1 Angles orientés et trigonométrie Exercices corrigés

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Angles orientés et trigonométrie
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche :













Exercice 1 : conversion d’un angle en degrés ou en radians
Exercice 2 : cercle trigonométrique et repérage de points
Exercice 3 : calculs de mesures d’angles orientés
Exercice 4 : formule trigonométrique fondamentale
Exercice 5 : mesure principale d’un angle orienté
Exercice 6 : programmation (programme de calcul donnant la mesure principale d’un angle orienté)
Exercice 7 : application de formules trigonométriques
Exercice 8 : résolutions d’équations trigonométriques dans l’ensemble des réels
Exercice 9 : résolution d’équation trigonométrique dans l’ensemble des réels puis dans un intervalle des
réels
Exercice 10 : calcul du cosinus et du sinus d’un angle
Exercice 11 : formules d’addition
Exercice 12 : angles orientés et ensembles de points
Exercice 13 : résolution d’une inéquation trigonométrique
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1
Exercice 1 (2 questions)
Niveau : facile
1- Donner la mesure en radians de chaque angle suivant :
2- Donner la mesure en degrés de chaque angle suivant :
Correction de l’exercice 1
Point méthode : Conversion radians/degrés
Pour convertir les radians en degrés (et vice versa), on utilise un
tableau de proportionnalité, en considérant qu’un même angle mesure
ou
.
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians (
)
1- Donnons la mesure en radians de chaque angle.
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians (
)
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians (
)
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians (
)
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Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians (
)
2- Donnons la mesure en degrés de chaque angle.
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians (
)
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians (
)
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians (
)
(
)
(
)
Mesure en
degrés ( )
Mesure en
radians (
)
Exercice 2 (2 questions)
Niveau : facile
Construire un cercle trigonométrique et placer les points images des nombres réels suivants :
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Correction de l’exercice 2
Rappel : Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 et muni d’un sens direct (sens inverse des
aiguilles d’une montre).
Point méthode : Comment placer un point image sur un cercle trigonométrique ?
Tout d’abord, il faut bien comprendre que les points associés à et
sont confondus. En effet,
cela revient à effectuer
tours complets (un tour représentant un chemin de longueur
radians)
supplémentaires sur le cercle, dans le sens direct ou dans le sens direct.
Pour placer par exemple le point image du nombre
tours complets depuis le point image du nombre
, c’est-à-dire
, on commence par parcourir
, c’est-à-dire 502
(ci-dessous en rouge). Il reste donc ensuite à parcourir
(soit trois quarts de tours dans le sens direct). On a donc :
⏟
A partir du point image du nombre , on parcourt un chemin de longueur
Nombre
dans le sens direct ou indirect.
Chemin parcouru
Aucun chemin parcouru ; point immobile
Un tour de cercle complet dans le sens direct
Un demi-tour de cercle dans le sens direct
Un demi-tour de cercle dans le sens indirect (sens des aiguilles d’une montre)
Un quart de tour de cercle dans le sens direct
Un huitième de tour de cercle dans le sens direct
Un sixième de tour de cercle dans le sens indirect
502 tours dans le sens direct et 3 quarts de tour dans le sens direct
Construisons un cercle trigonométrique et plaçons les points images des nombres réels suivants :
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Exercice 3 (1 question)
Niveau : moyen
de centre tel que (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
Soit un carré
. Déterminer une mesure de chacun des angles orientés
suivants : (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ), (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ), (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ), (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ), (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).
Correction de l’exercice 3
de centre tel que (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
Soit un carré

. Commençons

et l’angle droit direct
par représenter ci-contre le carré
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).

Remarque préliminaire :
est un carré de centre tel que (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
Donc (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
En outre, (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
.
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )


.
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

.

Rappel : Mesures d’angles orientés de deux vecteurs non nuls
Soient ⃗ ,
et ⃗⃗ des vecteurs non nuls et soit l’angle
orienté ⃗

.
⃗

⃗⃗
⃗

⃗
⃗


⃗⃗⃗

⃗
⃗
⃗
⃗

⃗

⃗ ⃗⃗ (relation de Chasles)
(angles égaux)

⃗

(angles opposés)
⃗
(angles supplémentaires)
⃗
(angles supplémentaires)
Déterminons désormais une mesure de chacun des angles proposés.

