Complexité paramétrée (3) Recherche de noyaux

Complexité paramétrée (3)
Recherche de noyaux - bornes inférieures
Christophe PAUL
(CNRS - LIRMM)
Noyaux exponentiels
Edge Clique-Cover
Longest Path
Algorithmes de distillation et de composition
Conjecture de ou-distillation
Non-existence de noyau polynomial
Exemples
Transformations paramétrées polynomiales
Définition et exemple
Réductions non-triviales
Compositions croisées
Définition et théorèmes
Dominating set
Autres techniques
et-composition
Bornes inférieures polynomiales
Observation
Le théorème prouvant, pour un problème paramétré (Q, κ),
l’équivalence entre l’existence d’un noyau et son appartenance à la
classe de complexité FPT, ne permet que de déduire des noyaux de
tailles exponentiels.
I
Peut-on démontrer que certains problèmes n’admettent pas de
noyau polynomial ?
L’exemple de Edge Clique-Cover
x
y
I
I
Un graphe G = (V , E ) et un paramètre k ∈ N
Peut-on couvrir les arètes E par au plus k cliques ?
L’exemple de Edge Clique-Cover
x
y
Théorème [Gramm, Guo, Hüffner, Niedermeier]
Edge Clique-Cover admet un noyau de taille 2k sommets.
L’exemple de Edge Clique-Cover
x
y
Théorème [Gramm, Guo, Hüffner, Niedermeier]
Edge Clique-Cover admet un noyau de taille 2k sommets.
Règles de réduction
1. Supprimer les sommets isolés
2. S’il existe deux sommets x et y tels que N[x] = N[y ],
supprimer l’un des deux sommets.
L’exemple de Edge Clique-Cover
x
y
Théorème [Gramm, Guo, Hüffner, Niedermeier]
Edge Clique-Cover admet un noyau de taille 2k sommets.
Preuve : Supposons qu’il existe k cliques C1 . . . Ck couvrant E .
A chaque sommet x on asscocie un verteur C de k bits tel que
C [x, i] = 1 ⇐⇒ x ∈ Ci
Observation : ∀i ∈ [k] C [x, i] = C [y , i] ssi N[x] = N[y ]
L’exemple de Edge Clique-Cover
x
y
Théorème [Gramm, Guo, Hüffner, Niedermeier]
Edge Clique-Cover admet un noyau de taille 2k sommets.
Preuve : Supposons qu’il existe k cliques C1 . . . Ck couvrant E .
A chaque sommet x on asscocie un verteur C de k bits tel que
C [x, i] = 1 ⇐⇒ x ∈ Ci
Observation : ∀i ∈ [k] C [x, i] = C [y , i] ssi N[x] = N[y ]
Problème ouvert
Edge Clique-Cover admet-il un noyau polynomial ?
L’exemple de Edge Clique-Cover
x
y
Théorème [Gramm, Guo, Hüffner, Niedermeier]
Edge Clique-Cover admet un noyau de taille 2k sommets.
Preuve : Supposons qu’il existe k cliques C1 . . . Ck couvrant E .
A chaque sommet x on asscocie un verteur C de k bits tel que
C [x, i] = 1 ⇐⇒ x ∈ Ci
Observation : ∀i ∈ [k] C [x, i] = C [y , i] ssi N[x] = N[y ]
Problème ouvert
Edge Clique-Cover admet-il un noyau polynomial ? NON
Longest Path
I
Un graphe G = (V , E ) et un paramètre k ∈ N
I
G contient-il un chemin de taille k ?
Longest Path est NP-Complet (cf. chemin hamiltonien) mais
peut-être résolu en temps O(c k .nO(1) ) grâce à Color Coding.
Longest Path
Hypothèse Il existe un algorithme de kernelization A pour
Longest Path qui retourne un noyau polynomial.
