Numérations : en base 10 décimale, dans d`autres bases

Numérations : en base 10 décimale, dans d’autres
bases ; Opérations élémentaires : +,−,×,÷
Denis Vekemans ∗
1 Principes de numération dans l’ensemble des entiers naturels
1.1 À propos de notre système de numération usuel ...
Dans la base décimale, celle que nous utilisons habituellement, l’écriture du nombre 2 050 dégage
que le nombre en question est somme de 2 milliers et de 5 dizaines. Elle induit également que 2 050 =
2×1 000 + 5 ×10 = 2 ×103+ 0 ×102+ 5 ×101+ 0 ×100. On peut voir, à travers cette écriture le rapport
privilégié au nombre 10 duquel la base décimale tire son nom.
Si l’entier naturel nnon nul est tel que 10k≤n < 10k+1 pour un certain entier nturel k, alors ns’écrit
avec k+ 1 chiffres en base décimale.
On dit que notre système de numération décimal est
1. décimal (les échanges d’une classe à la classe juste à droite se font à 10 pour 1 : 1 dizaine vaut 10
unités, 1 centaine vaut 10 centaines, ... et par conséquent, 1 centaine vaut 100 unités, ...)
2. et de position (selon sa place dans le nombre, un même chiffre peut tantôt avoir un statut de
dizaines, tantôt de milliers, ... et donc changer de valeur ; pour signifier une absence dans une
certaine classe, on utilise un zéro de position ; ...)
Certains préfixes sont utilisés en base décimale pour abréger des écritures s’achevant par de nombreux
zéros :
— 1 k= 1 000 (lire "un kilo" vaut mille unités) ;
— 1 M= 1 000 000 (lire "un méga" vaut un million d’unités) ;
— 1 G= 1 000 000 000 (lire "un giga" vaut un milliard d’unités).
Exercice 1 Combien valent 30 M, 47 G, et 21 ken unités ?
Solution 1
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
1

— 30 M= 30 000 000,
— 47 G= 47 000 000 000,
— et 21 k= 21 000.
1.2 Dans d’autres bases ...
On peut aussi écrire un nombre entier naturel nen n’importe quelle base boù best un entier naturel
supérieur ou égal à 2 :
n=a0×b0+a1×b1+a2×b2+...+ak×bk,
où les entiers naturels a0,a1,a2,...,aksont strictement inférieurs à b(ce sont les chiffres permettant
d’écrire le nombre ndans la base b).
Si l’entier naturel nnon nul est tel que bk≤n < bk+1 pour un certain entier nturel k, alors ns’écrit
avec k+ 1 chiffres en base b.
On rappelle : b0= 1 ; b1=b.
Cette écriture peut aussi être abrégée comme suit : n=ak. . . a2a1a0(b).
Familièrement, la base 2 s’appelle la base binaire, la base 60 s’appelle la base sexagésimale.
Exercice 2 Écrire 120 en base 7. Écrire 421 en base 5. Écrire 100 en base 2.
Solution 2
1. (a) Première démarche. Les puissances successives de 7 sont 70= 1, 71= 7, 72= 49, 73= 343, ...
Dans 120, la plus grande puissance de 7 qui entre est 49 et elle rentre deux fois ; on donc
120 = 2 ×72+ 22.
On continue, dans 22, la plus grande puissance de 7 qui entre est 7 et elle rentre trois fois ; on
a donc 120 = 2 ×72+ 3 ×7 + 1 = 231(7).
(b) Deuxième démarche. La division euclidienne de 120 par 7 donne 120 = 17 ×7 + 1.
Mais 17 n’étant pas un chiffre de la base 7, on continue et la division euclidienne de 17 par 7
donne : 17 = 2 ×7 + 3.
Cette fois, 2 est un chiffre de la base 7, donc on écrit
120 = 17 ×7 + 1
= (2 ×7 + 3) ×7 + 1
= 2 ×72+ 3 ×7 + 1
=231(7)
2

