Cours de m Cours de mécanique des solides rigides canique des

Cycle Préparatoire Médecin-Ingénieur 2011-2012
Cours de mé
mécanique des solides rigides
Pierre Badel
Ecole des Mines Saint Etienne
Découvrir la mé
mécanique de l’
l’ingé
ingénieur
Connaî
Connaître les outils mathé
mathématiques de base pour l’
l’ingé
ingénieur
Connaî
Connaître les concepts fondamentaux de statique et dynamique des systè
systèmes
Résoudre des problè
problèmes simples
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Méca. solides rigides - CPMI 2011-2012
1
Mécanique des solides rigides
Ch. 1 – Introduction générale
Ch. 2 – Introduction à la notion de torseur
Ch. 3 – Torseurs
Ch. 4 – Statique
Ch. 5 – Cinématique
Ch. 6 – Cinématique des liaisons
Ch. 7 – Dynamique
Ch. 8 – Géométrie des masses
Ch. 9 – Cinétique
Ch. 10 – Etude dynamique d’un système
Ch. 11 – Energétique
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1
Ch. 1 Introduction gé
générale
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3
Ch. 1 Introduction gé
générale
Notions de système et de modèle
Notre environnement est fait de syst
systè
èmes qui interagissent entre eux.
• Interactions électriques,
•
chimiques,
•
magnétiques,
•
mécaniques…
Grande complexité
complexité !
On ne peut tout prendre en compte.
On ne considère que certaines interactions, on néglige les autres.
Différentes disciplines de la physique.
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2
Ch. 1 Introduction gé
générale
Notions de système et de modèle
On est toujours amené
amenés à faire des hypothè
hypothèses, limiter les études
On construit des modè
modèles
Il s’agit d’interprétations physiques de la réalité - fondées sur des hypothèses, et
- basées sur des lois mathématiques.
?
⇔
Modè
Modèle = repré
représentation imparfaite de la ré
réalité
alité
Ils ont souvent une durée de vie limitée…
Ce cours = étude des interactions mé
mécaniques entre solides rigides
étude de l’é
l’état
’état de repos/mouvement de systè
systèmes
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Ch. 1 Introduction gé
générale
Hypothèses et limites de la mécanique classique
Systèmes matériels non variables.
Un système matériel est constitué d’éléments individualisables : les points matériels.
Un ensemble de points matériels dont les distances entre points sont constantes
= un solide indéformable (ou rigide).
La masse ne dépend que de la nature du matériau.
Limitations (on sort du domaine de validité des modèles) :
• Très petits systèmes matériels. Exemple : Taille < •m.
• Vitesses proches de celle de la lumière.
• Autres interactions physiques peuvent être non négligeables.
Applications
Robotique, automobile, biomé
biomécanique musculomusculo-squelettique…
squelettique…
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3
Ch. 1 Introduction gé
générale
Méthodologie générale
Dans un systè
système, on va s’
s’inté
intéresser à chacun des solides :
Isoler chaque solide.
Analyser ses mouvements (6 ddl,
ddl, 6 paramè
paramètres).
Analyser les actions mé
mécaniques exté
extérieures appliqué
appliquées sur ce solide.
Analyser les relations entre ces deux derniers.
Rappels mathématiques
Voir cours spé
spécifique.
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Ch. 2 Introduction à la notion
de torseurs
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4
Ch. 2 Introduction à la notion de torseur
1 – Modé
Modélisation d’
d’un solide
Définitions
Point maté
matériel
Portion de l’espace pourvue de matière et assez petite pour être considérée ponctuelle.
Solide indé
indéformable
Domaine contenant un ensemble de points matériels gardant des distances fixes entre
eux au cours du temps
Remarque :
Il s’agit de modèles. Tout solide est déformable ! Plus ou moins… Cf. second semestre
Petites déformations de surface
Grandes déformations
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Ch. 2 Introduction à la notion de torseur
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1 – Modé
Modélisation d’
d’un solide
Repérage d’un solide
Soient 2 solides S0 et S1 indé
indéformables
On peut associer un repè
repère R0 et R1 à chacun ( = 1 point + 1 base).
y1
y0
O1
O0
z1
x0
z0
x1
S1
S0
Relativement à R0 :
3 paramètres de positionnement d’1 point : O0O1 = xx0 + yy 0 + zz0
3 paramètres de positionnement d’1 base / l’autre : par exemple,
les angles d’Euler.
6 paramè
paramètres né
nécessaires pour le repé
repérage d’
d’un solide
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5
Ch. 2 Introduction à la notion de torseur
2 – Actions mé
mécaniques
Définition
Action mé
mécanique = toute action pouvant provoquer le mouvement d’
d’un solide
ou une dé
déformation
Ici, on ne s’intéresse qu’aux modèles d’actions agissant sur les solides indéformables.
Classification des actions
Actions à distance
Exemples : …
Actions de contact
Actions mécaniques intérieures à la matière : actions de cohésion
Actions mécaniques extérieures = actions de liaisons entre solides
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Ch. 2 Introduction à la notion de torseur
11
3 – Actions mé
mécaniques sur un point mat.
Seul effet d’
d’une action sur un point = translation
(une rotation n’a pas de sens)
Cette action est une force qui tend à le dé
déplacer
Modèle d’une force
Une force est caracté
caractérisé
risée par :
•
•
•
•
Direction
Sens
Intensité (en Newton)
Point d’application (ou point de passage)
P
P’
P
P’
Remarque : l’action est identique tout le long de sa ligne d’action (analogie avec la ficelle)
Unité
Unité : Newton
Somme de plusieurs forces = somme vectorielle
F2
F1 + F2
F1
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6
Ch. 2 Introduction à la notion de torseur
4 – Actions mé
mécaniques sur un solide
Deux effets sont possibles : translation ET rotation
Entraînement en translation
Lorsque la somme des actions se ré
résume à une force
R
F1
∆
F2
Tous les points du solide ont tendance à suivre la translation dé
définie par ∆
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Ch. 2 Introduction à la notion de torseur
13
4 – Actions mé
mécaniques sur un solide
Entraînement en rotation
Pour le traduire, on utilise le vecteur moment en Q
Q
h
P
L
F
Le moment (action d’
d’entraî
entraînement en rotation) est d’
d’autant plus fort que
• F est grand
• Le bras de levier QH est grand
(
)
M( Q )=QH. F = QP .sin QP, F . F
Cas gé
général – traduction vectorielle
M(Q) = QP ∧ F
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7
Ch. 2 Introduction à la notion de torseur
4 – Actions mé
mécaniques sur un solide
Action de n forces
La somme des actions mé
mécaniques, en un point, est donné
donnée par :
• Une résultante
R=
• Un moment résultant
M(Q ) =
∑F
i
i
∑M ( Q )
i
i
Ce couple suffit à déterminer totalement l’
l’action mé
mécanique en un point d’
d’un solide.
Le modè
modèle algé
algébrique correspondant à l’association de ces deux champs est
celui du torseur
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Ch. 2 Introduction à la notion de torseur
15
5 – Complé
Compléments sur les moments
Moment d’un vecteur lié (= bipoint = vecteur + pt. d’application)
M(Q) = QP ∧ F
Par dé
définition :
Moment d’un vecteur glissant (= vecteur + droite d’application)
Pj
Pour tout Pi et Pj :
(
)
M(Q) = QP+PP
i
i j ∧ F=QPi ∧ F
Q
M( Q )
F
H
Pi F
Relation de champ de moment
Relation entre les moments en 2 points quelconques
(
)
M(A) = AB+BP ∧ F = M(B)+AB ∧ F
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On définit en tout point de l’espace un
champ de moment si on a cette relation
pour 2 points A et B quelconques
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8
Ch. 3 Torseurs
ENSM-SE
Ch. 3 Torseurs
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1 – Définitions
Définitions
On appelle torseur la superposition
de 2 champs de vecteurs :
• Un champ uniforme
R
• Un champ de moment
M
On note {T } le torseur et {T }Ason repré
représentant en A :
 R 
{T }A =  
M ( A ) 
R et M sont les éléments de réduction du torseur.
Remarque importante : si on connaî
connaît un torseur en un point alors on peut
l’exprimer en tout point ( avec la relation de champ de moment)
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9
Ch. 3 Torseurs
2 – Opé
Opérations sur les torseurs
Opérations sur les torseurs
Egalité
Egalité
Eléments de réduction égaux
AU MEME POINT
R1 = R 2
M1 ( A ) = M2 ( A )

{T1 } = {T 2 } ⇔  Somme
Somme des éléments de réduction
AU MEME POINT
Multiplication par un scalaire
Comoment de 2 torseurs

R1 + R 2

M1 ( A ) + M2 ( A ) 

{T1 }A + {T 2 }A =   λR1 
λ {T 1 }A =  
λM1 ( A ) 
{T1 }A .{T 2 }A
Scalaire défini par :
= R1.M2 ( A ) + R 2.M1 ( A )
Remarque : le comoment est indépendant du point de calcul
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Ch. 3 Torseurs
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3 – Invariants
3 – Invariants
Vectoriel
La résultante R est un champ uniforme.
Scalaire
L’automoment R.M est un invariant.
Preuve…
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10
Ch. 3 Torseurs
3 – Torseurs particuliers (automoment
(automoment nul)
Glisseur
S’il existe un point où
où le moment s’
s’annule,
= modè
modèle d’
d’une force
{T } est un glisseur