I
construisons une instance (G , k) avec t instances différentes
(G , k) = (G1 , k) ⊕ (G2 , k) ⊕ . . . ⊕ (Gt , k)
Longest Path
Hypothèse Il existe un algorithme de kernelization A pour
Longest Path qui retourne un noyau polynomial.
I
construisons une instance (G , k) avec t instances différentes
(G , k) = (G1 , k) ⊕ (G2 , k) ⊕ . . . ⊕ (Gt , k)
Observation : (G , k) admet un chemin de longueur k ssi ∃i tq Gi
admet un chemin de taille k.
Question :
Est-il possible que A identifie en temps polynomial quel Gi , parmi
n
les 22 possibles, possède un chemin de longueur k ?
Noyaux exponentiels
Edge Clique-Cover
Longest Path
Algorithmes de distillation et de composition
Conjecture de ou-distillation
Non-existence de noyau polynomial
Exemples
Transformations paramétrées polynomiales
Définition et exemple
Réductions non-triviales
Compositions croisées
Définition et théorèmes
Dominating set
Autres techniques
et-composition
Bornes inférieures polynomiales
Algorithmes de distillation
Un algorithme de ou-distillation A pour un problème de décision
Q (i.e. non paramétré) sur l’alphabet Σ est un algorithme qui :
I
reçoit une séquence (x1 , . . . xt ), avec xi ∈ Σ∗ , ∀i ∈ [t];
Algorithmes de distillation
Un algorithme de ou-distillation A pour un problème de décision
Q (i.e. non paramétré) sur l’alphabet Σ est un algorithme qui :
I
I
reçoit une séquence (x1 , . . . xt ), avec xi ∈ Σ∗ , ∀i ∈ [t];
P
possède une complexité polynomiale en ti=1 |xi |,
Algorithmes de distillation
Un algorithme de ou-distillation A pour un problème de décision
Q (i.e. non paramétré) sur l’alphabet Σ est un algorithme qui :
I
reçoit une séquence (x1 , . . . xt ), avec xi ∈ Σ∗ , ∀i ∈ [t];
P
possède une complexité polynomiale en ti=1 |xi |,
I
retourne y ∈ Σ∗ tel que
I
1. y ∈ Q ⇔ ∃i ∈ [t], xi ∈ Q;
2. |y | est polynomial en maxi∈[t] |xi |.
Algorithmes de distillation
Un algorithme de ou-distillation A pour un problème de décision
Q (i.e. non paramétré) sur l’alphabet Σ est un algorithme qui :
I
reçoit une séquence (x1 , . . . xt ), avec xi ∈ Σ∗ , ∀i ∈ [t];
P
possède une complexité polynomiale en ti=1 |xi |,
I
retourne y ∈ Σ∗ tel que
I
1. y ∈ Q ⇔ ∃i ∈ [t], xi ∈ Q;
2. |y | est polynomial en maxi∈[t] |xi |.
Conjecture [Bodlaender, Downey, Fellows, Hermelin]
Aucun problème NP-Complet n’est ou-distillable.
Algorithmes de distillation
Un algorithme de ou-distillation A pour un problème de décision
Q (i.e. non paramétré) sur l’alphabet Σ est un algorithme qui :
I
reçoit une séquence (x1 , . . . xt ), avec xi ∈ Σ∗ , ∀i ∈ [t];
P
possède une complexité polynomiale en ti=1 |xi |,
I
retourne y ∈ Σ∗ tel que
I
1. y ∈ Q ⇔ ∃i ∈ [t], xi ∈ Q;
2. |y | est polynomial en maxi∈[t] |xi |.
Conjecture [Bodlaender, Downey, Fellows, Hermelin]
Aucun problème NP-Complet n’est ou-distillable.
