CHAPITRE IV L`intégrale de Riemann.

CHAPITRE IV
CHAPITRE IV
CHAPITRE IV
CHAPITRE IV
CHAPITRE IV
CHAPITRE IV
CHAPITRE IV
L’int´ egrale de Riemann.
L’int´ egrale de Riemann.
L’int´ egrale de Riemann.
L’int´ egrale de Riemann.
L’int´ egrale de Riemann.
L’int´ egrale de Riemann.
L’int´ egrale de Riemann.
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann sur un
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann sur un
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann sur un
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann sur un
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann sur un
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann sur un
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann sur un
intervalle ferm´ e born´ e: d
´
efinition, exemples.
intervalle ferm´ e born´ e: d
´
efinition, exemples.
intervalle ferm´ e born´ e: d
´
efinition, exemples.
intervalle ferm´ e born´ e: d
´
efinition, exemples.
intervalle ferm´ e born´ e: d
´
efinition, exemples.
intervalle ferm´ e born´ e: d
´
efinition, exemples.
intervalle ferm´ e born´ e: d
´
efinition, exemples.
II - Propri´ et´ es g´ en´ erales de l’int´ egrale.
II - Propri´ et´ es g´ en´ erales de l’int´ egrale.
II - Propri´ et´ es g´ en´ erales de l’int´ egrale.
II - Propri´ et´ es g´ en´ erales de l’int´ egrale.
II - Propri´ et´ es g´ en´ erales de l’int´ egrale.
II - Propri´ et´ es g´ en´ erales de l’int´ egrale.
II - Propri´ et´ es g´ en´ erales de l’int´ egrale.
III - L’int´ egrale fonction d’une extr´ emit´ e de l’intervalle
III - L’int´ egrale fonction d’une extr´ emit´ e de l’intervalle
III - L’int´ egrale fonction d’une extr´ emit´ e de l’intervalle
III - L’int´ egrale fonction d’une extr´ emit´ e de l’intervalle
III - L’int´ egrale fonction d’une extr´ emit´ e de l’intervalle
III - L’int´ egrale fonction d’une extr´ emit´ e de l’intervalle
III - L’int´ egrale fonction d’une extr´ emit´ e de l’intervalle
d’int´ egration et m´ ethodes de calcul.
d’int´ egration et m´ ethodes de calcul.
d’int´ egration et m´ ethodes de calcul.
d’int´ egration et m´ ethodes de calcul.
d’int´ egration et m´ ethodes de calcul.
d’int´ egration et m´ ethodes de calcul.
d’int´ egration et m´ ethodes de calcul.
IV-G
´
en´ eralisation de la notion d’int´ egrale.
IV-G
´
en´ eralisation de la notion d’int´ egrale.
IV-G
´
en´ eralisation de la notion d’int´ egrale.
IV-G
´
en´ eralisation de la notion d’int´ egrale.
IV-G
´
en´ eralisation de la notion d’int´ egrale.
IV-G
´
en´ eralisation de la notion d’int´ egrale.
IV-G
´
en´ eralisation de la notion d’int´ egrale.
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann
I - Fonctions int´ egrables au sens de Riemann
1. Introduction.
Soient aet bdes r´eels, avec a<b, soit f:[a, b]→Rune application continue. Si Fest
une primitive de fsur [a, b] alors on note b
a
f(t)dt =F(b)−F(a).
Deux questions se posent :
- Une primitive de fexiste-t-elle toujours ?
- Comment g´en´eraliser cette notion pour d’autres classes de fonctions que les fonctions continues ?
On remarque en reprenant l’exemple pr´ec´edent et en consid´erant une subdivision de [a, b]:
a0=a<a
1<...<a n=bque l’on a :
F(b)−F(a)=
n−1
k=0F(ak+1 −F(ak)
et d’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis ∀i∈{0,...,n−1}il existe bi∈]ai,a
i+1[ tel que
F(ai+1)−F(ai)=(ai+1 −ai)f(bi).
Si on pose Mi= sup
x∈[ai,ai+1]
f(x)etmi= inf
x∈[ai,ai+1]f(x)ona:
n−1
i=0
(ai+1 −ai)mi≤b
a
f(t)dt ≤
n−1
i=0
(ai+1 −ai)Mi
on peut penser que si on augmente la “finesse” de la subdivision, on obtient b
a
f(t)dt comme
“limite” commune des deux valeurs d’encadrement. Toute ceci va ˆetre pr´ecis´e.
66