Remarque : En un point quelconque Q,
R


M( Q ) ≠ 0
{T }Q =  Couple
Si la ré
résultante est nulle, {T } est un torseur couple
Remarque : le moment est alors le même partout.
Nul
Si R = M ( Q ) = 0
Remarque : il est nul partout.
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Ch. 3 Torseurs
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4 – Proprié
Propriétés du champ de moment
Equiprojectivité
Par dé
définition : M(A) = M(B) + AB ∧ R
…
Rem : Tout champ équiprojectif est un champ de moment.
M (B )
B
M( A )
A
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Ch. 3 Torseurs
4 – Axe central d’
d’un torseur
Définition
L’axe centraldu torseur {T } est l’
l’ensemble des points I tels que M(I) soit
coliné
colinéaire à R .
Propriétés
Le moment est minimum sur l’
l’axe central du torseur.
Recherche de l’
l’axe central cf. TD.
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Ch. 4 Statique
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12
Ch. 4 Statique
1 – Principe d’é
d’équivalence
’équivalence
Principe d’équivalence
Le comportement en un point A d’
d’un solide soumis à n actions est dé
défini par


R = ∑ Fi


i

 M ( A ) = ∑ APi ∧ Fi 

i

Les effets des n actions sont les mêmes que ceux induits par ce
ce torseur
R
Fj
F1
A
M( A )
F3
A
F2
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Ch. 4 Statique
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2 – Torseurs d’
d’actions associé
associés aux liaisons normalisé
normalisées
Définition
On appelle liaison tout ce qui restreint le mouvement d’
d’un solide par rapport
à un autre.
Dans le cas des liaisons normalisé
normalisées, on associe un repè
repère privilé
privilégié
gié dans
lequel le torseur des actions mé
mécaniques aura une forme bien dé
définie.
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13
Ch. 4 Statique
2 – Torseurs d’
d’actions associé
associés aux liaisons normalisé
normalisées
Contact ponctuel (d’axe z)
S1 est en contact ponctuel avec S2 en un point A si les solides sont en contact
sur des surfaces parfaitement lisses («
(« aucune rugosité
rugosité »).
La ré
résultante des actions de contacts est porté
portée par la normale commune n12
au point de contact.
x
A
y
z
Le torseur des actions de liaison de S2 sur S1 écrit au centre A de la liaison a la
forme caracté
caractéristique suivante :

Rx
0
 
= R2 1 = 0 M2 1 ( A ) = 0

0
0

{F }
21 A
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Ch. 4 Statique
27
2 – Torseurs d’
d’actions associé
associés aux liaisons normalisé
normalisées
Liaison pivot glissant (d’axe x)
Interdit les mouvements
suivants
:
• Translations selon y et z
• Rotations autour de y et z
y
A
z
x
Torseur des actions de liaison de S2 sur S1 écrit en un point A de l’
l’axe :
{F }
21 A

0
0
 
= R2 1 = R y M2 1 ( A ) = My 

Rz
Mz 

« Ry s’oppose aux translations selon l’axe y »
« Mz s’oppose aux rotation autour de l’axe z »
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Ch. 4 Statique
2 – Torseurs d’
d’actions associé
associés aux liaisons normalisé
normalisées
Liaison sphérique (ou rotule)
Interdit toutes les translations. Toutes les rotations sont possibles.
possibles.
y
A
z
x
Torseur des actions de liaison de S2 sur S1 écrit au centre de la liaison
{F }
21 A

Rx
0
 
= R2 1 = R y M2 1 ( A ) = 0

Rz
0

Cette liaison ne peut pas transmettre de moment.
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Ch. 4 Statique
ENSM-SE
15
Ch. 4 Statique
3 – Sché
Schématisation
On modé
modélise le comportement des éléments technologiques que l’
l’on veut étudier.
Schéma technologique
On peut avoir plusieurs liaisons entre 2 solides.
Exemple d’utilisation : calcul d’efforts dans des roulements.
Schéma cinématique (des mouvements)
Uniquement les modè
modèles de liaisons qui permettent de mettre en équation les
lois de mouvement.
Exemple d’utilisation : déterminer les lois de mouvement.
Celui que l’on va
utiliser pour les
études
cinématiques
ENSM-SE
Ch. 4 Statique
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4 – Principe fondamental de la statique (PFS)
Hypothèses et définitions
On ne considè
considère que des solides indé
indéformables.
Un solide ou un systè
système de solides est en équilibre statique si aucune de ses
parties ne se trouve en mouvement par rapport à un observateur terrestre.
Un solide ou un systè
’état
tat stationnaire s’il ne subit
système de solides est à l’é
aucune variation de vitesse par rapport à un observateur terrestre.
Champ d’
s’appliquent dans la majorité
majorité des
d’application : les lois de la statique s’
cas, au champ d’
d’observation terrestre, laboratoire, atelier…
atelier…
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16
Ch. 4 Statique
4 – Principe fondamental de la statique (PFS)
PFS
On soustrait le solide à son environnement, on modélise les actions extérieures par le
torseur des actions mécaniques extérieures.
S1
S2
Σ
Σ
{ }
Un solide est en équilibre statique FΣ Σ
0
=  
A
0
Condition nécessaire mais non suffisante pour un système de solides (ex : ciseaux)
Un systè
système est en équilibre statique chacune de ses parties est en équilibre
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Ch. 4 Statique
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4 – Principe fondamental de la statique (PFS)
Principe des actions mutuelles (réciprocité)
Σ
S1
{ }
{ }
{ }
 F ={0}
 ΣΣ