Théorème [Fortnow et Santhanam]
S’il existe un problème NP-complet ou-distillable, alors PH = Σ3p
Algorithme de ou-composition
Un algorithme de ou-composition pour un problème paramétré
(Q, κ) ⊆ Σ∗ × N est un algorithme A qui
I
reçoit une séquence ((x1 , k), . . . (xt , k)), avec (xi , k) ∈ Σ∗ × N
∀i ∈ [t];
Algorithme de ou-composition
Un algorithme de ou-composition pour un problème paramétré
(Q, κ) ⊆ Σ∗ × N est un algorithme A qui
I
I
reçoit une séquence ((x1 , k), . . . (xt , k)), avec (xi , k) ∈ Σ∗ × N
∀i ∈ [t];
P
a une complexité polynomiale en ti=1 |xi | + k,
Algorithme de ou-composition
Un algorithme de ou-composition pour un problème paramétré
(Q, κ) ⊆ Σ∗ × N est un algorithme A qui
I
I
I
reçoit une séquence ((x1 , k), . . . (xt , k)), avec (xi , k) ∈ Σ∗ × N
∀i ∈ [t];
P
a une complexité polynomiale en ti=1 |xi | + k,
retourne (y , k 0 ) ∈ Σ∗ × N tel que
1. (y , k 0 ) ∈ (Q, κ) ⇔ ∃i ∈ [t], (xi , k) ∈ (Q, κ);
2. k 0 est polynomial en k.
Algorithme de ou-composition
Un algorithme de ou-composition pour un problème paramétré
(Q, κ) ⊆ Σ∗ × N est un algorithme A qui
I
I
I
reçoit une séquence ((x1 , k), . . . (xt , k)), avec (xi , k) ∈ Σ∗ × N
∀i ∈ [t];
P
a une complexité polynomiale en ti=1 |xi | + k,
retourne (y , k 0 ) ∈ Σ∗ × N tel que
1. (y , k 0 ) ∈ (Q, κ) ⇔ ∃i ∈ [t], (xi , k) ∈ (Q, κ);
2. k 0 est polynomial en k.
Observation : L’existence d’un noyau polynomial pour Longest
Path impliquerait l’existence d’un algorithme de ou-composition.
Théorème [Bodlaender, Downey, Fellows, Hermelin]
Soit (Q, κ) ∈ Σ∗ × N un problème paramétré ou-composable tel
que le problème Q̃ ∈ Σ∗ (non-paramétré) est NP-Complet.
Si (Q, κ) admet un noyau polynomial, alors Q̃ est ou-distillable.
Théorème [Bodlaender, Downey, Fellows, Hermelin]
Soit (Q, κ) ∈ Σ∗ × N un problème paramétré ou-composable tel
que le problème Q̃ ∈ Σ∗ (non-paramétré) est NP-Complet.
Si (Q, κ) admet un noyau polynomial, alors Q̃ est ou-distillable.
I
(x, κ(x)) instance de (Q, κ) −→ x#1k instance de Q̃
Théorème [Bodlaender, Downey, Fellows, Hermelin]
Soit (Q, κ) ∈ Σ∗ × N un problème paramétré ou-composable tel
que le problème Q̃ ∈ Σ∗ (non-paramétré) est NP-Complet.
Si (Q, κ) admet un noyau polynomial, alors Q̃ est ou-distillable.
I
(x, κ(x)) instance de (Q, κ) −→ x#1k instance de Q̃
I
Puisque Q̃ est un problème NP-Complet, il existe deux
transformations polynomiales
Φ : Q̃ −→ sat
Ψ : sat −→ Q̃
Théorème [Bodlaender, Downey, Fellows, Hermelin]
Soit (Q, κ) ∈ Σ∗ × N un problème paramétré ou-composable tel
que le problème Q̃ ∈ Σ∗ (non-paramétré) est NP-Complet.
Si (Q, κ) admet un noyau polynomial, alors Q̃ est ou-distillable.
