Modèle mathématique.

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UPVM Sciences THÈME N°2 : G.Lauton ; Y.Bourekh ; N.Gonzalez
DAEU-B MATHS NOMBRES RATIONNELS ET REELS 2008/2009
) FRACTIONS ET PROPORTIONNALITE [ ajout ]
Ex .1
1) Deux fontaines rempliraient un bassin : la première en 2 h. et la
seconde en 3 h. Un robinet placé à sa base le viderait en 4 heures.
a) Si l’on ouvre les 2 fontaines et que l’on ferme le robinet, quel est
le temps mis pour remplir le bassin ?
b) Si l’on ouvre les 2 fontaines et le robinet pendant 1 heure, quelle
est la fraction du bassin sera remplie ?
2) Deux ouvriers travaillant ensemble feraient un ouvrage en 20
heures. Le premier seul le ferait en 32 heures.
a) Quel serait le temps mis par le second pour réaliser cet ouvrage seul ?
b) Quelle fraction de l’ouvrage le premier fait-il de plus que le second ?
I) DECIMAUX ET RATIONNELS
Ex I.1
a) Le nombre
Error!
est-il décimal1 ?
b) Effectuer la division de 13 par 11. Donner une troncature2 au
millième du quotient, puis un arrondi au millième.
c) Peut-on prévoir quels seront les quinzième et vingtième chiffres
après la virgule si l’on poursuit la division de 13 par 11 ?
2) On considère le nombre a = 3,128282828….dont la partie
décimale se poursuit par une alternance sans fin de 2 et de 8.
a) Calculer la différence 1000 a – 10 a.
b) En déduire que le nombre a est un nombre rationnel3 que l’on
précisera.
Ex I.2
1) Citer 2 nombres entiers, 2 décimaux et 2 rationnels.
2) Le nombre 2 est-il décimal ? Est-il rationnel ? Pourquoi ?
3) Le nombre 3,55 est-il rationnel ? Pourquoi ?
4) Le nombre
Error!
est-il rationnel ? Est-il décimal ? Pourquoi ?
Compléter :
5) Un nombre entier est un aussi un nombre ………………………………………
et……………………………………………
Ainsi, l’ensemble des nombres entiers (noté ……………………..)
est ………………………… dans l’ensemble des nombres décimaux
(noté ……………………) qui est lui-même …………………………… dans
l’ensemble des nombres rationnels (noté ………………………….)
II) DES NOMBRES QUI NE SONT PAS RATIONNELS
Ex II.1 :
Connaissez-vous des nombres qui ne sont pas rationnels ?
Lesquels ? 2 est-il rationnel4 ?
On va montrer que 2 n’est pas rationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut
pas s’écrire sous la forme d’une fraction.
On va raisonner par l’absurde, et donc supposer que 2 peut
s’écrire sous la forme d’une fraction.
A) Question préliminaire
1) Si un nombre n est pair, son carré est-il pair ou impair ?
2) Même question si n est impair.
3) Si n2 est pair, que peut-on dire de n ? Justifier à l’aide de l’une
des questions précédentes.
B) Supposons qu’il existe 2 entiers p et q tels que 2 =
Error!
avec
Error!
irréductible, autrement dit p et q premiers entre
eux.
1) Démontrer dans ces conditions que p2 = 2q2 et en déduire que p
est pair. Expliquer pourquoi q est alors impair.
2) Puisque p est pair, notons k le nombre entier tel que p = 2k.
Démontrer que 2k2 = q2 et en déduire que q est pair.
3) En déduire que 2 est irrationnel.
Ex II.2 : Calculs de radicaux..
1) a) Calculer la hauteur d’un triangle équilatéral en fonction du
côté a du triangle.
b) Même question avec la diagonale d’un carré.
2) Écrire les nombres sous la forme a b (a Є Z, b Є ℕ)
a) 6 5 – 20 – 45 b) 3 3 + 5 12 - 75
3) Développer et réduire :
a) ( 2 + 3)2 b) ( 2 - 5)2 c) (2 5 + 6)(2 5 - 6)
4) Soit l’expression A(x) = (x - 3)2 – (x + 3)2, x Є ℝ
a) Développer A(x) b) Factoriser A(x) c) Calculer A( 5)
5) Montrer que
Error!
a pour inverse
Error!