PFS ⇒  FS S ={0}
1 1

 F ={0}
 S2 S2
S2
{F }=...
{F }=...
S1 S1
S2 S2
{F } = − {F }
S1 S2
S2 S1
Exemple : deux solides en contact ponctuel
S1
S2
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17
Ch. 4 Statique
4 – Principe fondamental de la statique (PFS)
Cas particuliers du PFS
Solide soumis à 2 forces
F2
F1
Ecrire les conditions d’équilibre du solide au point A…
B
A
PFS
Solide soumis à 2 forces ⇒ Forces coliné
colinéaires, de sens opposé
opposées, de même norme
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Ch. 4 Statique
35
4 – Principe fondamental de la statique (PFS)
Cas particuliers du PFS
Solide soumis à 3 forces coplanaires
F2
F1
B
I
A
C
Ecrire les conditions d’équilibre solide au
point I intersection des directions de F1 et
F2…
F3
PFS
Solide soumis à 3 forces ⇒ Forces concourantes, de somme vectorielle nulle.
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18
Ch. 4 Statique
4 – Principe fondamental de la statique (PFS)
Cas général
Pour un systè
système S, les conditions d’é
d’équilibre
’équilibre vont se traduire par :
• Deux équations vectorielles
= 6 équations en projection pour déterminer les paramètres inconnus
R.x = 0
 R=0 ⇔ R.y = 0
 R.z = 0
M.x = 0
 et M=0 ⇔ M.y = 0
 M.z = 0
• Dans le plan, Il n’y en a plus que trois.
On ne peut ré
résoudre le problè
problème que si l’
l’on a autant d’é
d’équations
’équations que d’
d’inconnues
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Ch. 4 Statique
37
5 – Etude d’
d’un problè
problème de statique
Choix du système
• Simplicité de mise en œuvre (formulation)
• Recherche des actions inconnues
• Faisabilité de la résolution
Méthode
• Définir le système isolé
• Bilan des actions extérieures à détailler sous forme de torseur (connues, inconnues,
distance, contact)
• Ecrire les équations d’équilibre
• Résoudre le système, déterminer les inconnues.
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19
Ch. 4 Statique
5 – Etude d’
d’un problè
problème de statique
Exemple de résolution graphique
• Effort nécessaire pour couper le boulon
1500 daN
• Liaisons parfaites
Déterminer l’effort de compression sur la vis
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F3 1
F2 1
ENSM-SE
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40
20
ENSM-SE
F3 1 = −F1 3
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41
F1 3
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42
21
F2 3
F1 3
F5 3
ENSM-SE
F1 2
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43
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44
F4 2
F3 2
ENSM-SE
22
F6 4
ENSM-SE
F2 4
F7 4
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45
F4 6 F6 vis
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23
Ch. 4 Statique
5 – Etude d’
d’un problè
problème de statique
Exemple de résolution analytique
• Un couple pur s’exerce sur l’arbre récepteur 1.
• Engrenage en C : relation connue entre Fx, Fy et Fz (il suffit d’en connaître une).
• Déterminer toutes les actions sur l’arbre.
b
a
r
y
D
C
Fy
Fx
ENSM-SE
Fz
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E
x
z
47
Ch. 5 Ciné
Cinématique
ENSM-SE
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24
Ch. 5 Ciné
Cinématique
1 – Introduction
Définitions
Rappels
• Point maté
matériel : portion de l’espace pourvue de matière, assez petite pour être
considérée comme ponctuelle
• Solide rigide ou indé
indéformable : domaine D de l’espace contenant un ensemble de
points matériels gardant des distances constantes entre eux.
On peut donc installer un repère sur D
• Temps : t supposé s’écouler de manière identique pour tous les solides
Ciné
Cinématique : Etude des mouvements indépendamment de leur causes.
ENSM-SE
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Ch. 5 Ciné
Cinématique
49
1 – Introduction
Repérage
On utilise des repères orthonormés directs (r.o.n.d = 1 point + 1 base o.n.d)
x1
z1
x0
Repé
Repérage donné
donné par :
• Pour un point P (dans R0) :
O0P = xx0 + yy 0 + zz0
O1
O0
y0
z0
y1
position de O1 : O0O1 = ( x ( O1 ) , y ( O1 ) , z ( O1 ) )
• Pour un solide S1 : 6 paramètres 
orientation /R 0 : paramètres d'Euler ou autres
Mouvement
On aura mouvement de Si/Sj si un des paramètres varie avec t.
L’étude du mouvement se fait en regardant les variations de x(t), y(t)… θ(t)…
Mouvement = notion relative !
On étudie le mouvement d’
d’un repè
repère par rapport à un autre
ENSM-SE
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50
25
Ch. 5 Ciné
Cinématique
1 – Introduction
Différents types de points
Point lié
lié (à un solide ou repè
repère)
P
Point qui reste fixe par rapport à un solide Sj donné. = point matériel.
Point gé
géomé
ométrique
Point dont la position est définie géométriquement.
Ex : pt de contact entre 2 solides, intersection de 2 droites…
Point coï
coïncident
Soit M(t) mobile / repère R. A l’instant t, M correspond à un point P de R (fixe dans R).
Le point M de R coïncide avec P à l’instant t.
t + ∆t
t - ∆t
t
MR
Position de M(t)
R
M
R
P
P
P
M+
Trajectoire
Soit Mj mobile dans R. Sa trajectoire dans R est l’ensemble des points coïncidents à Pj dans R.
Mj(t)
R
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Ch. 5 Ciné
Cinématique
51
2 – Ciné
Cinématique du point
Vitesse
Définition
(t)
Soit P mobile / repère Ri. Sa vitesse est définie par :
PP'
∆P
 d 
V (P/i) = lim
= lim
=  OP
i 
∆t →0 ∆t
∆t→0 ∆t
 dt
Ri
Notation compact :
Oi
P
P’
(t+∆t)
d Vi ( P ) =
OP
i
dt i
Remarque : Définition indépendante de Oi pourvu qu’il soit fixe dans Ri.
Expression :
OP
= xP xi + y P y i + zP zi
i
d Vi ( P ) =
OP
i
dt i
dxP dy P dzP =
xi +
yi +
zi
dt
dt
dt
• • • Vi (P ) = x P xi + y P y i + z P zi
ENSM-SE
Méca. solides rigides - CPMI 2011-2012
52
26
Ch. 5 Ciné
Cinématique
2 – Ciné
Cinématique du point
Accélération
P
Définition
P’
Soit P mobile / repère Ri. Son accélération est définie par :
Vi (P' ) - Vi (P )
 d 
Γ (P/i) = lim
=  Vi ( P ) 
∆t →0
∆t
 dt
Ri
Notation compact :
Vi ( P )
Oi
V i ( P ')
d i
Γ i (P ) =
V (P )
dt i
Expression : à partir de celle de V i (P )
•• •• •• Γi (P ) = x P xi + y P y i + z P zi
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ENSM-SE
Ch. 5 Ciné
Cinématique
53
3 – Ciné
Cinématique du solide
Petit déplacement d’un solide Sj /Rj
Ri
A1
B1
A2
B2
=
∆t
A1
B1
A2
B’
A2
Le point B se dé
déplace de :
B’
+
∆θ
A2
∆θ
B2
B'B2 = ∆θ ∧ AB
B1B2 = B1B' + B'B2
= A1A 2 + B'B2
Soit :
∆B = ∆A + ∆θ j i ∧ AB
Ou :
∆B = ∆A + BA ∧ ∆θ j i
Relation de champ de moment ! On peut dé
définir :
∆θ 
Le torseur des petits déplacements :
∆ j i =  j i 
P
 ∆P 
{ }
ENSM-SE
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54
27
Ch. 5 Ciné
Cinématique
3 – Ciné
Cinématique du solide
Champ des vitesses
Vecteur rotation
∆P
Vi (Pk ) = lim k
∆t→0 ∆t
∆Ok
∆θ
= lim
+ Pk Ok ∧ lim
∆t®0 ∆t
∆t→0 ∆t
A partir de la définition :
Vi ( Ok )
Notation :
Ωk i : vecteur rotation instantané
instantanée
Ωk i=Ωki : vecteur rotation instantanée du solide Sk par rapport à Ri
Vi (Pk ) = Vi ( Ok ) + Pk Ok ∧ Ωki
Il vient donc :
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Ch. 5 Ciné
Cinématique
55
3 – Ciné
Cinématique du solide
Torseur cinématique
i
Le champ des vitesses est un champ de moment. Ω k est assimilable
assimilable à R .
On définit les vitesses d’un solide par le torseur cinématique :
{V }
i
k P
k


Ωik
=  i 
i
i
Vk (Pk ) = Vk ( Ok ) + Pk Ok ∧ Ωk 
Equiprojectivité des vitesses
On retrouve cette proprié
propriété des champs de moment :
2
∀ (P,Q ) ∈ Sk , PQ =cte ⇒ PQ = cte
En dérivant par rapport à t :
Soit :
d 2PQ.
PQ = 0
dt i
 d d 
PQ.
POi +
OiQ  = 0
dt i
 dt i

