Logique et Langage des ensembles

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Logique
et
Langage des ensembles
Les notions abordées dans ce module sont des notions de base qui inter-
viennent dans tous les domaines des mathématiques. Souvent considérées comme
acquises par les étudiants après un cours d’introduction rapide, elles sont sus-
ceptibles de causer des difficultés dans tout le travail ultérieur, en cas de maîtrise
insuffisante. C’est pourquoi ce module est très détaillé sur les questions qui posent
problème aux étudiants. Il est conseillé de travailler de façon approfondie ce mo-
dule au début de l’année, puis de revenir ensuite revoir les points qui sont source
de difficulté.
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Contenu du module "Logique et théorie des ensembles"
1. Connecteurs — Négation — Conjonction — Disjonction — Lois de Morgan
— Distributivité
Cours et cinq exercices interactifs avec correction.
2. Langage des ensembles — Notion d’ensemble — Inclusion et égalité —
Ensembles particuliers — Réunion d’ensembles — Intersection d’ensemble
— Propriétés de distributivité — Complémentaire d’un ensemble — Autres
opérations — Correspondance Ensembles/Propriétés
Cours et trente neuf exercices interactifs.
3. Quantificateurs — Quantificateur universel — Quantificateur existentiel —
Règles d’usage — Négation des quantificateurs
Cours, quatorze exercices interactifs, un test d’auto-évaluation avec qua-
rante questions
4. Implication — Sens de l’implication — Condition nécessaire, suffisante —
Contraposée — Réciproque — Négation de l’implication — Équivalence
logique
Cours, trois exercices interactifs, deux tests d’auto-évaluation avec cin-
quante questions
5. Applications — Définition — Images — Composition — Propriétés
Cours, quarante exercices interactifs, deux tests d’auto-évaluation avec quatre-
vingt questions
6. Relations — Définition — Relation d’équivalence — Relation d’ordre —
Application croissante entre ensembles ordonnés
Cours et vingt six exercices interactifs.
7. Démonstrations — Implication — Conjonction — Disjonction — Négation
— Démonstration par l’absurde — Quantificateurs et démonstration
Cours et dix-sept exercices interactifs.
8. Rédaction — Directives générales — Connecteurs logiques — Quantifica-
teurs — Remarques finales
Cours et neuf exercices interactifs.
9. Cardinal d’un ensemble — Les ensembles infinis — Cardinal d’un en-
semble — Le dénombrable — Le continu : les réels — Le continu : les
nombres complexes — Les cardinaux infinis
Cours
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Connecteurs logiques
En mathématiques, on se situe dans le cadre d’une logique à deux valeurs.
Une proposition mathématique "P" est soit vraie soit fausse. Si elle est vraie,
nous lui attribuons la valeur 1, (ou V) ; si elle est fausse, nous lui attribuons la
valeur logique 0, (ou F).
On peut trouver des propositions toujours vraies, par exemple "x2≥0" pour x
réel, ou "0 = 0" qu’on appelle des tautologies, des propositions toujours fausses,
par exemple "0 = 1" et des propositions tantôt vraies, tantôt fausses, par exemple
"x2= 1" qui est vraie pour "x= 1" ou "x=−1", et fausse sinon.
But de ce chapitre On examine comment, à partir de propositions données en
former de nouvelles, à l’aide de connecteurs logiques :
— la négation — le "non"
— la conjonction — le "et"
— et la disjonction logique — le "ou".
Négation
Notation de la négation d’une proposition On note "non P" le contraire de la
proposition "P", c’est-à-dire la proposition qui est vraie quand "P" est fausse et
qui est fausse quand "P" est vraie. Par exemple si "P" est la proposition "x= 0",
"non P" est la proposition "x6= 0".
Remarque Une notation des logiciens pour "non P" est la notation "¬P". On
se contentera de la notation avec le mot non, car nous ne développons pas un cours
de logique.
Table de vérité de la négation pnon p
1 0
0 1
Négation de la négation Une propriété immédiate est que "non (non P)" est
équivalente à "P", (cela se voit aussi sur la table de vérité.)
(non (non P)) ⇐⇒ P
Sens du symbole "équivaut" Le sens du symbole ⇐⇒ qui se lit équivaut, et
qui signifie ici que les deux propositions ont toujours la même valeur sera revu
par la suite.
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Conjonction
Notation de la conjonction de deux propositions Lorsque l’on a deux propo-
sitions "P", "Q", on peut former une nouvelle proposition appelée la conjonction
de ces deux propositions, que l’on notera "Pet Q". La proposition "Pet Q" vraie
signifie que les deux propositions sont vraies en même temps. Par exemple pour
deux nombres xet yréels, la proposition "x2+y2= 0" équivaut à "x= 0 et y=
0". Il est clair que :
(Pet Q)⇐⇒ (Qet P)
Remarque Une notation des logiciens pour "Pet Q" est "P∧Q", que nous
n’emploierons pas dans ce cours.
Commutativité Il est clair que (Pet Q)⇐⇒ (Qet P)
Table de vérité de la conjonction
p q p et q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Disjonction
Lorsque l’on a deux propositions "P", "Q", on peut former une proposition
que l’on appelle la disjonction de ces deux propositions, et que l’on note "Pou Q".
La proposition "Pou Q" est vraie si l’une au moins des deux propositions "P" ou
"Q" est vraie.
Attention Ce point diffère du langage courant. En mathématiques, le ou est non-
exclusif , c’est à dire qu’il comprend la possibilité que les deux propositions soient
vraies. Ainsi la proposition "xy = 0" équivaut à la proposition "x= 0 ou y= 0",
elle est vraie quand l’un des deux nombres est nul, elle est aussi vraie quand les
deux sont nuls.
Remarque Une notation des logiciens pour "Pou Q" est "P∨Q", que nous
n’emploierons pas dans ce cours.
Commutativité Il est clair que (Pou Q)⇐⇒ (Qou P)
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Table de vérité de la disjonction
p q p ou q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Lois de Morgan
Elles indiquent comment prendre la négation d’une disjonction, ou la négation
d’une conjonction.
Négation de la disjonction D’après l’inventaire des trois cas possibles pour la
proposition "Pou Q", la proposition "non (Pou Q)" signifie que l’on a "P" faux
et "Q" faux, c’est-à-dire que l’on a la proposition "(non P)et (non Q)" :
non (Pou Q)⇐⇒ ((non P)et (non Q))
Négation de la conjonction De même la proposition "non (Pet Q)" signifie
que l’on est dans l’un des trois cas : "P" faux et "Q" vrai, "P" faux et "Q" faux,
"P" vrai et "Q" faux, c’est-à-dire que l’une au moins des propriétés "P", "Q" est
fausse, et que l’on a la proposition "(non P)ou (non Q)" :
non (Pet Q)⇐⇒ ((non P)ou (non Q))
Lois de distributivité
On va démontrer deux lois de distributivité par les tables de vérité.
La conjonction est distributive par rapport à la disjonction
(Pet (Qou R)) ⇐⇒ ((Pet Q)ou (Pet R))
p q r q ou r p et q p et r(pet q)ou (pet r)pet (qou r)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
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