FONCTIONS D`UNE VARIABLE RÉELLE I. Continuité Généralités

FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE
I. Continuité
Généralités sur les fonctions
1) Soit f une fonction numérique réelle définie dans un intervalle I de R. Pour que f soit non monotone, il
faut et il suffit qu’il existe des éléments a, b, c de I tels que a < b < c et
f (a) − f (b) f (b) − f (c) < 0.
2) Soit I un intervalle de R. Déterminer les applications croissantes f de I dans I telles que f ◦ f = IdI .
3) Démontrer qu’il n’existe pas de fonction numérique réelle strictement monotone dans R dont l’ensemble
des valeurs soit R \ {0}.
4) L’ensemble R2 est muni de sa structure de plan affine canonique. Vérifier que le graphe d’une fonction
polynomiale réelle de degré 3, définie dans R, admet un centre de symétrie. (Se servir de la forme canonique
de sa dérivée.)
5) Soit f une fonction numérique réelle périodique définie dans R.
a) Si f est monotone alors f est constante.
b) Si la fonction numérique réelle g: x 7→ f (x)/x définie dans ]0, +∞[ est monotone alors f est constante.
6) Soit f la fonction numérique réelle définie dans R par la relation f (x) = 1 + x − x/(1 + |x|). Démontrer
que f est lipschitzienne pour 1 mais qu’elle ne l’est pour aucun nombre réel k < 1 (autrement dit, qu’elle
n’est pas contractante).
p
√
√
1 + |x|, x 7→ 1 + cos x, x 7→ 1 + x2 sont
7) Démontrer que les fonctions numériques réelles x 7→
lipschitziennes dans R. Déterminer pour chacune d’elles le plus petit nombre réel pour lequel elle est lipschitzienne.
8) L’inverse d’une fonction numérique réelle lipschitzienne minorée par un nombre réel > 0 est lipschitzienne.
9) Soit f une fonction numérique réelle définie dans R périodique de période 1. Si la restriction de f à
l’intervalle fermé [0, 1] est lipschitzienne pour un nombre réel C alors f est lipschitzienne pour C.
10) Toute fonction numérique réelle lipschitzienne dans un intervalle I de R pour un nombre réel k > 0 est
la différence de deux fonctions croissantes dans I, lipschitziennes pour k.
11) Soit f une fonction numérique réelle définie dans un intervalle I de R. On suppose qu’il existe un nombre
réel C tel que pour tout couple (x, x0 ) d’éléments de I, on a
|f (x) − f (x0 )| 6 C|x − x0 |2 .
Démontrer que f est constante.
Limite et continuité
12) a) Déterminer les fonctions numériques réelles f définies dans R, continues au point 0 et telles que pour
tout nombre réel x, on ait f (2x) = f (x).
b) Déterminer les fonctions numériques réelles f définies dans R, ayant une limite aux bornes de R, telles
que pour tout nombre réel x, on ait f (2x) = f (x).
13) Trouver les fonctions numériques réelles f définies dans l’ensemble des nombres réels positifs et continues
en 0, telles que
x
x
+
f (x) = f
2
(x + 1)(x + 2)
pour tout nombre réel x > 0.
1
14) a) Déterminer les fonctions numériques réelles f définies dans R continues au point 0 qui satisfont à la
relation f (x + y) = f (x) + f (y) pour tout couple (x, y) de nombres réels. (Calculer f (nx) si n est un entier
naturel n puis si n est un entier relatif, enfin si n est un nombre rationnel. Remarquer ensuite que f est
continue à tout point a de R, et conclure en utilisant le fait que tout nombre réel est la limite d’au moins
une suite convergente de nombres rationnels.)
b) Déterminer les fonctions numériques réelles f définies dans R continues au point 0 qui satisfont à la
relation f (x + y) = f (x)f (y) pour tout couple (x, y) de nombres réels.
c) Déterminer les fonctions numériques réelles définies dans R continues au point 0 qui satisfont à la relation
f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy pour tout couple (x, y) de nombres réels.
15) Für die Funktion f : R → R gelte f (0) = 1 sowie
f (x + y) ≤ f (x)f (y) für alle x, y ∈ R.
Man zeige: Ist f im Nullpunkt stetig, so ist f auf ganz R stetig.
[Soit f un fonction numérique réelle telle que f (0) = 1 et f (x + y) 6 f (x)f (y) pour tout couple (x, y) de
nombres réels. Si f est continue en 0 alors elle est continue dans R.]
[W. Walter, Analysis, I, Kapitel 6, Aufgabe 9 S. 130]
16) Soit f une fonction numérique réelle périodique définie dans R. Démontrer que si f admet une limite
en +∞ alors elle est constante.