PQ.Vi ( Q ) = PQ.Vi (P )
Ex : Bielle manivelle…
ENSM-SE
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56
28
Ch. 5 Ciné
Cinématique
3 – Ciné
Cinématique du solide
Formule de la base mobile
Vecteur fixe dans Rk
Nk
Vi (Nk ) = Vi (Mk ) + NkMk ∧ Ωki
Soit Mk et Nk fixes dans Rk :
Mk
Ok
…
Oi
d Uk = Ωki ∧ Uk
dt i
D’où pour Uk fixe dans Rk
Vecteur
mobile,
cas
gé
gén éral
w
Soit w = xxk + yy k + zzk mobile dans Rk
d w = .......
dt i
Ok
Oi
d d w=
w + Ωik ∧ w
dt i
dt k
Finalement :
Exemple…
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Ch. 5 Ciné
Cinématique
57
3 – Ciné
Cinématique du solide
Champ des accélérations
A partir du champ des vitesses Vi (Pk ) = V i ( Ok ) + Pk Ok ∧ Ωki
Il vient
(
d i
d i
Γi (Pk ) =
V ( Ok ) +
Pk Ok ∧ Ωk
dt i
dt i
)
…
(
)
d i
Γi (Pk ) = Γi ( Ok ) + Pk Ok ∧
Ωk + Ωki ∧ Pk Ok ∧ Ωki
dt i
Remarque :
• Ce n’est pas un champ de moment
• Fonctionne pour les points lié
liés (fixes dans Rk)
ENSM-SE
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58
29
Ch. 5 Ciné
Cinématique
3 – Ciné
Cinématique du solide
Composition des mouvements
Composition des vitesses
Ri et Rj mobiles l’un par rapport à l’autre
P en mouvement par rapport à Ri et Rj.
d Vi ( P ) =
OP
i
dt i
d d =
OiO j +
O jP
dt i
dt i
= ..........
Vi (P ) = V j (P ) + Vji (P )
Remarque :
On définit trois mouvements : absolu : P / Ri
relatif : P / Rj
entraînement : P de Rj / Ri (vitesse qu’aurait P si fixe dans Rj)
Vki (P ) = Vkj (P ) + Vji (P )
Si P appartient au solide Sk :
Exemples…
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Ch. 5 Ciné
Cinématique
59
3 – Ciné
Cinématique du solide
Composition des mouvements
Composition des rotations
On montre facilement que
Ωik = Ωkj + Ωij
Consé
Conséquences :
• Torseur cinématique :
{V } = {V } + {V }
i
k
j
i
j
k
{V } = − {V }
j
i
ENSM-SE
i
j
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60
30
Ch. 5 Ciné
Cinématique
3 – Ciné
Cinématique du solide
Composition des mouvements
P
Oj
Composition des accé
accélérations
Oi
Ri et Rj mobiles l’un par rapport à l’autre
P en mouvement par rapport à Ri et Rj.
(
)
(
)
(
d i
d j
d i
Vi (P ) = V j (P ) + Vji (P ) ⇒
V (P ) =
V (P ) +
Vj ( O j ) + PO j ∧ Ωij
dt i
dt i
dt i
)
… démonstration en TD
Γi (P ) = Γ j (P ) + Γij (P ) + 2Ωij ∧ V j (P )
Remarque :
• On définit quatre termes :
absolu : P / Ri
relatif : P / Rj
entraînement : P de Rj / Ri (vitesse qu’aurait P si fixe dans Rj)
Accélération de Coriolis (ou complémentaire)
Γik (P ) = Γkj (P ) + Γij (P ) + 2Ωij ∧ Vkj (P )
• Si P appartient au solide Sk :
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ENSM-SE
Ch. 5 Ciné
Cinématique
61
3 – Ciné
Cinématique du solide
Mouvements fondamentaux
Translation
Sk en translation par rapport à Ri
Remarques : -
trajectoire
⇒ ∀t, Ωik =0
Rk
Torseur cinématique = torseur couple
Tous les points du solide ont même vitesse
Tous les points ont même accélération.
Tout vecteur de Sk reste indépendant du temps.
Rotation autour d’
d’un axe
Sk en rotation par rapport à Ri
V
Ri
⇒ ∃{P,P'} ∈ Sk tq Vki (P ) = Vki (P' ) = 0
P
Remarques : - Torseur cinématique = torseur glisseur
- En un point M quelconque :
Vki (M) = Vki (P ) + MP ∧ Ωki
= MP ∧ Ωik
= MH ∧ Ωik
H
Ri
P’
M
V(M)
- Trajectoires : cercles centrés sur l’axe, contenus dans ses plans orthogonaux.
- Tous les points ont même accélération.
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62
31
Ch. 5 Ciné
Cinématique
3 – Ciné
Cinématique du solide
Cinématique d’un contact entre deux solides
Torseur ciné
cinématique en un point de contact
Soit I point GEOMETRIQUE de contact entre Sk et Sj
Les torseurs cinématiques de Sk et Sj par rapport à Ri sont :
{V } et {V }
i
k
i
j
Qu’en est il entre Sk et Sj ?
On utilise
Sj
{V } ={V } − {V }
j
k
I
i
k
i
j
Sk
 Ω j = Ωi - Ωij 
k
k
=  
j
i
i
 Vk (I) = Vk (I) - Vj (I) 
Vitesse de glissement
Solides indéformables
I
n
Vkj (I)
⇒ Vkj (I) .n = 0
Vkj (I) est la vitesse de glissement au point de contact de Sk et Sj.
Elle est donc contenue dans le plan tangent au contact.
I est REDEFINI à CHAQUE INSTANT. Il n’est ni lié à Sk ni à Sj.
ENSM-SE
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Ch. 5 Ciné
Cinématique
63
3 – Ciné
Cinématique du solide
Condition de roulement sans glissement
Condition qui exprime que la vitesse relative au point de contac
contactt I est nulle :
Vkj (I) = 0
Exemple :
• Il y a RSG en I.
• • Rotation de S1 / S0 : αz .
Quelle est la vitesse d’avance du moyeu ?
y1
y0
x1
α
x0
S1
S0
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I
64
32
Ch. 6 Ciné
Cinématique des liaisons
ENSM-SE
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Ch. 6 Ciné
Cinématique des liaisons
65
1 - Définitions
Définitions
Systè
Système mé
mécanique : assemblage de solides.
Liaison
Deux solides en mouvement l’un par rapport à l’autre sont soumis à des
liaisons si leurs positions et/ou leurs vitesses sont astreintes à satisfaire des
conditions.
Distinction
• Liaisons bilatérales / unilatérales se traduit par des équations / inéquations
• Liaisons holonomes se traduit par des conditions géométriques seulement.
• Liaisons non holonomes se traduit par des relations linéaires entre les vitesses
(relations non intégrables directement).
ENSM-SE
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66
33
Ch. 6 Ciné
Cinématique des liaisons
2 – Liaisons gé
géomé
ométriques de base
Liaisons dont le torseur ciné
cinématique (exprimé
(exprimé en son centre) prend une
forme particuliè
particulière
Tableau des liaisons normalisées
On donne pour ces liaisons
• Forme du torseur cinématique de Si / Sj
• mij = degré de mobilité d’une liaison = nb. de ddl qu’elle autorise.
• Lij = degré de liaison = nb. de ddl qu’elle interdit.
Lij = 6 – mij
Chaque liaison normalisé
normalisée peut se traduire par des conditions gé
géomé
ométriques
à respecter.
Exemples à suivre…
suivre…
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Ch. 6 Ciné
Cinématique des liaisons
67
2 – Liaisons gé
géomé
ométriques de base
Contact ponctuel
xj
= ramener le point Oj sur la surface de Si.
 Mi : point de la surface Si
O jMi .xi = 0   x i : normale à la surface en M i
xi
Oi
Oj
Mi
6 paramè
reliés par une équation scalaire
paramètres de position de Sj / Si sont relié
Lij = 1
mij = 5
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68
34
Ch. 6 Ciné
Cinématique des liaisons
2 – Liaisons gé
géomé
ométriques de base
Sphérique (rotule)
= Oi et Oj confondus.
OiO j = 0 (équation vectorielle = 3 eq scalaires en projection)
Appui plan (ou plane) de normale xi
OiO j .xi = 0
et x j = xi
x j.y i = 0
ou x j ∧ xi = 0
 x
.z
=
0
 j i
⇔
Pivot glissant d’axe xi
Oj ∈ axe xi : OiO j = λxi ⇔
OiO j.y i = 0
ou OiO j ∧ xi = 0
 OiO j .zi = 0
x j.y i = 0
ou x j ∧ xi = 0
 x
.z
=
0
 j i
xj coliné
colinéaire à xi : x j = xi ⇔
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Ch. 6 Ciné
Cinématique des liaisons
69
2 – Liaisons gé
géomé
ométriques de base
Pivot d’axe xi
OiO j = 0
et
x j.y i = 0
ou x j ∧ xi = 0
 x j.zi = 0
Glissière d’axe xi
OiO j.y i = 0
ou x j ∧ xi = 0
OiO j = λxi ⇔  O
O
.z
=
0
 i j i
+ Pas de rotation autour de xi
ENSM-SE
x j.y i = 0
et x j = xi ⇔  x j.zi = 0
ou x j ∧ xi = 0
y j.y i = 1
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70
35
Ch. 6 Ciné
Cinématique des liaisons
3 – Sché
Schéma des mouvements
Rappel
Pour une étude ciné
cinématique on ne prend en compte que les modè
modèles de
liaisons qui permettent de mettre en équation les lois de mouvement.
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ENSM-SE
Ch. 6 Ciné
Cinématique des liaisons
71
4 – Graphe des liaisons
Le graphe des liaisons est pré
préalable à l’étude.
’étude. Il va permettre de pré
préciser :
• Les types de liaisons entre les sous ensembles.
• Le paramétrage.
• Le solide de référence.
qi
qi
qi
Symbolisme
0
S0 : solide de référence
Liaison
Si
Si : solide courant du système étudié
Bouclage par équation de
liaison
Paramètre cinématique
Paramétrage
Les paramè
paramètres correspondent aux variables ciné
cinématiques né
nécessaires à déterminer
les lois de mvt.
mvt.
Leur choix, non unique peut avoir une influence sur la facilité de résolution du problème.
( On s’aidera le plus souvent des repères privilégiés des liaisons)
ENSM-SE
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72
36
Ch. 6 Ciné
Cinématique des liaisons
4 – Graphe des liaisons
Chaînes cinématiques
On peut rencontrer différents types de graphe.
Chaî
Chaînes ouvertes
0
Succession de pièces liées à la précédente.
1
i
n
Exemples typiques : manipulateurs, bras de robot…
S3
S1
z
x
θ1
0
S2
1
x, θ2
z
2
3
θ2
θ1
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Ch. 6 Ciné
Cinématique des liaisons
73
4 – Graphe des liaisons
Chaînes cinématiques
Chaî
Chaînes fermé
fermées
On obtient des boucles dans le graphe
Exemples typiques : machines de transformation de mouvement
0
1
S2
S3
θ2
S1
0
θ1
1
θ1
θ2
2
x
x
3
ENSM-SE
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74
37
Ch. 6 Ciné
Cinématique des liaisons
5 – Détermination des lois de mouvement
Objectif : Déterminer ces lois pour les cas de systèmes à chaînes fermées.
Paramétrage
Pour repérer un solide / un autre, il faut 6 paramètres cinématiques.
Paramé
Paramétrage absolu
Chaque solide est repéré par rapport à S0. Nous avons P solides :
∑paramètres cinématiques = 6P
⇒ Liaisons entre solides : ∑ l = L
x1 y1 z1
Ψ1 θ1 φ1 1
0
x3 y3 z3
Ψ3 θ3 φ3
⇒
peut être long
x2 y2 z2
Ψ2 θ2 φ2
3
ij
Paramé
Paramétrage relatif
x1 φ1
0
Chaque solide est repéré par rapport à celui qui le pré
précède.
de
On traduit directement (et uniquement) les liaisons entre solides
⇒
2
1
φ2
z3
Ψ3
3
∑paramètres cinématiques = ∑ d
2
ij
où dij = degré de mobilité de la liaison i / j.
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ENSM-SE
Ch. 6 Ciné
Cinématique des liaisons
75
5 – Détermination des lois de mouvement
Degré de mobilité d’un mécanisme
Nombre minimal de mouvements indé
indépendants
= nombre de paramè
paramètres ciné
cinématiques indé
indépendants
( = rang du systè
système de L équations à 6P inconnues)
En pratique, dans la plupart des cas simples que nous étudierons, avec le paramétrage relatif :
m=
∑ d − ∑l
ij
= n-l
ENSM-SE
ij
n = nombre de paramètres cinématiques
l = nombre d’équations de liaison
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76
38
Ch. 6 Ciné
Cinématique des liaisons
5 – Détermination des lois de mouvement
Méthode de résolution
La méthode proposée permet d’obtenir un système minimum d’équations menant aux lois
de mouvement.
Elle s’adresse aux mécanismes à chaînes fermées.
Bouclage par équations de liaisons gé
géomé
ométriques
A l’intérieur d’une boucle, on substitue une liaison par les équations nécessaires à la
reconstituer.
Ex : Bielle manivelle
0
1
2
0
1
2
+ équations
3
3
Bouclage par équations de liaisons de type joint
On substitue une pièce ou un groupe de pièces (que l’on appellera joint) et on traduit les
contraintes géométriques correspondantes.
0
1
2
0
1
Ex : Bielle manivelle
+ équations
3
ENSM-SE
3
Méca. solides rigides - CPMI 2011-2012
77
Ch. 7 Dynamique
ENSM-SE
Méca. solides rigides - CPMI 2011-2012
78
39
Ch. 7 Dynamique
0 – Introduction
Introduction
Notions fondamentales
• Point maté
matériel : portion de l’espace pourvue de matière, assez petite pour être
considérée comme ponctuelle
• Solide rigide ou indé
indéformable : domaine D de l’espace contenant un ensemble de
points matériels gardant des distances constantes entre eux.
On peut donc installer un repère sur D
• Temps : t supposé s’écouler de manière identique pour tous les solides
• Masse : A chaque point matériel, on peut associer un scalaire positif et invariable au
cours du temps. Il représente la quantité de matière du point considéré.
Il permet de caractériser les effets dynamiques et d’attraction universelle.
• Force : La notion de force est associée aux actions qui agissent sur un point
matériel.
Le modèle mathématique de cette action est celui du glisseur.
Dynamique : Etude des relations entre les mouvements et leurs causes.
ENSM-SE
Méca. solides rigides - CPMI 2011-2012
Ch. 7 Dynamique
79
1 – Principe fondamental appliqué
appliqué à un point
Enoncé
Soit un point P de masse m.
Le principe fondamental de la dynamique (PFD) permet d’écrire :
F = mΓ g (P )
P
Rg
F
mΓ g (P )
F : Résultante des efforts sur P
Rg : Repère absolu ou galiléen (supposé exister) où le PFD est vérifié.
Remarques
g
• Noter que mΓ (P ) est homogène à une force.
• Formulation de d’Alembert
:
• avec Finertie = -mΓ g (P )
F + Finertie = 0
• Exemple : Lune, fronde…
ENSM-SE
Méca. solides rigides - CPMI 2011-2012
80
40
Ch. 7 Dynamique
2 – Autres notions né
nécessaires
Repère galiléen
Le PFD est vé
vérifié
rifié seulement dans un repè
repère
galiléen (ou absolu).
galilé
Prenons un repère Rk quelconque et écrivons Γ g (P ) par composition :
Γ g (P ) = Γk (P ) + Γkg (P ) + 2Ωkg ∧ Vk (P )
si Γkg (P ) = Ωkg = 0 alors Γ g (P ) = Γk (P )
Tout repè
repère en translation rectiligne uniforme par rapport à un repè
repère
galilé
galiléen est lui aussi galilé
galiléen.
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ENSM-SE
Ch. 7 Dynamique
81
2 – Autres notions né
nécessaires
Mécanique à différentes échelles
Echelle humaine
Exemple : machine
mΓg (P ) = m Γ terre (P ) + Γgterre (P ) + 2Ωgterre ∧ V terre (P )
(
)
négligeable
Repère lié à Terre = galiléen.
Echelle terrestre
Exemple : météo
Les effets de la rotation de la Terre sont non négligeables
Repère centré sur Terre et directions des 3 axes pointent vers des étoiles = galiléen.
Echelle plané
planétaire
Exemple : système solaire, satellites
Prise en compte des déplacements de la Terre / Soleil.
Repère centré sur le Soleil et pointant vers 3 étoiles = galiléen.
Classifications des actions (rappel)
Actions à distance
ENSM-SE
Actions de contact :
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intérieures
extérieures
82
41
Ch. 7 Dynamique
3 – Principe fondamental appliqué
appliqué à un systè
système
Principe des actions mutuelles (rappel)
0
{F } + {F } =  
ij
ji
0
Torseur des actions mécaniques intérieures
Pi
Soit un domaine D (= un solide) et un point P de D.
P est soumis à : Actions extérieures à D = {Fext }
Actions intérieures à D = {Fint }
Que vaut
Pj
A
Σ
{Fint }A?


