Lois intégrales et locales en électromagnétisme

Chapitre 3 ................................................................................................................... 3
LOIS INTEGRALES ET LOCALES DE L’ELECTROMAGNETISME .......................... 3
I- GRANDEURS INTEGRALES ET LOCALES ....................................................... 3
II - LOIS LOCALES ET LOIS INTEGRALES........................................................... 4
1 - Exemples de lois locales: les lois d’Ohm et de Joule ..................................... 5
2 - Flux................................................................................................................. 5
3 – Circulation...................................................................................................... 6
III - REGIMES STATIQUES ET REGIMES VARIABLES ........................................ 7
IV - LOIS INTEGRALES DES CHAMPS STATIQUES ET PASSAGE AUX LOI
LOCALES................................................................................................................ 7
Partie A - Lois des flux des champs ........................................................................ 7
1 - Théorème de Gauss ou théorème du flux de D. ............................................ 7
Application – III – 1 – Détermination d’une capacité............................................ 7
2 - Loi locale de Maxwell-Gauss .......................................................................... 9
3 - Le flux magnétique est conservatif ............................................................... 11
4 - Flux et divergence d'un champ magnétostatique ......................................... 12
5 - Généralisations............................................................................................. 12
Partie B - Lois des circulations des champs.......................................................... 12
1- Théorème d'Ampère ou théorème de la circulation de H .............................. 12
Application III – 2 - Détermination d'une inductance.......................................... 13
2 - Loi locale de Maxwell-Ampère...................................................................... 14
3 - La circulation d’un champ électrique d'excitation ......................................... 16
4 - Circulation et rotationnel d'un champ électrostatique ................................... 16
5 - Généralisations............................................................................................. 17
V - POTENTIELS .................................................................................................. 17
1 - Potentiel électrostatique ............................................................................... 17
Application III – 3- Détermination d'une conductance........................................ 18
2 - Relation de Poisson...................................................................................... 19
Application III – 4 – La cage de faraday ............................................................ 19
3 – Potentiel vecteur magnétique ...................................................................... 20
Application III - 4- Potentiel vecteur magnétostatique créé par un courant ....... 21
VI – LES MODIFICATIONS DES LOIS INTEGRALES EN REGIME VARIABLE.. 23
1 - L’induction électromagnétique ..................................................................... 24
Application III - 6 - Conducteur mobile dans un champ d'induction magnétique
fixe. .................................................................................................................... 25
Application III – 7 – Circuit fermé mobile dans un champ d'induction magnétique
fixe ..................................................................................................................... 26
Application III – 8 – Circuit fermé fixe dans un champ d'induction magnétique
variable au cours du temps................................................................................ 27
2 – Loi locale de Maxwell-Faraday .................................................................... 28
Application III – 9 - Effet pelliculaire et courants de Foucault ............................ 29
3 - Loi d’Ohm généralisée sous sa forme intégrale ........................................... 30
4- Le théorème d' Ampère en régime variable................................................... 30
Application III –10 - Valeur de la densité de courant de déplacement.............. 31
1
5 – Loi locale de la propagation d’énergie ......................................................... 32
Application III –11- Propagation guidée d'ondes électromagnétiques dans un
câble coaxial ...................................................................................................... 33
2
Chapitre 3
LOIS INTEGRALES ET LOCALES DE L’ELECTROMAGNETISME
I- GRANDEURS INTEGRALES ET LOCALES
Les grandeurs locales de l'électromagnétisme sont:
! Les champs d'excitation et d'induction
! Les densités de courants et de charges.
Les grandeurs intégrales de l'électromagnétisme sont:
! le flux d'un champ à travers une surface,
! la circulation d'un champ sur un contour.
Nous commençons par définir les grandeurs intégrales, afin d'utiliser les lois
intégrales dans des situations idéalisées très simples, soit par leur symétrie
géométrique, soit par les propriétés idéalisées des matériaux.
L’analyse des spectres de lignes de champs données par les sources de champs
électriques (sphères, cylindres, fils chargés) ou magnétiques (aimants , fils, bobines)
ont conduit à définir deux grandeurs intuitivement puis mathématiquement: le flux et
la circulation.
Considérons un aimant et son spectre magnétique. Sur la figure, on observe les
pôles et les lignes d’induction sur un plan. En fait, les lignes sont à distribution
volumique.
Ces lignes sont orientées dans le sens des flèches.
En suivant une ligne de champ, on peut définir la circulation du champ le long de
cette ligne.
Mathématiquement, la circulation est une intégrale curviligne d’un champ vectoriel
sur une ligne ou contour.
La surface S enlace un ensemble de ligne de champ. On peut définir le flux du
champ qui traverse la surface.
Mathématiquement, le flux est une intégrale de surface d’un champ vectoriel .
3
Ligne de champ Γ
surface
S
NORD
SUD
Figure 13 – Lignes de champs dans le plan de symétrie d’un barreau
aimanté droit
II - LOIS LOCALES ET LOIS INTEGRALES
Les lois locales sont les lois de Maxwell, vieilles de plus d'un siècle. Elles sont
universellement admises. Ce sont des équations aux dérivées partielles.
Sauf dans des cas idéalisés, leur résolution par calcul analytique est impossible,
mais l'ordinateur et les logiciels, dits de Calcul de Champ, permettent de résoudre
numériquement de plus en plus de problèmes complexes en utilisant la géométrie
réelle des systèmes et les caractéristiques des matériaux, couramment en
dimension 2 et de plus en plus en dimension 3.
Si la définition de grandeurs intégrales n'est pas évidente, les équations intégrales
qui unissent flux et circulation aux charges et courants sont plus simples à résoudre
que les lois locales, au moins dans les cas idéalisables.
A notre époque de transition, où le calcul analytique cède peu à peu la place au
calcul assisté par ordinateur, on doit utiliser au maximum les résultats issus du calcul
numérique, donc des équations locales et réserver le calcul analytique, par les lois
intégrales aux cas simples,
" par la géométrie
" par les propriétés des matériaux.
Dans ces cas simples, l'énoncé général des lois intégrales est simplifiable.
Pour chaque loi intégrale on indiquera comment l'on passe de la loi sous son
écriture physique générale, à la loi sous son écriture usuelle.
4
Quelle que soit la voie, les résultats de ces calculs analytiques ou numériques
conduisent:
" soit à déterminer les champs en tout point d'un système,
" soit à déterminer les paramètres des systèmes : capacités, inductances
et conductances,
" soit à connaître la répartition de l’énergie dans le système.
" Soit à résoudre les problèmes physiques de couplage du système
électromagnétique avec son environnement: mécanique, thermique,
rayonnements…
1 - Exemples de lois locales: les lois d’Ohm et de Joule
Une loi de l'électromagnétisme locale relie les propriétés d'un champ en un point
et à un instant donnés, à la densité de charges, de courant ou d’énergie en ce point
et à cet instant.
Exemple: la loi d'Ohm locale relie dans un milieu conducteur solide ou liquide, au
point M, la densité de courant au champ électrique E [26].
!
!
j (M, t ) = γ(M, t )E(M, t )
[26]
γ est la conductivité locale et instantanée du matériau.
Il existe aussi une loi de Joule locale [27] :
La densité volumique de puissance Υ transformable en chaleur en un point est
donnée par :
j² ! !
Υ = = j.E
[27]
γ
Exemple numérique:
Un matériau très conducteur a une conductivité γ=2.108 Ω.m.
La densité de courant maximale préconisée par la norme dans un tel conducteur,
en régime permanent, est j=5A/mm²=5.106A/m².
La densité de puissance maximale en régime permanent est donc: 1250 W/m3.
2 - Flux
!
Donnons les expressions du flux d’un champ vectoriel d quelconque à travers une
surface Σ
Le flux est l'intégrale d'un champ à travers une surface Σ qui peut - être:
! Une surface élémentaire d'aire dS,
! une surface ouverte finie,
! ou une surface fermée, englobant un volume quantifiable.
La définition du flux nécessite de définir une normale à la surface.
5
!
Dans le cas d'une surface fermée, on définit un vecteur normale n à Σ dirigé de
l’intérieur vers l'extérieur du volume enserré par la surface Σ.
Dans le cas d'une surface ouverte la normale est définie conventionnellement par
rapport à un sens de parcours sur la surface et application de la règle du tirebouchon.
!
Le flux élémentaire du champ vectoriel D à travers un élément de surface dS
pouvant d'ailleurs appartenir à une surface ouverte ou fermée est donné par:
!!
dφ = d.ndS
[28]
L'intégration de cette relation sur la surface Σ, conduit à:
()
!
!!
φ Σ d = ∫∫ d.ndS
Σ
[29]
Dans le cas général, le calcul d'une telle intégrale est impossible analytiquement,
sauf dans les quelques cas, où la surface Σ est simple (problème à grande
symétrie). Les lignes de champs sont alors orthogonales à la surface Σ. L'écriture
physique générale cède alors la place à la formule usuelle [30] :
()
!
φ Σ d = d .S
[30]
3 – Circulation
!
Donnons les expressions de la circulation d’un champ vectoriel quelconque h sur
un contour Γ.
Γ peut être un contour fermé ou ouvert.!
La circulation élémentaire d’un champ H vectoriel, le long de dl, est
! !
dC = h.d l
[31]
La circulation totale le long de Γ est:
!
!!
C r (h) = ∫ h.dl
r
[32]
Le calcul d'une telle intégrale est difficile analytiquement, sauf dans les quelques
cas, où le contour Γ est simple (problème à grande symétrie). Les lignes de champs
sont alors confondues avec Γ. L'écriture physique générale cède alors la place à une
formule usuelle:
!
C r (h) = h.l
[33]
6
III - REGIMES STATIQUES ET REGIMES VARIABLES
En régime statique les champs de l'électrostatique et de la magnétostatique sont
indépendants.
En régime variable, il y couplage électromagnétique entre champ électrique E et
induction magnétique B d'une part et entre champ magnétique H et induction
électrique D d'autre part.
IV - LOIS INTEGRALES DES CHAMPS STATIQUES ET PASSAGE AUX LOI
LOCALES