2. Cas des fonctions en escalier.
D´efinitions. Soient aet bdes r´eels avec a<b.
1) Soit f:[a, b]→R.On dit que fest en escalier s’il existe une suite
a=a0<a
1<...<a n=b
telle que fsoit constante sur chaque intervalle ]ai,a
i+1[.On notera E[a,b]l’ensemble
des fonctions en escalier sur [a, b].
2) Une suite d=(a=a0<a
1<...<a n=b) s’appelle une subdivision de [a, b].On notera
|d|= max{|ai+1 −ai|,i∈{0,...,n−1}.C’est le module (ou le pas) de la subdivision. On
notera D[a,b]l’ensemble des subdivisions de [a, b].
3) a) Si det dsont dans D[a,b]on dira que dest plus fine que det on notera d⊆d
si dest obtenue `a partir de den supprimant certains ´el´ements.
b) Enfin si d1et d2sont dans D[a,b]on notera d1∪d2
d1∪d2
d1∪d2
d1∪d2
d1∪d2
d1∪d2
d1∪d2la subdivision obtenue en ordonnant
l’ensemble des ´el´ements intervenant dans d1et d2.
Exemple. [a, b]=[0,1]
.la subdivision 0 <1/3<2/3<1 est plus fine que 0 <1/3<1.
.la r´eunion de cette subdivision avec 0 <1/2<1 est 0 <1/3<1/2<2/3<1.
Proposition 1 et d´efinition. Soit f∈E
[a,b]d´efinie `a l’aide de la subdivision
d=(a=a0<...<a
n=b) par :
∀x∈]ai,a
i+1[f(x)=λi
et `a l’aide de la subdivision d=(a=a
0<...<a
m=b) par
∀x∈]a
i,a i+1[f(x)=µi.
Alors on a : n−1
i=0
(ai+1 −ai)λi=
n−1
i=0
(a
i+1 −a i)µi.
Ce nombre est donc ind´ependant de la subdivision pouvant d´efinir f. Il est appel´e int´egrale de
fsur [a, b] et not´e b
a
f(t)dt.
D´emonstration.
1) Il est imm´ediat qu’en adjoignant un point bentre aiet a1+i`a la subdivision dle r´esultat
ne change pas : (b−ai)λi+(ai+1 −b)λi=(ai+1 −ai)λi.
2) On choisit alors un raffinement commun `a det d(par exemple d∪d).La valeur calcul´ee
avec dou avec dest la mˆeme que celle calcul´ee avec d∪d.
Proposition 2.
1) L’espace E[a,b]est un sous-espace vectoriel de l’espace des applications de [a, b] dans R.
2) L’application E[a,b]→R
f→ b
a
f(t)dt
est lin´eaire.
3) Si fet gsont des ´el´ements de E[a,b]tels que f≤g
c’est-`a-dire : ∀x∈[a, b]f(x)≤g(x)
alors on a :
b
a
f(t)dt ≤b
a
g(t)dt.
67

D´emonstration.
a) Soient fet gdans E[a,b].On peut supposer que fet gsont d´efinies `a l’aide de la mˆeme
subdivision d=(a=a0<...<a
n=b) ona:
∀i∈{0,...,n−1}∀x∈]ai,a
i+1[
f(x)=λi
g(x)=µi.
Alors f+gest constante sur chaque ]ai,a
i+1[etb
af(t)+g(t)dt =
n−1
i=0
(λi+µi)(ai+1 −ai)=
b
a
f(t)dt +b
a
g(t)dt
b) Il est ´egalement imm´ediat que pour tout λ∈R,λf est constante sur ]ai,a
i+1[ et que
b
a
λf(t)dt =λb
a
f(t)dt.
c) Enfin E[a,b]est non vide.
On obtient donc bien un espace vectoriel et une application lin´eaire, donc les propri´et´es 1) et 2).
La propri´et´e 3) est imm´ediate.
3. Sommes de Darboux, int´egrales sup´erieures et inf´erieures.
Notations.
1) On d´esigne par B[a,b]l’espace (vectoriel) des applications born´ees de [a, b] dans R.
2) Soit f∈B
[a,b],soit d=(a=a0<...<a
n=b) une subdivision de [a, b].On notera
sf(d)=
n−1
i=0
(ai+1 −ai)miavec mi= inf
x∈[ai,ai+1]f(x)
Sf(d)=
n−1
i=0
(ai+1 −ai)Miavec Mi= sup
x∈[ai,ai+1]
f(x).
Ce sont les sommes de Darboux de frelativement `a la subdivision d.
Proposition 3.
1) Soient det ddans D[a,b]avec d⊆d.
Alors on a : sf(d)≤sf(d)≤Sf(d)≤Sf(d).
2) Soient d1et d2dans D[a,b].Alors on a :
sf(d1)≤Sf(d2).
D´emonstration.
1) Il suffit de d´emontrer le r´esultat dans le cas o`u pour d=(a=a0<...<a
n=b),on obtient
den ajoutant un point centre aiet ai+1.
Les contributions du segment ]ai,a
i+1[ dans les sommes s(d)ets(d) sont :
(ai+1 −ai) inf
x∈[ai,ai+1]f(x) pour sf(d)
et
(ai+1 −c) inf
x∈[c,ai+1]f(x)+(c−ai) inf x∈[ai,c]f(x) pour sf(d).
68