Déterminons une mesure de l’angle (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).
Les angles (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) sont opposés donc (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
Donc (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). Or, (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
.
.
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
Déterminons une mesure de l’angle (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).
D’après la relation de Chasles, (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
= .
Déterminons une mesure de l’angle (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).
est le centre de

(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
donc est le milieu de
. Autrement dit, ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ . Ainsi, (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).
Or, les angles (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) sont supplémentaires donc (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
. Ainsi, on obtient :
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
Comme la demi-droite
est une bissectrice de l’angle (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ), on a (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
, d’où :
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Déterminons une mesure de l’angle (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).
est un carré donc ⃗⃗⃗⃗⃗
Ainsi, (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

.
Déterminons une mesure de l’angle (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).
D’après ce qui précède, par égalité des vecteurs ⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ , (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ .
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Déterminons une mesure de l’angle (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
( ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
Résumons les résultats obtenus ci-dessus :
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
Exercice 4 (1 question)
Montrer que, pour tout
Niveau : facile
,
.
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Correction de l’exercice 4
Pour tout
,
Par conséquent, comme
, pour tout
,
.
Exercice 5 (1 question)
Niveau : facile
Donner la mesure principale de chacun des angles suivants :
Correction de l’exercice 5
Rappel : Mesure principale d’un angle orienté
Si
est une mesure en radians d’un angle orienté ⃗
⃗
, toutes les mesures de cet angle sont de la forme :
⃗
ou bien
Parmi toutes les mesures d’un angle orienté ⃗
, une et une seule appartient à l’intervalle ]–
mesure s’appelle la MESURE PRINCIPALE de l’angle ⃗
]. Cette
.
Point méthode : Comment déterminer la mesure principale d’un angle orienté ?
Pour déterminer la mesure principale en radians d’un angle orienté ⃗
forme ⃗
]–
de telle sorte que
]–
, il convient d’écrire ⃗
] (ou bien ⃗
sous la
avec
]).
Donnons la mesure principale respective des angles , ,
et .
1-
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Or
Donc
est la mesure principale de l’angle
.
2-
Or
Donc
est la mesure principale de l’angle
.
est la mesure principale de l’angle
.
3-
Or
Donc
4-
Or
Donc
est la mesure principale de l’angle
.
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Exercice 6 (1 question)
Soit
Niveau : moyen
un angle dont la mesure en radians est de la forme
avec
et
. Ecrire un programme
avec
et
. Déterminer la mesure
permettant de préciser la mesure principale de l’angle .
Correction de l’exercice 6
Soit
un angle dont la mesure en radians est de la forme
principale de l’angle
revient à déterminer les entiers
et
(non nul) tels que :
{
Calculatrices CASIO G20
ou plus
Programme MESPRINC
Calculatrices TEXAS TI 80
Programme MESPRINC
Calculatrices TEXAS TI 82
ou plus
Programme MESPRINC
Remarques :


est supposé entier naturel non nul.
A l’aide de ces programmes, on peut vérifier les résultats obtenus à l’exercice précédent.
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Exercice 7 (1 question)
Montrer que
Niveau : facile
est un entier naturel.
Correction de l’exercice 7
Remarque : Au lieu de se lancer dans d’interminables calculs de développement, il convient de bien observer
l’écriture de et de remarquer qu’il est possible d’en organiser les termes par couple.
En effet,
(
)
(
(
)
(
(
)
(
)
)
)
Ainsi,
Or, pour tout
réel, on a :
(
)
Donc
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
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donc
est un entier naturel.
Rappel : Angles associés
(
)
(
)
(
)
(
)
Exercice 8 (1 question)
Résoudre dans
Niveau : facile
les équations suivantes :
√
(
)
Correction de l’exercice 8
Rappel : Résolution d’équation trigonométrique
{

Résolvons dans
Pour tout
l’équation :
,
( )
L’ensemble
des solutions de l’équation est donc :
{
}
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
Résolvons dans
l’équation :
√
Pour tout
,
√
(
)
{
{
{
{
L’ensemble
des solutions de l’équation est donc :
{

