Chapitre 5 COUPLAGE DES RÉSISTANCES

Chapitre 5
COUPLAGE DES RÉSISTANCES
Sommaire
– 1. Couplage série
– 2. Couplage parallèle
– 3. Couplage mixte
1. COUPLAGE SÉRIE
1.1 Que nous montre le croquis ci-dessous ?
Des résistances sont dites « en série »
lorsqu'elles sont placées les unes à la suite des
autres. La figure ci-contre montre bien que ces
résistances seront donc parcourues par le
même courant I d'autre part on peut dire, aussi
que chaque résistance R utilise une partie de la
tension totale : U1 ,U2 ,U3 , etc. De plus la
somme des tensions partielles est égale à la
tension (totale) appliquée à l'ensemble des
résistances.
Il est commode de pouvoir remplacer toutes
ces résistances par une seule résistance, celleci devant avoir le même effet que celui produit
par les autres résistances c.à.d. le passage d'un
même courant I sous la même tension U ! Cette
résistance est généralement appelée :
– résistance équivalente : Re ou
– résistance totale : Rt
Analysons les faits
L'application d'une tension Ut aux bornes M et N du circuit va provoquer le passage d'un
courant I dans le circuit. On peut dire que :
Théorie chapitre 5 – page 1
– ce courant I sera à tout moment le même dans tout le circuit. Autrement dit
chaque résistance sera traversée par le même courant et ceci quelle que soit le
nombre ou la valeur des résistances. En effet on imagine mal le courant se
« perdant » quelque part dans le circuit ! On peut donc écrire que :
I1 = I2 = I3 = It = constante
– ce courant I va traverser chaque résistance et y produire ce qu 'on appelle une
« chute de tension ». Nous disions un peu plus haut « utiliser une partie de la
tension totale ». Cette chute de tension sera proportionnelle d'une part au
courant I traversant la résistance, d'autre part à la valeur de la résistance ellemême. La loi d'ohm est toujours d'application :
U1 = R1 * I1
U2 = R2 * I2
U3 = R3 * I3
– la tension Ut appliquée aux bornes M et N, la tension totale pourrait-on dire, va
donc se répartir entre les trois résistances R1 ,R2 et R3. Rien ne permet de dire
que cette répartition sera égale mais par contre on peut dire que la somme des
tensions partielles est égale à la tension totale soit donc :
U1 + U2 + U3 = Ut
Calcul de Re
Ut = U1 + U2 + U3
Re * I = R1 * I + R2 * I + R3 * I
Re * I = I * ( R1 + R2 + R3 )
Re = R1 + R2 + R3
R e = Résistance équivalente
R 1,2,3 = Résistances partielles
La résistance équivalente, dans le couplage SERIE, est égale à la somme des résistances
R1 ,R2 , R3 etc...
Théorie chapitre 5 – page 2
Cas particuliers
II est évident que si l'on groupe plusieurs résistances de même valeur la formule se
simplifie et devient :
Re = R * n
R e = Résistance équivalente
n = nombre de résistances identiques
N.B. : La résistance équivalente est toujours plus grande que la plus grande des
résistance groupées !
1.2 Conclusions
Dans le couplage série, on peut dire que :
- Ut = U1 + U2 + U3
- Re = R1 + R2 + R3
- I = constante
1.3 Applications
1) Quatre résistances sont mises en série et sont alimentées sous une tension de
22O V. Sachant que R1 = 20 Ω, R2 = 40 Ω, R3 = 60 Ω et R4 = 100 Ω, on demande
de calculer les différentes intensités et les différentes tensions. Calculez
également la valeur de la résistance équivalente et la valeur de l'intensité totale
circulant dans le circuit.
2) Dans le schéma ci-dessous, on demande de calculer la valeur de : U, U 1 ,It, I1 I3, Re,
R2, R3.
Théorie chapitre 5 – page 3
3) Branché sous une tension de 12 V, un appareil est traversé par un courant de 600
mA. On souhaite pouvoir utiliser cet appareil sous une tension de 180 V. Calculez la
valeur de la résistance additionnelle à utiliser et faites le croquis du montage.
Votre réponse doit comporter deux solutions différentes S.V.P.
4) Pour réaliser une guirlande lumineuse on se propose de mettre en série des
petites lampes de 12 V. Déterminez le nombre d'ampoules à utiliser sachant que la
tension d'utilisation est de 220 V et que chaque ampoule absorbe une intensité de
20 mA. Calculez également la tension réelle qui sera appliquée à chaque lampe et la
résistance de chacune d'elle.
