Propagation et diffusion Radar microondes par une surface de mer

S ONDER LA MATIÈRE PAR
LES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Propagation et diffusion Radar microondes par une surface de mer en incidence
rasante et dans un milieu stratifié
________________________________________________________________________________
Christophe BOURLIER*, Hongkun LI**, Dusan CVETKOVIC***, Sami BELLEZ**** et Vincent FABBRO*****
* IETR, christophe.bourlier@ univ-nantes.fr
** ElectroScience Laboratory, li.[email protected]u
*** IETR, [e-mail]
**** IETR, [e-mail]
***** ONERA/DEMR, [e-mail]
Mots clés: Diffusion EM, propagation dans un milieu hétérogène, surface rugueuse de mer, Equation parabolique.
Keywords: EM scattering, propagation in an inhomogeneous medium, rough sea surface, parabolic wave equation.
Résumé en anglais
One popular approach to solve sea surface scattering and propagation in a ducting environment is the Parabolic Wave
Equation (PWE) method. An alternative method is the Boundary Integral Equation (BIE) method. The implementation
of the BIE in inhomogeneous media (ducting environments) is not straightforward, since the Green’s function for such a
medium is not usually known. In this paper, a closed-form approximation of the Green’s function for a two-dimensional
(2-D) ducting environment made up of a duct having a linear-square refractive index profile below a medium of
constant refractive index, recently published, is used. This paper demonstrates how the BIE method can model the
combined effects of surface roughness and medium inhomogeneity. Furthermore, it illustrates its capability of
accurately predicting scattering in all directions including backscattering. Then, the PWE solved with the Split-Step
Fourier (SSF) method is compared with this method.
Résumé en français
La méthode de l'équation d'onde parabolique (PWE) est couramment appliquée pour résoudre le problème conjoint de la
diffusion électromagnétique par une surface de mer et la propagation due à la présence d'un conduit d’évaporation au-
dessus de celle-ci. Un moyen de valider cette approche est de résoudre ce problème à l'aide des équations intégrales de
frontière (BIE). La mise en œuvre de la BIE dans un milieu non homogène (présence d'un conduit) n'est pas aisée,
puisque la fonction de Green pour un tel milieu n'est généralement pas connue. Ainsi, dans cet article, une forme
approchée de la fonction de Green considérant un conduit, dont l'indice de réfraction au carré suit une loi affine, et
récemment publiée, est intégrée dans la BIE. Puis la BIE est résolue par la méthode des moments. Cette méthode peut
alors modéliser les effets combinés de la diffusion par la surface et de la propagation. Ainsi, cette méthode peut prédire
avec précision la diffusion dans toutes les directions, y compris en rétrodiffusion. La PWE résolue par la méthode
Fourier Split-Step (SSF) est alors comparée avec la BIE.
Introduction
Dans cet article, pour des incidences rasantes et aux fréquences Radar microondes, le problème de la diffusion
électromagnétique par une surface de mer et de la propagation dans un milieu stratifié (conduit au-dessus de la mer) est
résolu conjointement à l'aide d'une méthode rigoureuse. Elle est basée sur les équations intégrales résolues par une
Méthode des Moments (MdM). La propagation dans un milieu atmosphérique stratifié (conduit) est traitée par une
fonction de Green calculée analytiquement pour un indice de réfraction au carré suivant une loi affine. Puis, le problème
de diffraction par la surface de mer est résolu numériquement en injectant cette fonction de Green dans les équations
intégrales. Puisque le phénomène de guidage de l'onde EM diffusée par la surface est observé sur une distance
relativement longue (le gradient de l'indice de réfraction est faible devant l'unité), une méthode rapide itérative
stationnaire est utilisée pour réduire les ressources informatiques nécessaires à la résolution du système linéaire de
grande dimension (matrice impédance à inverser de taille 200 000
2
et plus). Ainsi, connaissant les courants sur la
surface de mer, le champ total en tout point dans le conduit est calculé à l'aide du principe d'Huygens. Des résultats
présentant les puissances diffusées cohérente et incohérente sont montrés puis comparés avec ceux calculés par la
méthode PWE (Parabolic Wave Equation), résolue par la méthode SSF (Split-Step Fourier).