FPi →Pj +FPj →Pi
∑


D
Ce sont les actions exercées par les autres points du domaine : {Fint }A =  
∑ APi ∧ FPi →Pj +APj ∧ FPj →Pi 
D

Or, principe de réciprocité ⇒ FPi →Pj + FPj →Pi = 0 donc F colinéaire à PP
i j
⇒ APi - APj ∧ FPi →Pj = 0
(
)
{Fint }
0
=  
0
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ENSM-SE
Ch. 7 Dynamique
83
3 – Principe fondamental appliqué
appliqué à un systè
système
Torseur des actions mécaniques extérieures (rappel)
 ∑ Fi 
 R Σ →Σ 


i
{Fext }A =   =  
∑ APi ∧ Fi 
MΣ→Σ ( A ) 
 i

Torseur dynamique
dmΓ g (P )
Soit un domaine Σ et un point P de ce solide. On définit :

Γ g (P ) dm 
∫


{DΣg}A =  Σ g

 ∫ AP ∧ Γ (P ) dm
 Σ

P
A
Σ
Principe fondamental de la dynamique appliqué à un système
{F } = {D }
ext
g
Σ
Remarque : cas particuliers
Forme particulière quand le torseur dynamique est nul : état stationnaire, statique.
ENSM-SE
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84
42
Ch. 8 Gé
Géomé
ométrie des masses
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Ch. 8 Gé
Géomé
ométrie des masses
85
1 – Introduction
Le PFD requiert le calcul du torseur dynamique D..
Celui-ci se calcule à partir d’autres torseurs (cinématique et cinétique). Le calcul du
moment dynamique passe notamment par celui du moment cinétique (noter la similarité) :
σ ( A ) = ∫ AP ∧ V g (P ) dm
Σ
En un point Oi d’un solide Si, celui-ci s’écrit :
σ ig ( Oi ) = ∫ OiP ∧ V g (P ) dm
Si
(
)
= ∫ OiP ∧ V g ( Oi )+POi ∧ Ωig dm
Si
  g =  ∫ OiPdm  ∧ V g ( Oi )+∫ OP
i ∧ Ωi ∧ OiP dm
S

Si
 i

(
)
Apparaissent des termes lié
liés à des caracté
caractéristiques intrinsè
intrinsèques de gé
géomé
ométrie
et de ré
répartition de la matiè
matière dans le solide.
ENSM-SE
Méca. solides rigides - CPMI 2011-2012
86
43
Ch. 8 Gé
Géomé
ométrie des masses
2 – Grandeurs associé
associées à la matiè
matière
Définition : masse spécifique
dm
où dε = élément de volume (dV), de surface (dS) ou de longueur (dL)
dε
ρ(P) représente alors la masse volumique, surfacique ou linéique de l’élément considéré.
ρ (P )=lim
dε→ 0
A tout point P d’un système matériel, on associe le champ
ρ(P).
Masse (grandeur scalaire)
On appelle masse d’
d’un systè
système la quantité
quantité :
M=∫ dm
D
Où D représente le domaine d’intégration : volumique, surfacique, linéique.
Rem. : - unité SI : kilogramme
- Pour la suite, on considère le champ ρ continu par morceaux à l’intérieur de D.
- Si le système comporte un nombre fini de points, on réalise une somme discrète.
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Ch. 8 Gé
Géomé
ométrie des masses
87
2 – Grandeurs associé
associées à la matiè
matière
Position du centre d’inertie (grandeur vectorielle)
Définition
Soit G le centre d’inertie du domaine D :
∫ OPdm
OG =
D
∫ dm
D
xG =
Ou, avec les coordonnées :
1
xdm
M D∫
x 
xG 
1
   
OP =  y  ; OG = y G  ⇒ y G = ∫ ydm
MD
z 
z 
 
 G
1
zG = ∫ zdm
MD
Systè
Système complexe
Dans le cas d’un assemblage de n systèmes matériels, on peut associer à chaque
système Si sa masse Mi et son centre d’inertie Gi.
Il vient :
OG =
∑M OG
∑M
i
i
i
i
i
Exemple : plaque trouée
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88
44
Ch. 8 Gé
Géomé
ométrie des masses
2 – Grandeurs associé
associées à la matiè
matière
Grandeur tensorielle : tenseur d’inertie
Définition d’
d’un tenseur
Dans la théorie des tenseurs, vecteur = tenseur d’ordre 1
• 3 composantes (dans un espace à 3D)
• Matrice colonne, en projection dans une base donnée
• Par changement de base, composantes dans la nouvelle base = combinaisons linéaires
des composantes dans l’ancienne base
Tenseur d’
d’ordre 2
• Exemple : tenseur d’inertie = tenseur d’ordre 2.
• 9 composantes, soit une matrice (3x3) en projection dans une base donnée.
• Par changement de base, nouvelles composantes = combinaisons linéaires des
anciennes.
• Le tenseur d’inertie est indépendant de toute base.
Mais, pour l’exprimer sous forme de matrice (3x3) il faut le projeter dans une base.
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Ch. 8 Gé
Géomé
ométrie des masses
89
2 – Grandeurs associé
associées à la matiè
matière
Tenseur d’inertie
Utilité
Utilité dans ce cours ?
Rappel, nous avons besoin de l’expression :
(
)
(
Nécessité de calculer
OP ∧ Ω ∧ OP
Formule du double produit vectoriel :
2 OP ∧ Ω ∧ OP = Ω.OP - OP Ω.OP
(
)
)
  g σ ig ( Oi ) =  ∫ OiPdm  ∧ V g ( Oi ) + ∫ OP
dm
i ∧ Ωi ∧ OP
i
S

Si
 i

(
)
=...
( y 2+z2 )

=  -xy

 -xz

-xy
(x +z )
2
-yz
2
-xz  Ω
  x
 
-yz  Ω y 
  
2
2   Ωz 
R
( x +y )R
Application au domaine D :

2
2
 ∫ ( y +z ) dm
D

∫ OP ∧ Ω ∧ OP dm =  D∫ -xydm
D


-xzdm
 D∫
(
ENSM-SE
)