Entrons maintenant dans le domaine des quatre lois intégrales, une pour chaque
champ, en restant tout d'abord dans le domaine statique. Les champs sont
indépendants du temps.
Chaque loi est illustrée par une application simple se prêtant au calcul analytique.
Puis la loi locale est introduite sur un exemple. Cela n'a, certes, pas le degré de
généralité maximale, mais cela permet de comprendre la signification profonde de
chaque loi. Cette loi est de toute façon vérifiée par l'étendue de ses conséquences
mises au jour depuis des décennies. Elles constituent des principes de la physique.
En électromagnétisme, on ne s’intéresse, d'abord,
!
! en fait:
! qu’aux flux des champs d’induction D et B
!
!
! qu’aux circulations des champs d’excitation E et H .
Partie A - Lois des flux des champs
1 - Théorème de Gauss ou théorème du flux de D.
!
Le flux de l’induction électrique D à travers une surface Σ fermée est égale à
la charge Q contenue dans le volume délimité par Σ. La normale orientée à la
surface est la normale extérieure.
Application – III – 1 – Détermination d’une capacité
Un câble coaxial est une structure cylindrique simple. Si on ne cherche pas la précision aux
extrémités, le câble peut être considéré comme de longueur infinie.
Un câble se compose d’un cylindre central creux de rayon R1, l’âme, et d’un cylindre creux extérieur
de rayon R2. Entre les deux cylindres, se trouve un diélectrique de permittivité absolue ε. L’ensemble
forme un condensateur cylindrique.
Une charge Q sur l’âme crée par influence électrostatique une charge –Q sur l’armature extérieure.
Dans le diélectrique règne un champ d’induction électrique D.
âme
diélectrique
Figure 14 – Coupe d’un câble coaxial
7
La symétrie du problème est telle que :
# les lignes de champs sont radiales
# le flux à travers une surface fermée n’est différent de 0, qu’à travers la surface latérale
de tout cylindre coaxial avec le câble.
La surface de Gauss, pour le calcul est donc naturellement un tel cylindre dont le rayon est r et la
hauteur h. Cette surface fermée enserre la charge Q = σ.2πR 1h .
D
surface de Gauss
âme
r
Figure – 15- Surface de Gauss dans un câble coaxial
L’application du théorème de Gauss à ce champ, conduit à l’expression
D(r ) =
Q
R1<r<R2
2πrh
D=0 si r<R1 ou si r>R2 ;
D
.
ε
H est la longueur du câble et r la variable distance entre l’axe et le point où l’on calcule le champ.
Dans un diélectrique usuel : E =
D
r
Figure 16 – Induction électrique dans le câble en fonction de la distance à l’axe
Le calcul de la capacité est accessible par celui de l’énergie contenue dans le champ .
∫
volume
εE²
dV =
2
R2
ε
∫ 2 E²(2πhrdr ) = 4πε h ln( R1 )
Q²
R2
R1
On sait d’autre part que l’énergie stockée par le condensateur est de la forme Q²/2C.
D’où, par identification, la capacité linéique du câble C/h en F/m
8
2 πε
[34]
R2
ln( )
R1
Sur ce premier exemple, on voit comment l'on opère pour déterminer un champ
électrostatique et une capacité dans le cas d'un problème simple. Une telle méthode
est inadéquate aux extrémités du câble. Le calcul numérique local pourra seul
résoudre le problème.
C/h =
2 - Loi locale de Maxwell-Gauss ♦
Cette loi met en jeu la divergence du champ induction électrique. La divergence
d'un champ est une fonction! scalaire des coordonnées du champ.
Soit un champ vectoriel d , dont les coordonnées cartésiennes sont {d x , d y , d z }. On
appelle divergence de ce champ, la fonction:
!
∂d y ∂d z
∂d
div(d) = x +
+
∂x
∂y
∂z
Il ne faut pas confondre les coordonnées d'espace {x,y,z} et les coordonnées du
champ {d x , d y , d z }.
Afin d'introduire la loi locale, on reprend l'exemple du câble coaxial ci dessus en le
modifiant.
On ne garde que l'âme du câble qui est supposée pleine et uniformément chargée
en volume avec la densité de charges électriques volumique constante ρ.
Le problème est toujours à symétrie axiale et l'application du théorème de Gauss à
une surface cylindrique coaxiale de l'âme conduit à distinguer deux cas selon que le
rayon du cylindre de Gauss est inférieur ou supérieur à R1.
D
surface de Gauss
r
Ame, densité ρ
h
Figure 17 – Câble dont l’âme est chargé
Si r>R1, la charge électrique contenue dans la surface de Gauss
#
vaut:
Q = ρ.πR12h .
Le Théorème de Gauss conduit à la valeur de D.
#
De même,
D.2πrh = Q
R2
D=ρ 1
2r
Si r<R1, la charge contenue dans la surface est Q' = ρπr 2h .
D.2πrh = Q'
9
D=ρ
r
2
On désire calculer en tout point la divergence de l'induction électrique. Le
problème est doté d'un axe de symétrie. Dans ce cas, il est plus simple d'utiliser un
système de coordonnées cylindriques( ou axiales), dont nous rappelons ici les
caractéristiques.
Sur la figure [18], l'axe du système est orthogonal au plan de figure et dirigé vers
le lecteur. Un point est repéré par l'ordonnée le long de cet axe, z, le rayon r et
l'angle θ. Un champ a pour coordonnées Er (radiale), Eθ (orthoradiale) et Ez axiale.
dθ
dz
dr
r
z
M
θ
Axe fixe arbitraire
Figure 18 – Coordonnées cylindriques d’un champ vectoriel
!
!
d ∂d ∂d
∂d
La divergence d'un champ d est alors donnée par div(d) = r + r + θ + z .
r
∂r
∂θ
∂z
Attardons-nous un instant à cette formule:
Coordonnées du champ
!
∂d
d ∂d ∂d
div(d) = r + r + θ + z
∂z
∂θ
∂r
r
Coordonnées d'espace du point M
Figure 19 – Coordonnées d’espace et coordonnées d’un champ
Dans le cas de notre exemple, les cordonnées orthoradiales et axiales de
l'induction électrique sont nulles. D n'a qu'une coordonnée radiale.
#
Si r>R1,
R12
Dr = ρ
2r
!
∂D r ρR12 − ρR12
D
div(D) = r +
= 2 +
=0
r
∂r
2r
2r 2
#
Si r<R1,
10
r
2
!
D
∂D r
ρr ρ
div(D) = r +
=
+ =ρ
r
∂r
2
2r
Dr = ρ
Sur cet exemple, on illustre la loi de Maxwell-Gauss. En un point où la densité
volumique de charge est égale à ρ, la divergence de l'induction électrostatique est
égale à ρ.
La densité de charge est une propriété locale, au contraire de la charge totale Q
du cylindre, propriété intégrale.
La loi de Maxwell-Gauss se prête à une investigation locale du champ d'induction
électrostatique.
Remarque: L'exemple du cylindre chargé en volume est un cas d'école purement
théorique, car on montre, en électrostatique, que dans le cas d'un conducteur parfait
en équilibre, les charges se répartissent seulement sur la surface. C'est ce cas réel
qui avait été choisi pour déterminer la capacité du condensateur. L’exemple du
conducteur chargé en volume nous permet seulement d'introduire l'équation locale
de l'induction électrique.
3 - Le flux magnétique est conservatif
Le flux (algébrique) de B à travers TOUTE surface fermée est nul (normale
dirigée vers l'extérieur).
L'importance pratique de cette loi est telle que l'on doit la transformer et l'adapter
aux situations de l'électromagnétisme.
On considère une surface fermée particulière: le tube d’induction magnétique,
ensemble de lignes d’induction magnétique.
n2
S1
n1
B
S2
Figure 20 – Tube d’induction magnétique
On isole un morceau de tube. Le flux à travers les parois latérales du tube est nul,
car B est tangent à ces parois. Seuls les flux à travers les surfaces de base S1 et S2
sont non nuls et sont algébriquement opposés.
Au lieu de considérer les flux algébriques sortant, on considère le flux entrant
dans le morceau de tube par une face et l’autre sortant par l’autre face.
On obtient une égalité des flux en considérant le flux sortant de S2 et le flux
entrant par S1 dans le tube.
11
Le caractère entrant ou sortant est sans ambiguïté car les lignes d’induction sont
orientées.
La notion de tube de flux est donc la notion fondamentale, car les parties
ferromagnétiques des systèmes canalisent le flux et souvent, aux fuites près, le tube
se confond physiquement avec le circuit magnétique.
Si le tube est suffisamment mince, on peut considérer et c’est une hypothèse
fréquente, que l’induction est la même partout dans une section du tube. La
conservation du flux entre les deux sections S1 et S2. s’écrit :
φ1 = B1S1 = φ 2 = B 2 S 2
[35]
C'est sous cette forme [35] que nous appliquerons cette loi dans les tubes
d'induction des circuits magnétiques.
4 - Flux et divergence d'un champ magnétostatique ♦
Il existe l'équivalent local de l'équation de Maxwell-Gauss pour les champs
magnétostatiques.
Un raisonnement physique va nous permettre de la déduire de l'étude faite en
électrostatique.
En fait, on n'a jamais trouvé dans l'Univers l'équivalent en magnétisme de la
charge électrique. Les sources de champ magnétiques sont des ensembles de deux
pôles nord et sud. Le monopôle magnétique n'a jamais (encore?) été découvert.
Partant de cette hypothèse, on affirmera que la divergence de l'induction
magnétique est toujours nulle.
5 - Généralisations
!
!
!
Au flux d'un champ, grandeur intégrale, on associe sa divergence au
niveau local.
Si un champ est à flux conservatif, sa divergence est nulle partout
Les deux équations de Maxwell, concernant les inductions électrique et
magnétique sont:
!
div(D) = ρ
!
div(B) = 0
[36]
[37]
Partie B - Lois des circulations des champs
1- Théorème d'Ampère ou théorème de la circulation de H
12
La circulation de H sur un contour Γ, fermé est égal, au signe près, à l’intensité du
courant I traversant la surface ouverte engendrée par le contour.
Le contour peut être quelconque, mais le calcul ne peut être aisé que sur une
ligne de champ.
On prend +I si Γ est orienté dans le sens d’une ligne de champ (cas de la figure
ci-dessous), -I dans le cas contraire.
Sens du courant
H
Sens d'orientation du contour
Figure 21 – Contour orienté
Application III – 2 - Détermination d'une inductance
Reprenons le cas du câble coaxial. L'âme est parcourue par un courant I et l'armature extérieure
par un courant -I.
La symétrie du problème est telle que les lignes de champs de H sont des cercles centrés sur l'axe
du câble. On calcule la circulation sur une telle ligne fermée et on obtient H(r).
Trois cas sont à considérer selon que le contour est entre l'âme et l'armature extérieure, selon que
le contour est intérieur à l'âme du câble ou selon qu'il est extérieur au câble entier.
I
si R1<r<R2
2πr
H=0 ailleurs, car le contour n'enlace aucun courant à l'intérieur de l'âme et enlace deux courants
qui s'opposent à l'extérieur du câble.
H(r ) =
H
r
Figure 22 – Excitation magnétique dans le câble en fonction de la distance à l’axe
L'expression de la densité d'énergie magnétique dans le champ est µoH²/2.
L’intégration de la densité d’énergie sur le volume entre les conducteurs donne l’énergie.
Or celle-ci vaut LI²/2, car le milieu entre les conducteurs est magnétiquement linéaire.
∫
volume
µ 0 H²
dV =
2
R2
∫
R1
µ0
µ I²
R2
H²(2πhrdr ) = 0 h ln( )
2
4π
R1
On obtient l’inductance linéique du câble :
L/h =
µo R2
ln( )
2π R1
[38]
13
On remarque que:
(L / h)(C / h) = εµo
[39]
Ce produit est homogène à une vitesse. C'est la vitesse des ondes électriques guidées par le câble.
En physique, on montre la généralité de cette loi [39].
Sur ce deuxième exemple, on voit comment l'on opère pour déterminer un champ
magnétostatique et une inductance dans le cas d'un problème simple. Une telle
méthode est inadéquate aux extrémités du câble. Le calcul numérique local pourra
seul, à nouveau, résoudre le problème.
2 - Loi locale de Maxwell-Ampère ♦
Cette loi met en jeu le rotationnel du champ d'excitation magnétostatique. Le
rotationnel d'un champ est une
fonction vectorielle des coordonnées du champ.
!
Soit un champ vectoriel h , dont les coordonnées cartésiennes sont h x,h y , h z .
Les coordonnées cartésiennes du rotationnel sont donnés par:
 ∂h z ∂h y 
−


