TD 3 - IPCMS - Université de Strasbourg

Université de Strasbourg Électromagnétisme
Licence MPA, L2–S4 c G. Weick
TD 3
Magnétostatique — Rappels et compléments
Exercice 3.1
Une particule de charge qvenant de la gauche pénètre dans une région de l’espace où règne
un champ magnétique uniforme Bdirigé vers la feuille. La trajectoire de la particule est alors
déviée vers le haut. Quel est le signe de la charge q?
Exercice 3.2
Déterminez et esquissez la trajectoire de la particule étudiée dans l’Exemple 3.2 du cours si
elle démarre de l’origine avec la vitesse
(a) v(0) = (E/B)ˆy;
(b) v(0) = (E/2B)ˆy;
(c) v(0) = (E/B)( ˆy+ˆz).
Exercice 3.3
Supposons qu’un champ magnétique de la forme B=kz ˆ xrègne dans tout l’espace, avec k
une constante. Déterminez la force exercée sur une boucle de courant carrée (de côté a) se
trouvant dans le plan yz et centrée à l’origine si celle-ci est parcourue par un courant Idans
le sens anti-horaire (en regardant la boucle des xpositifs).
Exercice 3.4
Un courant stationnaire Iparcourt un fil (cylindrique) de rayon a.
(a) Si le courant est uniformément réparti sur la surface, quelle est la densité surfacique de
courant K?
(b) Si le courant est distribué de telle sorte que la densité volumique de courant Jest inverse-
ment proportionnelle à la distance à l’axe, quelle est l’expression de J?
Exercice 3.5
(a) Un phonographe porte une densité surfacique de charge uniforme σ. Si le phonographe
tourne à une vitesse angulaire constante ω, quelle est la densité surfacique de courant K?
(b) Une sphère de rayon Runiformément chargée en volume, de charge totale Q, est centrée
à l’origine et tourne sur elle-même autour de l’axe zà une vitesse angulaire constante ω.
Déterminez la densité de courant Jen tout point de l’espace intérieur à la sphère.
Exercice 3.6
Pour une configuration de charges et de courants confinés dans un volume V, montrez que
ZVdτJ=dp
dt,
où pest le moment dipolaire total.
1

Exercice 3.7
(a) Déterminez le champ magnétique au centre d’une boucle carrée parcourue par un courant
stationnaire I. On appellera Rla distance du centre au côté.
(b) Même question pour un polygone régulier à ncôté.
(c) Vérifiez que le résultat de la question (b) se ramène à celui d’une boucle circulaire lorsque
n→∞.
Exercice 3.8
Déterminez le champ magnétique au
point Ppour chacune des configurations
de la Fig. 1.
5.2. THE BIOT-SAVART LAW
For surface and volume currents the Biot-Savart law becomes
219
{to f K(r') x4 ,
B(r) =- 2 da
4JT 1-
and
B(r) = {to fJ(r')2 x4 dr',
4JT 1-
(5.39)
respectively. You
might be tempted to write down the corresponding formula for amoving
point charge, using
the "dictionary" 5.30:
{to qv x4
B(r) = ---
4JT 1-
2'(5.40)
but this is simply wrong.? As Imentioned earlier, apoint charge does not constitute asteady
current, and the Biot-Savart law, which only holds for steady currents, does not correctly
determine its field.
Incidentally, the superposition principle applies to magnetic fields
just as it does to
electric fields:
If you have acollection of source currents, the net field is the (vector) sum
of the fields due to each of them taken separately.
Problem 5.8
(a) Find the magnetic field at the center of asquare loop, which carries asteady current I. Let
R be the distance from center to side (Fig. 5.22).
(b) Find the field at the center of aregular n-sided polygon, carrying asteady current I. Again,
let R
be the distance from the center to any side.
(c) Check that your formula reduces to the field at the center of acircular loop, in the limit
n ---+ 00.
Problem 5.9 Find the magnetic field at point Pfor each of the steady current configurations
shown
in Fig. 5.23.
Figure 5.22
(a) c
-----
RI
p
---L
-----..
(b)
Figure 5.23
71 say this loud and clear to emphasize the point of principle; actually, Eq. 5.40 is approximately right for
nonrelativistic charges (v «c), under conditions where retardation can be neglected (see Ex. 10.4).
Fig. 1: c D. J. Griffiths
Exercice 3.9
Déterminez la force exercée sur la boucle carrée de côté ade la
Fig. 2 située à une distance sd’un fil infiniment long. Le fil et la
boucle sont parcourus par un courant stationnaire I.
220
(a)
CHAPTER 5. MAGNETOSTATICS
JA
(b)
Figure 5.24
Problem 5.10
(a) Find the force on asquare loop placed as shown in Fig. 5.24(a), near an infinite straight
wire. Both the loop and the wire carry asteady current
I.
(b) Find the force on the triangular loop in Fig. 5.24(b).
