Introduction `a la théorie quantique des champs - LAPTh

Universit´es de Grenoble-Alpes & de Savoie Mont-Blanc
Master 2`eme ann´ee de physique
Parcours physique subatomique et cosmologie PSC
Septembre 2016 `a F´evrier 2017
Introduction `a la th´eorie quantique des champs
Pierre Salati1,2
1Laboratoire d’Annecy–le–Vieux de Physique Th´eorique LAPTh,
9 Chemin de Bellevue, B.P. 110, 74941 Annecy-le-Vieux Cedex
2Universit´e Savoie Mont Blanc, B.P. 1104, 73011 Chamb´ery Cedex
[email protected] & [email protected]
t´el´ephone 04.50.09.16.69
site web http://lapth.cnrs.fr/pg-nomin/salati/
Plan du cours
•Lundi 12 Septembre 2016 – Le chapitre Inous permettra de nous pr´eparer `a la quan-
tification canonique du champ scalaire grˆace `a un rappel sur les phonons et `a une ´etude
classique puis quantique de la ligne continue parcourue par des ondes sonores.
•Lundi 19 Septembre 2016 – Suite et fin du chapitre I.
•Lundi 26 Septembre 2016 – D´ebut du chapitre II avec l’´etude du champ scalaire de
Klein–Gordon ou champ neutre de spin 0. Nous nous int´eresserons tout d’abord `a la
d´erivation classique des ´equations que ce champ v´erifie et nous construirons son tenseur
impulsion–´energie grˆace au th´eor`eme de Noether.
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•Lundi 3 Octobre 2016 – Suite du chapitre II avec l’´etude de la quantification canonique
du champ scalaire neutre et la construction des op´erateurs Hamiltonien et impulsion. Puis
nous passerons au champ scalaire charg´e susceptible de d´ecrire les pions π±.
•Lundi 10 Octobre 2016 – Suite du chapitre II. Nous insisterons sur le propagateur de
Feynman associ´e au champ scalaire charg´e ainsi que sur le T–produit.
•Lundi matin 17 Octobre 2016 – Suite du chapitre II avec la quantification du champ
´electromagn´etique dont nous aurons au pr´ealable rappel´e les propri´et´es classiques. Equa-
tions de Maxwell et invariance de jauge. Formalisme Lagrangien et tenseur impulsion–
´energie.
•Lundi apr`es-midi 17 Octobre 2016 – Nous ´etudierons la quantification du champ
´electromagn´etique via la m´ethode de Gupta–Bleuler.
•Lundi matin 14 Novembre 2016 – Suite du chapitre II avec le champ fermionique de
spin demi–entier. Nous commencerons par des r´evisions sur l’´equation de Dirac qui a ´et´e
´etudi´ee en cours de m´ecanique quantique relativiste en M1. Puis analyse Lagrangienne et
tenseur impulsion–´energie.
•Lundi apr`es-midi 14 Novembre 2016 – Suite de l’´etude du champ fermionique. Seconde
quantification et d´erivation des relations d’anticommutation qui traduisent le fait qu’une
particule de spin demi–entier est un fermion. Nous terminerons avec le propagateur de
Feynman de l’´electron qui a ´et´e d´eriv´e en cours de m´ecanique quantique relativiste en
M1.
•Lundi matin 28 Novembre 2016 – Jusqu’`a pr´esent, les champs quantiques ´etudi´es
´etaient libres. Nous les mettons d´esormais en interaction dans le chapitre III avec
tout d’abord des rappels sur la th´eorie des perturbations et la matrice S. Sch´emas de
Schr¨odinger et de Heisenberg et Hamiltonien libre H0. Cas g´en´eral et op´erateur d’´evolution
U. Sch´ema d’interaction et matrice S.
•Lundi apr`es-midi 28 Novembre 2016 – Suite du chapitre III consacr´ee `a l’´etude du
th´eor`eme de Wick. D´emonstration dans le cas purement bosonique, puis dans le cas
purement fermionique et pour finir dans le cas g´en´eral.