∂
y
∂z 

! !
∂h
∂h
ro t (h) =  x − z 
 ∂z
∂x 
 ∂h
∂h 
 y − x
∂y 
 ∂x
On reprend l'exemple du câble coaxial ci dessus en le modifiant .
On ne garde que l'âme du câble qui est supposée pleine et parcourue par un
courant uniformément
réparti en volume avec la densité de courant volumique
!
constante j .
Le problème est à symétrie axiale et l'application du théorème d'Ampère à un
contour circulaire centré sur l'âme conduit à distinguer deux cas selon que le rayon
du cercle est inférieur ou supérieur à R1.
Sens du courant
H
Sens d'orientation des contours
Figure 23 – Câble dont l’âme est parcouru par un courant
uniformément réparti en volume
#
Si r>R1, le courant électrique enlacé par le contour vaut:
14
I = j.πR12 .
Le Théorème d'Ampère conduit à la valeur de H.
H.2πr = jπR12
R12
2r
Si r<R1, le courant électrique enlacé par le contour vaut:
H= j
#
I' = jπr 2
H.2πr = jπr 2
H=
jr
2
On désire calculer en tout point le rotationnel de l'excitation magnétique. Le
problème est doté d'un axe de symétrie. Dans ce cas, il est plus simple d'utiliser un
système de coordonnées cylindriques.
Le rotationnel du champ en cylindriques a pour coordonnées:
 1 ∂H z ∂Hθ   radiale 

 r ∂θ − ∂z



 orthoradiale
! !
∂Hr ∂H z


ro t (H ) = 
−


z
∂
r
∂


 Hθ ∂Hθ 1 ∂Hr   axiale 

 r + ∂r − r ∂θ  

 

Dans le problème du câble cylindrique, loin des extrémités, seule la composante
orthoradiale du champ est non nulle. (Hr=0 et Hz=0). De plus celle-ci ne dépend pas
de z, au moins, loin des extrémités du câble. De plus, la densité de courant est
axiale.


