Travaux dirigés d`optique ondulatoire

Travaux dirigés d’optique
ondulatoire
Année 2014-2015
Arnaud LE PADELLEC
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Travaux dirigés d’optique ondulatoire
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Travaux dirigés d’optique ondulatoire
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Présentation
Tous les exercices d’optique ondulatoire qui seront abordés en Travaux Dirigés cette année sont
regroupés dans ce fascicule. Ces exercices sont regroupés par thème. Il est demandé aux étudiants
de préparer la séance de travaux dirigés.
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Thème 1 : Diffraction de Fraunhofer
Exercice 1 : Diffraction de Fraunhofer par une fente fine
On considère le système optique schématisé sur la figure 1 ; il comprend :
- deux lentilles minces convergentes (L1) et (L2) d'axe optique commun (z'z), de centres O1 et
O2, de distances focales f1 et f2 respectivement ;
- une source ponctuelle So de longueur d'onde λ, placée au foyer principal objet Fo1 de la lentille
(L1);
- un écran d'observation (E) confondu avec le plan focal image (Fi2 ,xi ,yi) de la lentille (L2).
On place entre les deux lentilles un diaphragme rectangulaire (D) de centre O, situé sur (z'z), de
largeur a (parallèle à Fo1xo) et de longueur b (parallèle a Fo1yo).
xo
x
(L1)
xi
(D)
(L2)
So Fo1
Fi2
z'
z
yo
O1
O
y
O2
yi
(E)
Fig. 1
1. Déterminer la répartition de l'intensité lumineuse dans le plan focal image de (L2).
2. Calculer et décrire la figure de diffraction observée dans le plan focal image de (L2). On donne
λ = 546 nm, a = b = 200λ.
3. Que devient la figure de diffraction lorsque b = 100 a ? En déduire la figure de diffraction d'une
fente fine parallèle à (Fo1yo).
4. Que se passe-t-il si le diaphragme (D) subit une translation suivant la direction (x'x)?
5. Que se passe-t-il si le diaphragme (D) subit une rotation d'angle α autour de (z'z)?
6. Que se passe-t-il si la source ponctuelle So subit un faible déplacement suivant la direction (x'oxo) ?
7. La source ponctuelle So est remplacée par une fente fine (F) centrée en Fo1 et parallèle à (y'oyo).
Qu'observe-t-on dans le plan (E)? Que se passe-t-il si on fait subir à la fente source (F) une rotation
autour de l'axe (z'z)?
Exercice 2 : Lunette astronomique (A faire après le TD)
La lunette astronomique est utilisée pour l’observation d’étoiles. L’objectif de cette lunette est
assimilable à une lentille mince convergente L1 de distance focale image fi1. Compte tenu de
l’éloignement, les étoiles sont supposées ponctuelles. La lumière émise par ces étoiles est
assimilable, à son arrivée sur L1, à une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ. Devant
la face d’entrée de l’objectif est placé un diaphragme opaque (D) percé d’une ouverture
rectangulaire de dimensions ε et b, centrée sur l’axe optique Oz (cf. figure 2).
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X
x
L1
P ε
D
O
y
M
F
O’
b
z
Y
fi1
Fig. 2
Figure de diffraction d’une fente
On observe une étoile S1, située sur l’axe optique de la lunette. L’amplitude réelle de l’onde
incidente tombant normalement sur le diaphragme est notée Ψ0. La lumière diffractée par le
diaphragme (D) est étudiée dans le plan focal image FXY de la lentille L1. La direction de la
r
normale à la surface d’onde diffractée est repérée par le vecteur unitaire e . Tous les rayons
r
diffractés dans la direction e convergent au point courant M(X,Y) du plan focal FXY.
1. Donner l’expression de la transmittance en amplitude t (x, y ) du diaphragme.
2. Donner l’expression des fréquences spatiales u et v associées respectivement à X et Y. Montrer
r
que l’amplitude complexe Ψ1(u,v ) de l’onde diffractée dans la direction du vecteur unitaire e
sin(πuε) sin(πvb)
s’écrit : Ψ1(u,v ) = Ψ0εb
.
πuε
πvb
3. En déduire l’expression de l’intensité lumineuse I1(X,Y )) au point M.
4. Les dimensions de l’ouverture rectangulaire du diaphragme sont telles que ε <<b et b>> λ.
Montrer que dans ces conditions expérimentales, l’intensité diffractée se réduit à :
I1(X ) = I0 sinc 2 (AX ).
Donner les expressions de I0 et de A.