6) Soit B = 3 + 2 2 - 3 - 2 2 C =
Error!
Montrer que B2 est un entier, et que C est un nombre rationnel.
L’ensemble des nombres réels est noté ………………………………
III) VALEUR ABSOLUE ET ENCADREMENT DANS ℝ
Activité III.1
1) On considère la droite graduée ci-dessous, où sont placés les points A(-7), B(5), C(-1), D(2) et O(0).

2
A C O D B
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Calculez les distances suivantes, en détaillant le calcul que vous avez effectué:
BD = ...... AB = ...... OD = ...... OC = ...... CD = ...... AC = ......
2) Toujours sur ce même axe gradué, on considère maintenant un point M d'abscisse variable x , noté M (x) . Calculez les distances
suivantes en fonction de x :
a) Si x < 5 , BM = ...... b) Si x > 5 , BM = ...... c) Si x = 5 , BM = ......
3) Procédez de même pour calculer, en fonction de x, la distance OM .
Cette distance entre le point M d'abscisse x et le point O d'abscisse 0 s'appelle la valeur absolue de x, notée ∣x∣ .
∣x∣ = x si ...... ∣x∣ = −x si ......
4) On considère maintenant un autre point fixe quelconque N (x0 ). Calculez la distance MN en fonction de x et de x0
Si x <x0 , MN = ...... Si x >x0 , MN = ...... Si x =x0 , MN = ......
Cette distance entre les points M d'abscisse x et N d'abscisse x0 s'exprime par la valeur absolue de x- x0, notée ∣x−x0∣ .
∣x−x0∣ = x−x0 si ...... ∣x−x0∣ = x0−x si ......
Ex III.2
Rappel : [a ;b] est l’ensemble des nombres réels qui sont compris entre a et b inclus.
Un intervalle fermé [a ;b] s’écrit aussi [c – r ; c + r] où c est le centre de l’intervalle et r est le rayon de l’intervalle.
1) Donner les valeurs de c et de r dans le cas où l’intervalle est [1 ; 3]. Même question pour l’intervalle [ - 2 ; + 3]
2) Cas général : Donner les expressions de c et de r dans le cas où l’intervalle est [a ;b]
3) Soit l’intervalle I : ∣x ∣ ≤ 2 intervalle J : ∣x – 9 ∣ ≤ 4 intervalle K : ∣x – 8 ∣ ≤ 6
a) Figurer sur l’axe gradué ci-dessous les intervalles correspondant à : I, J et K.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
b) Exprimer sous la forme : ∣x – c ∣ ≤ r les intervalles I∩ J, I ∩ K, J ∩K et I ∩ J ∩ K.
4) Même question pour I = [3 ;6], J = [5 ; 8] et K = I ∩ J
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5) Même question avec I : ∣x + 4 ∣ < 2 J : ∣x - 1 ∣ < 5 K : ∣3x + 5 ∣ < 2
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
VOCABULAIRE
1Nombre décimal : C’est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres derrière la virgule, autrement dit que s’écrit sous la
forme a × 10p (où a et p sont des entiers relatifs).
2Troncature : C’est une valeur approchée d’un nombre ; pour avoir une troncature on « coupe » de la partie décimale d'un nombre à un
certain nombre de chiffres après la virgule. Par exemple, la troncature de 12,2687 au dixième est 12,2, et la troncature de 12,2687 au
centième est 12,26.
3Nombre rationnel : C’est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs.
4Un peu d’histoire….Pythagore avait découvert que certains segments ne sont pas mesurables, au sens où on l’entendait à l’époque. Ainsi,
on ne savait pas exprimer, sous forme de fraction, la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1, ce nombre que l’on note aujourd’hui 2.
Ces nombres nouveaux, appelés de nos jours irrationnels, ont posé beaucoup de problèmes aussi bien scientifiques que philosophiques aux
mathématiciens de l’époque et il a fallu attendre le IXème siècle (environ 1500 ans après Pythagore) pour qu’on les considère comme de
vrais nombres. Pythagore, effrayé par sa découverte, a gardé ses résultats secrets, réservés à de rares initiés. Ce n’est pas le cas
d’Euclide qui, lui, a transmis son héritage scientifique dans ses Eléments (13 volumes) où se mêlent géométrie et arithmétique. Les
éléments d’Euclide constituent le livre le plus édité (800 éditions) après la Bible !