D
D
 Ω x 
  
2
2
∫D ( x +z ) dm D∫ -yzdm  Ω y 
  Ωz R
2
2

-yzdm
x
+y
dm
(
)
∫
∫
R
D
D
∫ -xydm
∫ -xzdm
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90
45
Ch. 8 Gé
Géomé
ométrie des masses
2 – Grandeurs associé
associées à la matiè
matière
Tenseur d’inertie
Il vient donc :
Ixx Ixy

OP
Ω
OP
dm
=
∧
∧
∫
Iyx Iyy
D

Izx Izy
(
Ixz  Ω x 
  
Iyz  Ω y  = I ( O,D ) Ω


Izz R Ω z R
)
(
)
I ( O,D ) Ω = ∫ OP ∧ Ω ∧ OP dm
D
I(O,D) est le tenseur d’
d’inertie, calculé
calculé en O, du solide D
Convention de Binet
 A -F -E 
I ( O,D ) = -F B -D 
-E -D C 
Remarques : opérateur symétrique
unités : kg.m²
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ométrie des masses
91
3 – Interpré
Interprétation des éléments deI
Définitions
Moment d’
d’inertie
On appelle moment d’inertie de D par rapport à ε le scalaire :
Iε = ∫ d2dm
D
d représente la distance du pt. courant à l’élément ε considéré (un point, une droite ou un plan)
Ex. : Moment d’inertie d’une barre homogène par rapport à un axe perpendiculaire passant par
son centre de masse.
Produit d’
d’inertie par rapport à 2 plans orthogonaux
On appelle produit d’inertie par rapport à P et P’ le scalaire :
IPP' = - ∫ δδ'dm
D
où δ (resp. δ’) représente la distance du point au plan P (resp. P’).
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92
46
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ométrie des masses
3 – Interpré
Interprétation des éléments de I
Interprétation du tenseur d’inertie I ( O,D )
 A -F -E 
I ( O,D )= -F B -D 
-E -D C 
Ixx =A=∫ ( y 2+z2 ) dm ; Iyy =B=∫ ( x2+z2 ) dm ; Izz =C=∫ ( x2+y 2 ) dm
D
D
Représentent les moments
d’inertie de D par rapport aux
axes (O,x), (O,y) et (O,z).
D
Iyz =Izy =-D=-∫ yzdm ; Ixz =Izx =-E=-∫ xzdm ; Ixy =Iyx =-F=-∫ xydm Représentent les produits
D
D
D
d’inertie de D par rapport aux
plans (O,xz)(O,xy), (O,yz)(O,xy) et
(O,xz)(O,yz)
Inertie par rapport à un axe quelconque passant par O, connaissant I( O,D )
∆
I∆ =∫ d2dm
u
D
avec d²=…
On obtient :
d
O
P
I∆ = u.I ( O,D ) .u
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Géomé
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93
3 – Interpré
Interprétation des éléments de I
Cas de simplifications
Plan de symé
symétrie
z
Exemple : (O,x,y) plan de symétrie
Certains termes s’annulent
O
Ixz = Iyz = 0
y
x
z
y
Solide de ré
révolution
Exemple : (O,x) axe de symétrie
x
Axe de révolution = 2 plans de symétrie perpendiculaires + 2 directions
« équivalentes »
Ixz = Iyz = Ixy = 0
Iyy = Izz
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47
Ch. 8 Gé
Géomé
ométrie des masses
4 – thé
théorè
orème de Koenig
Théorème de Koenig
Exprimer le tenseur d’
d’inertie en un point quelconque à partir du tenseur en G
(
)
I ( A,D ) Ω = ∫ AP ∧ Ω ∧ AP dm et AP=AG+GP
D
I ( A,D ) Ω = ...
G
(
)
I ( A,D ) Ω = AG ∧ Ω ∧ AG ∫ dm+I ( G,D ) Ω
A
D
= H ( A,m,D )+I ( G,D )  Ω


m (b2+c2 )
-mab
-mac 
a 


 
2
2
Avec AG = b  ⇒ H ( A,m, ∧ ) =  -mab
m ( a +c )
-mbc 


c 
 -mac
 R
-mbc
m ( a2+b2 )

R
Remarques :
Pour changer de point, il faut passer par G.
Faire attention aux bases d’expression des grandeurs.
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Ch. 8 Gé
Géomé
ométrie des masses
95
5 – Repè
Repère principal d’
d’inertie
Repère principal d’inertie
La matrice du tenseur est symétrique à coeff. réels. Elle peut être diagonalisée.
Les directions propres sont orthogonales et sont appelées axes principaux d’inertie (ou
directions principales).
Les valeurs propres sont appelées moments principaux d’inertie.
z*
z
G
y
x*
G
y*
x
 A -F -E 
I ( G,D ) = -F B -D 
-E -D C R
ENSM-SE
A 0 0 
I ( G,D ) =  0 A 0 
 0 0 CR*
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48
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97
Ch. 9 Ciné
Cinétique
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49
Ch. 9 Ciné
Cinétique
0 – Introduction
Introduction
L’écriture du PFD nécessite de connaître le torseur associé à l’ensemble des mΓ
de chacun des points du solide Σ.
g
(P )
Ciné
Cinétique : Etude et calcul des grandeurs cinétiques et dynamiques.
On procède par étape en traitant les grandeurs cinétiques (liées aux vitesses) puis en
passant aux grandeurs dynamiques (liées aux accélérations).
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Ch. 9 Ciné
Cinétique
99
1 – Torseur ciné
cinétique
Définition, cas d’une masse élémentaire
Soit un point P de masse élémentaire dm.
Quantité
Quantité de mouvement
La quantité de mouvement est caractérisée par le vecteur suivant :
P
dm
pg (P ) = V g (P ) dm
V (P )
Moment ciné
cinétique élémentaire en A
Le moment cinétique est le moment de la quantité de mouvement au point considéré :
σ Pg ( A ) = AP ∧ V g (P ) dm
P
dm
V (P ) dm
σ Pg ( A )
A
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100
50
Ch. 9 Ciné
Cinétique
1 – Torseur ciné
cinétique
Cas d’un système matériel
Soit un système matériel Σ, constitué d’un ensemble de points matériels.
{C }
g
Σ
Résultante ciné
cinétique
 pg = V g (P ) dm 
Σ
∫


Σ
=  
g
g
σ Σ = ∫ AP ∧ V (P ) dm
Σ


V (P ) dm
P
dm
Σ
pgΣ = ∫ V g (P ) dm = mV g ( G)
M masse totale de Σ
G centre de masse de Σ
Σ
Moment ciné
cinétique
Détermination de la relation entre les moments cinétiques en A et B…
…
σ gΣ ( A ) = σ Σg (B ) + AB ∧ MV g ( G)
Le torseur cinétique satisfait à la relation de champs de moment.
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ENSM-SE
Ch. 9 Ciné
Cinétique
101
1 – Torseur ciné
cinétique
Théorème de Koenig
Soit Rk un repère en translation par rapport à Rg et centré
centré en G.
G
V g (P ) = Vk (P ) + Vkg (P )
(
)
⇒ σ gΣ ( A ) = ∫ AP ∧ Vk (P )+Vkg (P ) dm = ...
Σ
σ gΣ ( A ) = σ kΣ ( A )+AG ∧ MVkg ( G)
Théorème de Koenig ≈ « composition » des moments cinétiques.
Variante
Puisque
σ kΣ ( A ) = σ kΣ ( G) + AG ∧ MVk ( G)
…
σ gΣ ( A ) = σ kΣ ( G) + AG ∧ MVkg ( G)
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102
51
Ch. 9 Ciné
Cinétique
1 – Torseur ciné
cinétique
Calcul du moment cinétique en un point Oi d’un solide Si
Soit Ri le repère associé au solide Si.
On utilise ici la relation du champ des vitesses d’un solide :
V g (P ) = V g ( Oi ) + POi ∧ Ωig
g
g
⇒ σ ig ( Oi ) = ∫ OP
i ∧ V ( Oi ) + POi ∧ Ωi dm = ...
Si
(
)
σ ig ( Oi ) = I ( Oi, Si ) Ωig + OiG ∧ MV g ( Oi )
Rappel : pour le produit I ( Oi ,Si ) Ωig , les deux éléments doivent être dans la même base.
Il est intéressant de choisir un repère où le tenseur d’inertie est de forme simple.
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Ch. 9 Ciné
Cinétique
103
1 – Torseur ciné
cinétique
Calcul du moment cinétique en un point Oi d’un solide Si : cas particuliers
Cas d’
d’un point fixe
V g ( Oi ) = 0 ⇒ σ ig ( Oi ) = I ( Oi, Si ) Ωig
Cas où
où Oi = G
OiG = 0 ⇒ σ ig ( G) = I ( G, Si ) Ωig
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104
52
Ch. 9 Ciné
Cinétique
1 – Torseur ciné
cinétique
Forme générale du moment cinétique d’un solide en un point quelconque
σ ig ( A ) = σ ik ( G) + AG ∧ MVig ( G)
σ ki ( G) = I ( G, Si ) Ωki
(Koenig)
σ ig ( A ) = I ( G, Si ) Ωik +AG ∧ MVig ( G)
Or Ωki = Ωig car Rk est en translation par rapport à Rg
⇒ σ ig ( A ) = I ( G, Si ) Ωig + AG ∧ MVig ( G)
Le moment cinétique en un point est égal à la somme du moment cinétique du
solide en G et du moment en ce point de la quantité de mouvement.
ENSM-SE
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Ch. 9 Ciné
Cinétique
105
2 – Torseur dynamique
Définition, cas d’une masse élémentaire
Soit un point P de masse élémentaire dm.
Quantité
Quantité d’accé
accélération
La quantité d’accélération est caractérisée par le vecteur suivant :
P
dm
Dg (P ) = Γ g (P ) dm
Γ (P )
Moment dynamique élémentaire en A
Le moment dynamique est le moment de la quantité d’accélération au point considéré :
δPg ( A ) = AP ∧ Γ g (P ) dm
P
Γ (P ) dm
dm
δPg ( A )
A
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106
53
Ch. 9 Ciné
Cinétique
2 – Torseur dynamique
Cas d’un système matériel
Si l’on considère un système matériel Σ, les éléments du torseur prennent la forme :
Résultante dynamique
DgΣ = ∫ Γ g (P ) dm = ...
Σ
DgΣ = ∫ Γ g (P ) dm = MΓ g ( G)
P
dm
G
Γ g (P )
MΓ g ( G)
Σ
Σ
Remarque : la résultante dynamique est la dérivée de la résultant cinétique.
Moment dynamique
δgΣ ( A ) = ∫ AP ∧ Γ g (P ) dm
Σ
Relation des champs de moment du torseur dynamique
δgΣ ( A ) = δgΣ (B ) + AB ∧ MΓ g ( G)
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Ch. 9 Ciné
Cinétique
107
2 – Torseur dynamique
Relation entre moments cinétique et dynamique
Si l’on dérive le moment cinétique…
(
)
d g
d  g
d g
σ Σ ( A ) = ∫
AP ∧ V (P ) dm + ∫ AP ∧
V (P ) dm