I
(x, κ(x)) instance de (Q, κ) −→ x#1k instance de Q̃
I
Puisque Q̃ est un problème NP-Complet, il existe deux
transformations polynomiales
Φ : Q̃ −→ sat
I
Ψ : sat −→ Q̃
on va construire un algorithme A de ou-distillation pour Q̃ à
partir de Φ, Ψ, de l’algorithme de ou-composition C et de
l’algorithme K calculant le noyau de (Q, κ).
(x1 #1k1 , . . . , xt #1kt )
↓
((x1 , k1 ) . . . (xt , kt ))
.
&
{(xi , ki ) | ki = p1 }
...
{(xi , ki ) | ki = pr }
C↓
ou-composition
↓
kernelization
(yr , kr0 )
. K
(y1 , k10 )
K&
((z1 , k100 ), . . . , (zr , kr00 ))
↓
00
00
(z1 #1k1 , . . . , zr #1kr )
↓Φ
k100
00
(Φ(z1 #1 ), . . . Φ(zr #1kr )
↓Ψ
W
00
Ψ( i∈[r ] Φ(zi #1ki ))
C
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃
⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
I
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃
⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
P
La complexité de l’algorithme est polynomiale en i∈[t] |xi |
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
I
I
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃
⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
P
La complexité de l’algorithme est polynomiale en i∈[t] |xi |
Il reste à prouver que la taille de l’instance de Q̃ retournée est
polynomiale en n = maxi∈[t] |xi #1ki |
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
I
I
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃
⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
P
La complexité de l’algorithme est polynomiale en i∈[t] |xi |
Il reste à prouver que la taille de l’instance de Q̃ retournée est
polynomiale en n = maxi∈[t] |xi #1ki |
I
r 6 k = maxi∈[r ] kr 6 n
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
I
I
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃
⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
P
La complexité de l’algorithme est polynomiale en i∈[t] |xi |
Il reste à prouver que la taille de l’instance de Q̃ retournée est
polynomiale en n = maxi∈[t] |xi #1ki |
I
I
r 6 k = maxi∈[r ] kr 6 n
∀i ∈ [r ], ki0 est borné par un polynôme en ki 6 k 6 n
(C est un algorithme de ou-composition)
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
I
I
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃
⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
P
La complexité de l’algorithme est polynomiale en i∈[t] |xi |
Il reste à prouver que la taille de l’instance de Q̃ retournée est
polynomiale en n = maxi∈[t] |xi #1ki |
I
I
I
r 6 k = maxi∈[r ] kr 6 n
∀i ∈ [r ], ki0 est borné par un polynôme en ki 6 k 6 n
(C est un algorithme de ou-composition)
00
Donc pour tout i ∈ [r ], la taille de zi #1ki est bornée par un
polynôme en n (K est une kernalization)
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
I
I
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃
⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
P
La complexité de l’algorithme est polynomiale en i∈[t] |xi |
Il reste à prouver que la taille de l’instance de Q̃ retournée est
polynomiale en n = maxi∈[t] |xi #1ki |
I
I
I
I
r 6 k = maxi∈[r ] kr 6 n
∀i ∈ [r ], ki0 est borné par un polynôme en ki 6 k 6 n
(C est un algorithme de ou-composition)
00
Donc pour tout i ∈ [r ], la taille de zi #1ki est bornée par un
polynôme en n (K est
W une kernalization)
00
Donc la taille de Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) est bornée par un
polynôme en n (Φ et Ψ sont des transformations polynomiales)
Conséquences
Corollaire
Sauf si PH = Σ3p , Longest Path n’admet pas de noyau
polynomial.
Conséquences
Corollaire
Sauf si PH = Σ3p , Longest Path n’admet pas de noyau
polynomial.
Sous-arborescence avec k feuilles
→
−
Etant donné un graphe orienté D = (V , E ), existe-t-il une
→
−
arborescence T dans D avec k feuilles ? → algo en O(4k nO(1) )
Conséquences
Corollaire
Sauf si PH = Σ3p , Longest Path n’admet pas de noyau
polynomial.
