1. Les méthodes usuelles de prise en compte du

1. Les méthodes usuelles de prise en compte du risque
Il s'agit de méthodes subjectives utilisées par les décideurs dans la pratique pour tenir compte
du risque. Ces méthodes ont pour effet la diminution de la rentabilité du projet. On obtient
une rentabilité ajustée pour le risque. Cependant, l'intégration du risque est faite de manière
subjective en fonction de la perception du dirigeant et de son attitude vis à vis du risque.
L’ajustement pour le risque peut être fait de plusieurs façons : diminuer la durée de vie du
projet, déterminer les cash flows certains à partir des cash flows espérés (méthode de
l'équivalent certain) ou intégrer une prime de risque au niveau du taux d'actualisation.
I-1. MINORATION DE la durée de vie DU PROJET
Une attitude prudente du dirigeant consiste à ne pas considérer les cash flows éloignés dans le
temps, jugés trop incertains.
Avec I0 : le capital investi à la date 0,
k : le taux de rendement minimum exigé,
p : la période de minoration de la durée de vie du projet,
n : durée de vie probable du projet
CFt : le cash flow net de la période t.
I-2. Méthode de l'équivalent certain
Cette méthode consiste à corriger les cash flows espérés. L'équivalent certain pour chaque
cash flow est obtenu en appliquant un coefficient  t positif et inférieur à 1, réduisant les
résultats de la période. Ce coefficient tient compte du temps (plus le flux est éloigné, plus 
est faible) et reflète l'aversion au risque du dirigeant.
Avec I0 : le capital investi à la date 0,
k : le taux de rendement minimum exigé,
n : durée de vie probable du projet
CFt : le cash flow net de la période t.
I-3 MAJORATION DU TAUX D’ACTUALISATION PAR UNE PRIME DE RISQUE
Le risque peut être intégré à travers une prime de risque au niveau du taux d’actualisation. Le
taux d'actualisation retenu (k’) sera égal au taux sans risque (k) plus une prime du risque ().
Cette prime variera en fonction du niveau du risque du projet.
k’=k+
Avec I0 : le capital investi à la date 0,
k' : le taux d'actualisation ajusté pour le risque,
n : durée de vie probable du projet
CFt : le cash flow net de la période t.
II. Choix d'investissement en avenir risqué
1.
2.
3.
4.
5.
Les méthodes usuelles de prise en compte du risque
L'approche probabiliste
Les décisions séquentielles
Le recours à la fonction d'utilité
Autres méthodes de prise en compte du risque
2. L'approche probabiliste
Cette méthode permet de mesurer le risque en avenir risqué et suppose que les agents
connaissent les distributions de probabilités des flux de liquidités générés par le projet et
qu’ils apprécient totalement les caractéristiques du risque à partir de l’espérance
mathématique et la variance. La complexité relative à la mesure du risque dépendra de la
distribution des cash flows espérés.
Dans le cas général, la technique de l'arbre de décision est utilisée pour évaluer le risque du
projet. L'arbre de décision permet de mettre en valeur les différentes éventualités envisagées,
de manière à faciliter la détermination des effets des diverses combinaison d'événements sur
le projet.
Chaque branche représente un événement ou un choix à faire auquel est associée une
probabilité de réalisation. Le schéma suivant présente le répartition des cash flows d’un projet
d'une durée de deux ans. Les cash-flows prennent deux valeurs possibles la première période
selon l’état de la nature qui se réalisera (S1 ou S2). Pour la deuxième année, les valeurs
possibles des cash-flows dépendent, d’une part, de l'état de la nature réalisé la première année
et d’autre part, de l’état de nature qui se réalisera la deuxième année.
Graphique : L'arbre de décision pour le calcul des résultats espérés
Chaque extrémité de l’arborescence correspond à une valeur actuelle nette possible. Il y a
donc autant de VAN que de chemins possibles au niveau de l’arbre de décision.
En notant CF(Si) : le cash flow de la période 1 sachant que Si s’est réalisé.