17) Soit f la fonction numérique réelle définie dans R par la relation f (x) = 0 si x est un nombre irrationnel
et par la relation f (x) = 1/q si x est le nombre rationnel p/q écrit sous la forme d’une fraction irréductible
telle que q soit > 0.
a) Vérifier que f est périodique et bornée.
b) Démontrer que f admet une limite à droite (resp. une limite à gauche) nulle en tout point de R. (Si x est
un nombre rationnel, construire une suite (xn )n∈N de nombres irrationnels convergente vers x, et étudier la
convergence de la suite (f (xn ))n∈N . Si x est un nombre irrationnel, on remarquera que pour tout nombre
réel ε > 0, l’ensemble des nombres rationnels r = p/q (écriture sous forme de fraction irréductible) tels que
x − 1 < r < x + 1 et 1/q > ε est fini.)
c) En déduire que f est continue en tout nombre irrationnel et discontinue en tout nombre rationnel.
18) Soit f une fonction numérique réelle définie dans un intervalle borné I de R. Si f est lipschitzienne alors
f admet une limite finie à chaque borne de I.
19) On dit qu’un ensemble A est équipotent à un ensemble B s’il existe une application bijective de A sur B.
On admet que l’ensemble RN des suites de nombres réels est équipotent à R.
a) Démontrer que l’ensemble des nombres rationnels est équipotent à N.
b) En déduire que l’ensemble des fonctions numériques réelles continues dans R est équipotent à R. (On
pourra se servir du fait qu’une fonction numérique réelle continue dans R est nulle si sa restriction à l’ensemble
dénombrable des nombres rationnels est nulle.)
Théorème de la limite monotone
20) a) Soient I = [0, 1] et f une fonction numérique réelle croissante définie dans I à valeurs dans I. Démontrer
que f admet un point fixe, c’est-à-dire qu’il existe un élément x de I tel que f (x) = x.
b) Donner un exemple de fonction numérique réelle g décroissante définie dans I à valeurs dans I telle que
g(x) 6= x pour tout élément x de I.
On considère désormais le cas où I est un intervalle ouvert non vide de R.
c) Donner un exemple d’application croissante f de I dans I n’ayant pas de point fixe.
d) On suppose que f est une application croissante de I dans I sans point fixe. Que dire des limites de f aux
bornes de I ?
21) Soit f une fonction numérique réelle croissante définie dans l’ensemble I des nombres réels > 0. On
suppose que la fonction numérique réelle g définie dans I par la relation g(x) = f (x)/x est décroissante.
a) Démontrer que f est continue dans I.
b) Démontrer que f est positive.
2
Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème de Weierstraß
22) Soit f une application continue d’un intervalle ouvert I ⊂ R dans R ; montrer que si f (I) est ouvert et
−1
si, pour tout y ∈ R, l’ensemble f (y) a au plus deux points distincts, f est monotone.
[N. Bourbaki, Topologie générale, IV, § 6, exerc. 1 p. 55]
23) Soit f une fonction numérique réelle définie dans un intervalle I de R. On suppose que f est injective
et que l’image de tout intervalle de R contenu dans I est un intervalle. Démontrer que f est strictement
monotone. En particulier, f est continue.
24) Soit f une fonction numérique réelle majorée continue dans un intervalle non vide I de R. Étudier la
continuité de la fonction numérique réelle g définie dans I par la relation g(x) = supt6x f (t).
25) Soit f une fonction numérique réelle continue dans un intervalle I de R. On suppose qu’il existe un
polynôme non nul u à coefficients réels tel que pour tout élément x de I, u(f (x)) = 0. Démontrer que la
fonction f est constante.
26) On désigne par I l’intervalle [0, 1] de R. Soit f une fonction numérique réelle continue dans I à valeurs
dans I.
a) Vérifier que f admet un point fixe.
b) On suppose de plus que f ◦ f = f . Démontrer que l’ensemble des points fixes pour f est un intervalle
fermé borné de R.
c) Déterminer les applications g continues de I dans I telles que g ◦ g = g.
27) Soient I un intervalle de R et f une fonction numérique réelle continue dans I. Démontrer que s’il existe
un intervalle fermé borné non vide J de I tel que f (J) ⊃ J alors f admet un point fixe.
28) Soit f une fonction numérique réelle continue dans R et périodique de période 1. Démontrer que pour
tout nombre réel a, il existe un nombre réel x tel que f (x + a) = f (x).
29) Soit f une fonction numérique réelle continue dans l’intervalle fermé [0, 1] de R. On suppose que f (0) =
f (1).
a) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, il existe un élément x de I tel que f (x + 1/n) = f (x).
b) Soient s, t des éléments de I tels que s + t = 1. Démontrer qu’il existe un élément x de I tel que
f (x + s) = f (x) ou f (x + t) = f (x).
