Détection synchrone low cost - Département de physique

Département de physique
Etude de la densité spectrale de puissance du bruit thermique dans une résistance
• Travail expérimental et rédaction du document :
Jean-Baptiste Desmoulins (P.R.A.G.)
mail : [email protected]
Cette étude est destinée à mettre en évidence le principe de la détection synchrone. Pour cela, on réalise
analogiquement les différentes opérations nécessaires (multiplication, filtrage, adaptation d’impédance). Le
système obtenu n’a pas la prétention d’avoir les qualités d’un dispositif de métrologie, mais il permet de se poser
de nombreuses questions importantes pour la mise en œuvre de ce type de système dans les meilleures conditions
possibles.
I. Présentation de l’expérience :
La détection synchrone permet de mesurer la valeur efficace d’une sinusoïde noyée dans du bruit. Pour que
l’opération fonctionne, il est nécessaire de disposer d’un signal exactement à la même fréquence que la sinusoïde
à mesurer.
I.1. Principe de la détection synchrone.
● On récupère un signal su(t) noyé dans un bruit b(t) qui sera considéré blanc sur la plage de fréquence
étudiée. Le signal en entrée du dispositif est donc s(t), somme des deux signaux précédents.
On dispose par ailleurs d’un signal sinusoïdal de même fréquence que su(t) et déphasé de φ par rapport à ce
dernier. Ce signal sera transformé en un signal de même fréquence et de même déphasage, mais dont l’amplitude
est connue appelé sref(t)
On note
s u ( t ) = S. 2 . cos(ω.t ) , s(t) = su(t)+b(t)
, s ref ( t ) = R. 2 . cos(ω.t + ϕ)
● Mathématiquement, on va multiplier s(t) et sref(t). On obtient alors une composante à la pulsation 2ω et une
composante continue. Le produit n’a pas d’effet sur le bruit dans la plage de fréquence étudiée (il y a bien un
effet de filtrage lié au composant qui réalise le produit, mais il est sans incidence). Le signal obtenu sera noté
si(t). On aura alors, si K est le gain du dispositif qui réalise la multiplication
s i ( t ) = K.2.S.R. cos(ω.t ). cos(ω.t + ϕ) = K.S.R.[cos(2.ω.t + ϕ) + cos(ϕ)]
On va alors réaliser un filtrage passe-bas afin d’éliminer la composante en 2ω. Par ailleurs, on aura intérêt à
limiter au maximum la bande passante du filtre afin de ne conserver le bruit blanc que sur une bande très étroite,
ce qui conduit à une valeur efficace de bruit faible en sortie du dispositif. L’inconvénient de cette limitation de la
bande passante sera un temps de réponse important pour le dispositif… En pratique, plus on veut augmenter la
qualité du résultat, plus il faut attendre longtemps… Finalement, on récupère une composante continue dont la
valeur Uout vaut
U out = K.S.R. cos(ϕ)
Si on s’arrange pour faire en sorte que φ=0, alors Uout est directement liée à S recherchée par deux grandeurs
K et R qui sont caractéristiques du système de mesure.
● Ces opérations sont résumées sur la figure suivante sur laquelle on cherche à mesurer la valeur efficace
d’une sinusoïde de fréquence 1 kHz noyée dans un bruit blanc jusqu’à 10 MHz. On a choisi de représenter les
densités spectrales de puissance de V2/Hz.
1
Remarque : en pratique, avant de réaliser le produit et le filtrage, on va réaliser un premier filtrage passe
bande autour de la fréquence du signal à mesurer, afin d’éliminer une partie du bruit blanc dont nous avons parlé,
ainsi que pour limiter le bruit en 1/f qui est important à basse fréquence et que nous n’avons pas évoqué quand
nous avons défini le bruit d’entrée. Ce filtre doit s’adapter à la fréquence sur laquelle on réalise la mesure.
I.2. Dispositif expérimental réalisé.
En pratique, le produit est réalisé par un multiplieur AD633 qui présente un gain K = 1/10, une bande
passante voisine de 1 MHz ce qui est largement suffisant pour travailler avec des signaux utiles dont la fréquence
ne dépasse pas quelques kHz.
