DM7 corrigé - MP*1

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Centrale-MP-2016
L’effet dynamo, origine du champ géomagnétique
I- Une mesure du champ géomagnétique
I-A- Tout plan contenant l’axe  est un plan d’antisymétrie de la distribution de courant. On en
déduit que   appartient à tous ces plans si  est sur l’axe des . On a donc :
Les lignes de champ magnétique tourne autour des courants dans le sens direct par rapport au courant
ce qui donne le schéma suivant :
I- B- On prend deux bobines identiques, chacune de  spires. Le schéma représentant le
dispositif est le suivant :
Les champs magnétiques créés par chacune des bobines s’ajoutent.
On a sur l’axe des  : 
D’après la question précédente on a :
 et   ce qui donne
l’expression suivante : 
I-C-1) Pour une spire, la fonction  est symétrique, centrée en  et tend vers zéro
pour . La largeur de la courbe est de l’ordre de  ce qui donne la courbe suivante :
Si on ajoute les deux champs des deux spires on obtient les courbes suivantes, dans les cas où
 et :

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I-C-2- La courbe  est paire, donc toutes les dérivées impaires en   sont nulles
Pour une courbe , il existe deux points d’inflexion répartis de façon symétrique
autour de x=0. (le calcul, non demandé, montre qu’il s’agit des positions  
Pour une certaine valeur de , le point d’inflexion   de la spire en 
coïncide avec le point d’inflexion   de la spire en . On a donc également un
point d’inflexion en  pour , donc une dérivée seconde nulle en x=0.
Ainsi le développement de Taylor de la fonction  au voisinage de zéro est d’ordre
4 : 
 peut donc être supposée une fonction constante jusqu’à l’ordre 3
I-D- La boussole est assimilée à un dipôle magnétique et subit le couple 
On a le schéma suivant avec 
 et 
Ce qui donne : 
Les positions d’équilibre correspondent à  ou  
Quand on écarte le dipôle magnétique d’un petit angle par rapport à sa position d’équilibre, il
faut qu’il revienne vers cette position. La position d’équilibre stable est donc  , c’est-à-
dire quand le dipôle magnétique est aligné suivant les lignes de champ.

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I-E- On applique le théorème du moment cinétique dans le référentiel du laboratoire supposé
galiléen.
On fait l’hypothèse que les moments du poids et de la réaction de l’axe sont nuls par rapport à
l’axe de la boussole.
Le moment cinétique de la boussole projeté sur l’axe de rotation est  et le couple
magnétique est 
 ce qui donne en appliquant le TMC :
 . On s’intéresse aux petites oscillations autour de la position d’équilibre
 soit : .
On a donc l’équation différentielle : 
 de pulsation   et de période
 avec 
I-F- Lorsqu‘on inverse le sens des bobines, le champ magnétique est  et la
nouvelle période est 
On en déduit 
 soit  
L’intérêt de cette méthode est une mesure facile de . Le défaut est la faible valeur de .
Pour que la différence de période soit significative il faut que , or .
Il n’est pas facile de fabriquer un champ magnétique aussi faible en faisant passer un courant
dans une spire de façon précise.
II- Nécessité d’un mécanisme d’entretien du champ géomagnétique : l’effet
dynamo
II-A- Limites des explications historiques
II-A-1) On lit dans l’annexe 1 que la température du noyau atteint . Or Un aimant
perd son aimantation au dessus de la température de Curie. Les températures de Curie sont de
l’ordre de . Il ne peu pas d’aimant permanent à la température du noyau terrestre .
Il existe des inversions du champ magnétique terrestre. On imagine mal tout le noyau terrestre
se retrourner pour provoquer cette inversion.
Le modèle d’un aimant permanent dans le noyau est faux.
II-A-2-a) L’électron possède un moment magnétique proportionnel à son moment orbital.
Dans un modèle classique, l’électron tourne autour du noyau placé en  dans un plan
perpendiculaire à  ; son mouvement circulaire, de vitesse  et de rayon . Son moment
cinétique par rapport à  est 
De par sa rotation, l’électron décrit une boucle de courant de surface , d’intensité du
courant 
 ce qui lui confère un moment magnétique : 
 soit 

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. On obtient   ce qui donne comme relation entre le moent cinétique
et le moment magnétique : 
II-A-2-b) Les  électrons sont répartis uniformément dans une boule de rayon  ce qui donne
dans la boule une distribution volumique de charge  
.
On considère dans un premier temps le volume élémentaire en coordonnées sphériques :
 .
La couronne élémentaire entre  et ,  et  correspond à un volume 
. Ce volume porte la charge   
.
Ce volume tourne à la vitesse angulaire . La charge  fait un tour en un temps  
 ce
qui correspond à un courant : 
Cette couronne a une surface  et possède un moment magnétique : 
 ce qui donne :   soit :
Le moment magnétique total de la boule est : 
 ce qui
donne : 
 soit : 
II-A-2-c) Le noyau terrestre n’est pas chargé. Cette hypothèse est donc fausse.
II-B- L’effet dynamo
II-B-1-a) la force de Lorentz s’écrit dans le référentiel  : .
Dans le référentiel  la particule est au repos, elle n’a pas de vitesse et la force de Lorentz
s’écrit : 
.
La force de Lorentz étant invariante par changement de référentiel, on en déduit l’expression
du champ électrique dans le référentiel propre de la particule : 
II-B-1-b) Dans un milieu conducteur, il existe deux types de porteurs de charge : les porteurs
de charge mobiles et les porteurs de charge liés à la matière.

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Dans , référentiel lié au fluide, 
 puisque la matière est immobile
dans .
Dans R, réf du labo, 
On peut utiliser la compoosotion des vitesse : 
 mais ici la vitesse
d’entrainement est la vitesse de la matière, donc la vitesse des porteurs de charge liés soit :
.
On a donc : 
L’énoncé nous dit que le conducteur ohmique est neutre donc .
On en déduit : 
II-B-2-c) La loi d’Ohm s’écrit : 
 ce qui donne en se servant des résultats des deux
questions précédentes : 
II-B-2-a) Le champ électromoteur 
 cré un courant   . En
appliquant l’équation de Maxwell-Ampère, la densité de courant  est la source d’un champ
magnétique 
 qui vérifie l’équation :   soit : 
II-B-2-b) En ordre de grandeur, en introduisant la longueur carctéristique  et la vitesse
caractéristique , la relation donne : 
 soit : 
II-B-2-c) La coefficient de proportionnalité est 
 caractérise l’efficacité du processus d’induction.
 est proportionnel à . Plus le milieu est conducteur, plus le phénomène d’induction est
important.
II-B-3-a) Le processus est itératif. On a 
II-B-3-b) On obtient comme champ magnétique total : 
 ce qui donne :
On a une suite géométrique de raison .
II-B-3-c) On remarque que pour que cette suite converge il faut . Pour avoir une
instabilité, donc une suite qui ne converge pas il faut donc : .
II-C- etude d’une dynamo à courant et mouvement contraints : la dynamo de Bullard
II-C-1) Question peu claire :
Si on considère la géométrie du montage , le plan de la feuille est un plan de symétrie, donc
 est perpendiculaire au plan de la feuille si  appartient à ce plan donc perpendiculaire
à 
 alors qu’on cherche un champ   parallèle à   . ce montage ne convient pas.
Dans le montage B, le plan de la feuille est un plan d’antisymétrie, donc 
 appartient à ce
plan si  y appartient ce qui est recherché.