Figure 5.25
Problem 5.11 Find the magnetic field at point Pon the axis of atightly wound solenoid (helical
coil) consisting
of nturns per unit length wrapped around acylindrical tube of radius aand
carrying current I(Fig. 5.25). Express your answer in terms
of 81 and 82 (it's easiest that
way). Consider the turns to be essentially circular, and use the result
of Ex. 5.6. What is the
field on the axis
of an infinite solenoid (infinite in both directions)?
-1)
=:J_
d
.,--
-1)
Figure 5.26
Problem 5.12 Suppose you have two infinite straight line charges A, adistance dapart, moving
along at aconstant speed v(Fig. 5.26). How great would vhave to be in order for the magnetic
attraction to balance the electrical repulsion? Work out the actual number.
.. Is this areasonable
sort
of speed?8
8If you've studied special relativity, you may be tempted to look for complexities in this problem that are not
really there-A and v are both measured in the laboratoryframe, and this is ordinary electrostatics (see footnote 4 J.
Fig. 2: c D. J. Griffiths
Exercice 3.10
On considère le solénoïde de la Fig. 3, comportant n
spires par unité de longueur enroulées autour d’un
tube cylindrique de rayon aet parcourues par un
courant I. Exprimez le champ magnétique au point
Pen fonction de θ1et θ2. Supposez que les spires
sont essentiellement circulaires, et utilisez le résul-
tat démontré en cours pour le champ produit par
une boucle circulaire de courant. Quel est le champ
magnétique sur l’axe d’un solénoïde infini ?
220
(a)
CHAPTER 5. MAGNETOSTATICS
JA
(b)
Figure 5.24
Problem 5.10
(a) Find the force on asquare loop placed as shown in Fig. 5.24(a), near an infinite straight
wire. Both the loop and the wire carry asteady current
I.
(b) Find the force on the triangular loop in Fig. 5.24(b).
Figure 5.25
Problem 5.11 Find the magnetic field at point Pon the axis of atightly wound solenoid (helical
coil) consisting
of nturns per unit length wrapped around acylindrical tube of radius aand
carrying current I(Fig. 5.25). Express your answer in terms
of 81 and 82 (it's easiest that
way). Consider the turns to be essentially circular, and use the result
of Ex. 5.6. What is the
field on the axis
of an infinite solenoid (infinite in both directions)?
-1)
=:J_
d
.,--
-1)
Figure 5.26
Problem 5.12 Suppose you have two infinite straight line charges A, adistance dapart, moving
along at aconstant speed v(Fig. 5.26). How great would vhave to be in order for the magnetic
attraction to balance the electrical repulsion? Work out the actual number.
.. Is this areasonable
sort
of speed?8
8If you've studied special relativity, you may be tempted to look for complexities in this problem that are not
really there-A and v are both measured in the laboratoryframe, and this is ordinary electrostatics (see footnote 4 J.
Fig. 3: c D. J. Griffiths
Exercice 3.11
Un courant stationnaire Iparcourt un long cylindre de rayon a. Calculez le champ magnétique
résultant (à l’intérieur et à l’extérieur du cylindre) si
(a) le courant est uniformément distribué sur la surface du cylindre ;
(b) le courant est distribué de telle sorte que J∝r, où rest la distance à l’axe.
2

Exercice 3.12
Une plaque épaisse s’étendant de z=−aàz=aporte un
courant volumique uniforme J=Jˆ x(voir Fig. 4). Détermi-
nez le champ magnétique en fonction de z, à l’intérieur et à
l’extérieur de la plaque.
5.3. THE DIVERGENCE AND CURL OF B231
Problem 5.13 Asteady current Iflows down along cylindtical wire of radius a(Fig. 5.40).
Find the magnetic field, both inside and outside the wire, if
(a) The current is uniformly distributed over the outside surface
of the wire.
(b) The current
is distributed in such away that J is proportional to s, the distance from the
axis.
Figure 5.40 Figure 5.41
Problem 5.14 Athick slab extending from z= -a to Z= +a carries auniform volume
current J=Jx(Fig. 5.41). Find the magnetic field, as afurlction
of z, both inside and outside
the slab.
Problem 5.15 Two long coaxial solenoids each tarry current I, but in opposite directions, as
shown
in Fig. 5.42. The inner solenoid (radius a) has nj turns per unit length, and the outer
one (radius b) has n2. Find Bin each
of the three regions: (I) inside the inner solenoid, (ii)
between them, and (iii) outside both.
Figure 5.42
Figure 5.43
1)
1)
Problem 5.16 Alarge parallel-plate capacitor with uniform surface charge (J on the iJpper
plate and -(J on the lower is moving with aconstant speed v, as shown in Fig. 5.43.
(a) Find the magnetic field between the plates and also above and below them.
(b) Find the magnetic force per unit area on the upper plate, including its directiort.
(c) At what speed vwould the magnetic force balance the electrical force?ll
II See footnote 8.
