Chap.5 – Ondes électromagnétiques dans la matière

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Chap.5 – Ondes électromagnétiques dans la matière
1. Propagation d’une OEM dans un plasma peu dense
1.1. Ingrédients du modèle
1.2. Conductivité complexe du plasma
1.3. Relation de dispersion – Filtrage passe-haut – Vitesses de phase et de groupe
1.4. Indice complexe d’un milieu
2. Réflexion et réfraction d’une OPPH sur un dioptre
2.1. Milieu diélectrique transparent
2.2. Démonstration des lois de Descartes
2.3. Coefficients de réflexion/transmission de , sous incidence normale
2.4. Coefficients de réflexion/transmission en puissance, sous incidence normale
Intro : Ce chapitre n’est pas un chapitre général sur les OEM dans la matière, mais l’étude de deux cas
particuliers : propagation d’une OEM dans un plasma, et propagation d’une OEM dans un isolant. Lors de cette
seconde étude, on démontrera les lois de Descartes de la réflexion et de la réfraction, avec en bonus les
coefficients de réflexion et de transmission de l’onde en amplitude et en puissance, sous incidence normale.
1. Propagation d’une OEM dans un plasma peu dense
1.1. Ingrédients du modèle
Un plasma est un milieu globalement neutre, où les atomes sont partiellement ou totalement ionisés ; les électrons
et les ions sont libres de se déplacer. Au repos, les densités volumiques d'électrons et d'ions ont même valeur : .
Hypothèses :
 le plasma est suffisamment dilué pour négliger les interactions entre les charges
 les électrons sont non-relativistes : leur vitesse est très faible devant celle de la lumière dans le vide   
On considère la propagation d’une onde transverse pseudo-OPPH selon 
, polarisée rectilignement selon  .
 Ecrire mathématiquement le champ électrique de cette onde, en notation complexe.
 Grâce à MF, en déduire l’expression du champ magnétique (pseudo-OPPH aussi).
 Donner un argument justifiant que l’on puisse négliger le déplacement des ions devant celui des électrons.

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1.2. Conductivité complexe du plasma
 Grâce à MG, montrer que la charge volumique totale est nulle à chaque instant. En déduire que la densité
volumique d’électrons est uniforme et constante, égale à  à chaque instant.
 En notation complexe, appliquer la RFD sur un électron du plasma. En supposant la vitesse de phase de
l’onde   (on le vérifiera à la fin), et en supposant le vecteur d’onde réel (on le vérifiera à la fin)
comparer les ordres de grandeur des forces électrique et magnétique. Conclure.
 Déterminer la conductivité complexe du milieu. Montrer que  et  sont en quadrature de phase. Que peut-on
dire de la puissance volumique moyenne transmise aux électrons par l’onde ? L’onde sera-t-elle atténuée ?
1.3. Relation de dispersion – Filtrage passe-haut – Vitesses de phase et de groupe
 Grâce aux équations de Maxwell écrites en notation complexe, établir la relation de dispersion.
 Montrer que le plasma est un passe-haut pour les OPPH. On introduira une pulsation de coupure : la pulsation
plasma .
 A basse fréquence, donner l’expression de l’onde réelle. Idem à haute fréquence.
 A haute fréquence, déterminer la vitesse de phase et la vitesse de groupe. Le plasma est-il dispersif ? Tracer
les vitesses en fonction de la pulsation.
Remarque : A basse fréquence, l’onde est stationnaire et atténuée. C’est une onde évanescente. Une OPPH de
fréquence inférieure à la pulsation plasma, se propageant dans le vide et incidente sur le plasma, sera totalement
réfléchie.
L’ionosphère est une couche de la haute atmosphère où règne un plasma. Les ondes radio peuvent s’y réfléchir
(ainsi qu’au sol) et ainsi voyager d’un bout à l’autre de la Terre.
1.4. Indice complexe d’un milieu
Définition de l’indice complexe : 
Sa partie réelle  s’appelle l’indice de dispersion.
Sa partie imaginaire  s’appelle l’indice d’absorption.
D’après sa définition, l’indice regroupe toute les propriétés du milieu qui le font s’écarter d’un comportement
type « d’Alembert ». Il n’est donc pas surprenant que l’indice complexe du vide soit égal à 1.
 En exprimant sa partie réelle  en fonction de la vitesse de phase , mettre en évidence la cohérence de
cette définition avec celle donnée en optique.
 Justifier l’appellation ‘indice d’absorption’ pour sa partie imaginaire.
 Déterminer l’expression de l’indice complexe du plasma. Conclure en distinguant les deux cas. L’indice est-il
toujours supérieur à 1 comme en optique ?
Définition d’un milieu transparent
Un milieu est transparent lorsque l’indice est réel (  ).