30) Soit E l’ensemble des fonctions numériques réelles f continues dans l’intervalle fermé I = [0, 1] de R
telles que f (0) = f (1). Pour tout élément f de E, on désigne par T(f ) l’ensemble des nombres réels t > 0
pour lesquels il existe un élément x de I tel que f (x) = f (x + t). On note aussi T∞ l’intersection de la famille
(T(f ))f ∈E .
a) Démontrer que T∞ est une partie compacte de R et qu’elle contient l’ensemble T0 des nombres 1/n pour
les entiers naturels n > 0.
b) Pour tout élément f de E, il existe un nombre réel ε > 0 tel que l’intervalle fermé [0, ε] soit contenu
dans T(f ).
c) Démontrer que T∞ est l’adhérence de T0 dans R.
31) Soit f une fonction numérique réelle continue dans un intervalle I de R. On suppose que pour tout
nombre réel y, l’ensemble Ay des éléments x de I tels que f (x) = y est fini.
a) Donner un exemple de fonction numérique réelle g continue dans un intervalle de R telle que pour tout
nombre réel λ, l’équation g(x) = λ a un nombre pair de solutions.
On suppose désormais que I est un intervalle fermé borné [a, b].
b) On suppose f (a) 6= f (b). Démontrer qu’au moins un des ensembles Ay est de cardinal impair. La même
conclusion subsiste-t-elle dans le cas où f (a) = f (b) ?
c) On suppose que tous les ensembles Ay sont de cardinal impair. La fonction f est-elle strictement monotone ?
3
32) Pour tout entier naturel n non nul, on désigne par fn la fonction numérique réelle x 7→ xn + xn−1 + · · · +
x2 + x + 1 définie dans l’ensemble I des nombres réels > 0.
a) Vérifier que pour tout entier naturel n non nul, l’équation fn (x) = 2 possède une unique solution réelle.
Soit (xn )n>1 la suite de nombres réels positifs définie par la relation fn (xn ) = 2.
b) Démontrer que la suite (xn )n>1 est strictement monotone et convergente. Préciser sa limite ω.
c) Donner un équivalent simple de xn − ω quand n croı̂t indéfiniment.
33) Soient I un intervalle compact de R et f une application continue de I dans I. Pour tout entier naturel n,
f n est l’application de I dans I définie par récurrence comme suit : f 0 est l’application identique de I et
f n = f ◦ f n−1 pour tout entier naturel n non nul.
a) Si f et f 2 ont les mêmes points fixes alors f (x) − x et f 2 (x) − x ont le même signe pour tout élément x
de I.
b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur les points fixes de f et ceux de f 2 pour que la suite
(f n (x))n∈N soit convergente pour tout élément x de I.
Continuité uniforme. Théorème de Heine
34) Soit f une fonction numérique réelle définie dans un intervalle borné I de R. Si f est uniformément
continue alors f est bornée.
35) Soit f une fonction numérique réelle continue dans un intervalle I de R.
a) On suppose qu’une borne c de I est finie. Si f est uniformément continue alors elle a une limite finie au
point c. (Utiliser le fait qu’une suite de nombres réels est convergente si et seulement si elle est de Cauchy.)
b) On suppose I borné. Pour que f soit uniformément continue, il faut et il suffit qu’elle admette une limite
finie à chacune des bornes de I.
36) La fonction numérique réelle f définie dans R par la relation f (x) = sin(x2 ) est-elle uniformément
continue ?
37) Soit f une application continue de R dans lui-même.
a) Montrer que si f est uniformément continue dans R, il existe deux nombres réels α > 0, β > 0 tels que
|f (x)| 6 α|x| + β pour tout x ∈ R.
b) Montrer que si f est monotone et bornée dans R, f est uniformément continue dans R.
[N. Bourbaki, Topologie générale, IV, § 6, exerc. 14 p. 58]
38) Soit f une fonction numérique réelle définie dans un intervalle I de R. Démontrer que f est uniformément
continue si et seulement si pour tout nombre réel ε > 0, il existe un nombre réel C > 0 tel que pour tout
couple (x, x0 ) d’éléments de I, on a |f (x) − f (x0 )| 6 C|x − x0 | + ε.
Fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone
39) a) Calculer l’image de l’application f : x 7→ 1/(1 − x) de l’intervalle [0, 1[ dans R.
b) Soient a, b des nombres réels tels que a < b. Vérifier que l’application g: x 7→ 1/(a − x) + 1/(b − x) de
l’intervalle ]a, b[ dans R est bijective. Calculer l’application réciproque.
40) Soient I, J des intervalles de R et f une fonction numérique réelle définie dans I à valeurs dans J.
a) On suppose que f est surjective. Démontrer que si f est monotone alors f est continue dans I.
b) On suppose que f est bijective. Démontrer que f est continue si et seulement si f est monotone.
41) Soit f une fonction numérique réelle continue dans R. On suppose que pour tout nombre réel x, f ◦f (x) =
2f (x) − x.
a) Vérifier que f est bijective et croissante.
b) Donner l’expression de f ◦ f ◦ f ◦ f (x) en fonction de f et de x.
c) Démontrer que pour tout nombre réel x, f (x) − f (0) − x est nul ou a le même signe que x.