dt g
dt g
Σ dt g
Σ
( )
= ...
(
P
dm
G
)
Γ g (P )
MΓ g ( G)
Σ
d g
δgΣ ( A ) =
σ Σ ( A ) + V g ( A ) ∧ MV g ( G)
dt g
Attention : dans le cas général, le moment dynamique n’est donc pas la dérivée du
moment cinétique
ENSM-SE
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108
54
Ch. 9 Ciné
Cinétique
2 – Torseur dynamique
Calcul du moment dynamique : cas particuliers
Cas d’
d’un point fixe
(
d g
g
σΣ ( A )
V g ( A ) = 0 ⇒ δΣ ( A ) =
dt g
)
P
dm
G
MΓ g ( G)
Σ
Cas où
où A = G
(
Γ g (P )
)
(
d g
d g
δgΣ ( G) =
σ Σ ( G) + V g ( G) ∧ MV g ( G) ⇒ δgΣ ( G) =
σ Σ ( G)
dt g
dt g
)
En pratique, le plus simple est souvent…
souvent…
• Calcul du moment cinétique en G
• Calcul du moment dynamique en G
• Relation des champs de moment
ENSM-SE
σ ig ( G) = I ( G, Si ) Ωig
(
)
d g
δgΣ ( G) =
σ Σ ( G)
dt g
δgΣ ( A ) = δgΣ (B ) + AB ∧ MΓ g ( G)
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109
Ch. 10 Etude dynamique d’
d’un
systè
système
ENSM-SE
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110
55
Ch. 10 Dynamique d’
d’un systè
système
1 – Dynamique des liaisons
Lois de comportement
Dans un système, on peut retrouver des éléments qui sont hors des hypothèses de la
mécanique des solides indéformables.
Exemple typique : les ressorts.
Ces éléments peuvent souvent conduire à l’écriture d’équations de liaisons
supplémentaires. Ces équations sont « expérimentales », on peut les appeler « lois de
comportement ».
Elles peuvent faire intervenir les différentes paramètres cinématiques ou actions de
liaisons entre les solides.
Ces lois de comportement influencent l’é
l’équilibre
’équilibre dynamique d’
d’un systè
système
La ré
résolution d’
d’un systè
système dynamique requiert leur écriture
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ENSM-SE
Ch. 10 Dynamique d’
d’un systè
système
111
1 – Dynamique des liaisons
Les ressorts sont des éléments déformables qui relient deux solides Si et Sj.
L’écriture de la loi de comportement du ressort permet d’obtenir le modèle de l’action
entre Si et Sj.
Ressort de traction-compression
Pj
u
Pi
On peut considérer que Si agit sur Sj par
l’intermédiaire du ressort.
Il en résulte une action de liaison sous la
forme d’un glisseur de résultante :
Fi/j = -k (L-L0 ) u = -Fj/i
Fi/j
Fj/i
Masse négligeable
L0 longueur au repos (libre)
k raideur (en Newton)
L-L0 allongement
LL0
Ressort de torsion
On peut considérer que Si agit sur Sj par
l’intermédiaire du ressort.
Il en résulte une action de liaison sous la
forme d’un torseur couple de moment :
Mj/i
Mi/j
Mi/j = -k ( θ-θ0 ) u = -M j/i
ENSM-SE
•
•
•
•
L0
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•
•
•
•
Inertie négligeable
θ0 position angulaire au repos
k raideur (en Newton)
θ - θ0 rotation de Si/Sj selon u
112
56
Ch. 10 Dynamique d’
d’un systè
système
1 – Dynamique des liaisons
L’amortisseur est un élément constitué de deux parties qui contraignent un fluide
visqueux à s’écouler à travers un petit orifice. La viscosité du fluide dissipe alors de
l’énergie.
L’effort dans l’amortisseur est fonction de la viscosité du fluide, de la section des
trous, et de la vitesse d’écoulement dans les trous.
Amortisseur de translation
Le modèle de l’action de Si sur Sj est celui d’un
glisseur de résultante :
•
Fi/j = -cLu = -Fj/i
= -c Vji (Pj ) .u u
(
Fj/i
)
Fi/j
u
Pj
Pi
• Masse négligeable
• c coefficient d’amortissement
(en Newton mètre)
L
Amortisseur de rotation
Le modèle de l’action de Si sur Sj est celui d’un
torseur couple avec :
Mj/i
• Mi/j = -cθu =-Mj/i
= -c Ωij .u u
Mi/j
( )
ENSM-SE
• Inertie négligeable
• θɺ vitesse de rotation de Sj/Si
• c coefficient d’amortissement
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Ch. 10 Dynamique d’
d’un systè
système
113
1 – Dynamique des liaisons
Contact ponctuel avec frottement
Efforts dans un contact ponctuel
Le modèle de la liaison ponctuelle est idéalisé
Dans un contact réel, le torseur des actions mécaniques est de la forme :
 Ri j 
=
F
{ i/j}I M I 
 i j ( ) 
Les actions de contact entre i et j sont connues de manière expérimentale.
Une des lois classiques est la loi de Coulomb
Elle caractérise les situations de frottement et d’adhérence.
ENSM-SE
Méca. solides rigides - CPMI 2011-2012
114
57
Ch. 10 Dynamique d’
d’un systè
système
1 – Dynamique des liaisons
Loi de Coulomb
()
0
I
iiii
V jjjj
Il y a glissement au contact (et donc frottement)
frottement) lorsque
Dans ce cas, la loi de Coulomb s’écrit :
Vji (I)
Ti/j = -fg Ni/j Vji (I)
Ti/j
= tan (ϕg ) = fg
Ni/j
avec
L’effort de frottement Ti/j s’oppose à la vitesse de glissement.
i
Il y a adhé
adhérence (pas de mouvement relatif) lorsque Vj (I ) = 0
Ti/j
< tan (ϕa ) = fa
Ni/j
φa définit un cône autour de la normale au contact.
Tant que Fi/j est à l’intérieur du cône d’adhérence, la vitesse de glissement au contact reste nulle.
Remarques
• F dépend de nombreux paramètres (matériaux, état de surface, lubrification…)
• Généralement φa > φg (explique des phénomènes de « broutage »)
• Ce modèle a un domaine de validité limité
ENSM-SE
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Ch. 10 Dynamique d’
d’un systè
système
115
2 – Résolution d’
d’un problè
problème par le PFD
Exemple pour 1 solide
Déséquilibre d’
d’une roue : Ecrire le PFD pour une roue S de masse M
 A -F -E 
Inertie : I ( O,S ) = -F B -D  . Position de son centre d’inertie G : cf. figure.


-E -D C Rr
0 C 


= 0 0 
Actions du moteur sur la roue S : Fmoteur/S
G
0 0 

R0
{
}
Liaisons parfaites. Le repère R0 lié au châssis est supposé galiléen.
y0
yr
y0
O
ENSM-SE
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x0 = xr
116
58
Ch. 10 Dynamique d’
d’un systè
système
2 – Résolution d’
d’un problè
problème par le PFD
PFD appliqué à un système
Rappel : nombre de paramè
paramètres d’
d’une liaison
Les liaisons normalisées peuvent être définies par la forme caractéristique de leur torseur.
Si on les considère comme parfaites, les liaisons présentent d paramètres cinématiques et
6-d degrés de liaison correspondant aux composantes du torseur d’effort dans la liaison.
{ }
Exemple : liaison pivot glissant d’axe x : Vi j
Oi
•