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•Lundi 5 D´ecembre 2016 – Fin du chapitre III. Nous ´etablirons les r`egles de Feynman
grˆace au calcul de la section efficace d’un processus simple. Ecriture de l’´el´ement de
matrice S. R´eduction de Sf i et r`egles de Feynman de l’´electrodynamique quantique.
Section efficace diff´erentielle.
•Lundi 12 D´ecembre 2016 – D´ebut du chapitre IV avec tout d’abord la notion de d´eriv´ee
covariante en ´electromagn´etisme dont nous nous inspirerons pour introduire les th´eories
de jauge non–ab´eliennes. Rotation de jauge sur un multiplet de champs ψ. D´eriv´ee
covariante Dµet potentiel vecteur Aµ.
•Lundi 2 Janvier 2017 – Suite des th´eories de jauge non–ab´eliennes, ´egalement d´enomm´ees
th´eories de Yang–Mills. Nous consacrerons la s´eance au champ de jauge Fµν et `a ses
propri´et´es.
•Lundi 9 Janvier 2017 – Suite du chapitre IV consacr´ee `a la notion de brisure spontan´ee
de sym´etrie. Cas p´edagogique du chapeau mexicain puis g´en´eralisation aux groupes SO(n)
et SU(2).
•Lundi 16 Janvier 2017 – La d´emonstration du th´eor`eme de Goldstone sera donn´ee dans
le cas g´en´eral. Il s’agit d’une partie un peu ´esot´erique. Puis nous analyserons le miracle
de Higgs. Illustration de ce m´ecanisme dans un cas simple et g´en´eralisation au groupe
SU(2).
•Lundi 23 Janvier 2017 – Nous serons fin prˆets pour comprendre le mod`ele de Weinberg–
Salam permettant d’unifier les interactions faibles et ´electromagn´etiques. Apr`es avoir
construit le Lagrangien, nous analyserons la brisure spontan´ee du groupe SU(2)L×U(1)Y
et d´eriverons les masses des bosons vecteurs W±et Z0en fonction de la valeur dans le
vide du champ de Higgs. Calcul des couplages entre fermions et bosons de jauge. Etude
du secteur de Higgs et des couplages de Yukawa.
•Lundi 30 Janvier et lundi 6 F´evrier 2017 – A priori, nous en aurons termin´e mais je
garde en r´eserve ces deux derni`eres s´eances.
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Chapitre de r´evision
M´ecanique Lagrangienne et Oscillateur Harmonique Quantique
1 ) Introduction `a la m´ecanique Lagrangienne.
1.1) L’oscillateur harmonique en m´ecanique classique.
Nous consid´ererons le cas d’un point mat´eriel astreint `a se d´eplacer le long d’un axe Ox
et soumis `a la force de rappel F=−k x. Ce point de masse meffectue des oscillations
harmoniques suivant la loi
x=acos {ωt +ϕ},(Ra.1)
o`u la pulsation ω=»k/m s’exprime en fonction de la masse met de la raideur kdu
ressort. L’´energie m´ecanique totale se conserve
E=1
2m v2+1 2k x2=1 2k a2.(Ra.2)
1.2) Les ´equations d’Euler–Lagrange et le principe variationnel.
L’´equation dynamique de l’oscillateur harmonique pr´ec´edent peut se mettre sous la forme
d
dt ®∂L ∂˙x´=∂L ∂x ,(Ra.3)
o`u le Lagrangien Lest d´efini comme
L=T−V=1
2m˙x2−1 2k x2.(Ra.4)
Plus g´en´eralement, tout syst`eme dynamique est susceptible d’ˆetre d´ecrit par la donn´ee
de rvariables qiind´ependantes sp´ecifiant compl`etement son ´etat et prenant en compte
les liaisons m´ecaniques. Un point mat´eriel se mouvant sur la surface d’une sph`ere de
rayon Rest ainsi localis´e par sa colatitude θet sa longitude ϕet non par la donn´ee des
coordonn´ees cart´esiennes x,yet zqui v´erifient par ailleurs l’´egalit´e
x2+y2+z2=R2,(Ra.5)
alors que
x=Rsin θcos ϕ ,
y=Rsin θsin ϕ , (Ra.6)
z=Rcos θ .
Chapitre de r´evision – m´ecanique lagrangienne et oscillateur harmonique quantique – 1