Lois intégrales et locales en électromagnétisme

1
Chapitre 3...................................................................................................................3
LOIS INTEGRALES ET LOCALES DE L’ELECTROMAGNETISME..........................3
I- GRANDEURS INTEGRALES ET LOCALES .......................................................3
II - LOIS LOCALES ET LOIS INTEGRALES...........................................................4
1 - Exemples de lois locales: les lois d’Ohm et de Joule.....................................5
2 - Flux.................................................................................................................5
3 – Circulation......................................................................................................6
III - REGIMES STATIQUES ET REGIMES VARIABLES........................................7
IV - LOIS INTEGRALES DES CHAMPS STATIQUES ET PASSAGE AUX LOI
LOCALES................................................................................................................7
Partie A - Lois des flux des champs........................................................................7
1 - Théorème de Gauss ou théorème du flux de D. ............................................7
Application – III – 1 – Détermination d’une capacité............................................7
2 - Loi locale de Maxwell-Gauss..........................................................................9
3 - Le flux magnétique est conservatif...............................................................11
4 - Flux et divergence d'un champ magnétostatique.........................................12
5 - Généralisations.............................................................................................12
Partie B - Lois des circulations des champs..........................................................12
1- Théorème d'Ampère ou théorème de la circulation de H..............................12
Application III – 2 - Détermination d'une inductance..........................................13
2 - Loi locale de Maxwell-Ampère......................................................................14
3 - La circulation d’un champ électrique d'excitation .........................................16
4 - Circulation et rotationnel d'un champ électrostatique...................................16
5 - Généralisations.............................................................................................17
V - POTENTIELS..................................................................................................17
1 - Potentiel électrostatique...............................................................................17
Application III – 3- Détermination d'une conductance........................................18
2 - Relation de Poisson......................................................................................19
Application III – 4 – La cage de faraday ............................................................19
3 – Potentiel vecteur magnétique......................................................................20
Application III - 4- Potentiel vecteur magnétostatique créé par un courant .......21
VI – LES MODIFICATIONS DES LOIS INTEGRALES EN REGIME VARIABLE..23
1 - L’induction électromagnétique.....................................................................24
Application III - 6 - Conducteur mobile dans un champ d'induction magnétique
fixe.....................................................................................................................25
Application III – 7 – Circuit fermé mobile dans un champ d'induction magnétique
fixe.....................................................................................................................26
Application III – 8 – Circuit fermé fixe dans un champ d'induction magnétique
variable au cours du temps................................................................................27
2 – Loi locale de Maxwell-Faraday....................................................................28
Application III – 9 - Effet pelliculaire et courants de Foucault............................29
3 - Loi d’Ohm généralisée sous sa forme intégrale...........................................30
4- Le théorème d' Ampère en régime variable...................................................30
Application III –10 - Valeur de la densité de courant de déplacement..............31

2
5 – Loi locale de la propagation d’énergie.........................................................32
Application III –11- Propagation guidée d'ondes électromagnétiques dans un
câble coaxial......................................................................................................33

3
Chapitre 3
LOIS INTEGRALES ET LOCALES DE L’ELECTROMAGNETISME
I- GRANDEURS INTEGRALES ET LOCALES
Les grandeurs locales de l'électromagnétisme sont:
! Les champs d'excitation et d'induction
! Les densités de courants et de charges.
Les grandeurs intégrales de l'électromagnétisme sont:
! le flux d'un champ à travers une surface,
! la circulation d'un champ sur un contour.
Nous commençons par définir les grandeurs intégrales, afin d'utiliser les lois
intégrales dans des situations idéalisées très simples, soit par leur symétrie
géométrique, soit par les propriétés idéalisées des matériaux.
L’analyse des spectres de lignes de champs données par les sources de champs
électriques (sphères, cylindres, fils chargés) ou magnétiques (aimants , fils, bobines)
ont conduit à définir deux grandeurs intuitivement puis mathématiquement: le flux et
la circulation.
Considérons un aimant et son spectre magnétique. Sur la figure, on observe les
pôles et les lignes d’induction sur un plan. En fait, les lignes sont à distribution
volumique.
Ces lignes sont orientées dans le sens des flèches.
En suivant une ligne de champ, on peut définir la circulation du champ le long de
cette ligne.
Mathématiquement, la circulation est une intégrale curviligne d’un champ vectoriel
sur une ligne ou contour.
La surface S enlace un ensemble de ligne de champ. On peut définir le flux du
champ qui traverse la surface.
Mathématiquement, le flux est une intégrale de surface d’un champ vectoriel .