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2. Réflexion et réfraction d’une OPPH sur un dioptre
2.1. Milieu diélectrique transparent
Dans un milieu isolant, pas de charges libres ni de courants libres. En revanche, les électrons liés aux atomes
peuvent légèrement se déplacer sous l’influence du champ électrique d’une OEM, créant ainsi des dipôles
électriques dans le milieu. On dit que le milieu se polarise. Ainsi, malgré l’absence de charges libres, le champ
interagit avec le milieu. Les équations de Maxwell doivent être modifiées (hors programme).
L’interaction de l’OEM avec un milieu isolant linéaire peut être décrite par l’indice du milieu. On restreint par la
suite notre étude aux milieux transparents (indice réel) linéaires, homogènes et isotropes (l’indice est uniforme, et
ne dépend pas de la polarisation de l’onde).
 Donner l’expression du champ électrique d’une OPPH se propageant dans un milieu isolant. D’après la
définition de l’indice, donner la relation de dispersion. Pourquoi le vecteur d’onde est-il réel ?
2.2. Démonstration des lois de Descartes
On considère deux milieux transparents, d’indices n1 et n2, séparés par un
plan d'équation x = 0. Ce plan est appelé dioptre.
Il n'existe dans les deux milieux et sur le dioptre ni charges libres, ni
courants libres.
Une onde électromagnétique progressive incidente, plane,
monochromatique de pulsation , polarisée rectilignement se propage
dans le milieu (1).
On choisit les axes de manière à avoir le vecteur 
 dans le plan Oxy ; le plan défini par la normale Ox et le
vecteur 
est appelé plan d’incidence.
 Ecrire le champ électrique de l’OPPH incidente. En déduire le champ magnétique.
Onde réfléchie et onde réfractée
Cette onde excite les charges liées du milieu (2) au niveau du dioptre. Elle donne alors naissance à une onde
transmise (dite "réfractée" en optique) dans le milieu (2) et à une onde réfléchie dans le milieu (1). On admet que
ces ondes ont même pulsation  que l'onde incidente (se démontre « comme d’habitude » grâce aux conditions de
continuité à l’interface).
 Donner l’expression de leur vecteur d'onde respectifs 
 et   orientés par les vecteurs unitaires
u et
tur
 Donner les expressions des champs élec/magn des OPPH réfléchie et transmise, en notation complexe.
 Quelle grandeur associée à l’onde joue le rôle du rayon lumineux de l’optique géométrique ?
Conditions de continuité des champs
 A l’interface, quelles sont les deux conditions de continuité du champ EMic.
 L’écrire pour la composante du champ électrique selon Oy, pour tout point M de l’interface
 En déduire que les composantes selon Oy et Oz des trois vecteurs d’onde sont égales.
 En déduire que les rayons lumineux réfléchis et transmis sont dans le plan d’incidence. Conclure.
 En déduire aussi les relations entre les angles réfléchi/incident et transmis/incident.

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2.3. Coefficients de réflexion/transmission de  , sous incidence normale
 Ecrire l’expression de 
, OPPH polarisée suivant 
 Ecrire les expressions de 
,  ,  ,   et  . Montrer que tous les champs sont transverses.
 Ecrire la condition de continuité du champ électrique.
 Ecrire celle du champ magnétique. La multiplier vectoriellement par 
 En déduire les expressions de 
 et  . En déduire que les ondes réfléchie et réfractée sont polarisées selon 
 Déterminer les expressions des coefficients de réflexion et transmission en amplitude (électrique)
 Discuter les phases des ondes réfléchie et transmise.
2.4. Coefficients de réflexion/transmission en puissance, sous incidence normale
 Déterminer les vecteurs de Poynting incident, réfléchi et transmis.
 En calculant la moyenne temporelle de leur norme, déterminer les coefficients en puissance
 Vérifier que l’énergie se conserve. Faire l’application numérique pour l’air    et le verre   .
Notions clefs
Savoirs :
 Définition de l’indice complexe
Savoirs faire :
 Traiter les deux exemples du cours, avec énoncé