FONCTIONS D`UNE VARIABLE RÉELLE I. Continuité Généralités

FONCTIONS D’UNE VARIABLE R´ EELLE
I. Continuit´e
G´en´eralit´es sur les fonctions
1) Soit fune fonction num´erique r´eelle d´efinie dans un intervalle I de R. Pour que fsoit non monotone, il
faut et il suffit qu’il existe des ´el´ements a,b,cde I tels que a < b < c et
f(a)−f(b)f(b)−f(c)<0.
2) Soit I un intervalle de R. D´eterminer les applications croissantes fde I dans I telles que f◦f= IdI.
3) D´emontrer qu’il n’existe pas de fonction num´erique r´eelle strictement monotone dans Rdont l’ensemble
des valeurs soit R\ {0}.
4) L’ensemble R2est muni de sa structure de plan affine canonique. V´erifier que le graphe d’une fonction
polynomiale r´eelle de degr´e 3, d´efinie dans R, admet un centre de sym´etrie. (Se servir de la forme canonique
de sa d´eriv´ee.)
5) Soit fune fonction num´erique r´eelle p´eriodique d´efinie dans R.
a) Si fest monotone alors fest constante.
b) Si la fonction num´erique r´eelle g:x7→ f(x)/x d´efinie dans ]0,+∞[ est monotone alors fest constante.
6) Soit fla fonction num´erique r´eelle d´efinie dans Rpar la relation f(x) = 1 + x−x/(1 + |x|). D´emontrer
que fest lipschitzienne pour 1 mais qu’elle ne l’est pour aucun nombre r´eel k < 1 (autrement dit, qu’elle
n’est pas contractante).
7) D´emontrer que les fonctions num´eriques r´eelles x7→ p1 + |x|,x7→ √1 + cos x,x7→ √1 + x2sont
lipschitziennes dans R. D´eterminer pour chacune d’elles le plus petit nombre r´eel pour lequel elle est lip-
schitzienne.
8) L’inverse d’une fonction num´erique r´eelle lipschitzienne minor´ee par un nombre r´eel >0 est lipschitzienne.
9) Soit fune fonction num´erique r´eelle d´efinie dans Rp´eriodique de p´eriode 1. Si la restriction de f`a
l’intervalle ferm´e [0,1] est lipschitzienne pour un nombre r´eel C alors fest lipschitzienne pour C.
10) Toute fonction num´erique r´eelle lipschitzienne dans un intervalle I de Rpour un nombre r´eel k>0 est
la diff´erence de deux fonctions croissantes dans I, lipschitziennes pour k.
11) Soit fune fonction num´erique r´eelle d´efinie dans un intervalle I de R. On suppose qu’il existe un nombre
r´eel C tel que pour tout couple (x, x0) d’´el´ements de I, on a
|f(x)−f(x0)|6C|x−x0|2.
D´emontrer que fest constante.
Limite et continuit´e
12) a) D´eterminer les fonctions num´eriques r´eelles fd´efinies dans R, continues au point 0 et telles que pour
tout nombre r´eel x, on ait f(2x) = f(x).
b) D´eterminer les fonctions num´eriques r´eelles fd´efinies dans R, ayant une limite aux bornes de R, telles
que pour tout nombre r´eel x, on ait f(2x) = f(x).
13) Trouver les fonctions num´eriques r´eelles fd´efinies dans l’ensemble des nombres r´eels positifs et continues
en 0, telles que
f(x) = fx
2+x (x+ 1)(x+ 2)
pour tout nombre r´eel x>0.
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14) a) D´eterminer les fonctions num´eriques r´eelles fd´efinies dans Rcontinues au point 0 qui satisfont `a la
relation f(x+y) = f(x) + f(y) pour tout couple (x, y) de nombres r´eels. (Calculer f(nx) si nest un entier
naturel npuis si nest un entier relatif, enfin si nest un nombre rationnel. Remarquer ensuite que fest
continue `a tout point ade R, et conclure en utilisant le fait que tout nombre r´eel est la limite d’au moins
une suite convergente de nombres rationnels.)
b) D´eterminer les fonctions num´eriques r´eelles fd´efinies dans Rcontinues au point 0 qui satisfont `a la
relation f(x+y) = f(x)f(y) pour tout couple (x, y) de nombres r´eels.
c) D´eterminer les fonctions num´eriques r´eelles d´efinies dans Rcontinues au point 0 qui satisfont `a la relation
f(x+y) = f(x) + f(y)+2xy pour tout couple (x, y) de nombres r´eels.