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42) Soit f une fonction numérique réelle continue dans R. On suppose qu’il existe un nombre réel c tel que
pour tout nombre réel x, f ◦ f (x) = x + c.
a) Vérifier que dans le cas c est non nul, il existe un nombre réel λ 6= 0 tel que la fonction f˜: x 7→ λ−1 f (λx)
satisfasse à la relation f˜ ◦ f˜(x) = x + 1.
On suppose c = 1.
b) Vérifier que f n’a pas de point fixe. En déduire que f ne peut être strictement décroissante.
c) Démontrer que la fonction fˆ: x 7→ f (x) − x définie dans R est périodique et que ses valeurs sont > 0.
d) Établir la double inégalité 0 < f (0) < 1 et démontrer que f est bien déterminée par sa restriction φ à
l’intervalle [0, f (0)]. Que vaut φ(f (0)) ?
e) Soient a un nombre réel tel que 0 < a < 1 et ψ une fonction numérique réelle strictement croissante
continue dans [0, a] telle que ψ(0) = a et ψ(a) = 1. Existe-t-il un prolongement g de ψ à R, continu, tel que
g ◦ g(x) = x + 1 pour tout nombre réel x ?
On suppose c = 0.
f ) Vérifier que s’il existe un nombre réel x tel que f (x) > x alors f admet un point fixe entre x et f (x).
g) Si f est croissante alors f est l’application identique de R.
h) Si f est décroissante alors elle admet un unique point fixe, a, et sa restriction à l’intervalle ouvert ]a, +∞[
induit une application bijective strictement décroissante de ]a, +∞[ sur ]−∞, a[. Étudier la réciproque.
i) Déterminer les fonctions numériques réelles f continues dans R pour lesquelles il existe un nombre réel c
tel que pour tout nombre réel x, f ◦ f (x) = x + c.
43) Soient I = ]a, b[ un intervalle ouvert de R (−∞ 6 a < b 6 +∞) et g une application continue strictement
croissante de I dans I. On suppose que pour tout élément x de I, on a g(x) > x et que g(a+) > a.
a) Vérifier que g(a+) appartient à I et calculer g(b−).
b) Déterminer les applications continues f de I dans I telles que f ◦ g = g ◦ f .
44) Soit f une application de R dans lui-même telle que pour tout nombre réel x, f ◦ f (x) = −x. Démontrer
que f admet au moins trois points de discontinuité.
II. Dérivation
Dérivabilité
45) Soient λ, µ des nombres réels. On suppose λ différent de 0 et de 1. Déterminer les fonctions numériques
réelles f dérivables dans R telles que pour tout nombre réel x, f ◦ f (x) = λx + µ. (Traiter d’abord le cas où
µ = 0.)
46) Soit f une fonction numérique réelle définie dans R, continue au point 0. Démontrer que f est dérivable
en 0 si et seulement si (f (2x) − f (x))/x a une limite finie quand x tend vers 0.
Théorèmes de Rolle et des accroissements finis
47) Soit f une fonction numérique réelle définie dans un intervalle I de R.
a) Soit a un point intérieur à I. On suppose que f est dérivable au point a. Démontrer que le rapport
f (a + s) − f (a − t)
s+t
tend vers f 0 (a) lorsque le couple (s, t) de nombres réels strictement positifs tend vers (0, 0). Étudier la
réciproque.
Dans le cas où a est un point quelconque de I, considérer la situation où la limite porte sur les couples (s, t)
de nombres réels positifs non tous deux nuls.
b) On suppose dans cette question que f est définie dans R par les relations f (x) = x2 sin(1/x) pour x 6= 0
et f (0) = 0. Vérifier que f est dérivable dans R mais que le rapport (f (u) − f (v))/(u − v) ne tend pas
vers f 0 (0) quand le couple (u, v) de nombres réels strictement positifs distincts tend vers (0, 0).
c) On suppose la fonction f continûment dérivable. Démontrer que pour tout point a de I, le rapport
(f (u) − f (v))/(u − v) a une limite finie quand le couple (u, v) d’éléments de I distincts et tous deux > a ou
tous deux < a tend vers (a, a). Étudier la réciproque.
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48) Soient a un nombre réel et f une fonction numérique réelle continue dans l’intervalle fermé [a, +∞[ et
dérivable en tout point > a. Si f a une limite en +∞ égale à f (a) alors il existe un nombre réel c > a tel
que f 0 (c) = 0.
49) Soient a et b des nombres réels tels que a < b, f une fonction numérique réelle continue dans [a, b] et
dérivable dans ]a, b[ telle que f (a) = f (b) = 0. Démontrer que pour tout nombre réel ξ tel que ξ < a ou
ξ > b, il existe une tangente au graphe de la fonction f qui passe par le point (ξ, 0) de R × R.