Résolvons dans
}
l’équation :
(
Pour tout
(
)
,
)
{
{
L’ensemble
{
{
des solutions de l’équation est donc :
{
}
Exercice 9 (2 questions)
Résoudre dans
puis dans
Niveau : moyen
l’équation suivante :
( )
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Correction de l’exercice 9

Résolvons dans
l’équation
suivante :
Pour tout réel ,
( )
Pour tout

(

)
réel,
( )
(
)
( )
{
{
{
{
{

Déterminons désormais les solutions de l’équation
D’après ce qui précède, les solutions
de l’équation
{
Si
:
Si
:
Si
dans
dans
.
sont :
}
:
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Pour toutes les autres valeurs de ,
donc les solutions
{
de l’équation
dans
sont :
}
Exercice 10 (1 question)
Niveau : facile
Calculer le sinus et le cosinus de l’angle
sachant que
.
Correction de l’exercice 10
Pour tout
réel,
Or, pour tout
réel,
D’où, pour tout
réel,
(
)
Il s’ensuit que :
, alors {
En définitive, si
.
Exercice 11 (1 question)
Niveau : moyen
Calculer le sinus et le cosinus de
.
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Correction de l’exercice 11
Rappel : Formules d’addition et de différence
En appliquant la formule d’addition
(
)
(
√ (√
)
, on obtient :
(
)
( )
( )
( )
√
√
)
En appliquant la formule d’addition
(
√
( )
)
(
√ (√
)
, on obtient :
(
)
( )
( )
( )
( )
√
√
√
)
Vérification : Il est possible (et même fortement conseillé) de vérifier les résultats précédents en utilisant
l’égalité trigonométrique fondamentale
.
(
)
(
√ (√
(
)
√
)
(
√ (√
√ (√
)
(
)
)
√
√ (√
(
)
(√
)
)
(
)
(√
√ )
√ (√
)
)
(
(√
√ )
)
√
√
Exercice 12 (1 question)
Soient
et
√ (√
)
(√
)
)
√
Niveau : moyen
deux points distincts du plan. Dans chacun des 3 cas, préciser l’ensemble des points
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
√
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
tels que :
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
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Correction de l’exercice 12

tels que (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Précisons l’ensemble des points
L’angle orienté (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) est nul donc les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et de même sens. Autrement
dit, les points , et sont alignés dans cet ordre ou les points , et sont alignés dans cet ordre.
L’ensemble des points
tels que (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
peut appartenir au segment
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )


est la droite
privée du segment
. En effet, ne
car, sinon, on aurait les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de sens contraire. Autrement dit,
Représentons ci-dessous cet ensemble en vert.



tels que (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Précisons l’ensemble des points
L’angle orienté (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) est un angle plat direct donc les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et de sens
contraire. Autrement dit, les points , et sont alignés dans cet ordre.
tels que (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
est l’ensemble des points appartenant au segment
et . Autrement dit, (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
. Représentons ci-dessous cet ensemble en
L’ensemble des points
privé des points
vert.



Représentons l’ensemble des points
L’ensemble des points
l’ensemble des points
diamètre
privé de

tels que (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
tels que (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
est

appartenant au demi-cercle de

et , représenté ci-contre en vert.

Remarque : De manière générale, l’ensemble des points
de cercle de diamètre
privé des extrémités et .
tels (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

avec
est un arc
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Exercice 13 (1 question)
Résoudre dans [
Niveau : difficile
] l’inéquation suivante :
Correction de l’exercice 13
Résolvons dans [
] l’inéquation suivante :
Rappel : Formules de duplication
Pour tout réel ,
Etudions désormais le signe de
que, pour tout réel ,
.
En posant
, donc
. Pour cela, posons
. L’expression
. Remarquons par ailleurs
devient
le discriminant de ce trinôme du second degré d’inconnue ,
donc le trinôme
admet deux racines réelles distinctes :
√
√
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En outre, comme
Enfin, comme
, le trinôme
et
est factorisable et
, on obtient que :
.
(
)
D’où, pour tout réel ,
[
Or, dans [
(
)]
(
)
], on a :
D’où le tableau de signes suivant :
Remarques :

(
)
Lors de l’étude du produit
, il ne faut pas oublier le facteur
erronés.
En notant l’ensemble des solutions de l’inéquation

[
[
]
, faute de quoi les signes seraient
dans [
],
[
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