Le filtre passe-bas est de type RC du premier ordre. Il faut obtenir des fréquences de coupure assez faibles
pour réduire notablement le bruit (inférieure au Hz). Du coup, pour ne pas augmenter démesurément les valeurs
de capacités (on se limitera à 10µF grand maximum), la seule solution consiste à augmenter la valeur de la
résistance du circuit. Pour des valeurs qui se rapprochent de la valeur de l’impédance d’entrée de l’oscilloscope
placé en sortie, on aura une atténuation introduite par l’oscilloscope. Pour éviter ce problème, on place un
suiveur en sortie du filtre. La valeur de R sera choisie égale à 1MΩ
II. Résultats expérimentaux :
● Mise en place du signal à traiter :
On génère un signal sinusoïdal de 1 kHz et de 20 mV efficace ainsi que le bruit gaussien de 2V efficace au
moyen de générateurs 33220A. On fait la somme de ces deux signaux au moyen d’un sommateur à
amplificateur opérationnel (composant TL081).
- Observation du bruit avant sommation :
2
nombre d'échantillons
Pour étudier le bruit avant sommation, on va faire un histogramme des valeurs de ce dernier. Comme pas
de l’histogramme, on veillera à prendre une valeur qui est un multiple du pas de quantification en amplitude
du dispositif de numérisation utilisé. C’est important pour que chaque pas comporte le même nombre de
valeurs autorisées. Si cette condition n’est pas respectée, on va fausser la représentation de la distribution à
travers l’histogramme. La numérisation a été faite sur 8 bits avec 2V/carreau. Le pas de quantification est
donc de 62.5mV (16/28). On a choisi un pas de 125 mV, c'est-à-dire qu’il existe deux valeurs possibles par
pas.
80x10
3
60
40
20
0
-8V
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
nombre d'échantillons
valeur de l'échantillon (V)
La notice du générateur indique que la distribution des échantillons du bruit est gaussienne ce que semble
confirmer un ajustement de l’histogramme réalisé. Une analyse statistique indique que l’écart-type est de
2.16V ce qui est très proche de la valeur efficace (2,15V) comme attendu pour un bruit gaussien.
- Observation du bruit après sommation et calcul du rapport signal sur bruit :
La numérisation a été faite sur 8 bits avec une échelle de 500mV/carreau. Le pas de quantification vaut
15.625mV. En prenant deux valeurs possibles par intervalle, on choisit un pas d’histogramme de 31,25 mV.
80x10
3
60
40
20
0
-2V
-1
0
1
2
Valeur de l'échantillon (V)
Une analyse statistique indique que l’écart-type est de 0,54V ce qui est très proche de la valeur efficace
(0,54V). En entrée de la détection synchrone, le rapport signal sur bruit vaut donc
0.020
RS B ≈
= 0,037 ou en dB, R S B dB ≈ −29dB
0.54
Remarque sur les densités spectrales de puissance et les valeurs efficaces de bruit :
L’amplificateur opérationnel qui réalise la sommation présente une bande passante et se comporte comme un
filtre passe-bas dont la bande équivalent de bruit est de quelques centaines de kHz. Sur la figure suivante, on a
représenté les densités spectrales de puissance de bruit en entrée et en sortie du sommateur après un lissage sur
10000 points.
3
DSP (V²/Hz)
-70
DSP en entrée du sommateur
DSP en sortie du sommateur
-80
-90
-100
-110
2
100 kHz
3
4
5 6 7 8
2
3
4
5 6 7 8
1 MHz
2
3
4
10 MHz
fréquence (Hz)
On constate que le sommateur est légèrement résonant.
L’acquisition est réalisée avec une fréquence d’échantillonnage de 80 MHz afin d’analyser jusqu’à 40 MHz.
La base de temps est de 5 ms/carreau et se fait avec 4 Mpts. Pour faire le lissage, on a réalisé une moyenne
glissante sur une plage de fréquence qui reste assez étroite pour que la DSP n’évolue pas notablement. Le lissage
est calculé en échelle linéaire puis on repasse en échelle log pour afficher l’amplitude de la DSP.
On note BeqSom la bande équivalente du sommateur, Db la densité spectrale de puissance du bruit d’entrée
dans la zone où elle est constante et Bb la bande équivalente du bruit d’entrée. Si on appelle Veffbin la valeur
efficace du bruit en entrée et VeffbSom la valeur efficace du bruit en sortie du sommateur, on a :
V 2 effbin = D in .B b
et
V 2 effbSom = D in .B eqSom
Sachant que la bande équivalente du bruit étudié (sortie du générateur 33220A) est voisine de 10 MHz et que
la bande équivalente d’un TL081 en sommateur est voisine de 500 kHz (560kHz avec le TL081 utilisé ici), on
s’attend à avoir
B eqSom
VeffbSom
=
Veffbin
Bb
≈ 0,24
Expérimentalement à l’oscilloscope, on mesure une valeur efficace de bruit d’entrée de 2.15V et une valeur
efficace de bruit de sortie de 0,54V. On est proche de l’ordre de grandeur prévu.
