Noeuds et tresses : quelques pistes de réflexions

Noeuds et tresses : quelques pistes de réflexions
Sylvain Courte et Alexandre Vérine
12 mars 2015
Classification à la main
— Montrer qu’un noeud à 0,1,2 croisements est trivial.
— Montrer qu’un noeud à trois croisements est le noeud de trèfle ou son miroir.
— Montrer qu’un noeud à 4 croisements est le noeud de 8.
Mouvements de Reidemeister Par une suite de mouvements de Reidemeister, montrer
que les noeuds/entrelacs suivants sont équivalents.
1.
2.
3.
Surfaces et courbes On appelle surface topologique à bord un espace topologique
— séparé,
— à base dénombrable d’ouverts,
— et dont tout point a un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de R2ou de R+×R.
Vous pouvez réfléchir aux faits suivants.
1. Le bord d’une surface Sest l’ensemble des points de Squi n’admettent pas de voisinage
ouvert homéomorphe à un ouvert de R2. Le bord d’une surface à bord est une variété
topologique de dimension 1(donner un sens à cela et le vérifier).
2. Une variété topologique de dimension 1connexe est homéomorphe à Rou au cercle S1.
3. Un plus-que-mille feuille :
On note Ml’ensemble R3muni de la topologie donnée par la base d’ouverts suivante
{U× {y}|Uouvert de R, y ∈R}.Laquelle des trois propriétés d’une surface n’est pas
vérifiée pour M?
1

Théorème de Jordan Soit Γune partie de R2homéomorphe à un cercle (on dira cercle
topologique de R2), le complémentaire de Γa deux composantes connexes dont une seule est
bornée. Ce résultat se généralise dans Rn,n≥3.
Théorème de Shoenflies Soit Γune partie de R2homéomorphe à un cercle. Alors la com-
posante connexe bornée de R2\Γest homéomorphe au disque unité ouvert.
Application : Montrer que les deux composantes du complémentaire d’un cercle topologique
tracé sur S2sont homéomorphes à des disques ouverts.
Pas de généralisation en dimension supérieure : la sphère cornue d’Alexander (cf http://en.
wikipedia.org/wiki/Alexander_horned_sphere) est un sous-ensemble de S3homéomorphe
à la sphère S2dont une des composantes connexes du complémentaire n’est pas homéomorphe
à une boule.
Quelques surfaces orientables non compactes Parmi les quatre surfaces du dessin sui-
vant, deux sont homéomorphes et les deux autres ne sont ni homéomorphes entre elles ni
homéomorphes aux deux premières. Desquelles s’agit-il ?
Une décomposition en noeuds premiers Décomposer le noeud ci-dessous en facteurs
premiers.
Noeuds toriques Pour pet qdeux entiers strictement positifs premiers entre eux, on appelle
Cp,q l’image de la droite vectorielle de R2de pente p/q par l’application quotient π:R2→
R2/Z2.
2

— Montrer que via l’homéomorphisme standard entre le tore de révolution de R3et R2/Z2,
les Cp,q sont bien des noeuds de R3. Observer que ceux de type (2,3) et (3,2) sont des
noeuds de trèfle.
— Montrer que si Cp,q et Cp0,q0sont tracés sur le même tore ils s’intersectent en
|det((p, q),(p0, q0))|
points.
— Trouver une surface de Seifert de genre (p−1)(q−1)/2pour le noeud torique de type
(p, q).Indication : montrer que ce noeud est représenté par un diagramme du type suivant
(c’est la clôture d’une tresse) :
D’ailleurs, sur ce dessin que valent pet q?
— Montrer que tout noeud k: [0,1] →R3inclus dans le tore de révolution est équivalent
à un noeud Cp,q pour un certain couple (p, q). Indication : montrer qu’il existe une
application continue f: [0,1] →R2avec π◦f=k.
Entrelacs brunniens On dit qu’un entrelacs est brunnien si lorsqu’on lui enlève une compo-
sante connexe il devient un entrelacs trivial. Trouver un entrelacs brunnien à trois composantes
connexes, puis quatre. Deux entrelacs brunniens au même nombre de composantes connexes
sont-ils forcément équivalents ?
Revêtement infini cyclique (d’après Rolfsen p.137) On considère l’entrelacs de la figure
suivante formée par les noeuds Jet K, ainsi que deux surfaces de Seifert MJet MKrespecti-
vement pour Jet K. En considérant le revêtement infini cyclique de S3\J, montrer que MJ
et MKs’intersectent nécessairement.
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