Limite de résolution de la lunette
On étudie maintenant la lumière diffractée par le diaphragme (D), pour une étoile S2 vue sous un
angle δ très petit par rapport à l’axe optique de la lunette (cf. figure 3). L’amplitude réelle de l’onde
incidente tombant sur le diaphragme est notée Ψ0. Les directions des normales aux surfaces d’onde
r
r
incidente et diffractée sont repérées par les vecteurs unitaires e0 et e , respectivement.
S2
D
δ
S1
L1
O’
Fig.3
r
r
Les cosinus directeurs (composantes) des vecteurs unitaires e et e0 suivant les axes Ox, Oy et Oz
r
sont : e(α , β , γ ) et e0 (α 0 , β 0 , γ 0 ). On rappelle que si P est un point du plan de l’ouverture
diffractante (D), l’amplitude complexe de l’onde diffractée dans la direction définie par le
r
vecteur e , s’écrit :
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ψ (e,e 0 ) =
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∫∫( ) ψ
D
0
 2π

exp−i
(e − e 0 ).OP dxdy
 λ

1. Expliciter le produit scalaire (e − e 0 ).OP , puis calculer l’amplitude complexe ψ 2 (e,e 0 ) de l’onde
r
diffractée dans la direction e .
2. En déduire l’expression de l’intensité diffractée I2(α, β, α0, β0.).
3. Donner l’expression de I2(X, Y) si les dimensions du diaphragme sont telles que ε << b et
b>>λ.
4. Les rayons restant proches de l’axe optique, donner les expressions de α et α0 en fonction de X,
fi1 et δ cf. figure 3). Montrer que l’intensité diffractée se réduit alors à :
 X

I2 (X ) = I0 sinc 2B − f i1 

 δ
Donner les expressions de I0 et de B.
5. On observe maintenant simultanément deux étoiles S1 et S2, S1 se trouvant sur l’axe optique et S2
décalée de δ par rapport à l’axe (cf. figure 3). Représenter à l’échelle sur un même graphe les
intensités I1(X)/I0 et I2(X)/I0 déterminées précédemment. Pour chaque courbe, représenter seulement
le pic principal et le premier pic secondaire et préciser la valeur numérique du maximum principal,
ainsi que celle de la mi-largeur à la base du pic principal.
On donne : fi1 = 1m ; δ = 7,5 .10-4 rad ; ε = 10-3 m ; λ = 0,5 µm.
6. Ecrire l’expression I(X) de la répartition de l’intensité résultante qui est observée. Justifier la
réponse. Représenter la courbe I(X) sur le graphe précédent.
7. Définir le critère de Rayleigh. Dans ces conditions, calculer le pouvoir séparateur de la lunette
correspondant à la plus petite valeur de δ détectable.
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Thème 2 : Interférences
Exercice 1 : Diffraction de Fraunhofer par les fentes d'Young
On considère le système optique de l'exercice 1 du thème 1, dans lequel on a remplacé le
diaphragme (D) par un diaphragme (D') percé de deux fentes fines identiques (F1) et (F2), de centres
C1 et C2 situés dans le plan (xOy), de largeur a, de longueur b, et distantes de d. Le milieu de C1C2
est confondu avec O.
1. Déterminer la transmittance en amplitude du diaphragme (D').
2. Donner la répartition de l'intensité lumineuse dans le plan focal image de (L2) et comparer à celle
obtenue dans le cas d'une seule ouverture rectangulaire.
3. Etudier le comportement du terme d'interférence de l'expression de l'intensité lumineuse
diffractée par les deux fentes. On exprimera ce terme en fonction de la différence de chemin optique
∆L entre les ondes de même direction de propagation émises par C1 et C2 distants de d.
4. Représenter graphiquement l'intensité lumineuse en fonction de xi. On calculera la position des
maxima et des minima d'intensité. On prendra λ = 500 nm, f2 = 1 m, a = 0,40 mm et d = 5 a.
5. Que devient cette répartition si So est remplacée par une fente source (F) parallèle à (y'oyo) et
centrée en Fo1 ?
6. On place devant la fente (F1) une lame à faces parallèles d'indice n = 1,5 et d'épaisseur e = 10
mm. Donner la nouvelle expression de la répartition de l'intensité dans le plan (E). Calculer le
déplacement de la frange centrale du système de franges d'interférences. Ce système permet donc
une mesure de l’indice connaissant l’épaisseur ou le contraire.
Exercice 2 : Expérience des fentes d'Young (A faire après le TD)
La figure ci-dessous représente le dispositif des fentes d’Young placé dans l’air. Les deux fentes F1
et F2 sont identiques de centres O1 et O2 tels que O1O2 = e. Les fentes sont éclairées par une onde
plane monochromatique de longueur d’onde λ et d’amplitude A. On se place en condition de
diffraction de Fraunhofer en plaçant un écran d’observation au foyer image d’une lentille
convergente (voir figure 4a).
x
x
e
F1
X
F1
M
O
OÕ
Z
F2
y
O1
e
a
O
b
O2
F2
f
(a)
(b)
Fig. 4
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1. Exprimer la transmittance T(x,y) du diaphragme composé des deux fentes d’Young (voir figure
4b).
