique......... 33
2.4. Circuit magnétique ........................................................................................................ 34
2.4.1. Application: point de fonctionnement d'un aimant (droite de permeance)............ 35
2.4.2. Mutuelle inductance ............................................................................................... 37
2.4.3. Inductance .............................................................................................................. 37
2.4.4. Relation entre Auto inductance et Mutuelle inductance ........................................ 37
2.4.5. Application: Capteur de proximité inductif à réluctance variable L=N2/R............ 37
2.5. Energie magnétostatique ............................................................................................... 38
2.5.1. Energie d'un circuit parcouru par un courant I et plongé dans un champ Bext...... 38
2.5.2. Relation entre force magnétique et énergie magnétostatique d'un circuit.............. 38
2.5.3. Règle du flux maximum......................................................................................... 39
2.5.4. Calcul de la force de contact exercée par un aimant.............................................. 39
2.6. Quiz de magnétostatique ............................................................................................... 39
Chapitre 3. Force, induction et onde électromagnétique (2h).................................................. 42
3.1. Force électromagnétique (loi de Lorentz) ..................................................................... 42
3.2. Induction électromagnétique (influence électromagnétique sur un conducteur) .......... 43
3.2.1. Force électromotrice induite................................................................................... 43
3.2.2. Loi de Faraday........................................................................................................ 43
3.2.3. Loi de Lenz............................................................................................................. 44
3.2.4. Induction de courant dans une masse conductrice (courant de Foucault).............. 45
3.2.4.1. Applications: le système de freinage des poids lourds (Telma®)....................... 45
3.2.4.2. Applications: le chauffage à induction................................................................ 45
3.3. Energie magnétique....................................................................................................... 46
3.3.1. Energie d'un circuit parcouru par un courant i....................................................... 46
3.3.2. Energie d'un circuit parcouru par un courant i créant son propre champ magnétique
B et placé dans un champ extérieur Bext ......................................................................... 47
3.3.3. Energie de deux circuits couplés et parcourus par des courants i1 et i2................. 47
3.3.4. Energies dissipées dans les milieux magnétiques .................................................. 47
3.3.4.1. Energie dissipée par Hystérésis....................................................................... 47
3.3.4.2. Energie dissipée par induction de courant dans le circuit magnétique
(Foucault) ..................................................................................................................... 48
3.4. L'électromagnétisme (bonus) ........................................................................................ 48
3.4.1. Equations de Maxwell............................................................................................ 48
3.4.2. Ondes électromagnétiques...................................................................................... 49
3.4.2.1. Emission d'ondes électromagnétiques............................................................. 49
3.4.2.2. Réception d'ondes électromagnétiques............................................................ 50
3.5. Quiz d’électromagnétisme (force, induction et ondes) ................................................. 51
Chapitre 4. Electrotechnique: transformateur, machine tournante et réseau triphasé(2h) ....... 52
4.1. Réseau triphasé.............................................................................................................. 52
4.1.1. Couplage étoile "Y"................................................................................................ 52
4.1.2. Couplage triangle "Δ" ............................................................................................ 52
4.1.3. Cas des récepteurs déséquilibrés............................................................................ 53
4.1.4. Puissances en triphasé ............................................................................................ 53
4.1.5. Mesure de puissance en triphasé ............................................................................ 54
4.1.6. Intérêt du triphasé................................................................................................... 55
CM Electricité II (SP2 09-10) 4/69
4.2. Transformateur (machine statique) ............................................................................... 56
4.2.1. Constitution ............................................................................................................ 56
4.2.2. 1er modèle équivalent d'un transformateur parfait.................................................. 57
4.3. Générateur et moteur (machine dynamique)................................................................. 57
4.3.1. Machine synchrone (alternateur ou moteur) .......................................................... 57
4.3.2. Machine asynchrone (générateur ou moteur)......................................................... 58
4.3.3. Machine à courant continu (générateur ou moteur) ............................................... 59
4.4. Quiz d’électrotechnique ................................................................................................ 59
Annexe: Dérivées des fonctions simples et systèmes de coordonnées .................................... 61
Annexe: Règles de symétrie (principe de Curie) ..................................................................... 62
Annexe: Aspects microscopiques du magnétisme dans la matière.......................................... 63
Annexe: Histoire du magnétisme et champ magnétique terrestre............................................ 67
Annexe: La foudre.................................................................................................................... 68
Résumé..................................................................................................................................... 69
Bibliographie............................................................................................................................ 69

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Chapitre 1. Electrostatique: champ, potentiel, force et énergie électrostatique (3h)
Il existe une expérience simple, que tout le monde peut faire, permettant de percevoir
une force électrostatique : il suffit de frotter une règle en plastique avec un chiffon bien sec
et de l'approcher de petits bouts de papier. Les papiers se collent à la règle. L'expérience
est simple à réaliser, cependant l'interprétation n'est pas simple puisque, si la règle est chargée
par frottement, les bouts de papiers ne le sont a priori pas! Autre expérience du même style:
un filet d'eau est dévié si on approche un film de cellophane. Plus simplement, tout le monde
a reçu une décharge en attrapant un chariot par temps très sec ou en descendant ou montant
dans une voiture. Ce sont des phénomènes où il s'est produit une accumulation de charges,
d'électricité, d'électricité statique… L'électrostatique traite des charges électriques stables
(ou d'une succession d'état stables) et des forces qu'elles exercent entre elles.