5) Une résistance est traversée par un courant de 22 A lorsque la tension à ses
bornes est de 220 V. On souhaite pouvoir utiliser cette résistance sous une
tension de 380 V. Calculez la longueur du fil à utiliser pour fabriquer la résistance
additionnelle nécessaire à ce montage sachant que l'on emploiera du fil de 22/10
dont la résistivité est de 3,7994.10-8 Ωm.
6) Un appareil de mesure a une résistance r de 100 Ω et est prévu pour une tension
maximale u de 100 mV. Si l'on veut mesurer des tensions plus élevées, il faut
adjoindre à cet appareil des résistances additionnelles R1 et R2 par exemple. On
demande de déterminer la valeur de R1 et R2 en supposant que les tensions à
mesurer soient entre A et C de 20 V et entre A et D de 70 V.
7) Dans le montage ci-après on demande de reproduire le schéma cinq fois et de
raccorder à chaque fois les différentes résistances de manière telle que la
résistance R soit traversée par des courants de :
Théorie chapitre 5 – page 4
I1 = 150 mA
I2 = 200 mA
I3 = 240 mA
I4 = 300 mA
I5 = 400 mA
8) L'équipage mobile du galvanomètre ci-dessous a une résistance r de 200 Ω et est
prévu pour un courant i de 50 mA. On demande de câbler le commutateur et de
calculer la valeur des résistances additionnelles.
R1 = ? Ω
Ut1 = 15 V
R2 = ? Ω
Ut2 = 45 V
R3 = ? Ω
Ut3 = 110 V
R4 = ? Ω
Ut4 = 500 V
9) L'appareil ci-dessous est ce qu'on appelle un rhéostat. C'est un appareil qui
permet, par exemple, le démarrage d'un moteur. En effet dans la position n° 1, on
voit bien que toutes les résistances sont utilisées et que, dès lors, l'intensité du
courant sera faible. Au fur et à mesure que le curseur va se déplacer il y aura de
moins en moins de résistances en circuit et de ce fait l'intensité du courant sera
de plus en plus grande et donc le moteur tournera de plus en plus vite. On
demande de calculer les résistances R1 ,R2, R3, R4 et R5 pour que l'appareil R soit,
par exemple, parcouru par des courants de 5, 6, 7, 8 et 9 A.
Théorie chapitre 5 – page 5
2. COUPLAGE PARALLÈLE
2.1 Que nous montre le croquis ci-dessous ?
Des résistances sont dites « en parallèle »
lorsqu'elles sont toutes placées aux bornes de
la même source. La figure montre bien que ces
résistances seront donc soumises à la même
tension Ut mais seront parcourues par des
courants I1 , I2 , I3 , etc... De plus la somme des
courants est évidemment égale à la valeur du
courant total It .
Il est commode de pouvoir remplacer toutes
ces résistances par une seule résistance, celleci devant avoir le même effet que celui produit
par les autres résistances c.à.d. le passage
d'un même courant I, sous la même tension Ut !
Cette résistance est généralement appelée :
– résistance équivalente : Re ou
– résistance totale : Rt
Analysons les faits
L'application d'une tension Ut aux bornes M et N du circuit va provoquer le passage d'un
courant I, dans le circuit. On peut dire que :
– cette tension Ut se retrouve aux bornes de chaque élément. Aux bornes de chaque
résistance on retrouve la même tension totale ! On peut donc écrire que :
U1 = U2 = U3 = Ut = constante
– le courant It quittant le générateur, va se répartir entre les trois résistances
R1 ,R2 et R3. Rien ne permet de dire, à priori, que ces trois courants seront égaux !
En effet, ils dépendent de la valeur de chaque élément du circuit. Une chose
cependant est certaine, ces trois courants se rejoignent en N ! La loi d'ohm est
toujours d'application :
I1 = U1 / R1
I2= U2 / R2
I3 = U3 / R3
Théorie chapitre 5 – page 6
– le courant I, résultant de la tension appliquée aux bornes M et N, le courant total,
pourrait-on dire, va donc se répartir entre les trois résistances R 1, R2 et R3. Rien
ne permet de dire, rappelons-le, que cette répartition sera égale mais par contre
on peut dire que la somme des courants partiels est égale au courant total soit
donc :
I1 + I2 + I3 = It
Calcul de Re
A gauche : It = I1 + I2 + I3
A droite : It = Ut / Re ou si on l'écrit différemment : Ut * 1 / Re
Ut * 1 / Re = Ut/ R1 + Ut / R2 + Ut / R3
Ut / Re = Ut (1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3)
R e = Résistance équivalente
R 1,2,3 = Résistances partielles
Dans le couplage PARALLÈLE, l'inverse de la résistance équivalente est égale à la somme
des inverses des résistances partielles R1, R2, R3, etc...