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1. Contexte et formulation mathématique
1.1 Contexte
Considérant les systèmes Radar fonctionnant à basse élévation, l’environnement marin peut avoir une influence
considérable sur la propagation des ondes EM. En effet, la basse atmosphère, située au-dessus d’une surface de mer
présentant différentes échelles de rugosité, présente fréquemment des variations d’indice de réfraction importantes. La
surface de mer se comporte alors comme un miroir imparfait pour les ondes propagées au-dessus de celle-ci. Les
milieux côtiers ou même terrestres peuvent également avoir de tels phénomènes dus à la rétrodiffusion par le relief ou
par des conditions atmosphériques particulières. Dans ce contexte, la méthode de l'équation parabolique (PWE :
Parabolic Wave Equation) résolue par un algorithme nommé SSF (Split-Step Fourier) [1, 2] est couramment utilisée.
Les avantages principaux de cette méthode sont sa rapidité de calcul et sa flexibilité car elle peut s'appliquer pour des
profils d'indice de réfraction quelconque. Son inconvénient est que la réflectivité (problème de diffraction) par la
surface de la mer est calculée en introduisant des approximations. L'objet de cet article est de confronter cette approche
à une méthode rigoureuse, résolvant notamment le problème de diffraction sans approximation à l'aide des équations
intégrales de frontière (BIE : Boundary Integral Equation), résolues par la MdM [3]. Dans la BIE, l’approximation est
alors sur la fonction de Green pour la prise en compte de la structure atmosphérique. Son calcul est basé sur la PWE. De
plus, puisque le nombre d'inconnues sur la surface de mer est au moins de 200 000, la méthode itérative Forward-
Backward (FB, conduisant à la méthode BIE/FB) [4] est appliquée pour résoudre rapidement ce système et ainsi
calculer les courants sur la surface de mer. La BIE nécessite la connaissance de la fonction de Green du conduit [5].
Pour l'évaluer analytiquement, nous considérons que le milieu Ω
2
(voir figure 1), défini pour des hauteurs ζ(x)≤z≤h, a
un profil d'indice de réfraction au carré qui suit une loi affine n
2
(z) = 1+ ε(h-z), ou ε est le paramètre du conduit
(gradient d'indice) et h la hauteur du conduit. La fonction ζ(x) représente le profil des hauteurs de la surface en fonction
de l'abscisse x. Le milieu Ω
1
(z>h) est homogène et assimilé au vide et le milieu Ω
3
(z<ζ(x)) est le milieu marin. Ce
dernier est supposé très conducteur (|n
3
|>>1) aux fréquences microondes Radar considérées, permettant d'appliquer la
condition aux limites simplifiée de Leontovitch. La Fig. 1, à droite, représente la hauteur z en fonction du module du
profil d'indice de réfraction des milieux Ω
1
, Ω
2
, et Ω
3
.
Fig. 1 : Géométrie du problème
1.2 Formulation mathématique
Dans le conduit, la fonction de Green s'écrit [5]
où H
0(1)
est la fonction de Hankel de première espèce et d'ordre 0. De plus, X=|x-x'| est la distance horizontale entre
deux points d'abscisses x et x' et (z,z') sont leurs hauteurs respectives, k
0
= 2π/λ
0
est le nombre d'onde dans lequel λ
0
est
la longueur d'onde d'émission du radar. Ainsi, si le paramètre de conduit ε=0, le terme exponentiel vaut l'unité et la
fonction de Green d'un milieu homogène est retrouvée.