1.1. Champ électrique
1.1.1. Calcul du champ électrique (dans le vide)
Le champ électrique E en M d'une charge ponctuelle placée en O est une grandeur
vectorielle dont l'amplitude est inversement proportionnelle au carré de la distance OM
séparant la charge du point M. Le champ est orienté vers les charges négatives ou à l'opposé
des charges positives. Le principe de superposition s'applique à cette grandeur (Éq. 1).
Éq. 1 : Champ électrique d'une charge ponctuelle
][
42
0m
V
en
OM
OM
OM
q
E
πε
=][10.854.8 12
0m
F
enavec −
= ε
Avant de ce lancer dans les calculs, il peut être judicieux de déterminer la dépendance
et la direction du champ électrique. Pour cela, on peut s'appuyer sur le principe de symétrie de
Pierre Curie, affirmant en substance que: les conséquences d'un phénomène physique
possèdent au moins la symétrie de leur cause.
dS
O
r min r max
dr
σ+
ox
oy
oz
M
E
dS
O
r min r max
dr
σ+
ox
oy
oz
M
E
ox
oz
oy
α
M
ozzEE ).(=
O
σ+
z
ox
oz
oy
α
M
ozzEE ).(=
O
σ+
z
Figure 1: Le principe de symétrie de Curie permet ici d'établir la dépendance et l'orientation du champ
électrique créé (au point M) par un disque creux de densité de charge surfacique σ+
Éq. 2: Exemple de calcul du champ électrique créé (au point M) par un disque creux de densité de charge
surfacique σ+
Le principe de symétrie de Curie nous permet d'établir que:
M
O
q+
E
M
O
q+
E
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ozzEE ).(=
La composante oz du champ élémentaire créé au point M par la charge élémentaire P
s'écrit:
α
πε
σ
cos
4
.
2
0PM
dS
dEoz =
avec
α
cos.dEdEoz =
α
απε
σ
cos
)cos/(4
.
2
0z
dS
dEoz =⇔
avec
PMz /cos = α
α
αε
σ
cos
)cos/(.2
..
2
0z
drr
dEoz =⇔
avec
dSdrr =..2
π
et les simplifications naturelles
α
αε
α
σ
cos
)cos/(.2
..tan.
2
0z
drz
dEoz =⇔
avec
zr /tan =
α
α
αε
ααασ
cos
)cos/(.2
)cos/.(..tan.
2
0
2
z
zdz
dEoz =⇔
avec
αααα
2
cos//)(tan./ zddzddr ==
0
.2
.sin.
ε
α
α
σ
d
dEoz =⇔
avec
α
α
α
cos/sintan = et les simplifications naturelles
∫
=⇒ max
min
0
.sin
.2
α
ααα
ε
σ
dEoz
[]
max
min
0
cos
.2
α
α
α
ε
σ
−=⇔ oz E
Relation générale d'un disque malléable (plein ou percé)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
+
=⇔ 2222
0maxmin
.2 zr
z
zr
z
Eoz
ε
σ
avec
22
cos
zr
z
+
= α
[]
0
2/
0
0.2
cos
.2 ε
σ
α
ε
σ
π
=−=⇒ oz E avec un disque plein et infini
Il est aussi possible de déterminer le champ électrique à l'aide du théorème de Gauss:
Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée est égal au quotient des
charges intérieures Qint et de la permittivité du vide ε0 (Éq. 3).