0


! !

ro t (H ) = 
0
 Hθ ∂Hθ 
+


∂r 
 r
#
Si r>R1,
Hθ = j
R12
2r
! !
H
∂Hθ
[ro t (H)] z = θ +
=0
r
∂r
#
Si r<R1,
Hθ = ρ
r
2
15
! !
∂Hθ r
H
jr
j
[ro t (H)] z = θ +
=
+ =j
r
∂r
2
2r
Sur cet exemple, on illustre la loi
de
Maxwell-Ampère.
En un point où la densité
!
volumique de courant est égale à j , le rotationnel de l'excitation magnétostatique est
!
égale à j .
La densité de courant est une propriété locale, au contraire du courant total I du
cylindre, propriété intégrale.
La loi de Maxwell-Ampère se prête à une investigation locale du champ
d'excitation magnétostatique.
3 - La circulation d’un champ électrique d'excitation
En régime statique (électrostatique ou électrocinétique des courants continus), la
circulation de l'excitation électrique sur un contour est nulle.
La loi de circulation du champ (d’excitation) électrique E conduit à la définition du
potentiel électrique et de la tension électrique
Un raisonnement énergétique permet d'introduire le potentiel.
Lorsqu’une charge électrique q se déplace dans un champ électrique E, elle
échange de l’énergie.
Le travail échangé est indépendant du chemin suivi par la charge q, mais ne
dépend que de la position initiale de la charge et de sa position finale.
On dit que les forces électriques dérivent d’une énergie potentielle (électrique) ou
qu’elles sont conservatives.
Le travail élémentaire échangé par la charge q est donné par:
! !
! !
δW = F.d l = qE.d l = qdC
Où dC désigne la circulation élémentaire de E.
Sur une contour ouvert Γ, la circulation de E s’écrit:
! !
C = ∫ E.d l
Γ
Comme cette circulation ne dépend, en fait, que du début (point A) et de la fin
(point B) du contour, on peut l’écrire arbitrairement sous forme d’une différence,
VA-VB appelée différence de potentiel électrique ou tension entre A et B.
Il est clair que si A=B, le contour ouvert est alors fermé. La circulation de E est
alors nulle.
Ceci constitue donc la dernière des lois intégrales.
4 - Circulation et rotationnel d'un champ électrostatique ♦
16
Il existe l'équivalent local de l'équation de Maxwell-Ampère pour les champs
électrostatiques.
La circulation d'un champ d'excitation électrostatique sur tout contour fermé est
nulle. Il n'y a pas d'équivalent électrostatique de l'intensité I d'un courant, comme il
n’existe pas d’équivalent magnétique de la charge électrique.
On peut affirmer que le rotationnel de l'excitation électrostatique est toujours nul.
5 - Généralisations
# A la circulation d'un champ, grandeur intégrale, on associe son rotationnel
au niveau local.
# Si un champ est à circulation nulle sur un contour fermé, son rotationnel est
nul partout.
# Les deux équations de Maxwell, concernant les excitations électrostatique
et magnétostatique donnent:
!! !
ro t E = 0
!
! !
ro t (H) = j
[40]
[41]
V - POTENTIELS
1 - Potentiel électrostatique
La circulation de l'excitation électrostatique est indépendante du contour ouvert Γ
entre les points A et B, choisi pour la calculer.
! !
C = ∫ E.d l
Γ
La circulation ne dépend, en fait, que du début (point A) et de la fin (point B) du
contour, et on peut l’écrire arbitrairement sous forme d’une différence, VA-VB ,
différence de potentiel électrique ou tension entre A et B.
Par différentiation, on obtient
! ! donc l'équation
dC = E.d l = E x dx + E y dy + E z dz = −dV( x, y, z )
Cette équation conduit à la relation locale entre le champ d'excitation
électrostatique et le potentiel.
On appelle gradient de la fonction scalaire V(x,y,z), la fonction vectorielle de
coordonnées cartésiennes:
 ∂V 
 ∂x 
 ∂V 
!
grad( V ) =  
 ∂y 
 ∂V 
 