CF(Si, Sj) : le cash flow de la période 2 sachant que Si s’est réalisé à la période 1 et Sj s’est
réalisé à la période 2.
Les valeurs actuelles nettes possibles peuvent être calculées ainsi :
Si S1 se réalise la 1ère période et S1 la 2ème période,
Si S1 se réalise la 1ère période et S2 la 2ème période,
Si S2 se réalise la 1ère période et S1 la 2ème période ,
Si S2 se réalise la 1ère période et S2 la 2ème période,
La question qui se pose également serait : comment estimer la probabilité associée aux
différentes VAN ?
La probabilité associée à chaque VAN possible est appelée probabilité liée et sera évaluée à
partir des informations suivantes :


Les probabilités initiales associées aux premières périodes ;
Les probabilités conditionnelles associées aux branches relatives aux périodes
suivantes (de la deuxième période jusqu’à la fin du projet).
La probabilité liée est égale au produit de la probabilité initiale relative au cash-flow de la
première période (1ère branche du chemin) avec toutes les autres probabilités conditionnelles
relatives aux autres cash-flows (branches suivantes du chemin).
Suite à la détermination de la distribution de probabilités qui indique les chances de
réalisation d’une valeur donnée, il serait possible de calculer la valeur moyenne la VAN et sa
dispersion autour de la moyenne.
L’espérance et la variance de la VAN peuvent être directement déduites en utilisant la
distribution des valeurs de la VAN.
pi : la probabilité liée
VANi : la VAN
La variance ou l'écart type sont les mesures habituelles de la dispersion autour de l'espérance
mathématique. Plus le projet est risqué, plus la dispersion des cash-flows attendus est grande.
pi : la probabilité liée
VANi : la VAN
avec E(VAN) : l'espérance de la VAN
Var(VAN) : la variance de la VAN
(VAN) : l’écart type de la VAN
Dans le cas, où on compare entre les risques de deux projets et que les deux projets ont des
espérances de VAN différentes, il est important de retenir dans ce cas une mesure relative du
risque : le coefficient de variation.
« Le coefficient de variation traduit l’étendue d’une distribution de probabilités et représente
une mesure relative du risque : plus il est élevé, plus la distribution est étalée, plus l’écart type
est grand et plus le risque du projet est important »
L’analyse de la moyenne variance de la valeur actuelle nette peut être également déduite suite
à une étude de la distribution des cash-flows annuels. La moyenne espérée de la VAN sera
alors estimée comme suit :
avec CFt : le cash flow de la période t
k : le taux d’actualisation
n : la durée du projet
La variance de la VAN dépend de la covariance entre les différents cash-flows. Elle peut être
exprimée ainsi :
avec CFt : le cash flow de la période t
k : le taux d’actualisation
n : la durée du projet
tt’ : le coefficient de corrélation entre le CF et le CF ’

Dans le cas d’indépendance totale, les covariances sont nulles. La variance de la VAN
sera égale à :
avec ² (CFt) : la variance du cash flow de la période t.
k : le taux d’actualisation
n : la durée du projet

Dans le cas où les cash-flows sont parfaitement corrélés, les coefficients de corrélation
sont égaux à 1.
Enfin, en supposant que la VAN est une variable aléatoire qui suit une loi normale
d’espérance E(VAN) et de variance VAR(VAN),
VAN ---->N(E(VAN),Var(VAN))
il serait intéressant de juger un projet en déterminant la probabilité d’avoir une VAN positive
ou supérieure à un niveau donné.
L’appréhension du risque à partir de la variance ou de l’écart type peut être critiquée.



Premièrement, cette mesure du risque suppose que les distributions de probabilités
sont normales, or cette condition n’est pas toujours satisfaite.