Éq. 3 : Expression intégrale du théorème de Gauss (le veteur surface est normale à la surface et orienté
vers l'extérieur)
0
int
.
ε
Q
SdE
ferméesurface
=
∫∫

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ox
oz oy
M
ozEE oz .=
Qint
E
ozSS oz .=
oxSS ox .=
σ+
ox
oz oy
M
ozEE oz .=
Qint
E
ozSS oz .=
oxSS ox .=
ox
oz oy
M
ozEE oz .=
Qint
E
ozSS oz .=
oxSS ox .=
σ+
Figure 2: Application du théorème de Gauss au calcul du champ produit par un plan infini
Éq. 4: Exemple de calcul du champ électrique crée au point M par un plan infini
....... ++++ ∫∫∫∫∫∫∫∫ −
−−
−
−−
oxsurface
oxox
oxsurface
oxox
ozsurface
ozoz
ozsurface
ozoz dSEdSEdSEdSE
0
int
.....
ε
Q
dSEdSE
oysurface
oyoy
oysurface
oyoy =++ ∫∫∫∫ −
−−
0
int
..2
ε
Q
SE ozoz =⇒ avec ozozozoz dSSetEE −− ==
00 .2.
int
ε
σ
ε
==⇒
oz
oz S
Q
E
On retrouve par cette deuxième méthode le résultat précèdent…
1.1.2. Représentation du champ électrique
Le champ électrique peut être visualisé à l'aide de lignes de champ. Ces lignes sont
orientées suivant le champ et tangentes en tout point.
q+
q- q+ q-
Figure 3: Lignes de champs de quelques distribution de charges: dipôle électrique (g); deux charges
positives; deux plan en regard
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1.2. Potentiel électrique
1.2.1. Calcul du potentiel électrique (dans le vide)
Le potentiel électrique V en M d'une charge ponctuelle placée en O est une grandeur
scalaire inversement proportionnelle à la distance OM séparant la charge du point M. Le
principe de superposition s'applique à cette grandeur (Éq. 5).
Éq. 5 : Potentiel électrique d'une charge ponctuelle
][
40
enVCst
OM
q
V+=
πε
1.2.2. Relation entre champ et potentiel électrique
Le champ et le potentiel électrique sont reliés par l'expression locale (Éq. 6).
Éq. 6: Relation locale entre champ et potentiel électrique
)(VgradE −=
)( oz
z
V
oy
y
V
ox
x
V
E∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⇒
ox
x
V
E∂
∂
−=⇒ avec un champ orienté suivant ox
∫
−=−⇒
a
b
ox dxEVbVa . avec un champ orienté suivant ox (loi des mailles originelle)
Éq. 7: Exemple de calcul du potentiel électrique crée (au point M) par une charge ponctuelle q+
∫
∞
∞−=−
M
x
oxM dxEVxVx . avec OMxM=
∫
∞
−=−⇒ ∞
M
x
x
Mdx
x
q
VxVx .
42
0
πε
∫
∞
−=−⇒ ∞
M
x
x
Mdx
x
q
VxVx .
1
42
0
πε
M
x
x
Mx
q
VxVx
∞
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−−=−⇒ ∞
1
40
πε
M
Mx
q
VxVx .4 0
πε
=−⇒ ∞
M
O
q+
V
M
O
q+
V

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Si l'on considère l'origine des potentiels à l'infini 0=
∞
Vx (loin de toute charges) alors:
M
Mx
q
Vx .4 0
πε
=⇒
On retrouve par cette deuxième méthode la précédente expression du potentiel
électrique créé par une charge ponctuelle.
1.2.3. Représentation des équipotentiels sur des lignes de champ électrique
Les surfaces d'équipotentielles croisent les lignes de champ de façon perpendiculaire.