 ∂z 
La relation locale champ-potentiel électrostatique est
17
!
!
E = −grad( V )
[42]
Le premier intérêt du potentiel qui semble, ici, faire double-emploi avec le champ,
est d’être une grandeur scalaire a priori toujours plus facile à manipuler qu'une
grandeur vectorielle. En revanche, la relation de définition du potentiel, comme
intégrale du champ, montre que le potentiel est toujours défini à une constante
additive près. En pratique, il faut toujours fixer arbitrairement une valeur du potentiel
à un endroit de l'espace-champ.
Application III – 3- Détermination d'une conductance
Dans un câble coaxial des courants radiaux de faible valeur peuvent traverser le diélectrique entre
les deux armatures lorsque celles-ci sont placées à des potentiels différents. Il est nécessaire de
connaître la conductance transversale du câble G.
La symétrie du problème est telle que les lignes de champs et les lignes de courant sont radiales
Lignes de courant
Figure 24 – Lignes de courant transversales dans un câble coaxial
Soit I le courant transversal total. Il vérifie I = G( V1 − V2 )
L’intensité du courant I est le flux de la densité de courant j à travers la surface 2πrh , soit
I = 2πrh. j(r )
La loi d'Ohm locale se traduit par j(r ) = γE(r ) .
Le coefficient γ est la (faible) conductibilité du diélectrique.
j
I
E= =
γ 2πrhγ
La relation champ potentiel intégrée donne :
R2
∫ E.dr = V
1
− V2 =
R1
R
I
I
=
ln( 2 )
G 2πεh R 1
D'où la conductance transversale, par unité de longueur du câble:
G/h =
2πε
R
ln( 2 )
R1
[43]
Rappelons que la capacité linéique du câble C/h est
2π ε
C/h =
R2
ln( )
R1
D'où une relation générale:
C G
=
ε
γ
[44]
18
2 - Relation de Poisson ♦
Il est parfois plus aisé de déterminer la fonction potentiel électrostatique et
d'obtenir ensuite le champ par dérivation. Le potentiel décrit les propriétés de
l'espace champ.
La relation de Poisson est une loi locale du potentiel reliant celui-ci à la densité de
charges volumique locale ρ. Cette équation locale fait intervenir le laplacien de la
fonction potentiel noté ∆V.
Le laplacien d'une fonction scalaire, en coordonnées cartésiennes, est défini par:
∆V =
∂2V
∂x 2
+
∂2V
+
∂y 2
∂2V
[45]
∂z 2
On montre que, dans le vide de permittivité ε0:
∆V +
ρ
=0
ε0
[46]
Ce résultat constitue l'équation de Poisson.
Afin d'utiliser cette équation, on considère l'exemple suivant relatif à la cage de
Faraday.
Dans le but d'isoler électriquement un espace A d'un autre b, on enferme A dans
un solide conducteur creux qui joue le rôle d'un écran électrique et porte le nom de
cage de Faraday.
Application III – 4 – La cage de faraday ♦
On considère une grille de pas a située dans un plan xOy d’étendue « infinie » le long des axes Ox
et Oy.
On cherche à évaluer le potentiel en avant de la grille à la distance z.
M(x,y,z)
z
Espace B
grille
Espace A
x
y
Figure 25 – Représentation dans le plan de symétrie de la grille de pas a
On cherche l'expression du potentiel en M, de coordonnées cartésiennes x,y,z.
La considération de la symétrie du problème permet d'affirmer que la fonction potentiel ne dépend
pas de y car la grille est infinie dans cette direction. De plus la fonction potentiel est nécessairement
périodique de la variable x.
On cherche, a priori, le potentiel sous forme : V( x, z ) =
∑ A (z). cos(
j
j
2πjx
)
a
2πjx
) est périodique de la variable x. Sa période spatiale est a.
a
Les fonctions Aj(z) sont les amplitudes de chaque terme de la décomposition de la fonction
potentiel.
On écrit alors l’équation de Poisson :
La fonction cos(
19
∆V =
∂2V
∂x 2
+
∂2V
∂z 2
=
d2 A j
∑ dz
2
cos(
j
2πjx
4π 2 j 2
2πjx
) − A j ( z)
cos(
)=0
2
a
a
a
Les variables x et z sont séparables et, quel que soit j, on doit résoudre :
d2 A j
dz 2
− A j (z)
4π 2 j 2
a2
=0
La solution de cette équation différentielle est :
A j ( z ) = a j exp( −
z
)
z0j
a
2πj
La fonction potentiel s’amortit rapidement avec z, d’autant plus que le pas de la grille est petit.
Si la grille est un maillage métallique très serré, le potentiel s’amortit très rapidement dans l’espace
A, quelle que soit la charge dans l’espace B. La grille est un écran électrique. Les deux espaces A et B
sont électriquement séparés.
On utilise une cage de Faraday, lorsque l’on veut isoler deux espaces l’un de l’autre.
Une carcasse métallique est une bonne cage de Faraday. On dit souvent qu’une carrosserie de
voiture ou une carlingue d’avion constituent une cage de Faraday et protègent les passagers d’une
action extérieure de la foudre. Ceci est vrai, pour autant que la carcasse soit métallique et non
plastique et qu’elle ne présente pas trop d’ouvertures non métalliques dans l’écran électrique (vitres,
hublots…).
z0j =
3 – Potentiel vecteur magnétique ♦
L’équation de Poisson en électrostatique est d’un usage pratique. On désire
trouver une relation analogue en magnétostatique. On raisonne par analogie. A la
grandeur densité de charge (scalaire)
ρ correspond une grandeur vectorielle , la
!
densité de courant (vectorielle) j .
!
!
On définit a priori, le potentiel vecteur magnétique ( A ) que l’on relie à j , par
l’équation de Poisson vectorielle. Dans un milieu de perméabilité magnétique
absolue µ0, cette équation prend la forme :
! !
!!
∆A + µ 0 j = 0
[47]
!
Ecrite ainsi, cette équation fait intervenir le laplacien vectoriel ∆ . Le laplacien
vectoriel d’un champ vectoriel a pour coordonnées, les laplaciens scalaires de ses
coordonnées.
Par exemple, en coordonnées cartésiennes , l’équation de Laplace s’écrit :
∂2A x ∂2A x ∂2A x
∆A x =
+
+
= −µ 0 j x
∂x 2
∂y 2
∂z 2
∆A y =
∂2A y
∂x 2
+
∂2A y
∂y 2
+
∂2Ay
∂z 2
= −µ 0 j y
∂2A z ∂2A z ∂2A z
+
+
= −µ 0 j z
∆A z =
∂x 2
∂y 2
∂z 2
20
L’étude mathématique poussée de cette équation montrerait que le potentiel
vecteur ainsi défini a deux propriétés ;
# Il est relié à l’induction par
#
!
!!
B = ro t A
[48]
!
# Sa divergence, divA , est nulle en tout point.
La notion de potentiel vecteur magnétique si elle n’est, en fait, pas plus ardue,
qu’une autre, est peu familière. Il faut maintenant l’illustrer car elle est utilisée en
raison de la commodité de l’équation de Poisson dans les calculs
électromagnétiques informatisés.
Dans un problème plan, montrons sur un exemple généralisable que le potentiel
vecteur est parallèle au vecteur densité de courant.
Application III - 4- Potentiel vecteur magnétostatique créé par un courant ♦
On considère un fil cylindrique plein, conducteur, de longueur très grande. On se place dans un
plan P, perpendiculaire au fil, au voisinage de son milieu. Le problème est alors plan. On le qualifie
aussi de problème2D.
On sait que pour un conducteur cylindrique, les lignes de champs d’induction sont des cercles
centrés sur l’axe du fil, dans le plan P.
!
Le vecteur densité de courant j parallèle au fil est perpendiculaire au plan P. Elle est axiale.
L’induction est en chaque point orthoradiale.
Ligne de champ
B
r
Ar
Aθ
θ
z
Az
Fil
Plan P
Figure 26 – Induction et potentiel vecteur magnétique créés par un conducteur cylindrique
! !
!!
L’équation de Poisson ∆A + µ 0 j = 0 s’écrit en coordonnées cylindriques d’axe z , à l’intérieur du fil:
∆A r = −µ 0 j r = 0
∆A θ = −µ 0 j θ = 0
∆A z = −µ 0 j z = −µ 0 j
21
A l’extérieur du fil
∆A r = 0
∆A θ = 0
∆A z = 0
La résolution analytique de ces équations est possible, mais elle est de plus en plus réalisée par le
calcul numérique. Nous voulons seulement, ici, tirer le maximum d’informations de la symétrie du
problème et des propriétés du potentiel vecteur pour représenter ce vecteur.
!
!!
La propriété B = ro t A , induit que les vecteurs B et A sont orthogonaux, car tout vecteur est
orthogonal à son rotationnel.
A est donc soit radial, soit axial.
Si A est radial, ses lignes sont donc divergentes. Or le vecteur A est choisi à divergence nulle. On
prend donc, ici, le terme de divergence à son sens réel. A est donc axial.
Avec ce raisonnement simple qui n’a pas la prétention d’être aussi rigoureux qu’un raisonnement
mathématique, mais qu’un tel raisonnement confirmerait, on obtient le résultat suivant :
Dans un problème plan, le potentiel-vecteur est parallèle à la densité de courant source du
potentiel.
L’intégration de l’équation locale de Poisson, pour un point intérieur au fil.
∆A z = ∆A = − µ 0 j
1 ∂A ∂ 2 A
+ 2 = −µ 0 j
r ∂r
∂r
∂A
)
∂(r
1 ∂A ∂ 2 A 1
∂r ) = −µ j
+ 2 = (
0
r ∂r
r
∂r
∂r
∆A =
µ jr K
∂A
=− 0 +
∂r
2
r
On prend K égale à 0, pour éviter une discontinuité de la dérivée du potentiel vecteur en r=0.
conduit à
A=−
µ 0 jr 2
+ K'
4
Le potentiel vecteur est défini à une contante additive K’ près. On prendra arbitrairement A=0 pour
r=0.
K’ est nul.
Si R désigne le rayon du fil, on constate que le cercle r=R est une équipotentielle, ligne à potentiel
constant. On dit que sur cette ligne le potentiel vérifie une condition de DIRICHLET , A=cte.
A l’extérieur du fil, l’intégration de l’équation de Poisson conduit à :
A = K ln(r ) + K "
K’’ est obtenue en affectant une valeur nulle arbitraire au potentiel pour le cercle r=r0. Le potentiel
est toujours défini à une constante additive près. Sur ce cercle r=r0, le potentiel vecteur vérifie une
condition de DIRICHLET dite homogène. La constante K est ensuite obtenue par raccord de continuité
des deux fonctions A(r) en r=R.
Remarque :
Considérons l’axe des x de la figure [27].
22
Le long de cet axe, la fonction A ne dépend que de la variable x, avec l’expression obtenue plus
∂A
=0
haut en faisant r=x. A ne dépend pas de la variable y. Il en résulte que sur cet axe :
∂y
y
z
x
Fil
Figure 27 – Ligne de Neumann
On dit que sur cet axe, A vérifie une condition de Neumann homogène.
Les conditions de Dirichlet et de Neumann jouent un grand rôle dans les calculs de champs
numérisés.
Si, dans un problème, on connaît la forme des lignes d’induction, on peut connaître a priori
la nature d’une ligne. B est parallèle à une ligne de Dirichlet, B est normale à une ligne de
Neumann.
Sur l’exemple de l’aimant, les lignes de champs d’induction magnétique permettent d’illustrer cette
dernière remarque.
Lignes de
Dirichlet
Ligne de Neumann homogène
Figure 28 – Lignes de Neumann et de Dirichlet dans le plan de symétrie
d’un aimant droit
VI – LES MODIFICATIONS DES LOIS INTEGRALES EN REGIME VARIABLE
En régime variable,
23
" On doit modifier les lois concernant les circulations des champs