4
Figure 13 – Lignes de champs dans le plan de symétrie d’un barreau
aimanté droit
II - LOIS LOCALES ET LOIS INTEGRALES
Les lois locales sont les lois de Maxwell, vieilles de plus d'un siècle. Elles sont
universellement admises. Ce sont des équations aux dérivées partielles.
Sauf dans des cas idéalisés, leur résolution par calcul analytique est impossible,
mais l'ordinateur et les logiciels, dits de Calcul de Champ, permettent de résoudre
numériquement de plus en plus de problèmes complexes en utilisant la géométrie
réelle des systèmes et les caractéristiques des matériaux, couramment en
dimension 2 et de plus en plus en dimension 3.
Si la définition de grandeurs intégrales n'est pas évidente, les équations intégrales
qui unissent flux et circulation aux charges et courants sont plus simples à résoudre
que les lois locales, au moins dans les cas idéalisables.
A notre époque de transition, où le calcul analytique cède peu à peu la place au
calcul assisté par ordinateur, on doit utiliser au maximum les résultats issus du calcul
numérique, donc des équations locales et réserver le calcul analytique, par les lois
intégrales aux cas simples,
" par la géométrie
" par les propriétés des matériaux.
Dans ces cas simples, l'énoncé général des lois intégrales est simplifiable.
Pour chaque loi intégrale on indiquera comment l'on passe de la loi sous son
écriture physique générale, à la loi sous son écriture usuelle.
NORD SUD
surface
S
Li
g
ne de cham
p
Γ

5
Quelle que soit la voie, les résultats de ces calculs analytiques ou numériques
conduisent: " soit à déterminer les champs en tout point d'un système,
" soit à déterminer les paramètres des systèmes : capacités, inductances
et conductances,
" soit à connaître la répartition de l’énergie dans le système.
" Soit à résoudre les problèmes physiques de couplage du système
électromagnétique avec son environnement: mécanique, thermique,
rayonnements…
1 - Exemples de lois locales: les lois d’Ohm et de Joule
Une loi de l'électromagnétisme locale relie les propriétés d'un champ en un point
et à un instant donnés, à la densité de charges, de courant ou d’énergie en ce point
et à cet instant.
Exemple: la loi d'Ohm locale relie dans un milieu conducteur solide ou liquide, au
point M, la densité de courant au champ électrique E [26].
)t,M(E)t,M()t,M(j !! γ= [26]
γ est la conductivité locale et instantanée du matériau.
Il existe aussi une loi de Joule locale [27] :
La densité volumique de puissance Υ transformable en chaleur en un point est
donnée par :
E.j
²j !!
=
γ
=Υ [27]
Exemple numérique:
Un matériau très conducteur a une conductivité γ=2.108 Ω.m.
La densité de courant maximale préconisée par la norme dans un tel conducteur,
en régime permanent, est j=5A/mm²=5.106A/m².
La densité de puissance maximale en régime permanent est donc: 1250 W/m3.
2 - Flux
Donnons les expressions du flux d’un champ vectoriel d
!quelconque à travers une
surface Σ
Le flux est l'intégrale d'un champ à travers une surface Σ qui peut - être:
! Une surface élémentaire d'aire dS,
! une surface ouverte finie,
! ou une surface fermée, englobant un volume quantifiable.
La définition du flux nécessite de définir une normale à la surface.