Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique

Spéciale PSI - Cours "Electromagnétisme" 1
Induction électromagnétique
Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique
Objectifs:
•Coecients d’inductance propre L et mutuelle M
•Bilan énergétique
1. Inductance propre
1.1. Dénition, notations
Un circuit liforme (C)parcouru par un courant d’intensité icrée un champ magnétique  Bque l’on qualiedepropre,par
opposition au champ extérieur dont il n’est pas responsable mais dans lequel il peut-être plongé.
Le $ux de ce champ propre à travers le circuit qui l’a créé est appelé le ux propre.
(C)
(S)dS
B
r
Comme  Bet donc sont proportionnels à i(loi de Biot Savart), le rapport /i ne dépend plus du courant qui parcourt
le circuit et constitue donc une caractéristique intrinsèque de celui-ci ; on l’appelle l’inductance propre :
L=propre
i=S
B.d S
i
Les unités du Système d’Unité Internationales sont : L: Henry, symbole H
: Weber, symbole Wb (1Wb=1T.m2)
Remarques :
1) L’inductance propre Lest une grandeur toujours positive.
2) L’inductance propre Ldépend de la géométrie du circuit et des propriétés magnétiques du milieu dans lequel il est
plongé.
3) Il n’est pas nécessaire qu’un circuit soit parcouru réellement par un courant pour calculer son inductance propre, il
su2t d’imaginer l’existence d’un courant iquelconque et calculer le $ux propre correspondant.
1.2. Exemple
i
i
l
S
N
spires

Electromagnétisme. Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique 2
On considère un solénoïde de longueur comportant Nspires régulières, supposées jointives, de section S.
•Le champ magnétique  Bà l’intérieur du solénoïde (champ propre) est
B=µ0niez=µ0
N
iez
avec ezvecteur unitaire de l’axe du solenoïde ;
•Le $ux propre propre est alors
propre =N0=N(BS)=µ0N2S
i
•L’inductance propre Ldu solénoïde est alors :
L=propre
i=µ0N2S
i
i=µ0N2S
Exercice n01 :Inductance propre d’un tore
h
N
spires
b
a
On considère un tore (de rayons interne aet externe b) de section rectangulaire (hauteur h) comportant Nspires. Déterminer
l’inductance propre Ldu tore.
1.3. Loi d’Ohm aux bornes d’une portion de circuit présentant une inductance propre
La loi d’Ohm généralisée s’écrit
uAB =Ri
AB eABext eABpropre
La f.e.m. d’auto induction eABpropre est donnée par la loi de Faraday : eABpropre =dpropre
dt =d(Li) dt
Si le circuit ne se déforme pas (bobine rigide) et si le milieu magnétique dans lequel il est plongé est linéaire (µrconstante,
cette restriction exclue les matériaux dits ferromagnétiques), alors son inductance propre ne dépend pas du temps et :
eABpropre =Ldi
dt uAB =Ri
AB eABext +Ldi
dt
Dans le cas où il n’y a pas de phénomène d’induction ”externe” (le champ magnétique externe est nulle :  Bext =
0)on
obtient:
uAB =Ri
AB +Ldi
dt
L
A
B
i
R
dt
di
L
A
B
i
R

Electromagnétisme. Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique 3
1.4. Energie magnétique
On étudie la réponse d’un solénoïde (longueur comportant Nspires de section S) de résistance Ret d’inductance Làun
échelon de tension. Pour cela on l’alimente par un générateur parfait délivrant une tension u. On suppose qu’il n’y a pas de
champ magnétique externe et que l’inductance propre Lest constante ; on a donc
u=Ri+Ldi
dt avec u(t)=0t<0
E=cste t>0
i(t)=E
R1exp t  avec =L R
Pour faire un bilan énergétique on multiplie l’équation di;érentielle par idt
u(idt)=Ri(idt)+Ldi
dt (idt)
uidt =Ri
2dt +Lidi
t
0
Eidt
énergie délivrée
par le générateur
=t
0
Ri
2dt
énergie dissipée
par e;et Joule
+t
0
Lidi
énergie emmagasinée
par la bobine
Entre 0et t1le solénoïde accumule une énergie magnétique WBavec
WB=t=t1
t=0
Lydy =y=i
y=0
Lydy =1
2Li2
Il reste à relier cette énergie à la densité volumique d’énergie électromagnétique w=0E2
2+B2 2µ0.
•Le champ propre du solénoïde (considéré comme idéal) est :
—nul à l’extérieur
—égale à µ0N
ià l’intérieur
•l’énergie magnétique emmagasinée est donc
wB.V =B2
2µ0
S=µ0N
i2
2µ0
S=1
2µ0
N2S
i2
•l’inductance propre du solénoïde est L=µ0N2S
On a bien wB.V =1
2Li2=WB
Le courant iqui parcourt un circuit, d’inductance propre L,crée un champ magnétique propre  Bpropre
auquel est associé une énergie magnétique propre WBdonnée par
WB=1
2Li2=1 2ipropre =1 2
espace
B2
propre
µ0d
Remarque : Cette dernière expression permet d’obtenir l’inductance propre de circuits non liformes pour lesquels, la
relation de dénition L=propre
i=S
B.d S
iest inapplicable faute de pouvoir calculer le $ux propre.
Exercice n02 :câble coaxial