Sous-arborescence avec k feuilles
→
−
Etant donné un graphe orienté D = (V , E ), existe-t-il une
→
−
arborescence T dans D avec k feuilles ? → algo en O(4k nO(1) )
Lemme
Sauf si PH = Σ3p , le problème k-Sous-Arborescence n’admet
pas de noyau polynomial.
Conséquences
Corollaire
Sauf si PH = Σ3p , Longest Path n’admet pas de noyau
polynomial.
Sous-arborescence avec k feuilles
→
−
Etant donné un graphe orienté D = (V , E ), existe-t-il une
→
−
arborescence T dans D avec k feuilles ? → algo en O(4k nO(1) )
Lemme
Sauf si PH = Σ3p , le problème k-Sous-Arborescence n’admet
pas de noyau polynomial.
Remarque La version enracinée (on fixe une racine r ) admet un
noyau cubique !
Noyaux exponentiels
Edge Clique-Cover
Longest Path
Algorithmes de distillation et de composition
Conjecture de ou-distillation
Non-existence de noyau polynomial
Exemples
Transformations paramétrées polynomiales
Définition et exemple
Réductions non-triviales
Compositions croisées
Définition et théorèmes
Dominating set
Autres techniques
et-composition
Bornes inférieures polynomiales
Transformations polynomiales et paramétrées
Soient (P, π) et (Q, κ) deux problèmes paramétrés.
Une transformation polynomiale et paramétrée (tpp) de (P, π)
vers (Q, κ) est un algorithme polynomial A qui :
I
I
à toute instance (x, k) de (P, π) associe une instance (x 0 , k 0 )
de (Q, κ);
(x, k) ∈ (P, π) ⇐⇒ (x 0 , k 0 ) ∈ (Q, π)
et
On note (P, π) 6TPP (Q, κ)
k 0 6 poly (k)
Transformations polynomiales et paramétrées
Soient (P, π) et (Q, κ) deux problèmes paramétrés.
Une transformation polynomiale et paramétrée (tpp) de (P, π)
vers (Q, κ) est un algorithme polynomial A qui :
I
I
à toute instance (x, k) de (P, π) associe une instance (x 0 , k 0 )
de (Q, κ);
(x, k) ∈ (P, π) ⇐⇒ (x 0 , k 0 ) ∈ (Q, π)
et
k 0 6 poly (k)
On note (P, π) 6TPP (Q, κ)
Théorème [Bodlaender, Thomassé, Yeo]
Soient (P, π) et (Q, κ) deux problèmes paramétrés tels que P est
NP-Complet et Q appartient à NP.
Si (P, π) 6TPP (Q, κ) et si (P, π) n’admet pas de noyau
polynomial, alors (Q, κ) n’admet pas de noyau polynomial.
Exercice : Faire la preuve du théorème précédent.
(Idée : en supposant que (Q, κ) admet un noyau polynomial, alors on
construit un algorithme polynomial qui réduit (P, π) à un noyau
polynomial.)
Exercice : Faire la preuve du théorème précédent.
Utilisation
I
construction de noyaux polynomiaux
I
preuve de non-existence de noyau polynomial:
Exercice : Faire la preuve du théorème précédent.
Utilisation
I
construction de noyaux polynomiaux
I
preuve de non-existence de noyau polynomial:
Path Packing
→ Tester si un graphe contient k chemins sommets disjoints de
taille k
Exercice : Faire la preuve du théorème précédent.
Utilisation
I
construction de noyaux polynomiaux
I
preuve de non-existence de noyau polynomial:
Path Packing
→ Tester si un graphe contient k chemins sommets disjoints de
taille k
Remarque : Path-Packing n’est pas ou-composable !
Exercice : Faire la preuve du théorème précédent.