Deuxièmement, elle suppose que l’investisseur considère comme équivalentes les
issues favorables et les issues défavorables. Or le plus souvent, il existe des seuils
critiques auxquels l’investisseur est particulièrement sensible. Ainsi, un investissement
peut se trouver éliminé car, en cas de conjoncture défavorable, il entraînerait la
cessation des activités de l’entreprise. Les investisseurs intègrent fréquemment ce
souci de sécurité dans leur procédure de choix.
Enfin, l’approche probabiliste débouche sur des critères objectifs (espérance, variance)
et donc sur la même décision indépendamment de l’attitude du dirigeant vis-à-vis du ri
3. Les décisions séquentielles
Jusque là, on a présenté la décision d'investissement comme si c'était une décision prise en
une seule fois lors du démarrage du projet. Or, certains projets nécessitent une séquence de
décisions liées entre elles et échelonnées dans le temps.
Pour limiter les conséquences du caractère irréversible d'un investissement, les dirigeants
tentent de substituer à un engagement unique et total à une date donnée, une série
d'engagements étalés dans le temps et décidés sur la base des informations nouvelles qui
parviennent à l'entreprise au fur et à mesure et qui permettent de rendre plus précises les
prévisions effectuées.
Dans ce cas, la décision d’investissement est dite séquentielle et elle se présente comme une
suite d’actions et d’évènements. A chaque action possible sont attachés différents évènements
probables qui suscitent à leur tour d’autres actions. Chaque décision dépend des décisions
prises antérieurement et conditionne à son tour les décisions futures.
Dans le cadre des décisions d'investissement séquentielles, un recours aux techniques
d'analyse de décisions est nécessaire. L'idée de base est de décomposer un problème complexe
en petits problèmes plus faciles à résoudre et ce à travers les arbres de décision.
L’arbre de décision sera alors présenté avec deux catégories de nœuds : des nœuds
d’incertitude et des nœuds décisionnels.
- Les nœuds décisionnels () partent des branches qui représentent les décisions ou les
actions possibles ;
- Les nœuds d’incertitude (Ο) partent des branches qui représentent tous les états de la nature
ou les conséquences possibles.
Trois phases essentielles doivent être distinguées pour la résolution de ces problèmes :
- Prévoir toutes les conséquences possibles de chaque décision ;
- Assigner les probabilités aux diverses conséquences possibles ;
- Evaluer les différentes alternatives en calculant la VAN espérée (Il serait alors important
d’intégrer une prime de risque lors de l’actualisation des flux).
Le processus de résolution consiste :
A chaque noeud d'incertitude, on calcule les conséquences de toutes les branches émanant de
ce noeud ; on revient alors en arrière jusqu’au premier noeud décisionnel où l’on calcule
l’espérance mathématique des VAN correspondant aux branches qui émanent du noeud
d'incertitude. On procède de la même façon pour tous les points qui se situent au même
niveau de l’arbre. La VAN moyenne la plus élevée est retenue comme la meilleure décision à
ce stade. On poursuit ce raisonnement itératif jusqu’au noeud de décision initial.
4. Le recours à la fonction d'utilité
L'approche par la théorie de l'utilité permet la définition de critères de choix rationnels en
situation risquée. Il est en fait important d'intégrer l'attitude des preneurs de décision vis à vis
du risque. En effet, la valeur d'un projet d'investissement n'est pas liée à l'ensemble des
rendements possibles mais plutôt à l'ensemble des niveaux d'utilité qui leur sont associés. Les
données objectives fournies par les critères (espérance et variance) ne suffisent pas pour se
prononcer sur la décision définitive des dirigeants. Ces derniers évaluent le projet de manière
subjective en rapport avec leur aversion au risque et la richesse dont ils disposent. Il est donc
essentiel d’inclure dans la décision d’investissement une analyse de l’utilité espérée en
définissant une axiomatique de choix rationnels en avenir incertain décrivant les réactions des
individus face à un arbitrage entre la rentabilité espérée et le risque encouru.
4.1. Les axiomes de rationalité
Ils sont au nombre de six. Nous utiliserons les conventions de signe suivantes : > signifie «
strictement préféré à » ; « préféré ou équivalent à » ; « équivalent à ».
