Travaux dirigés d`optique ondulatoire

Travaux dirigés d’optique
ondulatoire
Année 2014-2015
Arnaud LE PADELLEC
[email protected]

Travaux dirigés d’optique ondulatoire page 2

Travaux dirigés d’optique ondulatoire page 3
P r é s e n t a t i o n
Tous les exercices d’optique ondulatoire qui seront abordés en Travaux Dirigés cette année sont
regroupés dans ce fascicule. Ces exercices sont regroupés par thème. Il est demandé aux étudiants
de préparer la séance de travaux dirigés.

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Thème 1 : Diffraction de Fraunhofer
Exercice 1 : Diffraction de Fraunhofer par une fente fine
On considère le système optique schématisé sur la figure 1 ; il comprend :
- deux lentilles minces convergentes (L
1
) et (L
2
) d'axe optique commun (z'z), de centres O
1
et
O
2
, de distances focales f
1
et f
2
respectivement ;
- une source ponctuelle S
o
de longueur d'onde λ , placée au foyer principal objet Fo
1
de la lentille
(L
1
);
- un écran d'observation (E) confondu avec le plan focal image (Fi
2
,x
i
,y
i
) de la lentille (L
2
).
On place entre les deux lentilles un diaphragme rectangulaire (D) de centre O, situé sur (z'z), de
largeur a (parallèle à Fo
1
x
o
) et de longueur b (parallèle a Fo
1
y
o
).
x
o
x x
i
(L
1
) (D) (L
2
)
S
o
Fo
1
Fi
2
z' z
y
o
O
1
O y O
2
y
i
(E)
Fig. 1
1. Déterminer la répartition de l'intensité lumineuse dans le plan focal image de (L
2
).
2. Calculer et décrire la figure de diffraction observée dans le plan focal image de (L
2
). On donne
λ = 546 nm, a = b = 200 λ .
3. Que devient la figure de diffraction lorsque b = 100 a ? En déduire la figure de diffraction d'une
fente fine parallèle à (Fo
1
y
o
).
4. Que se passe-t-il si le diaphragme (D) subit une translation suivant la direction (x'x)?
5. Que se passe-t-il si le diaphragme (D) subit une rotation d'angle α autour de (z'z)?
6. Que se passe-t-il si la source ponctuelle S
o
subit un faible déplacement suivant la direction (x'
o
x
o
) ?
7. La source ponctuelle S
o
est remplacée par une fente fine (F) centrée en Fo
1
et parallèle à (y'
o
y
o
).
Qu'observe-t-on dans le plan (E)? Que se passe-t-il si on fait subir à la fente source (F) une rotation
autour de l'axe (z'z)?
Exercice 2 : Lunette astronomique (A faire après le TD)
La lunette astronomique est utilisée pour l’observation d’étoiles. L’objectif de cette lunette est
assimilable à une lentille mince convergente L
1
de distance focale image f
i1
. Compte tenu de
l’éloignement, les étoiles sont supposées ponctuelles. La lumière émise par ces étoiles est
assimilable, à son arrivée sur L
1
, à une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ . Devant
la face d’entrée de l’objectif est placé un diaphragme opaque (D) percé d’une ouverture
rectangulaire de dimensions ε et b, centrée sur l’axe optique Oz (cf. figure 2).

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Fig. 2
Figure de diffraction d’une fente
On observe une étoile S
1
, située sur l’axe optique de la lunette. L’amplitude réelle de l’onde
incidente tombant normalement sur le diaphragme est notée Ψ
0
. La lumière diffractée par le
diaphragme (D) est étudiée dans le plan focal image FXY de la lentille L
1
. La direction de la
normale à la surface d’onde diffractée est repérée par le vecteur unitaire e
r
. Tous les rayons
diffractés dans la direction e
r
convergent au point courant M(X,Y) du plan focal FXY .
1. Donner l’expression de la transmittance en amplitude t x,y
(
)
du diaphragme.
2. Donner l’expression des fréquences spatiales u et v associées respectivement à X et Y. Montrer
que l’amplitude complexe
Ψ
1
u,v
(
)
de l’onde diffractée dans la direction du vecteur unitaire e
r
s’écrit : Ψ
1
u,v
( )
= Ψ
0
ε bsin
π
u
ε
(
)
π
u
ε
sin
π
vb
(
)
π
vb
.
3. En déduire l’expression de l’intensité lumineuse I
1
X,Y
(
)
) au point M.
4. Les dimensions de l’ouverture rectangulaire du diaphragme sont telles que ε <<b et b>> λ .
Montrer que dans ces conditions expérimentales, l’intensité diffractée se réduit à :
I
1
X
(
)
=I
0
sinc
2
AX
(
)
.
Donner les expressions de I
0
et de A.
Limite de résolution de la lunette
On étudie maintenant la lumière diffractée par le diaphragme (D), pour une étoile S
2
vue sous un
angle δ très petit par rapport à l’axe optique de la lunette (cf. figure 3). L’amplitude réelle de l’onde
incidente tombant sur le diaphragme est notée Ψ
0
. Les directions des normales aux surfaces d’onde
incidente et diffractée sont repérées par les vecteurs unitaires
r
e
0
et e
r
, respectivement.
Fig.3
Les cosinus directeurs (composantes) des vecteurs unitaires e
r
et
r
e
0
suivant les axes Ox, Oy et Oz
sont : e α , β , γ
(
)
et
r
e
0
α
0
,
β
0
,
γ
0
(
)
. On rappelle que si P est un point du plan de l’ouverture
diffractante (D), l’amplitude complexe de l’onde diffractée dans la direction définie par le
vecteur e
r
, s’écrit :
D
L
1
ε
εε
ε
b
O’
F
x
y
O
X
Y
z
M
f
i1
P
O’
S
2
S
1
D L
1
δ
δδ
δ