Fig. 4: c D. J. Griffiths
Exercice 3.13
Deux long solénoïdes coaxiaux sont tous deux parcourus par
un courant I, en direction opposé (voir Fig. 5). Le solénoïde
interne (de rayon a) comporte n1spires par unité de lon-
gueur, celui externe (de rayon b) en comporte n2. Calculez
Bdans les trois régions suivantes : (i) à l’intérieur du solé-
noïde interne ; (ii) entre les deux solénoïdes ; (iii) à l’extérieur
des deux.
5.3. THE DIVERGENCE AND CURL OF B231
Problem 5.13 Asteady current Iflows down along cylindtical wire of radius a(Fig. 5.40).
Find the magnetic field, both inside and outside the wire, if
(a) The current is uniformly distributed over the outside surface
of the wire.
(b) The current
is distributed in such away that J is proportional to s, the distance from the
axis.
Figure 5.40 Figure 5.41
Problem 5.14 Athick slab extending from z= -a to Z= +a carries auniform volume
current J=Jx(Fig. 5.41). Find the magnetic field, as afurlction
of z, both inside and outside
the slab.
Problem 5.15 Two long coaxial solenoids each tarry current I, but in opposite directions, as
shown
in Fig. 5.42. The inner solenoid (radius a) has nj turns per unit length, and the outer
one (radius b) has n2. Find Bin each
of the three regions: (I) inside the inner solenoid, (ii)
between them, and (iii) outside both.
Figure 5.42
Figure 5.43
1)
1)
Problem 5.16 Alarge parallel-plate capacitor with uniform surface charge (J on the iJpper
plate and -(J on the lower is moving with aconstant speed v, as shown in Fig. 5.43.
(a) Find the magnetic field between the plates and also above and below them.
(b) Find the magnetic force per unit area on the upper plate, including its directiort.
(c) At what speed vwould the magnetic force balance the electrical force?ll
II See footnote 8.
Fig. 5: c D. J. Griffiths
Exercice 3.14
La loi d’Ampère est-elle en accord avec le fait que la divergence du rotationnelle d’un champ
de vecteurs est toujours nulle ? Montrez que la loi d’Ampère ne peut pas être valide en général.
Y a-t-il d’autres « défauts » de la sorte avec les trois autres équations de Maxwell ?
Exercice 3.15
Déterminez le potentiel vecteur Ad’un segment droit de fil parcouru par un courant I. On
supposera que le fil se situe le long de l’axe z, de z1àz2. Vérifiez votre résultat en calculant le
champ magnétique résultant.
Exercice 3.16
Quelle est la densité de courant résultant du potentiel vecteur A=kˆ θen coordonnées cylin-
driques (kest une constante).
Exercice 3.17
Si Best uniforme, montrez que A(r) = −1
2r×Best bien un potentiel vecteur possible, c’est-à-
dire, montrez que ∇ · A=0 et ∇ × A=B.
Exercice 3.18
Déterminez le potentiel vecteur partout dans l’espace pour l’Exemple 3.8 du cours.
3

Exercice 3.19
Dans le cours, nous avons démontré que le potentiel vecteur a pour expression
A(r) = µ0
4πZdτ0J(r0) η, (1)
avec η=r−r0.
(a) Montrez que l’Eq. (1) est consistante avec ∇ · A=0.
(b) Montrez que l’Eq. (1) donne bien la loi de Biot-Savart B(r) = µ0
4πRdτ0J(r0)׈η
η2.
Exercice 3.20
(a) Vérifiez les relations de passage du champ magnétique pour l’Exemple 3.9 du cours.
(b) Vérifiez les relations de passage du potentiel vecteur pour l’Exemple 3.10 du cours.
Exercice 3.21
Dans le cours, nous avons montré que le champ créé par un dipôle magnétique idéal ma pour
expression
Bdip(r) = µ0m
4πr3(2 cos θˆ
r+sin θˆ θ). (2)
Montrez que l’Eq. (2) peut être réécrite sans faire usage d’un système de coordonnées de la
façon suivante :
Bdip(r) = µ0
4π
1
r3[3(m·ˆ
r)ˆ r−m]. (3)
Exercice 3.22
Une boucle circulaire de courant (rayon R) se trouvant dans le plan xy et centrée à l’origine
est parcourue par un courant Idans le sens anti-horaire (vu des zpositifs).
(a) Quel est le moment magnétique dipolaire ?
(b) Quel est le champ magnétique (approximatif) à une distance rR?
(c) Montrez que pour des points le long de l’axe z, le résultat de la question (b) correspond
au résultat exact (cf. Exemple 3.6).
Exercice 3.23
Calculez le moment magnétique dipolaire du dispositif de l’Exercice 3.5(a).
Exercice 3.24
Dans le cours, nous avons développé en multipôles le potentiel vecteur produit par une boucle
de courant. On cherche ici à « traduire » les expressions obtenues pour une distribution de
courant volumique J.
(a) Développez le potentiel vecteur au deuxième ordre en multipôles.
(b) Montrez que le monopôle magnétique est nul.
(c) Montrez que le dipôle magnétique s’écrit
m=1
2Zdτ(r×J).
4