Nous définissons une loterie comme un jeu dont les résultats sont aléatoires. La notation G(x,
z ; p, (1-p)) désigne une loterie qui rapporte x (un résultat aléatoire) avec une probabilité p et z
avec une probabilité (1-p).
Axiome de comparabilité :
Etant donné S, l’ensemble des résultats possibles relatifs à différents projets d’investissement
sur lesquels porte le choix du décideur, et x, y appartenant à S, le décideur est toujours en
mesure de dire si x > y, ou y > x , ou bien x y.
Axiome de transitivité :
Soient x, y, z
Si x > y et y > z, alors x > z ;
Si x y et y z, alors x z.
Axiome d’indépendance forte.
Soient G(x, z ; p, (1-p)) une loterie qui rapporte x avec une probabilité p et z avec une
probabilité (1-p) ; et G(y, z ; p, (1-p)) une loterie qui rapporte y avec une probabilité p et z
avec une probabilité (1-p).
Si x y, alors G(x, z ; p, (1-p)) G(y, z ; p, (1-p))
Si x > y, alors G(x, z ; p, (1-p)) > G(y, z ; p, (1-p))
Si x < y, alors G(x, z ; p, (1-p)) < G(y, z ; p, (1-p))
En d’autres termes, le classement des deux projets n’est pas modifié lorsqu’ils sont introduits
dans une loterie comportant un troisième projet.
Axiome d’unicité.
Si x > y z ou x y > z, il existe une seule probabilité p telle que y soit équivalent à une
loterie rapportant x avec une probabilité p et z avec une probabilité (1-p),
y G(x, z ; p, (1-p)), où y est un équivalent certain de G.
Axiome des classements composés.
Si x y z ou x u z et si y G(x, z ; p1, (1-p1)), et u
G(x, z ; p2, (1-p2)),
alors p1 > p2 entraîne y > u
et p1 = p2 entraîne y
u.
Cet axiome précise l’axiome précédent et le classement des éventualités.
Axiome de non satiété
L’auteur du choix préfère toujours plus à moins de gain.
Cette axiomatique permet le classement des projets en fonction du critère de l’espérance de la
fonction d’utilité et permet la construction d’une fonction d’utilité de manière assez simple.
Les deux premiers axiomes suffisent à déterminer sur S une structure de préordre complet.
Les axiomes suivants rendent ce préordre compatible avec le critère de l’espérance
mathématique. En effet, ce dernier implique que l’utilité totale d’un projet dont la rentabilité
est aléatoire est égale à la somme pondérée des utilités des différentes rentabilités, les poids
étant égaux aux probabilités de réalisation de chacune des rentabilités.
Pour déduire de cet ensemble d’axiomes, la règle du classement des projets par l’espérance de
la fonction d’utilité, on montre qu‘ils impliquent à la fois :
- l’existence d’une fonction d’utilité U() conservant la relation d’ordre sur les projets telle que
:
U(x) > U(y) entraîne x > y,
et
U(x) = U(y) entraîne x
y.
- l’identité entre la relation d’ordre qui correspond à la fonction d’utilité et celle associée à
son espérance, soit :
U[G(x, y ; p, (1-p))] = p U(x) + (1-p) U(y)
2.2. L’attitude face au risque
La façon de classer les préférences d’un individu pour des investissements aléatoires peut être
exprimée au moyen d’une fonction d’utilité qui lui est propre et qui dépend, en général, de sa
richesse. Il est possible d’obtenir des informations intéressantes sur l’attitude des investisseurs
envers le risque ainsi qu’une mesure de l’intensité de cette attitude simplement en étudiant la
forme des fonctions d’utilité usuelles.