d’excitation.
" Il n’y a pas de modification des lois de flux.
" Il y a couplage croisé entre les champs électrique et magnétique d’une
part et champ d’excitation et d’induction d’autre part.
Le premier couplage est à l’origine du phénomène d’induction électromagnétique.
On sait en effet que la variation du flux magnétique au voisinage d’un conducteur
crée des effets électriques comme la création d’une tension induite électrique aux
bornes de ce conducteur et comme la création de courant électriques induits dans
un circuit électrique fermé.
Le second couplage conduit à la généralisation du théorème d’Ampère aux
régimes variables. Il n’a de réalité visible que lorsque les variations sont rapides (en
haute fréquence par exemple). Il est important dans l’étude des phénomènes de
propagation d’ondes électromagnétiques. Une variation temporelle de l’induction
électrique engendre localement une densité de courant qui crée un champ
magnétique.
1 - L’induction électromagnétique
Lorsqu’un conducteur est mobile dans un champ d’induction magnétique ou
qu’une induction est variable au voisinage d’un conducteur, il apparaît dans ce
conducteur un champ électrique et aux bornes de ce conducteur, une tension
induite. Si ce conducteur est ouvert, la tension induite est une tension à vide,
comparable, toutes proportions gardées, à la tension à vide d’un générateur
électrochimique.
Si le conducteur est un circuit fermé, il apparaît un courant induit, créé dans le
sens du champ électrique par ce champ, appelé champ électromoteur, car il est .
susceptible de mettre les charges électriques en mouvement.
La circulation de ce champ électromoteur sur le contour fermé n’est pas nulle et
est appelée f.e.m. induite.
Le champ électromoteur se différencie sur ce point d’un champ électrostatique.
Sa circulation sur un contour fermé particulier, le circuit électrique est non nulle.
Enonçons maintenant la loi intégrale de Faraday, sous sa forme générale.
La f.e.m. d’induction dans un circuit fermé est égale à l’opposée de la
dérivée temporelle du flux magnétique à travers toute surface ouverte
s’appuyant sur le circuit.
! !
dΦ
e = ∫ E.d l = −
dt
[49]
Comme pour toute loi intégrale, la loi physique générale est trop abstraite et doit
être particularisée aux problèmes usuels. On choisira usuellement, comme surface
ouverte, le circuit lui même. On choisira un sens de parcours →. La normale au
circuit est alors définie par la règle du tire-bouchon. Le signe moins de la relation
24
intégrale de Faraday est lié au choix suivant : La circulation du champ électromoteur
le long du circuit est calculée dans le sens positif.
!
B
!
n
circuit
Sens positif
Figure 49 – Orientation d’un circuit
On fera la différence entre tension induite dans un circuit ouvert et f.e.m. induite
dans un circuit fermé.
Application III - 6 - Conducteur mobile dans un champ d'induction
magnétique fixe.
M
B
conducteur
v.dt
N
Espace champ magnétique
Figure 30 – Conducteur mobile dans un champ magnétique uniforme
Un conducteur MN de longueur l, se déplace à la vitesse v dans un champ d'induction B uniforme
et stationnaire.
Considérons une particule du conducteur de charge q positive. Dans un conducteur le sens
conventionnel du courant est en effet celui des charges positives. Entraînée à la vitesse v, cette
!
! !
charge subit une force de Lorentz, dont l’expression est F = qv ∧ B . D’après la règle du produit
vectoriel, cette force est dirigée parallèlement au conducteur dans le sens NM. Sous l’effet de cette
force, une charge positive tendrait à s’accumuler au point M.
La tension induite VM-VN est donc positive.
M
V
F
B
N
L’expression de la tension induite (électrostatique) dans le conducteur ouvert est donc donnée par :
M! !
u MN = VM − VN =
E.d l
N
!
Le champ E est dans le sens NM.
Son expression est donnée par :
! ! !
E = v ∧B
∫
25
M
! ! !
u MN = v ∧ B.d l
∫
[50]
N
L’expression de E inclut un champ d’induction magnétique. Il y a donc couplage entre les domaines
électriques et magnétiques. On qualifie désormais le champ E de champ d’excitation électrique.
Application III – 7 – Circuit fermé mobile dans un champ d'induction
magnétique fixe
Un cadre rectangulaire fermé MNN’M’ est placé dans un champ magnétostatique
B radial. Il est en mouvement de rotation autour d’un axe vertical.
M
vitesse
Induction magnétique
M’
Champ électrique induit
M
N
N’
N
∆
Figure 31 – Cadre mobile dans un champ d’induction statique radial
u NM = v.B.l
u M'N' = vBl
u NN = u NM
u MM' = u NN' = 0
+ u MM' + u M'N' + u N'N = 2vlB ≠ 0
La différence de potentiel sur un contour fermé ou circulation du champ électrique n’est pas nulle.
Le champ électrique diffère d’un champ électrostatique.
On appelle f.e.m. d’induction dans le circuit électrique fermé, la circulation le long du circuit du
champ électrique. Cette f.e.m. est algébrique. Le sens du parcours sur le circuit est arbitraire.
Sous l’effet du champ électrique un courant (induit) peut prendre naissance dans le circuit fermé
conducteur.
Le sens du courant induit est le sens de parcours MNN’M’M, c’est le sens du champ électromoteur
La fem induite circulation sur le circuit dans le sens du champ électromoteur est donc positive.
e = 2vlB
Introduisons la vitesse angulaire du mouvement de rotation du cadre ω. On appelle R la distance
MM’.
v = Rω
e = 2RlBω
Soit S la surface du cadre ; S=2Rl
26
e = BSω
Considérons les surfaces MNPQ et M’N’P’Q’ balayées par le cadre pendant l’intervalle de temps
élémentaire dt. Ces surfaces et la nouvelle position du cadre à l’instant t+dt PQQ’P’ définissent une
surface OUVERTE Σ s’appuyant sur le circuit, le cadre à l’instant t. Le flux de l’induction magnétique à
travers cette surface Σ se réduit aux flux à travers les surfaces MNPQ et M’N’P’Q’.
P’
M
M’
P’,Q’
M,N
P
M’,N’
+
dθ=ωdt
N
P,Q
Q’
N’
Q
Figure 32 – Cadre mobile dans un champ d’induction statique radial 2
Pour exprimer ces flux, il faut définir la normale à ces surfaces. Le contour du circuit est orienté par
le sens du courant induit. En décrivant le circuit dans le sens positif, la normale perce la surface Σ
dans le sens de progression du tire-bouchon. Elle est dans le sens inverse de l’induction à travers les
deux surfaces MNPQ et M’N’P’Q’.
Le flux de B élémentaire à travers ces surfaces, appelé flux coupé, est donc donné par.
dφ = −2B.R.l.dθ
La f.e.m. induite est donc bien l’opposée de la dérivée temporelle du flux coupé par le circuit dans
son mouvement. Lui même est égal au flux de l’induction à travers toute surface ouverte s’appuyant
sur le circuit. La plus évidente de ces surfaces est la surface du cadre elle-même.
dφ
, est lié au choix d’orienter le circuit dans le sens du courant
dt
induit. La puissance e.i est de signe contraire de la puissance mécanique fournie au cadre. Ceci est
une conséquence de la conservation de l’énergie. La somme de la puissance mécanique et de la
puissance électrique est nulle. Il y a effet de modération. Le courant induit et le f.e.m. induites tendent
par leurs effets à s’opposer à la cause (mécanique) les ayant engendrés. Cet effet est connu sous le
nom de loi de Lenz.
Le signe – de la relation e = −
Application III – 8 – Circuit fermé fixe dans un champ d'induction
magnétique variable au cours du temps
On considère un problème très proche du précédent. Au lieu de faire tourner une spire dans un
champ d’induction magnétostatique, on fait tourner le champ et la spire est maintenue fixe.
C’est une situation type dans une machine électrique. Un rotor constitué d’un aimant permanent à
deux pôles, crée dans l’entrefer entre stator et rotor un champ tournant radial à la vitesse ω. Des spires
solidaires du stator, donc fixes sont placées dans l’entrefer.
On considère une spire seulement. Cette spire est dite diamétrale. Si l’on considère le mouvement
apparent de la spire par rapport au champ, on revient au cas précédent et l’on peut comprendre qu’un
champ électromoteur prend naissance dans la spire tournant par rapport au champ à -ω.
La figure ci-dessous est une coupe en dimension 2
27
Vitesse apparente de la spire V
θ=ωt
Champ électromoteur E
Champ tournant B
Trace de la spire
Figure 33 – Champ radial tournant créant une f.e.m. d’induction dans une spire fixe
Le champ électromoteur engendre un courant induit dans le même sens que lui, donnée par la
flèche violette. Sa valeur est RωB( t, θ) .
Quelle est l’expression de B(t,θ) ?
Un champ tournant à la vitesse ω, d’amplitude constante Bo a pour expression en un point M à la
distance R de l’axe repéré par l’angle θ :
B( t, θ) = Bo cos( θ − ωt )
C’est l’expression d’une onde progressive d’induction dans l’entrefer.
E = RωB( t, θ) = RωB 0 cos( ωt − θ)
On cherche à relier E au potentiel vecteur magnétique A.
D’après l’application V-3, dans une situation 2D, le potentiel vecteur est parallèle au courant . A et
E sont donc colinéaires et de même sens.
!
!!
A est axial et l’équation B = ro t A conduit après transformation en coordonnées cylindriques :
1 ∂A
= B = Bo cos( θ − ωt )
r ∂θ
En r=R,
A = B.R. sin( θ − ωt )
En comparant les expressions de E et A, on constate que
!
!
∂A
E=−
∂t
[51]
On remarque le couplage entre une grandeur électrique et une grandeur magnétique.
Cette expression du champ électromoteur est générale lorsque l’on s’intéresse à l’induction
électromagnétique engendrée par une induction magnétique variable avec le temps.
2 – Loi locale de Maxwell-Faraday
A la loi de Faraday intégrale, est liée une équation! locale qui
!
!
! se substitue à la loi électrostatique ro t E = 0
! traduit le couplage électromagnétique en régime variable
Elle s’écrit :
!
!!
∂B
ro t E = −
∂t
[52]
Remarques :
28
!
!
Dans les cas où l’induction magnétique n’est due qu’à un! !mouvement
!
de conducteur dans un champ magnétostatique, ro t E = 0 reste
valable.
L’expression du champ électromoteur issue de l’équation locale est
dans le cas le plus général :
!
!
!
! !
∂A
E=−
− gradV + v ∧ B
[53]
∂t
Application III – 9 - Effet pelliculaire et courants de Foucault
Description:
Un barreau de cuivre massif et cylindrique est plongé dans une bobine parcourue par un courant
alternatif sinusoïdal. Ce courant crée un champ d'induction magnétique dans le barreau. Celui-ci très
conducteur est parcouru par des courants induits, qui, par raison de symétrie sont circulaires centrés