Utilisation
I
construction de noyaux polynomiaux
I
preuve de non-existence de noyau polynomial:
Path Packing
→ Tester si un graphe contient k chemins sommets disjoints de
taille k
Remarque : Path-Packing n’est pas ou-composable !
k
k!1
k!1
2
1
Longest Path 6TPP Path Packing
Disjoint Paths
I
Un graphe G et k paires de sommets (s1 , t1 ), . . . (sk , tk )
I
G contient-il k chemins P1 , . . . Pk , sommets disjoints tels que
Pi est un chemin entre si et ti (i ∈ [k]) ?
s1
s3
t1
t2
s2
t3
Disjoint Paths
I
Un graphe G et k paires de sommets (s1 , t1 ), . . . (sk , tk )
I
G contient-il k chemins P1 , . . . Pk , sommets disjoints tels que
Pi est un chemin entre si et ti (i ∈ [k]) ?
s1
s3
t1
t2
s2
t3
Remarque
I
Disjoint Paths est FPT et NPC [Roberston et Seymour]
I
Mais Disjoint Paths n’est pas ou-composable
Disjoint Paths
Méthode
I
Introduction d’un problème intermédiaire (P, π)
I
Montrer que (P, π) est FPT et ou-composable,
que P (non-paramétré) est NP-Complet
I
Montrer que (P, π) 6TPP Disjoint Paths
Disjoint Paths
Méthode
I
Introduction d’un problème intermédiaire (P, π)
I
Montrer que (P, π) est FPT et ou-composable,
que P (non-paramétré) est NP-Complet
I
Montrer que (P, π) 6TPP Disjoint Paths
Disjoint Factors
Un mot W sur Σ = {1, . . . k} possède la propriété des facteurs
disjoints si W contient k facteurs disjoints F1 , . . . Fk tels que
∀i ∈ [k], Fi commence et termine par la lettre i et |Fi | > 2.
Disjoint Paths
Méthode
I
Introduction d’un problème intermédiaire (P, π)
I
Montrer que (P, π) est FPT et ou-composable,
que P (non-paramétré) est NP-Complet
I
Montrer que (P, π) 6TPP Disjoint Paths
Disjoint Factors
Un mot W sur Σ = {1, . . . k} possède la propriété des facteurs
disjoints si W contient k facteurs disjoints F1 , . . . Fk tels que
∀i ∈ [k], Fi commence et termine par la lettre i et |Fi | > 2.
1 2432 4 313 2 4234 23 141
Disjoint Paths
Exercice
1. Montrer que Disjoint Factors est FPT
(idée : par programmation dynamique en temps O(nk· 2k ))
2. Montrer que Disjoint Factors est NP-Complet
(idée : réduction depuis 3-sat)
Disjoint Paths
Exercice
1. Montrer que Disjoint Factors est FPT
(idée : par programmation dynamique en temps O(nk· 2k ))
2. Montrer que Disjoint Factors est NP-Complet
(idée : réduction depuis 3-sat)
Lemme [BTY] : Disjoint Factors est ou-composable
Disjoint Paths
Exercice
1. Montrer que Disjoint Factors est FPT
(idée : par programmation dynamique en temps O(nk· 2k ))
2. Montrer que Disjoint Factors est NP-Complet
(idée : réduction depuis 3-sat)
Lemme [BTY] : Disjoint Factors est ou-composable
((W1 , k) , (W2 , k))
↓
((k + 1).W1 .(k + 1).W2 .(k + 1), (k + 1))
Disjoint Paths
Exercice
1. Montrer que Disjoint Factors est FPT
(idée : par programmation dynamique en temps O(nk· 2k ))
2. Montrer que Disjoint Factors est NP-Complet
(idée : réduction depuis 3-sat)
Lemme [BTY] : Disjoint Factors est ou-composable
((W1 , k) , (W2 , k) , (W3 , k) , (W4 , k))
.
(k + 1)W1 (k + 1)W2 (k + 1)
&
&
(k + 1)W3 .(k + 1)W4 (k + 1)
.