Cette fonction de Green est alors introduite dans les équations intégrales conduisant à
où ψ
inc
est le champ incident sur la surface. De plus les points r = (x,z(x)) et r' = (x',z(x')=z') sont sur la surface. Pour la
polarisation TE, l'inconnue sur la surface est la dérivée normale du courant de surface ∂ψ
2
/∂n et pour la polarisation
TM, l'inconnue sur la surface est le courant de surface ψ
2
. Ainsi, à partir de l'approximation de Leontovitch, les
quantités ψ
2
et ∂ψ
2
/∂n sont données par
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où (n
20
)
2
= (n
1
)
2
+ εh.
Le champ émis à l'ouverture de l'antenne sur la verticale S
a
à l'abscisse x
a
= 0 est défini par
où :
 z
a,0
est le centre de l'antenne (constante) selon la verticale z,
 θ
inc
est l'angle d'incidence mesuré selon la verticale z,
 ∆θ = 2/(k
0
G) = 2/(k
0
g
z
sinθ
inc
), dans lequel G est la largeur transverse du faisceau (perpendiculaire à la direction
de propagation) et g
z
est l'étendue verticale de l'antenne.
A partir de ce champ, le champ incident sur la surface de mer s'écrit
Connaissant les courants sur la surface, le principe d'Huygens est alors appliqué en tout point de l'espace pour calculer
le champ diffracté. Il s'écrit
2. Résultats numériques
Plusieurs réalisations indépendantes de la surface sont générées. Pour chaque surface de numéro p, les courants sur la
surface ∂ψ
2
/∂n et ψ
2
sont calculés. A partir du théorème d'Huygens, le champ total ψ
p
= ψ
inc
+ ψ
sca,p
est alors calculé.
Les puissances cohérente P
coh
et incohérente P
inc
sont alors proportionnelles à
où N
r
est le nombre de réalisations.
Sur la Fig. 2 les paramètres de simulation sont les suivants : hauteur du conduit h=50 m, paramètre du conduit
ε=0.0001, fréquence Radar f=3 GHz, permittivité de la mer 70.4+40.6j, longueur de la surface L=3600 m, angle
d'incidence 89°, hauteur de l'antenne 10 m (diagramme d'antenne de type gaussien), la vitesse du vent à 10 m au-dessus
de la mer u
10
= 5 m/s, polarisation TE. Pour la BIE/FB, le nombre d'inconnues est de 288 000. La surface de mer est
supposée obéir à un processus Gaussien dont le spectre des hauteurs est donné par le modèle de Elfouhaily [7]. Les
Figs. 3 (méthode BIE/FB) et 4 (méthode PWE/SSF) présentent les mêmes variations que sur la Fig. 2 mais pour les
trois abscisses x
0
={30, 1800, 3600} m (coupe selon x
0
).
Lorsque la vitesse du vent augmente, la puissance cohérente diminue alors que la puissance incohérente augmente, qui
est en accord avec le principe de la conservation de l'énergie. A noter que pour u
10
= 5 m/s, la différence des résultats
issus d'une surface lisse est faible, tandis que pour u
10
= 10 m/s, cette différence est significative.
La Fig. 5 compare la puissance cohérente, issue des approches suivantes :
 Modèle de Ament labellisé par « Ament ». Il est obtenu en multipliant le champ issu de la PWE/SSF et calculé
pour u
10
= 0 (surface lisse) par exp(-2n
r
R
a2
}, où R
a
est le paramètre de Rayleigh défini par R
a
=k
0
σ
z
cosθ
r1
. De
plus, n
r
est le nombre de rebonds, σ
z
l'écart type des hauteurs de la surface et θ
r1
est l'angle du premier rebond
sur la surface ξ=0 défini par cotθ
r1
= (εz
a,0
+cot
2
θ
inc
)
1/2
.
 Modèle de Ament avec ombrage labellisé par « Ament+O ». Il est calculé à partir des travaux de V. Fabbro et
al. [8]. Il est obtenu en multipliant le champ issu de la PWE/SSF et calculé pour u
10
= 0 (surface lisse) par
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Fig. 2 : Panel de gauche : Puissance cohérente totale en dB en fonction de l'abscisse et de la hauteur. En haut, méthode
BIE/FB et en bas, méthode PWE/SSF. Panel de droite : Puissance incohérente totale en dB en fonction de l'abscisse et
de la hauteur. En haut, méthode BIE/FB et en bas, méthode PWE/SSF.