sur l'axe du barreau et perpendiculaire à celui-ci.
Ces courants induits sont appelés courants de Foucault.
La figure [34] montre en dimension 2, le barreau et la trace de la bobine. Le problème est de symétrie
axiale. Il faut donc prolonger les figures par révolution autour de l'axe de symétrie. La fréquence est
50Hz à gauche et 500Hz à droite.
Le logiciel donne en couleur la densité de puissance dissipée par effet Joule dans le barreau, par les
courants de Foucault. En jaune le maximum de puissance, en bleu le minimum.
bobine
50Hz
500Hz
barreau
Figure 34 – Effet pelliculaire et courants de Foucault
Ces zones de densité de puissance électrique sont obtenues en appliquant l'équation locale de
Maxwell - Faraday.
D'autre part on remarque que la densité de courant n'est pas uniforme dans le barreau. Elle est plus
grande à la périphérie extérieure du barreau. On a ici l'illustration de l'effet pelliculaire. En régime
variable, les courants dans un conducteur sont répartis plutôt à sa périphérie.
On montre que les pertes de puissance par effet Joule dues à ces courants sont proportionnelles à au
carré de l'amplitude de l'induction et au carré de la fréquence On montre qu’elles augmentent avec le
rayon du barreau.
Si l'on veut réduire ces pertes, il faut remplacer le barreau massif par une association de barreaux
élémentaires parallèles et isolés entre eux.
On montre aussi que la densité de courant dans le barreau décroît exponentiellement dans le barreau,
r
de la périphérie vers le centre selon une loi en exp( − ) .
δ
Le coefficient δ est appelé profondeur de peau ou de pénétration et varie selon:
29
δ=
1
π.f .γ.µ 0
[54]
f désigne la fréquence, γ la conductivité électrique et µ0, la perméabilité magnétique du vide.
Exemple: dans le cuivre: à 50Hz, δ=50mm.
3 - Loi d’Ohm généralisée sous sa forme intégrale
L’intégration de l’équation locale [53] conduit à la loi d’Ohm généralisée.
Dans un dipôle contenant un élément électromoteur, la tension aux bornes s’écrit
dans tous les cas, avec une convention d’orientation du dipôle de A vers B:
VA − VB = R i AB − e
[55]
La f.e.m. est orientée dans le sens de i. Cette écriture de la loi est générale,
quelque soit les signes des courant, f.e.m. et tension.
iAB(t)
A
e
B
VA-VB
4- Le théorème d' Ampère en régime variable ♦
La loi locale de Maxwell- Ampère sous sa forme utilisée en statique , , ne fait pas
intervenir de dérivée partielle par rapport au temps, contrairement à l’équation de
Maxwell-Faraday.
Elle ne montre pas de couplage explicite entre électricité et magnétisme.
Maxwell montra que la variation temporelle de l’induction électrique D est
homogène à une densité de courant qu’il appela densité de courant de déplacement.
Ces courants ne correspondent à aucun déplacement de charges, mais
néanmoins à une dissipation de puissance thermique.
Illustrons ce phénomène sur un exemple classique qui n’a pas la prétention d’être
rigoureux.
On considère un condensateur plan rempli de son diélectrique. Ce condensateur
est chargé par un courant variable de densité j(t)
j(t)
La densité de courant de conduction j est nulle dans le condensateur . Si l’on
applique le théorème d’Ampère sans modification par rapport aux régime statique
30
sur les contours externes au condensateur ou interne, la circulation de H sur le
contour externe est non nulle au contraire du contour interne où elle est nulle.
Il y a là une dissymétrie de la valeur de H importante entre ces deux cas.
En fait le champ d’induction électrique dans le condensateur est variable au cours
du temps. La densité d’énergie dans le diélectrique varie au cours du temps. Il en
résulte une densité de puissance échangée Y.
! !
dfe = E.dD
! !
E.dD
Y=
dt
!!
La loi de joule locale est Y = j.E .
La comparaison de ces deux densités de puissance montre que dD/dt est
l’équivalent d’une densité de courant présente dans le diélectrique.
!! !
La loi locale de Maxwell-Ampère s’écrit : ro t H = j , dans le conducteur et
!
! ! ∂D
ro t H =
dans le diélectrique du condensateur.
∂t
En pratique les courants de déplacement n'ont une valeur appréciable qu'en
régime très rapidement variable, ce qui se produit de plus en plus souvent en Génie
électrique (domaines des hyperfréquences).
Application III –10 - Valeur de la densité de courant de déplacement ♦
Dans un diélectrique de permittivité relative εr=10 (valeur moyenne) Le champ d'excitation
électrique est sinusoïdal et sa valeur maximale est 5kV/mm.
D max = ε 0 ε r E max = 8,85.10 −12.10.5.10 6 ≈ 45.10 −5 u.S.I.
Si D passe de sa valeur maximale à 0 en 10ms, la densité de courant de déplacement engendrée
-6
est 0,45A/m² soit 0,45.10 A/mm².
Cette valeur est faible vis à vis des densités de courant de conduction usuelles de l'ordre de
1A/mm².
Si D passe de sa valeur maximale à 0 en 10ns, la densité de courant de déplacement atteint alors
0,45A/mm² et n'est plus négligeable.
L'expression générale de la loi locale de Maxwell-Ampère est donc
!
! ! ! ∂D
ro t H = j +
∂t
[56]
Récapitulons les quatre équations locales.
Les équations de divergence qui correspondent aux équations intégrales de flux
ne présentent aucun couplage électromagnétique.
31
!
divD= ρ
!
divB=0
Les équations de rotationnel sont doublement couplées.
# A l'induction magnétique est couplée l'excitation
réciproquement
# A une dérivée temporelle est couplée une dérivée spatiale
!
!
∂B
rotE=−
∂t
!
! ! ∂D !
ro t H=
+j
∂t
Le couplage électromagnétique montre qu'en régime variable.
électrique
et
# A un courant variable s'associent des champs électriques et magnétiques
variables
# A un champ électrique ou un champ magnétique variable s’associe un
courant
# Dès qu’il y a couplage électromagnétique, une variation temporelle d’un
champ induit une variation spatiale d’une autre. Il y a propagation spatiotemporelle de l’énergie
Pour terminer ce chapitre, on introduit l’équation locale de propagation de
l’énergie.
5 – Loi locale de la propagation d’énergie ♦
En régime variable, les champs H et E se propagent. Ils constituent une onde
électromagnétique.
Le système différentiel des quatre équations de Maxwell peut être résolu
directement. On obtient alors une équation aux dérivées partielles de l’espace et du
temps qui est une équation de propagation d’ondes électromagnétiques.
On appelle vecteur de Poynting, le vecteur défini arbitrairement par :
! ! !
R = E∧H
[57]
Par sa définition, ce vecteur est orthogonal aux champs H et E.
On montre que dans le cas général, le vecteur de Poynting caractérise, par sa
divergence en représentation locale ou par son flux en représentation intégrale, la
propagation de l’énergie.
Nous allons illustrer cela par un exemple.
32
Application III –11- Propagation guidée d'ondes électromagnétiques dans un
câble coaxial ♦
On reprend l'exemple du câble coaxial qui nous a servi plus haut à illustrer les équations intégrales.
Diélectrique de permittivité ε
et de perméabilité µ0
âme
Axe des z
Un câble coaxial sert à transmettre des ondes de télévision ou à relier un générateur de signaux à
un oscilloscope. Il est donc utilisé typiquement en régime variable.
A l'entrée du câble est injecté un signal électrique de forme quelconque périodique ou non. Le
câble transmet un champ électromagnétique, donc de l'énergie. Celle-ci est reçue à l'autre extrémité
du câble.
Exprimer les champs et les densités d’énergie en régime variable
En statique on a démontré l'expression de l'induction électrique D, à partir du théorème de Gauss.
En régime variable, la loi de Maxwell-Gauss est inchangée. L'expression de D et conjointement de E
peut être reprise sans modification.
Seulement maintenant, la charge Q est une fonction de l'espace et du temps. La propagation de
l'énergie se fait selon l'axe des z. Q est une fonction de z et t. Il en est de même de la densité
d'énergie électrique dans le diélectrique. Si h est la longueur du câble et r la variable distance entre
l'axe et le point où l'on calcule le champ, l’expression de L’induction électrique est :
Q( z, t )
D(r, z, t ) =
2πrh
Les champs D et E sont radiaux.
D
Dans un diélectrique usuel: E = .
ε
Q( z, t )
E(r, z, t ) =
2πrhε
L'expression de la densité volumique d'énergie électrique dans le diélectrique est:
εE ²
Q²
=
fe =
2
2
π
8 εh 2 r 2
En statique on a démontré l'expression de l'excitation magnétique, à partir du théorème d'Ampère.
En régime variable, la loi de Maxwell-Ampère est modifiée. En fait, en régime lentement variable, elle
est encore valable comme en statique . Les lignes de champs centrées sur l'axe de l'âme restent
inchangées. Il en est naturellement de même lorsque le régime devient si rapide que l'on ne peut plus
!
∂D
négliger les courants de déplacement. Ceux-ci sont de densité
et donc radiaux. La circulation de
∂t
H sur une ligne de champ circulaire centrée sur l'axe du câble n'enlace aucun de ces courants de
déplacement.
On peut donc conserver l'expression de l'excitation magnétique issue du calcul statique. Mais
maintenant le courant i dépend de z et de t. Son expression est donc :
H(r, z, t ) =
i(r, z, t )
2πr
H est orthoradial.
L'expression de la densité d'énergie dans le champ est µoH²/2
fm =
µ 0 H²
2
=
µ 0 i²
8π 2 r 2
33
Exprimer la variation temporelle de densité d'énergie en un point du diélectrique
∂( f + f m )
−( e
)=−
∂t
Exprimer le vecteur de Poynting et sa divergence
µ 0 i.
1
∂i
∂Q
Q
+
∂t h 2 ε
∂t
2 2
4π r
Le vecteur de Poynting est dirigé selon l'axe Oz, car il est orthogonal à E (radial) et à H
(orthoradial). On constate donc déjà qu’il a le sens de la propagation de l'énergie.
Ses coordonnées cylindriques sont nulles sauf la composante axiale (selon Oz).
Q( z, t ).i( z, t )
R = E.H =
4 π 2 r 2 hε
La divergence de R est donnée par
!
∂Q
∂R
∂i
1
=
i( z, t ))
( Q( z, t ) +
div (R ) =
2
2
∂z
∂z
4π r h ε ∂z
On doit exprimer maintenant
∂i
∂Q
Q( z, t ) +
i( z, t )
∂z
∂z
Application des lois locales
On applique les lois locales du rotationnel de H et du rotationnel de E en un point du diélectrique.
On tient compte de la symétrie axiale du problème. Le rotationnel doit être utilisé en coordonnées
cylindriques.
Les excitations et les inductions n’ont qu’une composante. Pour E et D seule la composante radiale
est non nulle et pour H et B, seule la composante orthoradiale est non nulle.
 1 ∂H z ∂H θ
−