2. Calculer l’amplitude diffractée Ψ(u,v ) en tout point de l’écran d’observation. En déduire
l’intensité I(u,v ). On donne : u = X λf et v = Y λf .
3. On se place dans le cas de fentes de très grande longueur b selon Oy, c’est-à-dire que a << b et
b >> λ. Montrer que sin(πvb) (πvb)= δ (v ), avec δ (v ) = 1 si v = 0 et δ (v ) = 0 sinon.
4. En déduire que que l’intensité diffractée s’étale sur le seul axe O’X et s’écrit :
sin(πua)
2
I(u,v ) = 4I0 δ (v) 
 [cos(πue)] .
 πua 
2
5. Faire une représentation graphique soignée, à l’échelle, de I(X ) (la figure de diffraction s’étale
selon O’X d’après la question précédente). On se limitera au pic principal de diffraction et aux
premiers pics secondaires de part et d’autre du pic principal. On prendra aussi e / a = 3.5. Préciser
les valeurs d’annulation de I(X ) et les valeurs correspondant aux maxima d’intensité.
6. Calculer numériquement la taille ∆X de la tache centrale de diffraction. On prendra les valeurs
numériques suivantes : λ = 633 nm, a = 200 µm et f = 1.5 m . Quel est le nombre de franges
brillantes dans la tache centrale de diffraction ?
[
2
]
7. On ne s’intéresse qu’au seul terme d’interférence 4I0 cos(πue) . Montrer que l’intensité peut
s’écrire sous la forme : I(u) = 2I0 (1 + cos Φ), avec Φ = 2π Xe λf .
8. Quelle est la position de la frange correspondant à Φ = 0 et quelle est sa nature, sombre ou
brillante ? Définir ce qu’est l’interfrange. Exprimer l’interfrange i en fonction de λ, f et e. Calculer
numériquement i sachant que e/a = 3.5.
9. On place juste avant la fente F1 un échantillon d’épaisseur ε = 10 µm dont on veut mesurer
l’indice n. La différence de marche supplémentaire introduite par cet échantillon vaut nε – ε.
Calculer le nouveau déphasage Φ' et montrer que le système de franges d’interférence subit une
translation t selon O’X. Calculer l’indice n de l’échantillon si on mesure t = 9.4 mm.
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Thème 3 : Réseaux
Exercice 1 : Fonction réseau de Fraunhofer (A faire avant le TD)
On s’intéresse à la somme U des N premiers termes d’une série géométrique de raison exp(iΦ).
2
 sin( NΦ / 2) 
Montrer que U est proportionel à la fonction réseau : R (Φ) = 

 N sin(Φ / 2) 
On représentera le graphe de cette fonction périodique et paire en considérant Φ petit et N
suffisamment grand pour que NΦ soit élevé.
2
Exercice 2 : Réseau plan par transmission
Un réseau plan par transmission constitué par un arrangement plan de N fentes parallèles (figure 5)
et équidistantes de largeur a réalise une transmittance :
T(x) = 1 pour (m-1)p - a < x < (m-1)p + a
2
2
où 1 ≤ m (entier) ≤ N,
T(x) = 0 ailleurs, où p -appelé pas du réseau- désigne la distance qui sépare deux fentes
consécutives.
Attention N est ici le nombre de fentes du réseau. Ne pas confondre avec le nombre de fentes par
unité de longueur.
Le réseau est éclairé sous incidence θ0 par une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ.
Fig. 5
1. Calculer l’amplitude complexe Ψ de l’onde diffractée dans la direction θ. On exprimera le
résultat en fonction de la variable u, telle que u = (sinθ - sinθ0) / λ.
2. En déduire l’intensité de l’onde diffractée. Représenter I(u).
3. Exprimer la relation fondamentale du réseau donnant la direction des maxima principaux de
lumière. L’ordre sera noté k. Combien d’ordres peut-on observer pour la raie verte d’une lampe à
vapeur de mercure (λ = 546,1 nm) lorsqu’un réseau de pas p = 1,7 µm est éclairé en incidence
normale?
4. On définit la demi-largeur angulaire à la base δθa d’un maximum principal par l’écart angulaire
entre la direction du maximum principal et la direction correspondant au premier minimum nul
suivant ce maximum. Calculer δθa.