50) Soit f une fonction numérique réelle continue dans l’intervalle fermé [a, b] (a < b), dérivable en tout point
de l’intervalle ouvert ]a, b[. On suppose que f 0 (a) = 0 et f (a) = f (b). Démontrer qu’il existe un point c de
]a, b[ tel que f 0 (c) = (f (c) − f (a))/(c − a). (Interpréter géométriquement cette propriété sur le graphe de f .)
51) Soit f une fonction numérique réelle dérivable dans l’intervalle fermé I = [a, b] de R telle que f 0 (a) = f 0 (b).
Démontrer qu’il existe un point c de ]a, b[ tel que
f 0 (c) =
f (c) − f (a)
.
c−a
(Étudier les variations de la fonction φ continue dans I telle que f (x) = f (a) + (x − a)φ(x) pour a 6 x 6 b.)
52) Soient a, b des nombres réels tels que a < b et f une fonction numérique réelle dérivable dans un intervalle
I = [a, b[ de R.
a) On suppose que f 0 a une limite finie au point b. Démontrer que f a aussi une limite finie au point b.
b) On suppose que f 0 (b−) = +∞. La fonction f a-t-elle une limite infinie au point b ?
c) On suppose que f (b−) = +∞. La fonction f 0 a-t-elle une limite infinie au point b ?
53) Soit f une fonction numérique réelle dérivable dans un intervalle non majoré I de R.
a) On suppose que f 0 a une limite infinie en +∞. Démontrer que f a aussi une limite infinie en +∞.
b) On suppose que f est bornée au voisinage de +∞. Démontrer que si f 0 a une limite en +∞ alors cette
limite est nulle.
c) Donner un exemple d’une fonction numérique réelle g dérivable dans I telle que g ait une limite finie
en +∞ et que g 0 n’ait pas de limite en +∞.
54) Trouver toutes les solutions définies dans R de l’équation différentielle tx0 = t + x.
55) Soient a, b des nombres réels > 0 et f une fonction numérique réelle continue dans [−a, a] × [−b, b]. On
suppose que pour tout élément (t, x) de [−a, a] × [−b, b], on a f (t, x) < 0 si tx > 0 et f (t, x) > 0 si tx < 0.
Démontrer que la fonction nulle est l’une unique solution définie dans le segment [−a, a] du problème de
Cauchy x(0) = 0 attaché à l’équation différentielle x0 = f (t, x).
Dérivées successives
56) Pour tout entier naturel n, soit fn la fonction numérique réelle définie dans l’ensemble I des nombres
(n+1)
réels > 0 par la relation fn (x) = xn ln x. Établir la formule xfn
(x) = n! pour tout entier naturel n et
tout nombre réel x > 0.
57) Pour tout entier naturel n, soit fn la fonction numérique réelle définie dans l’intervalle ouvert I = ]−1, 1[
par la relation
fn (x) = (1 − x2 )n+1/2 .
Démontrer que fn est n fois dérivable dans I et que l’on a
(n + 1)fn(n) (x) = (−1)n 1 · 3 · 5 · · · (2n + 1) sin (n + 1) Arc cos(x)
pour tout élément x de I.
6
58) D’après la formule des accroissements finis généralisée, si f et g sont des fonctions numériques réelles
continues dans un segment [a, b] de R et dérivables dans ]a, b[ et si g 0 ne s’annule pas alors il existe un point c
de l’intervalle ouvert ]a, b[ tel que
f (b) − f (a)
f 0 (c)
= 0 .
g(b) − g(a)
g (c)
Soient r un entier naturel ou le symbole ∞ et f , g des fonctions numériques réelles de classe Cr dans un
intervalle I de R.
a) Soient n un entier naturel < r et a un point de I. On suppose que la fonction g (n+1) ne s’annule pas
dans I et que pour tout entier naturel non nul k 6 n, on a f (k) (a) = g (k) (a) = 0. Démontrer que pour tout
élément x 6= a de I, il existe un nombre réel θ tel que 0 < θ < 1 et
f (x) − f (a)
f (n+1) (c)
= (n+1)
g(x) − g(a)
g
(c)
où c = (1 − θ)a + θx.
b) Soient n un entier naturel < r et a un point de I. Déduire de la question précédente que pour tout
élément x de I, il existe un nombre réel θ tel que 0 < θ < 1 et
f (x) = f (a) + f 0 (a)
x−a
(x − a)2
(x − a)n
(x − a)n+1
+ f 00 (a)
+ · · · + f (n) (a)
+ f (n+1) (c)
1!
2!
n!
(n + 1)!
où c = (1 − θ)a + θx (formule de Taylor d’ordre n au point a avec reste de Lagrange).
c) On suppose maintenant r > 3. Soient a, b des points de I tels que a < b. Démontrer qu’il existe un point c
de I tel que a < c < b et
f (b) − f (a) =
1
2
f 0 (a) + f 0 (b) · (b − a) −
1 000
12 f (c)
· (b − a)3 .