L’axiome de non-satiété implique que toute fonction d’utilité doit être croissante et monotone,
ce qui indique que l’utilité marginale des gains est toujours positive, mais elle peut être
décroissante, croissante ou constante, suivant les cas. Les fonctions d’utilité construites
peuvent donc avoir trois formes: la fonction est soit concave par rapport à l’axe horizontal,
soit convexe, soit linéaire. Ces formes correspondent respectivement à trois types de
comportements vis à vis du risque : une aversion, une préférence et une indifférence vis à vis
du risque .
A- L’AVERSION AU RISQUE
Un investisseur est réputé avoir une aversion au risque lorsque, toutes choses égales par
ailleurs, il préfère les distributions de gains les moins dispersées. Dans ce cas, s’il doit choisir
entre deux investissements à espérance de gain identique, il préfère le résultat certain au
résultat aléatoire. L’aversion envers le risque se définit comme le refus de l’auteur du choix de
s’engager dans un investissement aléatoire d’espérance de revenu nulle.
Soit un investisseur qui dispose d’une richesse W et qui a le choix entre participer ou pas à un
jeu aléatoire équitable (E (jeu) = 0).
Le jeu permet de réaliser h > 0 avec une probabilité p et h < 0 avec une probabilité (1-p).
Si la personne est averse au risque, alors pour un gain espéré identique, elle préfèrera ne pas
jouer.
U
(ne pas jouer) > U
(jeu)
U(W) > p U(w+h ) + (1-p) U(w+h )
U(W+ (ph +(1-p)h )) > p U(w+h ) + (1-p) U(w+h )
U(p(W+h )+(1-p)(W+h )) > p U(w+h ) + (1-p) U(w+h )
Sachant que p [0, 1], cette inégalité permet de déduire que la fonction d’utilité qui caractérise
une personne averse au risque est une fonction concave tel que présenté au niveau du schéma
suivant.
Soit W*, l’équivalent certain du jeu, qui est déterminé comme suit :
W* / U(W*) = U
(Jeu)
L'équivalent certain d'un jeu peut être défini comme le plus faible montant auquel il serait
d'accord de céder son droit de participation au jeu.
Le schéma montre que U(W) est supérieure à U(W*), ce qui signifie que l’individu préfère
détenir une richesse certaine W plutôt qu’investir.
On définit par convention la prime de risque  = E(gain du jeu) – W* = W – W*.
Plus la courbe d’utilité est concave, plus l’aversion pour le risque est grande et plus la prime
de risque est élevée. La prime de risque est définie comme étant le montant que l’investisseur
est prêt à payer pour se prémunir contre le risque.
B- PREFERENCE POUR LE RISQUE
Dans le cas de préférence pour le risque, la fonction d’utilité sera convexe ce qui implique une
utilité marginale croissante en fonction de la richesse. La dérivée première et la dérivée
seconde de la fonction d’utilité seront alors positives.
En d’autres termes, un accroissement de la richesse d’un montant h augmenterait le niveau
d’utilité de l’individu plus qu’une perte de richesse d’un même montant h le diminuerait.
L’utilité de l’équivalent certain de l’investissement est supérieure à l’espérance mathématique
de la richesse associée à l’investissement aléatoire. En d’autres termes, l’investisseur préfère
la distribution aléatoire de probabilité à son équivalent certain W* qui est défini comme suit :
W* / U(W*) = U
(Jeu)
Cette préférence pour le risque est caractérisée par une prime de risque négative ( = W* E(gain du jeu) = W* - W). L’individu accepterait de payer pour pouvoir accéder à des
opportunités d’investissement risquées.
Dans le cas de l’exemple précédent et pour une personne qui a une préférence pour le risque,
elle préfèrera ne pas jouer.
U
(ne pas jouer) < U
du jeu
U(W) < p U(w+h1) + (1-p) U(w+h2)
U(W+ (ph1+(1-p)h 2)) < p U(w+h1) + (1-p) U(w+h2)
U(p(W+h1)+(1-p)(W+h 2)) < p U(w+h1) + (1-p) U(w+h2)
Sachant que p [0, 1], cette inégalité permet de déduire que la fonction d’utilité qui caractérise
une personne qui a une préférence pour le risque est une fonction convexe tel que présenté au
niveau du schéma suivant.