Cas particuliers
1) Si l'on groupe plusieurs résistances de même valeur la formule se simplifie et
devient :
Re = R / n
R e = Résistance équivalente
n = nombre de résistances identiques
Théorie chapitre 5 – page 7
2) Si l'on groupe deux résistances de valeur quelconque, R1 et R2 par exemple on
peut utiliser la formule suivante :
R e=
R 1× R 2
R 1 R 2
Cette formule, que vous devez pouvoir
démontrer, s'obtient en partant de la
formule générale :
1
1
1
= 
Re R 1 R2
Démontrons-là, à titre d'exemple :
Réduisons au même dénominateur :
soit :
R1 * R2 = Re (R2 + R1)
d'où l'on tire :
N.B. : La résistance équivalente est toujours plus petite que la plus petite des
résistances groupées.
2.2 Conclusions
Dans le couplage parallèle, on peut dire que :
- It = I1 + I2 + I3
- 1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
- U = constante
Théorie chapitre 5 – page 8
2.3 Applications
1) Quatre résistances sont mises en parallèle et sont alimentées sous une tension de
50 V. Sachant que R1 = 5 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 25 Ω et R4 = 50 Ω, on demande de
calculer la valeur de l'intensité traversant chaque résistance, l'intensité totale et
les différentes tensions. Calculez également la valeur de la résistance équivalente
et faites le schéma du montage.
2) Dans le schéma ci-dessous on demande de calculer la valeur de : U t ,I1 , It, U3, I3,
Re, R2 sachant que R1 = 10 Ω, R3 = 30 Ω, U2 = 10 V et I2 = 2 A.
3) Un appareil est constitué par trois résistances identiques R de 36 Ω chacunes et
branchées en parallèle sous une tension de 125 V. Sachant que les conducteurs de
raccordement ont une résistance r de 0,5 Ω, on demande de calculer :
• l'intensité totale It ;
•
l'intensité IR circulant dans chaque résistance R ;
•
la tension réelle UR qui se retrouvera aux bornes de chaque résistance R ;
la longueur du fil à employer pour fabriquer chaque résistance R en
supposant que l'on emploie du fil dont la résistivité est de 111.10 -8 Ωm et la
section 2,22 mm2.
4) Un récepteur a une résistance r de 2,4 Ω. En mettant une résistance en parallèle
sur ce récepteur, la résistance équivalente devient égale à 2 Ω. Quelle est la
valeur de cette résistance ?
5) Cinq résistances identiques, placées en dérivation, ont une résistance équivalente
de 1 Ω. Quelle est la valeur de la résistance équivalente quand on les dispose en
série ?
6) Dans le montage ci-contre sachant que R1 = 30 Ω et R2 = 60 Ω, on demande de
•
calculer la valeur de la résistance équivalente ainsi que la tension apparaissant aux
bornes de R2.
Théorie chapitre 5 – page 9
7) Un appareil de mesure a une résistance r = 100 Ω. Le courant maximal supporté
par l'appareil étant de 20 mA, il faudra donc y ajouter « quelque chose » si l'on
veut mesurer des courants plus grands que 20 mA. Ce quelque chose s'appelle un
SHUNT et il se place en parallèle sur la résistance r. Dans l'exemple de la figure,
on demande de calculer la valeur des trois shunts R1, R2, R3 pour pouvoir mesurer
les courants It1, It2 et It3 respectivements égaux à 2 A, 15 A et 50 A. De plus on
demande comment câbler le commutateur.
8) Un milliampèremètre a une sensibilité de 20 mA. Sachant que la résistance du
cadre mobile est de 20 Ω, on demande la valeur du courant pouvant être mesuré
si l'on raccorde à cet appareil un shunt de 0,02002 ohms.