Or on a :
inf
x∈[ai,ai+1]f(x)≤inf x∈[c,ai+1]f(x)
inf
x∈[ai,ai+1]f(x)≤inf x∈[ai,c]f(x).
On obtient donc sf(d)≤sf(d).
Le calcul est analogue pour Sf(d)≤Sf(d) et l’in´egalit´e sf(d)≤Sf(d) est ´evidente.
2) On a sf(d1)≤sf(d1∪d2)≤Sf(d1∪d2)≤Sf(d2).
Proposition 4 et d´efinition. Soit f∈B
[a,b].Alors :
1) Les ensembles {sf(d)/d∈D
[a,b]}et b
a
h(t)dt / hfonction en escalier
h≤f
sont major´es, et on a :
sup
d∈D[a,b]
sf(d) = sup b
a
h(t)dt / h≤f
hen escalier.
On notera [a,b]
∗
f(t)dt ce nombre.
2) Les ensembles Sf(d)/d∈D
[a,b]et b
a
h(t)dt / hfonction en escalier
f≤h
sont minor´es et on a :
inf
d∈D[a,b]
Sf(d) = inf b
a
h(t)dt / f≤h
fen escalier 
on notera ∗
[a,b]
f(t)dt ce nombre.
3) On a [a,b]
∗
f(t)dt ≤∗
[a,b]
f(t)dt.
D´emonstration.
(La d´emontration non trait´ee en cours est donn´ee `a titre documentaire et ne sera pas au programme
de l’examen).
1) a) Les deux ensembles sont major´es de fa¸con ´evidente.
Soit d∈D
[a,b],d=(a=a0<...<a
n=b).
Soit hla fonction en escalier telle que :
.∀i∈{0,...,n−1}∀x∈]ai,a
i+1[h(x) = inf
x∈[ai,ai+1]f(x)
.∀i∈{0,...,n}h(ai)=f(ai).
On a alors :
sf(d)=b
a
h(t)dt ≤sup b
a
(t)/≤f
en escalier.
Ceci ´etant vrai pour tout dona:
sup
d∈D[a,b]
sf(d)≤sup b
a
(t)/≤f
en escalier.
b) Soit ε∈R,ε>0 et soit hen escalier telle que h≤f.
69

Soit dune subdivision permettant de d´efinir h:
d=(a=a0<...<a
n=b)et∀i∀x∈]ai,a i+1[h(x)=λi
Soit K∈RK>0 tel que ∀x∈[a, b]|f(x)|≤ Ket |h(x)|≤ K.
Soit η∈R,η>0 tel que :
d=(a=a0<a
0+η<a 1−η<a 1<a 1+η...<a n−η<a n=b)
soit une subdivision et η< ε
4Kn.
On a ∀i∈{0,...,n−1}∀x∈[ai+η, ai+1 −η]h(x)≤inf
x∈[ai+η,ai+η]f(x) puisque hest
constante sur cet intervalle.
D’o`u, en calculant b
a
h(t)dt `a l’aide de la subdivision d:
b
a
h(t)dt −sf(d)≤
n−1
i=0
η(λi−mi)+
n
i=1
η(λi−1−mi−1)
o`uonapos´e∀i∈{0,...,n−1}mi= inf
x∈[ai,ai+1]f(x) (la premi`ere somme correspond aux
intervalles [ai,a
i+η] et la seconde aux intervalles [ai−η, ai]),on obtient :
b
a
h(t)dt −sf(d)≤4Knη < ε.
D’o`u
b
a
h(t)dt ≤sup
δ∈S[a,b]
sf(δ)+ε.
Ceci ´etant vrai pour toute fonction en escalier htelle que h≤f, on obtient :
supb
a
h(t)dt /h en escalier h≤f≤sup
δ∈D[a,b]
sf(δ)+ε
ceci ´etant vrai pour tout ε∈R,ε>0,on obtient
supb
a
h(t)dt /h en escalier h≤f≤sup
δ∈D[a,b]
sf(δ).
2) Se d´emontre de fa¸con analogue au 3).
3) provient de l’in´egalit´e sf(d1)≤Sf(d2) vraie pour tout choix de d1et d2dans D[a,b].
D´efinition. Avec ces notations on dira que f∈B[a,b]est int´egrable au sens de Riemann
ou Riemann-int´egrable si on a :
∗
[a,b]
f(t)=[a,b]
∗
f(t).
Alors cette valeur commune sera appel´ee int´egrale de fsur [a, b] et not´ee b
a
f(t)dt.
On notera I[a,b]l’espace des fonctions int´egrables au sens de Riemann sur [a, b].
70