C- INDIFFERENCE AU RISQUE
Dans le cas d’une indifférence au risque, l’utilité marginale de la richesse sera constante. En
effet, la dérivée première sera constante. Une perte de la richesse d’un montant h diminue
l’utilité dans la même proportion qu’une hausse de richesse d’un montant h augmente l’utilité.
L’investisseur étant indifférent vis-à-vis du risque, la prime de risque sera nulle dans ce cas.
Dans le cas de l’exemple précédent et pour une personne indifférente au risque
Uespérée (ne pas jouer) = Uespérée du jeu
U(W) = p U(w+h ) + (1-p) U(w+h )
U(W+ (ph +(1-p)h )) = p U(w+h ) + (1-p) U(w+h )
U(p(W+h )+(1-p)(W+h )) = p U(w+h ) + (1-p) U(w+h )
Sachant que p [0,1], cette égalité permet de déduire que la fonction d’utilité qui caractérise
une personne indifférente au risque est une droite tel que présenté au niveau du schéma
suivant.
D- MESURES LOCALES D’AVERSION AU RISQUE
L’intensité de l’aversion au risque d’un individu à fonction d’utilité concave dépend de la
courbure de cette fonction, donc de la dérivée seconde U’’.
une mesure de l’intensité de l’aversion au risque a été proposée par Arrow et Pratt (1970).
Reprenons le cas de l’investisseur qui dispose d’une richesse W, qui a le choix entre investir et
ne pas investir. Le résultat de l’investissement est aléatoire .
En utilisant un développement de Taylor, ils montrent que la prime peut être exprimée ainsi :
Cette expression relie le risque à un terme RA(W) qui représente une mesure de l’aversion
absolue au risque.
De même, une aversion au risque relative a été définie comme suit :
5. Autres méthodes de prise en compte du risque
D’autres méthodes permettent d’intégrer le risque dans la décision d’investissement, on peut
citer les suivantes :

Les techniques de simulation
Elles consistent à déterminer la distribution de probabilité de la VAN à partir des distributions
de probabilités des différents paramètres économiques qui influencent la VAN puisque tous
les paramètres du projet sont risqués. Basée sur la simulation de Monte-Carlo, cette technique
permet de déterminer une distribution empirique de la VAN.

La méthode des scénarios
Cette méthode s’intègre dans le cadre des analyses de sensibilité d’un projet. Elle consiste à
envisager différents scénarios de réalisation pour le projet (optimiste, réaliste et pessimiste) et
d’attribuer ensuite des valeurs subjectives aux différentes variables du projet.
Il est possible par la suite de calculer une VAN pour chaque scénario. Les valeurs obtenues de
la VAN permettent de donner une idée sur le degré de variabilité de la rentabilité du projet et
du risque associé.
L’entreprise X a le choix entre deux projets d’investissement A et B de même durée de vie et
de même coûts. Les deux projets génèreront des cash flows aléatoires, distribués selon une loi
normale. La distribution de probabilités des VAN possibles se présente comme suit :
Classer les deux projets selon leur niveau de risque en se basant sur le coefficient de variation.
Projet A :
E(VANA) = 264
Variance (VANA) = 35424
Ecart type (VANA) = 188,2126
Coefficient de variation du projet A (CV(A)) est de : 0,7129
Projet B :
E( VANB) = 310
Variance (VANB) = 43900
Ecart type (VANB) = 209,523268
Coefficient de variation du projet B (CV (B)) est de : 0,67588
CV (A) > CV (B)
En se basant sur le coefficient de variation, le projet A est plus risqué que le projet B.
Une entreprise envisage d’investir dans un projet d’une durée de 2 ans et nécessitant un
investissement initial de 1000 dinars. Le projet génèrera des cash flows aléatoires, distribués
selon une loi normale. La distribution de probabilités des cash flows se présente comme suit :
1- Déterminer toutes les valeurs de VAN possibles sachant que le taux d’actualisation sans
risque est de 10%.