Théorie chapitre 5 – page 10
3. COUPLAGE MIXTE
Dans ce type de couplage aucune nouvelle formule, aucune théorie particulière mais
seulement beaucoup de soin et un peu de réflexion. En fait il s'agit simplement d'un
couplage série et couplage parallèle mélangé !
Dans ce chapitre nous allons aussi devoir dessiner chaque stade de la transformation du
schéma initial et de plus colorer chaque potentiel avec soin. Suivez bien l'exemple
proposé ci-dessous :
Schéma n°1
Comment procéder ?
Nous allons d'abord colorer chaque potentiel ou, si vous préférez, chaque ligne ou groupe
de lignes ayant la même dénomination. Dans l'exemple choisi on a donné à la borne de
départ la lettre A, donc tout ce qui est rattaché à cette borne ( c.à.d. jusque R1, et R3
est identifié par le repère A ou par une couleur au choix. Après R 1 et R3 , on change de
couleur et de lettre, par exemple la lettre B après R3 et la lettre C après R1, quant aux
couleurs, vous êtes libre de choisir mais elles doivent êtres différentes ! Lorsque cette
opération est terminée on passe au second stade. Il s'agit de simplifier le schéma afin
de ne plus avoir qu'un simple circuit série.
Entre les points A et C on constate l'existence de deux branches
en parallèle, la branche avec R1, et la branche avec R3 et R2 mais
dans cette dernière les deux résistances sont en série. On va
donc remplacer ces deux résistances en série par leur résistance
équivalente Re1 par exemple.
Cette fois entre les points A et C nous avons un petit couplage
parallèle tout à fait traditionnel et que nous allons remplacer par
une résistance équivalente que nous allons appeler Re2. Entre les
points A et C nous n 'avons plus maintenant qu'une seule
résistance : Re2.
Théorie chapitre 5 – page 11
Notre schéma n°1 devient :
Schéma n°2
Qu'avons nous entre C et D ? Deux
résistances R4 et R5 en parallèle que nous
allons « réduire » de manière à avoir une
résistance
équivalente
que
nous
appellerons Re3 tout simplement.
Vous constatez que notre schéma initial
se simplifie de plus en plus ! Si vous avez
été attentif aux transformations déjà
effectuées vous avez dû vous rendre
compte qu'au stade actuel nous avons un
simple circuit avec trois résistances en
série : Re2, Re3 et R6. Cela veut donc dire
que notre schéma n °2 devient le schéma
n° 3 illustré ci-dessous.
Schéma n°3
Théorie chapitre 5 – page 12
Notre dernière résistance équivalente nous l'appellerons Rt et elle remplacera nos trois
dernières résistances en série. Et voilà, notre premier travail est enfin effectué et le
résultat en est un schéma simple qui remplace notre schéma initial ! Notre schéma n °3
devient le schéma n °4 ci-dessous.
Schéma n°4
Dans ce genre de problème on donne généralement soit la
valeur de la tension totale Ut soit la valeur de l'intensité
totale It . La valeur de la résistance équivalente venant d'être
établie, on calcule donc soit le It, soit le Ut. Donc dans le
schéma n °4 toutes les valeurs sont connues : Ut, It et Re. On
peut donc passer au schéma précédent c.à.d. le schéma n°3. Regardez attentivement ce
schéma et vous y verrez 3 résistances en série cela veut donc dire que le courant qui y
circule est le même que .... dans le schéma n °4 c.à.d. It. Cela nous permettra d'écrire la
ligne suivante :
It = Ie2 = Ie3 = I6
Cette ligne est très importante car elle va nous permettre de calculer les différentes
tensions apparaissant aux bornes de ces trois résistances :
Ue2 = Re2 * Ie2
Ue3 = Re3 * Ie3
U6 = R6 * I6
Ces tensions étant calculées nous allons pouvoir passer au schéma précédent c.à.d. au
schéma n °2. A quoi faut-il faire attention ? Entre C et D nous avons Re3 et entre A et C
nous avons Re2 ,il faut donc choisir l'une des deux. Peu importe celle par laquelle nous
commencerons, soit Re3 par exemple. La question qu'il faut se poser est la suivante :
A quoi cette résistance Re3 est-elle équivalente ?
Pour répondre à cette question il suffit de regarder sur le schéma précédent ce qui se
trouve entre les points C et D ou entre les mêmes couleurs. Nous constatons donc qu'il
s'agit des résistances R4 et R5, cela veut donc dire aussi que ces deux résistances sont
soumises à la même tension que Re3, d'où l'on peut écrire :
Ue3 = U4 = U5
Cela étant posé on peut alors calculer sans difficulté les deux courants I 4 et I5. Il ne
faut pas oublier maintenant de revenir à notre Re2 afin d'y faire le même raisonnement !