Fig. 3 : Panel de gauche : Puissance cohérente totale en dB en fonction de la hauteur calculée avec la BIE/FB et pour
les abscisses x
0
={30, 1800, 3600} m. La vitesse du vent est indiquée dans la légende. Panel de droite : Mêmes
variations mais c'est la puissance incohérente.
Fig. 4 : Mêmes variations que sur la figure 2 mais la puissance totale est calculée avec la PWE/SSF.
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La notation tilde signifie que l'ombrage est pris en compte dans le calcul du paramètre de Rayleigh (σ
z
substitué par σ
z
tilde) et que la valeur moyenne (égale à zéro pour la cas sans ombrage) est substituée par m tilde. Physiquement,
puisqu'en incidence rasante, la majorité des points localisés sur les hauts des vagues sont éclairés, l'écart type des
hauteurs avec ombrage diminue tandis que la valeur moyenne avec ombrage augmente. Pour plus de détail, lire la
référence [8].
Fig. 5 : Puissance cohérente en fonction de la hauteur calculée par différentes approches.
La Fig. 5 montre un bon accord entre les méthodes BIE/FB et PWE/SSF. De plus, le modèle de Ament surestime le
niveau de champ cohérent propagé et le modèle de Ament avec ombrage produit également des niveaux plus forts. Ceci
montre que faire du Monte-Carlo sur une surface rugueuse avec la PWE/SSF (ou la BIE/FB) n'est pas équivalent à
utiliser le modèle de Ament sur une surface lisse, surtout après deux réflexions successives sur la mer comme dans le
cas proposé ici.
La Fig. 6 compare les puissances incohérentes calculées avec la PWE/SSF et BIE/FB. La vitesse du vent u10 = 5 m/s.
Elle montre un bon accord entre la PWE/SSF et la BIE/FB sauf pour x0=30 m, correspond à une configuration quasi-
monostatique. En effet, la contribution du champ provient essentiellement des vagues de capillarité, dont leur
contribution n'est pas prise en compte dans le modèle de Ament, basé sur une approximation haute fréquence.
Des simulations réalisées en polarisation TM conduisent aux mêmes conclusions dressées en polarisation TE. La
différence majeure est que le niveau du champ diffracté après le premier rebond est beaucoup plus faible que le champ
incident car l'angle θ
r1
du premier rebond est proche de l'incidence de Brewster, produisant alors une forte diminution
du coefficient de réflexion de Fresnel.
Conclusion
Une étude de comparaison entre les méthodes BIE/FB (Boundary Integral Equation/Forward Backward) et PWE/SSF
(Parabolic Wave Equation, résolue par schéma Split Step Fourier) a été menée. Elle a consisté à effectuer des calculs
avec la méthode parabolique PWE/SSF (via le code EPEE de l’ONERA) sur une série de profils de mer afin de
comparer les résultats avec la méthode BIE/FB. Le profil atmosphérique est un conduit linéaire canonique à très fort
gradient sur plusieurs dizaines de mètres. Sur mer lisse, les résultats sont identiques (cf. [9], non montrés dans cet
article), quelle que soit la polarisation. Sur une réalisation de surface de mer rugueuse les résultats sont très proches. Les
méthodes étant par nature différentes, la comparaison présente un grand intérêt. Ensuite, par approche de Monte Carlo
sur 20 profils, les puissances cohérentes et incohérentes moyennes ont été calculées. Pour une vitesse du vent u
10
= 5
m/s, la BIE/FB et la PWE/SSF donnent des résultats très semblables à la fois sur les puissances cohérente et
incohérente. L'étude doit être finalisée pour une vitesse de vent de u
10
= 10 m/s.
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