Autre disposition de cette deuxième démarche :
120 1 120 = 17 ×7 + 1
17 3 17 = 2 ×7 + 3
2
On lit le nombre en base 7 en remontant les chiffres : 231(7).
2. (a) Première démarche. Les puissances successives de 5 sont 50= 1, 51= 5, 52= 25, 53= 125,
54= 625, ...
Dans 421, la plus grande puissance de 5 qui entre est 125 et elle rentre trois fois ; on donc
421 = 3 ×53+ 46.
On continue, dans 46, la plus grande puissance de 5 qui entre est 25 et elle rentre une fois ; on
a donc 421 = 3 ×53+ 1 ×52+ 21.
On continue, dans 21, la plus grande puissance de 5 qui entre est 5 et elle rentre quatre fois ; on
a donc 421 = 3 ×53+ 1 ×52+ 4 ×5 + 1 = 3141(5).
(b) Deuxième démarche. La division euclidienne de 421 par 5 donne 421 = 84 ×5 + 1.
Mais 84 n’étant pas un chiffre de la base 5, on continue et la division euclidienne de 84 par 5
donne : 84 = 16 ×5 + 4.
Mais 16 n’étant toujours pas un chiffre de la base 5, on continue et la division euclidienne de 16
par 5 donne : 16 = 3 ×5 + 1.
Cette fois, 3 est un chiffre de la base 5, donc on écrit
421 = 84 ×5 + 1
= (16 ×5 + 4) ×5 + 1
= ((3 ×5 + 1) ×5 + 4) ×5 + 1
= 3 ×53+ 1 ×52+ 4 ×5 + 1
=3141(5)
Autre disposition de cette deuxième démarche :
421 1 421 = 84 ×5 + 1
84 4 84 = 16 ×5 + 4
16 1 16 = 3 ×5 + 1
3
On lit le nombre en base 5 en remontant les chiffres : 3141(5).
3

3.
100 0 100 = 50 ×2 + 0
50 0 50 = 25 ×2 + 0
25 1 25 = 12 ×2 + 1
12 0 12 = 6 ×2 + 0
60 6 = 3 ×2 + 0
31 3 = 1 ×2 + 1
1
On lit le nombre en base 5 en remontant les chiffres : 1100100(2).
NB : Pour convertir l’écriture d’un nombre nde la base décimale en la base b:
1. On obtient a0, qui est le dernier chiffre du nombre n, comme reste dans la division eulidienne de n
par b, cette division fournissant le quotient q0.
2. On obtient ai(tant que le quotient qi−1est plus grand que bau sens large, en incrémentant ide
1 à chaque fois) comme reste de la division euclidienne de qi−1par b, cette division fournissant le
quotient qi.
3. On obtient ak, qui est le premier chiffre du nombre n, égal à qk−1.
Puis, n=ak. . . a1a0(10).
Exercice 3 Transcrire le nombre 12345(6) dans notre système décimal.
Solution 3
1. Première démarche. Par lecture directe : 12345(6) = 1 ×64+ 2 ×63+ 3 ×62+ 4 ×6 + 5 =
1 296 + 432 + 108 + 24 + 5 = 1 865.
2. Deuxième démarche. En utilisant les divisions euclidiennes :
n5n=m×6 + 5
m4m=l×6 + 4
l3l=k×6 + 3
k2k= 1 ×6 + 2
1
En partant d’en bas, on remonte dans le tableau et
1 865 5 1 865 = 310 ×6 + 5
310 4 310 = 51 ×6 + 4
51 3 51 = 8 ×6 + 3
82 8 = 1 ×6 + 2
1
Conclusion : 12345(6) = 1 865.
4

Exercice 4 Transcrire le nombre 123(4) en base 2. Ensuite, transcrire le nombre 33210323123(4) en base
2.
Solution 4
123(4) = 1 ×42+ 2 ×4 + 3 ×1
= 1 ×24+ 2 ×22+ 3 ×1
= 1 ×24+ (1 ×2 + 0) ×22+ (1 ×2 + 1) ×1
= 1 ×24+ 1 ×23+ 0 ×22+ 1 ×2 + 1
= 11011(2)
Il nous a suffit de coder chacun des chiffres en base 4 sur deux chiffres en base 2 (0 en base 4 est réécrit
00 en base 2, 1 est réécrit 01, 2 est réécrit 10 et 3 est réécrit 11).
Appliquant ce même principe, on obtient directement : 33210323123(4) = 1111100100111011011011(2).
Analyse de productions d’élèves [Lille (1999)]
Sujet
Solution
Volet didactique [Lille (1999)]
Sujet
Solution
Volet didactique [sujet d’examen 2013-2014]
Sujet
Solution
2 Les techniques opératoires
2.1 L’addition
1. 678 + 987 = XXX
En base 10,
1 1 1
678
+ 9 8 7
1 6 6 5
2. 1234(5) + 4321(5) =XXX(5)
5