(Appliquer la formule des accroissements finis généralisée à la fonction numérique réelle h définie dans I par
la relation h(x) = f (x) − f (a) − 12 (f 0 (a) + f 0 (x)) · (x − a). La formule obtenue permet d’estimer l’erreur due
à la méthode des trapèzes dans le calcul d’une valeur approchée d’une intégrale.)
d) On suppose encore r > 3. Soient a, b des points de I. Démontrer qu’il existe un nombre c compris entre a
et b tel que
1 000
f (b) − f (a) = f 0 12 (a + b) · (b − a) + 24
f (c) · (b − a)3 .
(Considérer la fonction u définie dans l’intervalle [0, 1] par la relation u(t) = f ( 12 (1 − t)a + 12 (1 + t)b) −
f ( 12 (1 + t)a + 12 (1 − t)b) − t(b − a)f 0 ( 12 (a + b)).)
Fonctions convexes
59) Soit f une fonction numérique convexe et strictement monotone dans un intervalle ouvert I ⊂ R ; soit g
la fonction réciproque de f (définie dans l’intervalle f (I)). Montrer que si f est décroissante (resp. croissante)
dans I, g est convexe (resp. concave) dans f (I)
[N. Bourbaki, Fonctions d’une variable réelle, I, § 4, exerc. 14 p. 52]
60) Soit f une fonction numérique réelle convexe définie dans un intervalle I de R.
a) Dans le cas où I est non majoré de R, si f admet une limite finie ou égale à −∞ en +∞ alors f est
décroissante.
b) Dans le cas général, la fonction f a une limite à droite (resp. à gauche) à la borne inférieure (resp.
supérieure) de I.
61) Soit f une fonction numérique réelle continue dans un intervalle ouvert I de R. Pour que f soit convexe,
il faut et il suffit que par tout point du graphe de f passe au moins une droite située sous ce graphe.
7
62) Soient I un intervalle ouvert de R et f une fonction numérique réelle continue dans I. On suppose que
pour tout élément x de I
f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)
h2
a une limite finie notée D2s f (x) lorsque h tend vers 0 en restant > 0.
a) Démontrer que si D2s f (x) est un nombre > 0 pour tout élément x de I alors f est strictement convexe.
(Raisonner par l’absurde.)
b) Démontrer que si D2s f (x) = 0 pour tout élément x de I alors f est affine. (Considérer les fonctions
x 7→ f (x) + εx2 pour les nombres réels ε > 0.)
63) Soit f une fonction numérique réelle continue dans un intervalle ouvert I de R à valeurs > 0.
a) On suppose que pour tout élément x de I et tout nombre réel h tel que x + h et x − h appartiennent à I,
on a
f (x + h)f (x − h) > f (x)2 .
Démontrer que la fonction x 7→ ln f (x) définie dans I est convexe.
b) Étudier la réciproque.
64) Soient a, b, c des nombres réels > 0 tels que abc = 1. Démontrer l’inégalité
a
b
c
3
+
+
> .
b+c c+a a+b
2
Préciser les cas d’égalité.
65) Let a, b, c be positive real numbers such that abc = 1. Prove that
1
1
1
3
+ 3
+ 3
≥ .
+ c) b (c + a) c (a + b)
2
a3 (b
(Thirty-Sixth International Mathematical Olympiad, 1995/2.)
66) Soient α un nombre réel et x un nombre réel non nul > −1.
a) Dans le cas où α est < 0 ou > 1, on a 1 + αx < (1 + x)α < 1 + αx(1 + x)α−1 .
b) Dans le cas où 0 < α < 1, on a 1 + αx(1 + x)α−1 < (1 + x)α < 1 + αx.
c) On suppose 0 < x < 1 ou x > 1. Comparer xα à (1 − α) + αx.
d) Application. — Soient a, b des nombres réels > 0. Établir l’inégalité ab > a/(a + b − ab) dans le cas où
a 6= 1 et 0 < b < 1. En déduire dans le cas général la relation ab + ba > 1.
67) Soit f une fonction numérique réelle convexe définie dans l’ensemble I des nombres réels > 0.
a) Démontrer que f a une limite à droite au point 0.
b) À quelle condition nécessaire et suffisante sur f (0+) la fonction g: x 7→ f (x)/x définie dans I est-elle
croissante ?
c) Dans le cas général, peut-on préciser les variations de g ?
68) Soit f une fonction numérique réelle convexe définie dans l’ensemble I des nombres réels > 0.
a) Vérifier que la fonction numérique réelle g: x 7→ f (x)/x définie dans I a une limite a en +∞.
b) Démontrer que si f est dérivable alors f 0 admet aussi a pour limite en +∞.
c) On suppose que cette limite est finie. Démontrer que f (x) − ax a une limite quand x tend vers +∞.