2- Déterminer l’espérance et la variance de la VAN et en déduire la probabilité d’avoir une
VAN positive.
E(VAN) = 239,669
Variance (VAN) = 40598,320
Ecart type (VAN) = 201,4902
Nous allons procéder à un changement de variable (de VAN à Z)
Z = [VAN-E(VAN)]/? (VAN) suit une loi normale centrée réduite N(0,1).
Prob (VAN>0)= Prob(Z > - 1,189) = Prob (Z<1,189) = 88,2%
Une entreprise envisage de lancer un nouveau produit. Ce projet d’une durée de vie de 4 ans,
nécessite un investissement initial en machines égal à 12 500 dinars.
Le niveau de la demande pour ce nouveau produit dépendra de la situation future de
l’économie (on suppose que s’il y a récession (expansion), elle sera maintenue jusqu’à la fin
du projet) :
- En cas d’expansion (60% de chances), la firme vendra 1000 unités avec une progression
annuelle de 10% (par rapport à t-1).
- En cas de récession (40% de chances), il y aura une faible demande. En effet, l’entreprise ne
pourra vendre que 900 unités aussi bien à la première qu’à la deuxième année. Le niveau de la
demande baissera de 10% à la troisième et la quatrième années par rapport au niveau de la
deuxième année.
Par ailleurs,





Le prix de vente unitaire est de 7 DT ;
Les charges variables unitaires s’élèvent à 2 DT ;
Les charges fixes (y compris l’amortissement) s’élèvent à 4000 DT ;
Taux d’imposition : 35% ;
Taux de rendement exigé sans risque est de 10%.
L’exploitation de ce projet nécessite chaque année un besoin en fonds de roulement égal à
25% du chiffre d’affaires. L’investissement en BFR supplémentaire est réalisé la même année
où le besoin est constaté.
Les machines sont amorties sur 5 ans et elles peuvent être cédées à la fin du projet à 3500 DT
en cas d’expansion et à 500 DT en cas de récession.
Question :
Le dirigeant n’acceptera de retenir le projet que s’il y a au moins 40% de chances de réaliser
une VAN positive. Quelle sera sa décision sachant qu’on supposera que la valeur actuelle
nette suit une loi normale ?
Afin de déterminer la probabilité d’avoir une VAN positive, nous allons évaluer la
VAN en cas d’expansion et par la suite la VAN en cas de récession.
Cas d'expansion
(*) Dans ce cas, la vente des machines à la fin du projet génère une plus value de 1000 dinars
(prix de cession (3 500 dinars) – Valeur comptable nette des machines (2500)). L’entreprise
payera alors un impôt sur la plus value.
VAN1 = 718,974
Cas de récession
(*) Dans ce cas, la vente des machines à la fin du projet génère une moins value de 2000
dinars (prix de cession (500 dinars) – Valeur comptable nette des machines (2500)).
L’entreprise réalisera alors une économie d’impôt sur la moins value.
VAN2 = -964,763
E(VAN) = -1141,7935
Variance (VAN) = 4252457,699
(VAN) = 2062,148
Nous allons procéder à un changement de variable (de VAN à Z)
Z = [VAN-E(VAN)]/? (VAN) suit une loi normale centrée réduite N(0,1).
Prob (VAN>0)= Prob (Z > 0,468) = 1- Prob (Z<0,468) = 1- 0.68 = 32%
La société décidera alors de rejeter le projet.
Une entreprise a le choix entre deux projets mutuellement exclusifs A et B. Les projets d’un
coût de 8000 dinars génèrent des cash-flows aléatoires et indépendants sur deux ans.
La distribution de probabilité des cash-flows est normale et se présente comme suit :
Questions :
1/ Calculer pour chaque projet la probabilité que la VAN soit supérieure à zéro. Quel projet
retenir ?