0 0 
ωx x 


=  0 0 et {Fi/j} = R y My 
Oi
 0 0
R M 
 z z R j

R
i
Bilan des équations et inconnues
Première étape importante afin d’entreprendre de manière efficace la résolution du problème.
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Ch. 10 Dynamique d’
d’un systè
système
117
2 – Résolution d’
d’un problè
problème par le PFD
PFD appliqué à un système – Bilan inconnues/équations
Le système contient M=Σ
M=Σmij paramè
paramètres ciné
cinématiques
Les M paramètres cinématiques sont reliés par
N équations de liaisons de type géométrique ou cinématique
mc est le nombre de paramè
paramètres ciné
cinématiques indé
indépendants
L=Σ
L=Σlij est le nombre de paramètres dynamiques (efforts de
liaison)
On applique à chaque solide la PFD, soit un total de 6P
équations
BILAN
6P équations de dynamique
N équations de liaisons
mc paramètres cinématiques indépendants
L paramètres dynamiques
Systè
Système soluble si le rang du systè
système de 6P+N équations = M + L
ou, de maniè
manière équivalente, si le rang des 6P équations = mc + L
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Ch. 10 Dynamique d’
d’un systè
système
2 – Résolution d’
d’un problè
problème par le PFD
PFD appliqué à un système
Notion d’
d’hyperstaticité
hyperstaticité
• Système isostatique (ou isodynamique)
6P – (mc + L) = 0
Tous les paramètres peuvent être déterminés par les lois de la mécanique.
• Système hyperstatique
6P – (mc + L) < 0
Les seules lois de la dynamique ne suffisent pas à déterminer toutes les paramètres.
Il faut faire appel à d’autre équations (exemple : mécanique des solides déformables)
• Exemple : pompe à barillet
6P = 12 et mc + L = 12
• Autre exemple :
A
ENSM-SE
B
R x Mx 


+ {Fext/1}A = R y My 
R M 
 z z
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d’un systè
système
119
3 – Détermination des lois de mouvement
Pourquoi dé
déterminer les lois de mouvement
Au travers de l’étude dynamique d’un système, la détermination des lois de
mouvements est un des objectifs principaux (un autre objectif important est de
déterminer les efforts de liaison).
Intérêt : par exemple, étudier la stabilité d’un véhicule, déterminer les modes de
vibration d’un système…
Choix du systè
système minimum d’é
d’équations
’équations
Si l’on souhaite uniquement les lois temporelles d’évolution des paramètres
cinématiques (toutes les inconnues ne nous intéressent pas)
ALORS un nombre restreint d’équations est suffisant. Pas besoin des 6P équations.
Il faut faire le bon choix d’équations parmi les 6P+N équations disponibles…
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120
60
Ch. 10 Dynamique d’
d’un systè
système
3 – Détermination des lois de mouvement
Mécanisme en chaîne ouverte
y
Exemple : pendule d’
d’Euler
y0,1
A
Hypothèse : mécanisme plan
θ
• Graphe des liaisons…
• Bilan inc/eq…
x1
x2
• Ecriture du PFD…
Le système {1+2} et chacun des systèmes {1} et {2} doivent vérifier le PFD
• Quelles sont les équations nécessaires à la détermination des lois de mouvement ?
Méthode pour le choix du systè
système minimum
Choix des équations qui mettent en évidence les efforts de liaisons nuls.
Choix facile à effectuer à partir du graphe des liaisons.
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d’un systè
système
121
3 – Détermination des lois de mouvement
Mécanisme en chaîne fermée
Méthode pour le choix du systè
système minimum (exemple bielle manivelle)
0
1
θ1
θ2
2
0
x
1
θ1
θ2
2
+ équations de
liaison
x
3
3
Système minimum (mécanisme plan) :
- Equations de liaison (1 équation vectorielle) : 2
- 3 équations de dynamique
0
1
2
3
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61
Ch. 11 Energé
Energétique
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Ch. 11 Energé
Energétique
123
1 – Puissance
Puissance des actions appliquées à une particule élémentaire
Soit une particule M en mouvement par rapport à Ri. La puissance
développée au cours de son mouvement est donnée par le scalaire :
P i (M) = R.Vi (M)
V i (M)
M
R
Unité normalisée : Watt (W)
Remarque à ne pas oublier : R ⊥ Vi (M) ⇒ P i (M)=0
V i (M)
M
R
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62
Ch. 11 Energé
Energétique
1 – Puissance
Puissance des efforts extérieurs appliqués à un solide indéformable
La puissance développée par des actions mécaniques extérieures appliquées à un
solide D par rapport à un repère Ri est égale à la somme des puissances développées
par chacune de ses particules
ici d• = dV
V i (P )
PDi → D = ∫ f (P ).Vi (P ) d•
f (P ) d•
P
D
Ri
En introduisant la relation
du champ des vitesses du solide :
PDi → D = ∫ f (P ). Vji ( A ) + PA ∧ Ωij d•
D
(
)
ici d• = dS
= ...
PDi → D = {FD →D }{Vji }
La puissance dé
développé
veloppée par un torseur d’
d’actions mé
mécaniques exté
extérieures appliqué
appliqué à un solide
est égale au comoment du torseur des actions mé
mécaniques par le torseur ciné
cinématique.
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125
1 – Puissance
Puissance développée dans une liaison intérieure à un système
Soient deux solides Si et Sj en mouvement par rapport à Rg et reliés par une liaison Lij.
La puissance dissipée par la liaison Lij est alors :
Sj
PLijg =  Vig (P ).R j→i+Ωig.M j→i (P ) +  Vjg (P ).Ri→ j+Ωgj .Mi→ j (P ) 

 

= ...
PLij = {Fj→i }{Vi j} = {Fj→i }{Vji }
Lij
Si
Rg
Remarques :
0
=
• Puissance indé
indépendante du repè
repère de ré
référence.
• Dans le cas gé
général, elle n’
n’est pas nulle !
• Cas particuliers où
: LIAISONS PARFAITES
où P
j
i
L
Puissance développée par les actions de cohésion de la matière :
Dans le cas des solides indé
indéformables,
formables,
Si*
Ri→i*
Pcohésion = 0
Mi→i*
Si
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Pcohésion = {Fcohésion }{Vi i* }
{V } =
i*
i
0
 
0
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63
Ch. 11 Energé
Energétique
2 – Travail
Travail élémentaire développé par une particule
Soit une particule M en mouvement par rapport à Ri. Le travail élémentaire développé
pendant un instant dt au cours de son mouvement est donné par le scalaire :
dWi (P ) = R.Vi (M) dt
dl = Vi (M) dt
R
P
Unité normalisée : Joule (J)
Travail des efforts extérieurs appliqué à un solide
Le travail développé entre les instants t1 et t2 par les actions mécaniques extérieures
appliquées à un solide D par rapport à un repère Ri est donné par :
t2
WDi → D =
∫ {F
D →D
}{V }
i
j
t1
Ri
P
dl
f (P ) d•
t2
t1
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Energétique
127
3 – Energie ciné
cinétique
Définitions
Energie cinétique élémentaire :
L’énergie cinétique du point P de masse dm par rapport à Rg est
représentée par la quantité scalaire :
1 2
T g (P ) = V g (P ) dm
2
V g (P )
P
dm
Energie cinétique d’un système Σ :
Tg (Σ ) =
1 g 2
V (P ) dm
2 ∫Σ
Remarque : la somme se fait de manière continue pour un solide ou bien
discrète pour un système de solides
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64
Ch. 11 Energé
Energétique
3 – Energie ciné
cinétique
Théorème de Koenig appliqué à l’énergie cinétique
V g (P )
Soit un solide Si en mouvement par rapport à Rg.
Rk un repère en translation et centré en G.
P dm
V g (P ) = Vk (P ) + Vkg (P )
2
⇒ V g (P ) = ...
MV g ( G)
G
Rk
Rg
T g ( Si ) = Tk ( Si ) +
1 g 2
MVk ( G)
2
Cas d’un solide ayant un point fixe
V g (P )
Soit un solide Si et un point fixe Oi par rapport à Rg.
MV g ( G)
P
V g (P ) = Ωig ∧ OP
i
G
⇒ T g ( Si )=...
Oi
T g ( Si ) =
Rg
1 g
Ωi .I ( Oi, Si ).Ωig
2
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Ch. 11 Energé
Energétique
129
3 – Energie ciné
cinétique
Théorème de Koenig pour un solide
Ωkg
MV g ( G)
De ce qui précède, il vient :
1 g 2
MVk ( Gi )
2
1
= Ωki .I ( Gi , Si ) .Ωki
2
T g ( Si ) = Tk ( Si ) +
et T ( Si )
k
G
Rk
Rg
T g ( Si )
1 1 2
= Ωik .I ( Gi , Si ) .Ωik + MVkg ( G)
2
2
Exemple : roue de vélo
y1
y0
x1
S1
x
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- Masse M
- Moment d’inertie de S1 par rapport à (G, z1) : C1
θ
x0
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65
Ch. 11 Energé
Energétique
4 – Thé
Théorè
orème de l’é
l’énergie
’énergie ciné
cinétique
Application à un système de solides
A partir d’un principe fondamental de la dynamique appliqué à chaque particule,
on multiplie chaque terme par le vecteur vitesse, il vient :
g
g
g
∫D f (P ).V (P ) d• = D∫ Γ (P ).V (P ) dm
Rg
P
2
d  g
d
1 g

= ∫
V (P )  .V g (P ) dm =
V (P )  dm
∫



dt g D  2

D dt g
V g (P )
f (P ) d•
En distinguant les actions intérieures à D et les actions extérieures à D :
g
Pint + Pext
=
d g
T (Σ)
dt
La variation d’é
d’énergie
’énergie ciné
cinétique galilé
galiléenne par rapport au temps égale la somme des puissances
galilé
galiléenne des actions mé
mécaniques inté
intérieures et exté
extérieures s’
s’exerç
exerçant sur le systè
système.
Remarque :
Solide indé
indéformable et liaisons parfaites ⇒ Pint = 0 :
ENSM-SE
g
Pext
=
d g
T (Σ)
dt
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