Théorie chapitre 5 – page 13
La question qu'il faut se reposer est la suivante :
A quoi cette résistance Re2 est-elle équivalente ?
Pour répondre à cette question il suffit à nouveau de regarder sur le schéma précédent
ce qui se trouve entre les points A et C ou entre les mêmes couleurs. Nous constatons
donc qu'il s'agit des résistances R1 et Re1 , cela veut donc dire aussi que ces deux
résistances sont soumises à la même tension que Re2, d'où l'on peut écrire :
Ue2 = U1 = Ue1
Cela étant posé on peut alors ici aussi calculer sans difficulté les deux courants I 1 et Ie1.
Il ne nous reste plus maintenant qu'une question à poser :
A quoi cette résistance Re1 est-elle équivalente ?
Pour répondre à cette question il suffit à nouveau de regarder sur le schéma précédent
(il s'agit du schéma initial) ce qui se trouve entre les points A et C ou entre les mêmes
couleurs. Nous constatons donc qu'il s'agit des résistances R2 et R3, cela veut donc dire
que ces deux résistances sont parcourues par le même courant que Re1 (en effet elles
sont en série) d'où l'on peut écrire :
Ie1 = I2 = I3
Ces deux valeurs étant établies on peut enfin calculer les deux tensions apparaissant aux
bornes de R2 et R3.
U2 = R2 * I2
U3 = R3 * I3
Notre problème est terminé, en effet tous les courants sont connus et toutes les
tensions ont été calculées. Il vous reste maintenant à faire le même problème en
respectant les valeurs qui vous seront données. Bonne chance …
Théorie chapitre 5 – page 14
Applications
1) Dans le circuit ci-dessous, sachant que R1 et R2 valent chacune 8 Ω et que R3 a
pour valeur 16 Ω, calculez les valeurs suivantes : U1 , U2, U3, I1 , I2, I3, It et Re.
2) Dans le circuit ci-dessous, calculez les valeurs de U1, U2, U3, U4, I1, I2, I3, I4, It et
Re. On donne : Ut= 12 V, R1=2 Ω, R2=8 Ω, R3=10 Ω et R4=1 Ω.
3) Dans le circuit ci-dessous, calculez la valeur de toutes les tensions, de toutes les
intensités ainsi que la valeur de Re sachant que : Ut=40 V, R1=2 Ω, R2=4/3 Ω, R3 =
15 Ω, R4=5 Ω et R5=10 Ω.
Théorie chapitre 5 – page 15
4) Dans le circuit ci-dessous, calculez la valeur des éléments manquants sachant que
la valeur de l'intensité I4 traversant R4 est de 10 A. On donne les valeurs
suivantes : R1 = R2 = R3 = 36 Ω, R4 = 70/13 Ω, R5 = 5 Ω et R6 = 60 Ω.
5) Dans le circuit ci-dessous, calculez la valeur de toutes les tensions, de toutes les
intensités ainsi que la valeur de Re sachant que I5 = 5 A. On donne les valeurs
suivantes : R1 = 3/5 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 2 Ω et R5 = 7/5 Ω.
6) Dans le circuit ci-dessous, calculez la valeur de toutes les tensions, de toutes les
intensités ainsi que la valeur de Re sachant que Ut= 100 V. On donne les valeurs
suivantes : R1 = 12 Ω, R2 = 38 Ω, R3 = 10 Ω, R4 = 60 Ω, R5 = 5 Ω, R6 = 8 Ω et enfin
R7 = 7 Ω.
Théorie chapitre 5 – page 16
7) Dans le circuit ci-dessous, calculez la valeur de toutes les tensions, de toutes les
intensités ainsi que la valeur de Re sachant que le courant total It arrivant en A a
une valeur de 10 A. On donne les valeurs suivantes : R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 1 Ω et
R6 = R7 = R8 = R9 = 2 Ω.
8) Dans le circuit ci-dessous, calculez la valeur de toutes les tensions, de toutes les
intensités ainsi que la valeur de Re sachant que la tension totale Ut est de 60 V. On
donne les valeurs suivantes : R1 = 4R2 = R3 = R4 = R5 = 1 Ω.
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