Plus le champ est fort et plus les équipotentiels sont rapprochés.
q+
q- q+ q-
Figure 4: Lignes d'équipotentiels de quelques distribution de charges: dipôle électrique (g); deux charges
positives; deux plan en regard (tracer les équipotentiels perpendiculaires au lignes de champ)
1.3. Force électrostatique (loi de Coulomb)
On constate expérimentalement que la force exercée par un charge ponctuelle q sur un
charge q' est une grandeur vectorielle dont l'amplitude est inversement proportionnelle au
carré de la distance OM séparant les deux charges. Cette force est proportionnelle au
produit q.q' des deux charges. La force est attractive si les charges sont de signes opposés
et répulsive si les charges sont de même signe. Le principe de superposition s'applique à
cette grandeur (Éq. 8)
Éq. 8 : Force électrostatique entre deux charges ponctuelles (loi de Coulomb)
][
4
'.
2
0
'enN
OM
OM
OM
qq
Fqq
πε
=
→
Notons que l'expression du champ électrique est directement issue de l'expression de
la force électrostatique donnée par la loi de Coulomb, et dépend du point de l'espace où l'on se
place.
1.3.1. Relation entre la force et le potentiel ou le champ électrique
La force et le champ électrique sont reliés par l'expression (Éq. 9).
Éq. 9: Relation locale entre la force et le potentiel ou le champ électrique appliqué en M
)('.'
'VgradqEqF qparcrééqq −== → avec E en M crée par q
M
O
q+
F
q'+
M
O
q+
F
q'+
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)('.'
'VgradqEqF extqext −== → avec E crée en M par une source extérieur
Le champ électrique peut ainsi mettre en mouvement des particules chargées. À
la différence du champ magnétique il est capable de les accélérer (nous le verrons plus tard).
Bien que négligeable à une grande échelle (comme par exemple dans la majorité des systèmes
planétaires), le champ électrique a un effet prépondérant à des échelles microscopiques et peut
être par exemple utilisé pour l'étude de la matière dans les accélérateurs de particules, il est
aussi à la base du phénomène de la foudre: lorsque le champ au voisinage d’un conducteur
dépasse une certaine limite, une étincelle est observée : le milieu entourant le conducteur
devient alors conducteur. Ce champ maximal, de l’ordre de 3 Méga V/m dans l’air, est
appelé champ disruptif. Il correspond à l’ionisation des particules du milieu (molécules
dans le cas de l’air).
1.3.1.1. Application de la force électrostatique: l'oscilloscope
Dans un tube, on réalise un vide poussé. Avec un canon à électrons, des électrodes
accélératrices (et de focalisation), on fabrique un pinceau d'électrons monocinétiques de
vitesse horizontale Vz. La tension d'accélération étant de l'ordre de 2 à 3 kV, le théorème des
forces vives appliqué à l'électron (½mv2 = qV) montre que cette vitesse est de l'ordre de 3.107
m/s. Ces électrons pénètrent entre deux plans horizontaux. La tension U que l'on souhaite
visualiser est appliquée entre les deux électrodes, créant ainsi un champ électrique verticale
Ey. L'influence de la pesanteur est négligeable devant l'effet du champ électrique (par contre
il faut protéger le tube de l'influence du champ magnétique terrestre par un blindage). Le
champ électrique Ey soumet les électrons à la force verticale f = qE. Cette force communique
aux électrons une vitesse vy = q.E.t/m mais ne modifie pas Vy : à l'intérieur des deux
électrodes, la trajectoire des électrons est parabolique. Le même processus à lieu suivant l'axe
x mais cette fois ci le champ est créé par un circuit interne de base de temps assurant le
balayage horizontal du faisceau. Quand les électrons quittent les zones d'influence, ils suivent
une trajectoire rectiligne et arrivent sur la paroi du tube. C'est ainsi que la trajectoire verticale
est l'image du champ entre les électrodes planes et donc de la ddp électrique en entrée.
Figure 5: Schéma de principe simplifié d'un oscilloscope. Le signal est présenté sur l'entrée CH1 (canal 1,
channel en anglais), puis il est amplifié (ou atténué) grâce au réglage VOLTS/DIV. Le réglage TIME/DIV
permet de faire varier la vitesse de balayage horizontal