15) F¨ur die Funktion f:R→Rgelte f(0) = 1 sowie
f(x+y)≤f(x)f(y) f¨ur alle x,y∈R.
Man zeige: Ist fim Nullpunkt stetig, so ist fauf ganz Rstetig.
[Soit fun fonction num´erique r´eelle telle que f(0) = 1 et f(x+y)6f(x)f(y) pour tout couple (x, y) de
nombres r´eels. Si fest continue en 0 alors elle est continue dans R.]
[W. Walter, Analysis, I, Kapitel 6, Aufgabe 9 S. 130]
16) Soit fune fonction num´erique r´eelle p´eriodique d´efinie dans R. D´emontrer que si fadmet une limite
en +∞alors elle est constante.
17) Soit fla fonction num´erique r´eelle d´efinie dans Rpar la relation f(x) = 0 si xest un nombre irrationnel
et par la relation f(x) = 1/q si xest le nombre rationnel p/q ´ecrit sous la forme d’une fraction irr´eductible
telle que qsoit >0.
a) V´erifier que fest p´eriodique et born´ee.
b) D´emontrer que fadmet une limite `a droite (resp. une limite `a gauche) nulle en tout point de R. (Si xest
un nombre rationnel, construire une suite (xn)n∈Nde nombres irrationnels convergente vers x, et ´etudier la
convergence de la suite (f(xn))n∈N. Si xest un nombre irrationnel, on remarquera que pour tout nombre
r´eel ε > 0, l’ensemble des nombres rationnels r=p/q (´ecriture sous forme de fraction irr´eductible) tels que
x−1< r < x + 1 et 1/q > ε est fini.)
c) En d´eduire que fest continue en tout nombre irrationnel et discontinue en tout nombre rationnel.
18) Soit fune fonction num´erique r´eelle d´efinie dans un intervalle born´e I de R. Si fest lipschitzienne alors
fadmet une limite finie `a chaque borne de I.
19) On dit qu’un ensemble A est ´equipotent `a un ensemble B s’il existe une application bijective de A sur B.
On admet que l’ensemble RNdes suites de nombres r´eels est ´equipotent `a R.
a) D´emontrer que l’ensemble des nombres rationnels est ´equipotent `a N.
b) En d´eduire que l’ensemble des fonctions num´eriques r´eelles continues dans Rest ´equipotent `a R. (On
pourra se servir du fait qu’une fonction num´erique r´eelle continue dans Rest nulle si sa restriction `a l’ensemble
d´enombrable des nombres rationnels est nulle.)
Th´eor`eme de la limite monotone
20) a) Soient I = [0,1] et fune fonction num´erique r´eelle croissante d´efinie dans I `a valeurs dans I. D´emontrer
que fadmet un point fixe, c’est-`a-dire qu’il existe un ´el´ement xde I tel que f(x) = x.
b) Donner un exemple de fonction num´erique r´eelle gd´ecroissante d´efinie dans I `a valeurs dans I telle que
g(x)6=xpour tout ´el´ement xde I.
On consid`ere d´esormais le cas o`u I est un intervalle ouvert non vide de R.
c) Donner un exemple d’application croissante fde I dans I n’ayant pas de point fixe.
d) On suppose que fest une application croissante de I dans I sans point fixe. Que dire des limites de faux
bornes de I ?
21) Soit fune fonction num´erique r´eelle croissante d´efinie dans l’ensemble I des nombres r´eels >0. On
suppose que la fonction num´erique r´eelle gd´efinie dans I par la relation g(x) = f(x)/x est d´ecroissante.
a) D´emontrer que fest continue dans I.
b) D´emontrer que fest positive.
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Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. Th´eor`eme de Weierstraß
22) Soit fune application continue d’un intervalle ouvert I ⊂Rdans R; montrer que si f(I) est ouvert et
si, pour tout y∈R, l’ensemble
−1
f(y) a au plus deux points distincts, fest monotone.