∂z
r ∂θ

! !
∂
∂
H
H
r
z
−
ro t (H ) = 

∂z
∂r
 H θ ∂H θ 1 ∂Hr
+
−

∂r
r ∂θ
 r

 ∂E r 

 ∂ 
!

 ∂Et 
∂E
=ε
= ε θ 

 ∂t 
∂t

 ∂E z 




 ∂t 
∂H θ 

 ∂E r 
!
 − ∂

 ∂t 
z 
! !
∂E

= ε  0 
=ε
ro t (H ) = 
0

∂
t
 H θ + ∂H θ 
 0 
 r


∂r 
−
∂H θ
∂E
∂H
∂E
=−
=ε r =ε
∂z
∂z
∂t
∂t
∂H
∂E ∂Q 1
1 ∂i
−
=−
=ε
=
∂z
∂t
∂t 2πrh
2πr ∂z
−
∂i
∂Q 1
=
∂z
∂t h
34
 1 ∂E z ∂E θ
−

r ∂θ
∂z

! !
∂E r ∂E z

−
ro t (E ) =

∂z
∂r
 E θ ∂E θ 1 ∂E r
+
−

∂r
r ∂θ
 r


0
 ∂E
! !
r
ro t (E ) = 
∂z

1 ∂E r

0 − r ∂θ

 ∂Hr 

 ∂ 
!

 ∂Ht 
∂B
=−
= −µ 0  θ 

 ∂t 
∂t

 ∂H z 




 ∂t 


!
 0 

∂B
 ∂H 
=−
= −µ 0  θ 
∂t

 ∂t 

 0 

∂E
∂H
∂H θ
∂E r
=
= −µ 0
= −µ 0
∂z
∂z
∂t
∂t
∂E
∂z
∂E
∂z
=
∂H
1 ∂Q
1 ∂i
= −µ 0
= −µ 0
∂t
2πrhε ∂z
2πr ∂t
=
∂H
1 ∂Q
1 ∂i
= −µ 0
= −µ 0
∂t
2πrhε ∂z
2πr ∂t
∂i
1 ∂Q
= −µ 0 ε
∂t
h ∂z
On regroupe
∂i
∂i
∂Q 1
1 ∂Q
et −
= −µ 0 ε
=
∂t
∂z
∂t h
h ∂z
∂Q
∂i
dans
Q( z, t ) +
i( z, t )
∂z
∂z
∂i
∂Q
∂Q
∂i
− µ 0 εhi.
Q( z, t ) +
i( z, t ) = −Qh
∂z
∂z
∂t
∂t
Comparer
!
div (R ) =
∂i
∂Q
∂i
1
Q ∂Q
+ µ 0 εhi. )
i) = − 2 2
(
Q+
∂z
∂t
4 π r h ε ∂z
4π r hε h ∂t
1
∂i
∂Q
µ 0 i. + 2 Q
∂( f + f m )
∂t h ε
∂t
−( e
=
−
)
2 2
∂t
4π r
1
2 2
(
Les deux grandeurs sont bien égales. Elles sont homogènes à des densités de puissance
rayonnées.
L’équation locale de propagation de l’énergie dans un milieu non conducteur est
donnée par
! !
d  µH2 εE 2 

div(E∧H) =− 
+
[58]
dt  2
2 
35
Dans un milieu conducteur, il faut compléter cette équation par la densité de
puissance perdue par effet Joule donnée par la loi de Joule locale.
! !
d  µH 2 εE 2  ! !
 − j.E
div(E∧H) =− 
+
dt  2
2 
[59]
36