69) Soit f une fonction numérique réelle dérivable dans un intervalle I de R. On suppose f 0 lipschitzienne
pour un nombre réel M.
a) Soit ε l’un des nombres 1, −1. Vérifier que la fonction x 7→ 21 Mx2 − εf (x) définie dans I est convexe.
b) En déduire que pour tout couple (a, b) d’éléments de I et tout nombre réel λ tel que 0 6 λ 6 1, on a
(1 − λ)f (a) + λf (b) − f (1 − λ)a + λb 6 1 Mλ(1 − λ)(b − a)2 .
2
c) Démontrer que pour tout couple (a, x) d’éléments de I, on a |f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a)| 6 12 M(x − a)2 .
8
Formules de Taylor
70) Soit x un nombre réel tel que 0 6 x 6
x−
π
2.
Alors on a
x3
x3
6 sin x 6 x −
cos x.
6
6
71) Soient f une fonction numérique réelle définie dans un intervalle I de R et a un point de I. On suppose
que f est dérivable au voisinage de a. Soit n un entier naturel non nul.
a) Si f 0 (x) = o((x − a)n−1 ) quand x tend vers a alors f (x) = f (a) + o((x − a)n ) quand x tend vers a.
b) Si f admet une dérivée d’ordre n au point a (c’est-à-dire si f est n − 1 fois dérivable au voisinage de a et
si f (n−1) est dérivable au point a) alors le reste de la formule de Taylor d’ordre n au point a est négligeable
devant la fonction x 7→ (x − a)n au voisinage de a.
72) Soit f une fonction deux fois continûment dérivable dans [0, 1] telle que f (0) = 0 et f 0 (1) = 0. On
note M2 la borne supérieure de la fonction |f 00 |.
a) Soit ξ un point de ]0, 1[. Soient k un nombre réel et g la fonction numérique réelle définie dans [0, 1] par
la relation g(x) = f (x) + kx(2 − x). On suppose que g(ξ) = 0. En appliquant le théorème de Rolle à la
fonction g puis à la fonction g 0 , démontrer que 2k est une valeur de f 00 .
b) En déduire que pour tout élément x de [0, 1], on a
|f (x)| 6
M2
x(2 − x).
2
73) Soient f une fonction numérique réelle de classe Cr dans un intervalle I de R et a un élément de I.
Soient p, n des entiers naturels tels que 1 6 p 6 n < r. Démontrer que pour tout élément x de I, il existe un
nombre réel θ tel que 0 < θ < 1 et
f (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
(x − a)p (x − ξ)n+1−p
(x − a)k
+ f (n+1) (ξ)
k!
p · n!
où ξ = (1 − θ)a + θx (Schlömilch, Handbuch der Differential- und Integralrechnung,  — le cas où p = 1
est dû à Augustin-Louis Cauchy).
74) a) Soit u une fonction numérique complexe de classe C2 dans l’intervalle fermé I = [0, 1] de R. On note M
la borne supérieure de |u00 |. On suppose que u(0) = u(1) = 0. Démontrer les inégalités
|u(t)| 6
M
t(1 − t),
2
|u0 (t)| 6
M 2
t + (1 − t)2
2
pour tout élément t de I. (On pourra voir u(t) et u0 (t) comme des inconnues dans un système linéaire à deux
équations.)
b) Les inégalités précédentes sont-elles optimales ? (On étudiera pour chacune d’elles le cas d’égalité pour
une valeur de t telle que 0 < t < 1.)
c) Soient a, b des nombres réels tels que a < b et f une fonction numérique complexe de classe C2 dans
l’intervalle fermé [a, b] telle que f (a) = f (b) = 0. Établir les inégalités
|f (x)| 6
K
(x − a)(b − x),
2
|f 0 (x)| 6
K (x − a)2 + (b − x)2
·
2
b−a
où K désigne la borne supérieure de |f 00 |.
75) Soit f une fonction numérique réelle deux fois continûment dérivable dans l’intervalle fermé I = [0, 1]
telle que f (0) = 0 et f 0 (1) = 0. On note M2 la borne supérieure dans I de |f 00 |.
a) Démontrer l’inégalité
Z 1
1
6 M2 .
f
(x)
dx
3
0
9
(On pourra commencer par établir pour tout élément x de I l’inégalité |f (x)| 6 21 M2 x(2 − x).)
b) Déterminer les fonctions f pour lesquelles l’inégalité précédente est une égalité.
c) On suppose de plus que f (1) = 0. Déterminer le plus petit nombre réel C indépendant de f tel que pour
tout élément x de I, |f (x)| 6 CM2 . (Cette question est plus difficile. On pourra commencer par trouver un
nombre réel a tel que 0 < a < 1 et une fonction numérique réelle g dérivable dans I, telle que g(0) = 0,
g(1) = 0 et g 0 (0) = 0, dont les restrictions aux intervalles [0, a] et [a, 1] sont polynomiales de degré 2 de
dérivées secondes égales à M2 ou à −M2 . On calculera la borne supérieure de g, et l’on vérifiera à l’aide de
la formule de Taylor d’ordre 1 que l’on ne peut obtenir une meilleure inégalité pour f .)