[N. Bourbaki, Topologie g´en´erale, IV, §6, exerc. 1 p. 55]
23) Soit fune fonction num´erique r´eelle d´efinie dans un intervalle I de R. On suppose que fest injective
et que l’image de tout intervalle de Rcontenu dans I est un intervalle. D´emontrer que fest strictement
monotone. En particulier, fest continue.
24) Soit fune fonction num´erique r´eelle major´ee continue dans un intervalle non vide I de R.´ Etudier la
continuit´e de la fonction num´erique r´eelle gd´efinie dans I par la relation g(x) = supt6xf(t).
25) Soit fune fonction num´erique r´eelle continue dans un intervalle I de R. On suppose qu’il existe un
polynˆome non nul u`a coefficients r´eels tel que pour tout ´el´ement xde I, u(f(x)) = 0. D´emontrer que la
fonction fest constante.
26) On d´esigne par I l’intervalle [0,1] de R. Soit fune fonction num´erique r´eelle continue dans I `a valeurs
dans I.
a) V´erifier que fadmet un point fixe.
b) On suppose de plus que f◦f=f. D´emontrer que l’ensemble des points fixes pour fest un intervalle
ferm´e born´e de R.
c) D´eterminer les applications gcontinues de I dans I telles que g◦g=g.
27) Soient I un intervalle de Ret fune fonction num´erique r´eelle continue dans I. D´emontrer que s’il existe
un intervalle ferm´e born´e non vide J de I tel que f(J) ⊃J alors fadmet un point fixe.
28) Soit fune fonction num´erique r´eelle continue dans Ret p´eriodique de p´eriode 1. D´emontrer que pour
tout nombre r´eel a, il existe un nombre r´eel xtel que f(x+a) = f(x).
29) Soit fune fonction num´erique r´eelle continue dans l’intervalle ferm´e [0,1] de R. On suppose que f(0) =
f(1).
a) D´emontrer que pour tout entier naturel nnon nul, il existe un ´el´ement xde I tel que f(x+ 1/n) = f(x).
b) Soient s,tdes ´el´ements de I tels que s+t= 1. D´emontrer qu’il existe un ´el´ement xde I tel que
f(x+s) = f(x) ou f(x+t) = f(x).
30) Soit E l’ensemble des fonctions num´eriques r´eelles fcontinues dans l’intervalle ferm´e I = [0,1] de R
telles que f(0) = f(1). Pour tout ´el´ement fde E, on d´esigne par T(f) l’ensemble des nombres r´eels t>0
pour lesquels il existe un ´el´ement xde I tel que f(x) = f(x+t). On note aussi T∞l’intersection de la famille
(T(f))f∈E.
a) D´emontrer que T∞est une partie compacte de Ret qu’elle contient l’ensemble T0des nombres 1/n pour
les entiers naturels n > 0.
b) Pour tout ´el´ement fde E, il existe un nombre r´eel ε > 0 tel que l’intervalle ferm´e [0, ε] soit contenu
dans T(f).
c) D´emontrer que T∞est l’adh´erence de T0dans R.
31) Soit fune fonction num´erique r´eelle continue dans un intervalle I de R. On suppose que pour tout
nombre r´eel y, l’ensemble Aydes ´el´ements xde I tels que f(x) = yest fini.
a) Donner un exemple de fonction num´erique r´eelle gcontinue dans un intervalle de Rtelle que pour tout
nombre r´eel λ, l’´equation g(x) = λa un nombre pair de solutions.
On suppose d´esormais que I est un intervalle ferm´e born´e [a, b].
b) On suppose f(a)6=f(b). D´emontrer qu’au moins un des ensembles Ayest de cardinal impair. La mˆeme
conclusion subsiste-t-elle dans le cas o`u f(a) = f(b) ?
c) On suppose que tous les ensembles Aysont de cardinal impair. La fonction fest-elle strictement mono-
tone ?
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32) Pour tout entier naturel nnon nul, on d´esigne par fnla fonction num´erique r´eelle x7→ xn+xn−1+···+
x2+x+ 1 d´efinie dans l’ensemble I des nombres r´eels >0.
a) V´erifier que pour tout entier naturel nnon nul, l’´equation fn(x) = 2 poss`ede une unique solution r´eelle.