5. Décrire ce que l’on observe lorsque le réseau est éclairé par une lumière polychromatique.
6. On considère deux radiations de longueurs d’ondes respectives λ et λ + δλ.
a) Exprimer l’écart angulaire δθ entre les maxima principaux correspondants à ces deux
radiations dans le spectre du même ordre k.
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b) On considère que deux radiations sont séparables pour un observateur si l’écart angulaire
entre leurs maxima principaux est supérieur à la demi-largueur angulaire à la base de ces
maxima : δθ ≥ δθa. Calculer le plus petit écart de longueur d’onde δλ0 entre deux
radiations séparables par le réseau. En déduire son pouvoir de résolution R = λ / δλ0.
c) Combien faut-il de fentes pour pouvoir séparer à l’ordre k = 1 les différentes raies indigos
(433,9 ; 434,7 et 435,8 nm) d’une lampe à vapeur de mercure ? A l’ordre k = 2 ?
7. Montrer que la déviation D = θ - θ0 passe par un minimum Dm pour une valeur θm de l’angle
d’incidence que l’on calculera. Exprimer Dm.
Exercice 3 : Réseau par transmission (A faire après le TD)
On considère un réseau plan constitué d'un arrangement périodique de N fentes parallèles espacées
d’un pas constant p. Le réseau est éclairé sous incidence θ0 par une onde plane monochromatique de
longueur d’onde λ. On note θ l’angle sous lequel est diffractée l’onde. Les angles θ0 et θ sont
mesurés par rapport à la normale au réseau.
Donner la relation fondamentale des réseaux en transmission. Combien de faisceaux diffractés
d’ordres différents peut–on observer lorsqu’un réseau à 500 traits/mm est éclairé sous incidence
normale par une radiation de longueur d’onde 633 nm ? Indiquer l’ordre de chaque faisceau et
l’angle correspondant.
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Thème 4 : Cohérences
Exercice 1 : Principe (A faire avant le TD)
On considère deux ondes monochromatiques polarisées rectilignement de même fréquence.
1. Donner leurs expressions.
2. Calculer la fonction d’onde résultante. En déduire l’intensité résultante.
3. Calculer le contraste des franges. Quand est-il maximum ?
4. Représenter les variations de l’intensité en fonction de ϕ.
Exercice 2 : Interférences par division du front d’onde
A - Fentes d’Young
Un dispositif interférentiel est constitué d’une fente source S éclairant deux fentes F1 et F2 fines,
parallèles, orientées suivant l’axe Oy et distantes de a = 4 mm. L’intensité émise par la source S est
notée I0. On observe les phénomènes d’interférence sur un écran parallèle au plan contenant F1 et F2
et situé à D = 1 m de celui-ci.
1. Calculer la différence de marche en un point P de l’écran situé à la distance x de l’axe Oz.
2. Quelle est la forme des franges observées ? Calculer l’interfrange i et représenter I(x). A.N. : λ =
600 nm.
3. La source S émet à présent deux longueurs d’onde caractéristiques λ1 et λ2 très voisines avec des
intensités égales. Exprimer l’intensité I en un point de l’écran en fonction de ∆λ = λ2 - λ1 et de λ0 =
(λ1 + λ2) / 2.
4. Calculer le contraste des franges dans ce cas. En déduire la position de la première extinction des
franges. A.N. : λ1 = 589 nm et λ2 = 589,6 nm.
B – Miroirs de Fresnel (A faire après le TD)
Un système interférentiel est constitué de deux miroirs M1 et M2 faisant entre eux un angle α très
petit et éclairé par une fente source très fine F0 parallèle à l’arête ∆ commune aux deux miroirs et
située à la distance R de cette arête. Un écran est situé à la distance d = 2 m de cette arête.
1. Représenter le montage utilisé.
2. Calculer la distance a entre les deux sources virtuelles F1 et F2, images de F0 par les deux miroirs
M1 et M2. A.N. : R = 20 cm, α = 3.10-3 rad.
3. Quelle est la forme des franges et comment sont-elles orientées ? Calculer l’interfrange. A.N. : λ
= 600 nm.
4. La fente source F0 est remplacée par deux fentes fines identiques F’0 et F’’0 parallèles à F0,
chacune étant située à une distance e / 2 de F0 (avec e << a). Qu’observe-t-on sur l’écran ?
5. Sachant que F’0 et F’’0 émettent chacune une intensité I0 / 2, calculer l’intensité I’(x) sur l’écran.
En déduire le contraste des franges.
6. On reprend la fente F0 mais en supposant que celle-ci à une largeur finie ε. En supposant que le
phénomène observé correspond à la superposition des systèmes de franges donnés par chaque
élément de fente de largeur infiniment fine, calculer l’intensité I’’(x). Calculer le contraste des
franges. Conclusions ?