76) Soit f une fonction numérique réelle deux fois continûment dérivable dans l’intervalle fermé [0, 1] de R.
On suppose d’une part que f (0) = 0 et f (1) = 1, d’autre part que 2 est la borne supérieure de f .
a) Donner un exemple d’une fonction polynomiale de degré 2 qui possède les propriétés de f .
b) Vérifier qu’il existe un nombre réel c tel que 0 < c < 1 et f (c) = 2. Que vaut f 0 (c)√
?
c) Utiliser la formule de Taylor pour démontrer que f 00 prend une valeur 6 −2(3 + 2 2).
d) L’inégalité précédente est-elle optimale ? Si oui, quels sont les cas d’égalité ?
77) Soit f une fonction numérique réelle continûment dérivable dans [−1, 1] telle que f 0 soit dérivable dans
]−1, 1[. On suppose que f (−1) = −1, f (1) = 1 et f 0 (−1) = f 0 (1) = 0.
a) Démontrer qu’il existe un point ξ de ]−1, 1[ tel que |f 00 (ξ)| > 2.
b) Existe-t-il nécessairement un point ξ 0 de ]−1, 1[ pour lequel f 00 (ξ 0 ) > 2 ?
c) Peut-on améliorer l’inégalité sup−1<x<1 |f 00 (x)| > 2 ?
78) On désigne par I l’intervalle fermé [0, 1] de R. Soient M un nombre réel > 0 et F l’ensemble des fonctions
numériques réelles f de classe C2 dans I telles que f 0 (0) = 0, f 0 (1) = 1 et supI |f 00 | = M.
a) On suppose que M = 1. Soit f un élément de F. Calculer f (1) − f (0).
b) Dans le cas général, déterminer selon la valeur de M l’ensemble des nombres f (1) − f (0) obtenus pour les
éléments f de F.
79) Soit f une fonction numérique complexe n fois continûment dérivable dans R. Pour k = 0, 1, . . . , n,
soit Mk la borne supérieure dans R de |f (k) |.
a) Dans cette question, on prend n = 2. On suppose que les fonctions f et f 00 sont bornées.
(Autrement dit,
√
M0 et M2 sont des nombres réels.) Démontrer que f 0 est bornée et que l’on a M1 6 2 M0 M2 (inégalité due
à Edmund Landau ()). (Soit a un nombre réel. Appliquer l’inégalité de Taylor-Lagrange entre a et a + h
où h est un nombre > 0 quelconque.)
b) Sous les mêmes hypothèses que dans la question a), établir l’inégalité plus précise
M1 6
√
p
2M0 M2 ,
et démontrer que l’on ne peut remplacer 2 par un nombre plus petit (inégalité de J. Hadamard ()).
c) Démontrer par récurrence sur l’entier naturel n > 2 que si les fonctions f et f (n) sont bornées alors il en
est de même des fonctions f (k) , k = 1, 2, . . . , n − 1, et que l’on a
1−k/n
Mk 6 2k(n−k)/2 M0
Mk/n
n
pour k = 1, 2, . . . , n − 1. (Le mathématicien soviétique Andrej Nikolaevič Kolmogorov* (–) a donné
une formule pour les constantes optimales dans ces inégalités : il faudrait remplacer le nombre 2k(n−k)/2 par
∞
P
1−k/n
an−k /an
où as = (4/π)
((−1)ν /(2ν + 1))s+1 .)
ν=0
Développements limités
2
80) Soit f la fonction numérique réelle x 7→ ex définie dans R. Démontrer que f est indéfiniment dérivable
et calculer sa dérivée d’ordre n au point 0. (Utiliser la formule de Taylor.)
81) a) Vérifier que la fonction numérique réelle φ définie dans R par la relation φ(x) = x + sin x est bijective.
b) Donner un développement limité d’ordre 5 au voisinage du point a de la fonction numérique réelle f
définie dans R par la relation f (x) + sin f (x) = 2x.
10
82) Soient f une fonction numérique réelle définie dans un intervalle ouvert I de R et a un point de I. On
suppose que f est deux fois continûment dérivable au voisinage de a et que f 00 (a) est non nul.
a) Démontrer que pour tout nombre réel h non nul assez petit, il existe un unique élément θ(h) de l’intervalle
]0, 1[ tel que f (a + h) = f (a) + f (a + θ(h)h).
b) Déterminer la limite ω de θ(h) lorsque h tend vers 0 en restant non nul.
c) On suppose que f admet une dérivée troisième non nulle au point a. Déterminer un équivalent simple de
θ(h) − ω lorsque h tend vers 0 en restant non nul.
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