Soit (xn)n>1la suite de nombres r´eels positifs d´efinie par la relation fn(xn) = 2.
b) D´emontrer que la suite (xn)n>1est strictement monotone et convergente. Pr´eciser sa limite ω.
c) Donner un ´equivalent simple de xn−ωquand ncroˆıt ind´efiniment.
33) Soient I un intervalle compact de Ret fune application continue de I dans I. Pour tout entier naturel n,
fnest l’application de I dans I d´efinie par r´ecurrence comme suit : f0est l’application identique de I et
fn=f◦fn−1pour tout entier naturel nnon nul.
a) Si fet f2ont les mˆemes points fixes alors f(x)−xet f2(x)−xont le mˆeme signe pour tout ´el´ement x
de I.
b) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur les points fixes de fet ceux de f2pour que la suite
(fn(x))n∈Nsoit convergente pour tout ´el´ement xde I.
Continuit´e uniforme. Th´eor`eme de Heine
34) Soit fune fonction num´erique r´eelle d´efinie dans un intervalle born´e I de R. Si fest uniform´ement
continue alors fest born´ee.
35) Soit fune fonction num´erique r´eelle continue dans un intervalle I de R.
a) On suppose qu’une borne cde I est finie. Si fest uniform´ement continue alors elle a une limite finie au
point c. (Utiliser le fait qu’une suite de nombres r´eels est convergente si et seulement si elle est de Cauchy.)
b) On suppose I born´e. Pour que fsoit uniform´ement continue, il faut et il suffit qu’elle admette une limite
finie `a chacune des bornes de I.
36) La fonction num´erique r´eelle fd´efinie dans Rpar la relation f(x) = sin(x2) est-elle uniform´ement
continue ?
37) Soit fune application continue de Rdans lui-mˆeme.
a) Montrer que si fest uniform´ement continue dans R, il existe deux nombres r´eels α>0, β>0 tels que
|f(x)|6α|x|+βpour tout x∈R.
b) Montrer que si fest monotone et born´ee dans R,fest uniform´ement continue dans R.
[N. Bourbaki, Topologie g´en´erale, IV, §6, exerc. 14 p. 58]
38) Soit fune fonction num´erique r´eelle d´efinie dans un intervalle I de R. D´emontrer que fest uniform´ement
continue si et seulement si pour tout nombre r´eel ε > 0, il existe un nombre r´eel C >0 tel que pour tout
couple (x, x0) d’´el´ements de I, on a |f(x)−f(x0)|6C|x−x0|+ε.
Fonction r´eciproque d’une fonction continue strictement monotone
39) a) Calculer l’image de l’application f:x7→ 1/(1 −x) de l’intervalle [0,1[ dans R.
b) Soient a,bdes nombres r´eels tels que a < b. V´erifier que l’application g:x7→ 1/(a−x)+1/(b−x) de
l’intervalle ]a, b[ dans Rest bijective. Calculer l’application r´eciproque.
40) Soient I, J des intervalles de Ret fune fonction num´erique r´eelle d´efinie dans I `a valeurs dans J.
a) On suppose que fest surjective. D´emontrer que si fest monotone alors fest continue dans I.
b) On suppose que fest bijective. D´emontrer que fest continue si et seulement si fest monotone.
41) Soit fune fonction num´erique r´eelle continue dans R. On suppose que pour tout nombre r´eel x,f◦f(x) =
2f(x)−x.
a) V´erifier que fest bijective et croissante.
b) Donner l’expression de f◦f◦f◦f(x) en fonction de fet de x.
c) D´emontrer que pour tout nombre r´eel x,f(x)−f(0) −xest nul ou a le mˆeme signe que x.
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42) Soit fune fonction num´erique r´eelle continue dans R. On suppose qu’il existe un nombre r´eel ctel que
pour tout nombre r´eel x,f◦f(x) = x+c.
a) V´erifier que dans le cas cest non nul, il existe un nombre r´eel λ6= 0 tel que la fonction ˜ f:x7→ λ−1f(λx)
satisfasse `a la relation ˜ f◦˜ f(x) = x+ 1.