2/ La fonction d’utilité des dirigeants de l’entreprise est la suivante : U(w) = 0.25 + 0.1 log(w)
a- Quelle est l’attitude des dirigeants vis-à-vis du risque ?
b- Mesurer l’aversion absolue et l’aversion relative vis-à-vis du risque ;
c- Calculer la prime de risque associée à chaque cash-flow ;
d- Quel est le projet qui sera choisi par les dirigeants ?
1/ Calculons d’abord l’espérance et l’écart-type de la VAN pour chaque projet
En supposant que la VAN de chaque projet suit une loi normale, et après avoir procédé au
changement de la VAN en une variable centrée réduite, on peut lire sur la table de la loi
normale centrée réduite :
P(VANA > 0) = 0,988
P(VANB > 0) = 0,675
On retient alors le projet A.
2/
a - L’attitude des dirigeants vis-à-vis du risque peut être examinée à partir des dérivées
première et seconde de la fonction d’utilité.
U’(w) = 0,1/w positive pour w>0
U’’(w) = -0,1/w2 négative pour w >0
b – Aversion absolue :
Aversion relative :
décroissante en fonction de w
constante quelque soit la richesse w.
c – Primes de risque
La prime de risque associée au cash flow de la date t :
L’équivalent certain du casf flow de la date t : EC(CFt) est déterminé tel que :
VAN (A) = 1548,616
VAN (B) = 317,116
Le projet à choisir est le projet A puisque VAN (A) > VAN (B)
La société ALPHA est une agence de photocopie pour le grand public. Les machines sont
utilisées pendant deux années avant d’être cédées sur le marché d’occasion. Les dirigeants de
ALPHA ont remarqué qu’il y a 70% de chances que les machines s’avèrent fiables sur les
deux années d’exploitation (si une machine est fiable ou non fiable, elle le sera sur les deux
années consécutives). Les cash flows par photocopieur sont présentés dans le tableau qui suit :
Un fournisseur de photocopieurs propose à la société ALPHA les deux offres suivantes :
Offre 1 : une offre de machines neuves au prix de 5000 dinars la machine.
Offre 2 : Suite à l’achat d’une machine neuve, le fournisseur propose d’effectuer une révision
complète de la machine si elle s’avère non fiable au bout d’une année, et ce à un coût de 300
dinars. Une machine révisée aura une probabilité de 40% d’être non fiable et une probabilité
de 60% d’être fiable, avec des cash flows nets respectifs de 2000 et 3500.
Le taux d’actualisation avec risque du secteur est de 10%.
1/ Présenter l’arbre de décision relatif à cette opération d’achat.
2/ La proposition de révision est-elle intéressante ?
3/ Quelle est la stratégie optimale à suivre par l’entreprise ?
1/ Le graphique suivant présente les stratégies possibles à adopter ou les décisions
à prendre par l’entreprise en fonction des deux états de la nature qui se présentent (machine
fiable ou non fiable).
2/ Pour déterminer si la proposition de révision est intéressante ou non, il faut comparer les
revenus de la décision de révision et de la décision de non révision, au cas où le photocopieur
s’avère non fiable à t=1.
La décision de l’entreprise à t=1 :
- Ne pas réviser : la machine demeure non fiable avec un CF de 1600 et par conséquent la
VAN en t=1 est égale à 1454,55 soit [1600/ (1,1)].
- Réviser : la VAN espérée (t=1) est :
Si la machine est non fiable, la société ALPHA a intérêt à retenir systématiquement l’option
de la révision, ce qui nous fait aboutir à ce nouvel arbre de décision.
3/ Nous allons comparer l‘espérance de la VAN de l’offre 1 et celle de l’offre 2.
Offre 1 :
Offre 2 :
La deuxième offre est plus intéressante puisque son espérance de VAN est supérieure à celle
de la première offre.
La stratégie optimale serait alors :
Accepter la deuxième offre et réviser le photocopieur s’il s’avère non fiable au bout
d’une période.