● Mesure de l’offset du système :
En l’absence de signal d’entrée (entrée correspondante du multiplieur mise à la masse… pas en l’air !), on
conserve le niveau de la tension de référence utilisé sur l’autre entrée et on regarde le niveau de sortie du
dispositif en réalisant un moyennage pour nettoyer le signal.
Quel que soit la valeur de la capacité C et quel que soit l’amplitude du signal de référence, on trouve une
tension continue en sortie qui représente une erreur systématique dont il faudra tenir compte.
Pour notre système, cette erreur systématique vaut -700µV. Elle fluctue légèrement mais reste dans une plage
de ± 20µV autour de la valeur donnée pendant la durée de l’expérience. Evidemment, avec un autre composant
de la même famille, cette valeur est susceptible de changer.
● Mesure de la composante noyée dans le bruit :
On applique maintenant le signal bruité sur l’entrée de signal du multiplieur. On ajuste le déphasage du signal
de référence sref par rapport au signal utile su à mesurer. On fait en sorte d’amener le niveau de sortie sur la
valeur de l’offset de sortie précédemment mesurée. On fait ensuite un saut de phase de 90° afin de récupérer le
maximum de signal en sortie. Le résultat attendu est la différence algébrique entre le niveau de sortie atteint dans
ces conditions et le niveau de l’offset dont on est parti.
Remarque : il est préférable de procéder de la sorte plutôt que de chercher à détecter directement le
maximum. La réponse étant en cosφ, il y aura davantage d’incertitude sur le repérage du maximum que sur le
repérage du passage par 0 (qui correspond au niveau d’offset).
● On commence par travailler avec une capacité de 100 nF associée à la résistance de 100 kΩ. Sans
moyennage, le signal de sortie présente la forme suivante :
4
40mV
temps de réponse du filtre = 0,01s
tension (V)
30
20
10
0
-10
0
10
20
30
40
50ms
temps (s)
En détectant le maximum comme il vient d’être dit, après avoir appliqué un moyennage pour faire disparaître
le bruit, on détecte une différence de 13,5mV+0.7 de différence sur la tension de sortie. Le gain K étant égal à
1/10, la tension R étant égale à 10V max soit 7.07V efficace, on trouve une valeur efficace du signal noyé dans
le bruit de 20.1 mV, ce qui est bien conforme au résultat attendu.
● Avec une capacité de 10nF le bruit résiduel est plus important. Ceci est essentiellement dû à un meilleur
filtrage de la composante à 2 kHz avec 100nF.
40mV
temps de réponse du filtre = 0,001s
tension (V)
30
20
10
0
-10
0
10
20
30
40
50ms
temps (s)
● Avec une capacité de 1µF, on n’observe pas de différence notable avec 100nF pour ce qui concerne la
valeur efficace de bruit, mais on élimine malgré tout des fluctuations sur quelques dizaines de ms.
Le résultat est donc de meilleure qualité, même si ça n’est pas dans le proportions attendues. Il semble donc
que le bruit résiduel observé en sortie n’est pas uniquement le reste du bruit d’entrée qui sort du filtre. Il s’agirait
donc plutôt de bruits récupérés après le filtre et sur lesquels on ne peut pas trop jouer, étant donné les conditions
de l’expérience (le système est réalisé avec plusieurs blocs assemblés et non sur un circuit imprimé compact).
5
40mV
temps de réponse du filtre = 0,1s
tension (V)
30
20
10
0
-10
0
10
20
30
40
50ms
temps (s)
● Réponse dynamique de la boucle :
On envoie en entrée un signal modulé en amplitude avec une profondeur de modulation de 50%. La porteuse
est fixée à 1 kHz comme le signal utile étudié précédemment, mais ou a augmenté l’amplitude à quelques volts
afin d'avoir davantage de signal. La modulante est de fréquence 1Hz.
Sur la figure suivante, on présente le signal modulé, ainsi que la réponse de la boucle à un tel signal, pour
deux temps caractéristiques du filtre de la détection (0,01s pour 100kΩ et 100nF et 0,1s pour 100kΩ et 1µF).
3.0V
0
2.5
-2
2.0
-4
temps de réponse du filtre
0,01s
0,1s
-6
-8
-10V
0.0
1.5
1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0s
temps (s)
Plus la bande passante du filtre est étroite, plus on limite la valeur résiduelle de bruit par rapport au signal,
donc plus on améliore la qualité de la réponse, mais plus il faut attendre longtemps pour récupérer le résultat
attendu.
version de décembre 2012
6
réponse du système (V)
Signal d'entrée (V)
2