On suppose c= 1.
b) V´erifier que fn’a pas de point fixe. En d´eduire que fne peut ˆetre strictement d´ecroissante.
c) D´emontrer que la fonction ˆ f:x7→ f(x)−xd´efinie dans Rest p´eriodique et que ses valeurs sont >0.
d)´ Etablir la double in´egalit´e 0 < f (0) <1 et d´emontrer que fest bien d´etermin´ee par sa restriction φ`a
l’intervalle [0, f(0)]. Que vaut φ(f(0)) ?
e) Soient aun nombre r´eel tel que 0 <a<1 et ψune fonction num´erique r´eelle strictement croissante
continue dans [0, a] telle que ψ(0) = aet ψ(a) = 1. Existe-t-il un prolongement gde ψ`a R, continu, tel que
g◦g(x) = x+ 1 pour tout nombre r´eel x?
On suppose c= 0.
f) V´erifier que s’il existe un nombre r´eel xtel que f(x)> x alors fadmet un point fixe entre xet f(x).
g) Si fest croissante alors fest l’application identique de R.
h) Si fest d´ecroissante alors elle admet un unique point fixe, a, et sa restriction `a l’intervalle ouvert ]a, +∞[
induit une application bijective strictement d´ecroissante de ]a, +∞[ sur ]−∞, a[. ´ Etudier la r´eciproque.
i) D´eterminer les fonctions num´eriques r´eelles fcontinues dans Rpour lesquelles il existe un nombre r´eel c
tel que pour tout nombre r´eel x,f◦f(x) = x+c.
43) Soient I = ]a, b[ un intervalle ouvert de R(−∞ 6a < b 6+∞) et gune application continue strictement
croissante de I dans I. On suppose que pour tout ´el´ement xde I, on a g(x)> x et que g(a+) > a.
a) V´erifier que g(a+) appartient `a I et calculer g(b−).
b) D´eterminer les applications continues fde I dans I telles que f◦g=g◦f.
44) Soit fune application de Rdans lui-mˆeme telle que pour tout nombre r´eel x,f◦f(x) = −x. D´emontrer
que fadmet au moins trois points de discontinuit´e.
II. D´erivation
D´erivabilit´e
45) Soient λ,µdes nombres r´eels. On suppose λdiff´erent de 0 et de 1. D´eterminer les fonctions num´eriques
r´eelles fd´erivables dans Rtelles que pour tout nombre r´eel x,f◦f(x) = λx +µ. (Traiter d’abord le cas o`u
µ= 0.)
46) Soit fune fonction num´erique r´eelle d´efinie dans R, continue au point 0. D´emontrer que fest d´erivable
en 0 si et seulement si (f(2x)−f(x))/x a une limite finie quand xtend vers 0.
Th´eor`emes de Rolle et des accroissements finis
47) Soit fune fonction num´erique r´eelle d´efinie dans un intervalle I de R.
a) Soit aun point int´erieur `a I. On suppose que fest d´erivable au point a. D´emontrer que le rapport
f(a+s)−f(a−t)
s+t
tend vers f0(a) lorsque le couple (s, t) de nombres r´eels strictement positifs tend vers (0,0). ´ Etudier la
r´eciproque.
Dans le cas o`u aest un point quelconque de I, consid´erer la situation o`u la limite porte sur les couples (s, t)
de nombres r´eels positifs non tous deux nuls.
b) On suppose dans cette question que fest d´efinie dans Rpar les relations f(x) = x2sin(1/x) pour x6= 0
et f(0) = 0. V´erifier que fest d´erivable dans Rmais que le rapport (f(u)−f(v))/(u−v) ne tend pas
vers f0(0) quand le couple (u, v) de nombres r´eels strictement positifs distincts tend vers (0,0).
c) On suppose la fonction fcontinˆument d´erivable. D´emontrer que pour tout point ade I, le rapport
(f(u)−f(v))/(u−v) a une limite finie quand le couple (u, v) d’´el´ements de I distincts et tous deux > a ou
tous deux < a tend vers (a, a). ´ Etudier la r´eciproque.
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