Electromagnétisme. Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique 4
h
R
1
R2
r
(
)
rB
r
I
I
Soit un câble constitué de deux cylindres coaxiaux et supposé de longueur innie. On suppose que le courant circule en périphérie
du conducteur central (âme du coaxial), le retour étant assuré par le conducteur externe. Les densités de courants surfaciques sont
uniformes.
Déterminer le champ magnétique 
B.EndéduirewBet WB. Montrer alors que L=µ0h
4ln R2 R1.
2. Inductance mutuelle
2.1. Flux de mutuelle inductance
Soient deux circuits orientés repérés par (1) et (2) tels que :
•quand le circuit (1) est parcouru par une intensité de courant i1, le circuit (2) embrasse une partie (ou la totalité) du
champ magnétique  B1crée par (1),
•quand le circuit (2) est parcouru par une intensité de courant i2, le circuit (1) embrasse une partie (ou la totalité) du
champ magnétique  B2crée par (2).
1
B
r
i
1
1
2
2
B
r
i2
1
2
On désigne par :
12le $ux du champ magnétique 
B1à travers le circuit (2) :12=(2) 
B1.d
S
21le $ux du champ magnétique  B2à travers le circuit (1) :21=(1) 
B2.d
S
Ces $ux sont appelés les ux de mutuelle inductance.
2.2. Expression de l’inductance mutuelle
Les champs  B1et  B2étant respectivement proportionnels aux courants i1et i2,les$ux de mutuelle inductance peuvent
s’écrire :
12=M12i1et 21=M21i2

Electromagnétisme. Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique 5
Nous admettrons que les deux coe2cients M12et M21sont égaux et désignerons par inductance mutuelle Mleur valeur
commune :
M=12
i1=21 i2
La dimension d’une inductance mutuelle est celle d’une inductance propre et Mse mesure donc en Henry.
Remarques :
1) Comme l’inductance propre L, l’inductance mutuelle Mdépend de la géométrie des deux circuits et des propriétés
magnétiques du milieu dans lequel ils sont plongés.
2) Contrairement à l’inductance propre Ltoujours positive, l’inductance mutuelle Mest une grandeur algébrique
dont le signe dépend de l’orientation des deux circuits. Si l’on inverse l’orientation d’un des deux circuits l’inductance mutuelle
Mest changée en son opposé.
3) Nul besoin que les circuits soient parcourus réellement par des courants pour calculer leur inductance mutuelle, il su2t
d’imaginer l’existence d’un courant iquelconque (i1ou i2)etcalculerle$ux de mutuelle correspondant.
4) En général l’inductance mutuelle de deux circuits n’a de valeur notable que lorsqu’il s’agit de parties bobinées voisines.
Exercice n03 : Inductance mutuelle entre deux spires
Soit deux spires, l’une de rayon Ret d’axe (Oz), et une seconde spire de même axe et de rayon atrès petit par rapport à R.Ces
deux spires sont à une distance dl’une de l’autre.
Calculer les coe2cients M12et M21, puis montrer que M=M12=M21. On prendra les orientations choisies sur le schéma ci-dessous.
2.3. Couplage magnétique entre deux circuits
2.3.1. Loi d’Ohm aux bornes d’une portion de circuit présentant une inductance propre et une inductance
mutuelle
Si deux circuits sont en inductance mutuelle et en supposant qu’il n’y a pas d’autre source de champ magnétique, les
$ux totaux à travers chacune des deux bobines s’écrivent :
1=11+21=L1i1+Mi2
2=22+12=L2i2+Mi1
D’où les f.e.m. induites :
e1=d1
dt =L1di1 dt Mdi2 dt
e2=d2
dt =L2di2 dt Mdi1 dt
R1L1
M
R2
L2
i1i2
A
D
C
B
R1
e1
R2
e2
i1i2
A
D
C
B