(k + 2)(k + 1)W1 (k + 1)W2 (k + 1)(k + 2)(k + 1)W3 (k + 1)W4 (k + 1)(k + 2)
Disjoint Paths
Exercice
1. Montrer que Disjoint Factors est FPT
(idée : par programmation dynamique en temps O(nk· 2k ))
2. Montrer que Disjoint Factors est NP-Complet
(idée : réduction depuis 3-sat)
Lemme [BTY] : Disjoint Factors est ou-composable
((W1 , k) . . . (Wt , k)) −→ (W 0 , k + dlog2 te)
Remarques:
Disjoint Paths
Exercice
1. Montrer que Disjoint Factors est FPT
(idée : par programmation dynamique en temps O(nk· 2k ))
2. Montrer que Disjoint Factors est NP-Complet
(idée : réduction depuis 3-sat)
Lemme [BTY] : Disjoint Factors est ou-composable
((W1 , k) . . . (Wt , k)) −→ (W 0 , k + dlog2 te)
Remarques:
I
t 6 2k , sinon le problème
P peut se résoudre en temps
polynomial car 2k 6 t1 |Wi |.
Disjoint Paths
Exercice
1. Montrer que Disjoint Factors est FPT
(idée : par programmation dynamique en temps O(nk· 2k ))
2. Montrer que Disjoint Factors est NP-Complet
(idée : réduction depuis 3-sat)
Lemme [BTY] : Disjoint Factors est ou-composable
((W1 , k) . . . (Wt , k)) −→ (W 0 , k + dlog2 te)
Remarques:
I
t 6 2k , sinon le problème
P peut se résoudre en temps
polynomial car 2k 6 t1 |Wi |.
I
k + dlog2 te 6 2k
Disjoint Paths
Lemme [BTY] : Disjoint Factors 6TPP Disjoint Paths
1
2
4
3
2
4
3
1
3
2
4
2
3
4
2
3
1
4
1
t1
s1
t2
s2
s3
t3
s4
t4
Théorème [Bodlaender, Thomassé, Yeo]
Disjoint Paths n’admet pas de noyau polynomial à moins que
PH = Σ3p
Noyaux exponentiels
Edge Clique-Cover
Longest Path
Algorithmes de distillation et de composition
Conjecture de ou-distillation
Non-existence de noyau polynomial
Exemples
Transformations paramétrées polynomiales
Définition et exemple
Réductions non-triviales
Compositions croisées
Définition et théorèmes
Dominating set
Autres techniques
et-composition
Bornes inférieures polynomiales
Compositions croisées
Idée de base / objectifs
I
unifier les deux techniques existantes (Ou-composition et
tpp)
I
permettre de composer un problème vers un autre problème
I
être capable de composer des problèmes NP-complets vers des
problèmes FPT
Compositions croisées
Idée de base / objectifs
I
unifier les deux techniques existantes (Ou-composition et
tpp)
I
permettre de composer un problème vers un autre problème
I
être capable de composer des problèmes NP-complets vers des
problèmes FPT
Une relation d’équivalence R sur Σ∗ est une relation d’équivalence
polynomiale si
1. ∃ un algorithme qui décide si xRy en temps (|x| + |y |)O(1)
2. ∀S ⊆ Σ∗ , R partitionne S en au plus (maxx∈S |X |)O(1) classes
Compositions croisées
Idée de base / objectifs
I
unifier les deux techniques existantes (Ou-composition et
tpp)
I
permettre de composer un problème vers un autre problème
I
être capable de composer des problèmes NP-complets vers des
problèmes FPT
Une relation d’équivalence R sur Σ∗ est une relation d’équivalence
polynomiale si
1. ∃ un algorithme qui décide si xRy en temps (|x| + |y |)O(1)
2. ∀S ⊆ Σ∗ , R partitionne S en au plus (maxx∈S |X |)O(1) classes
I
Exemple : nombre de sommets et valeur du paramètres égaux
Compositions croisées
Soient L ⊆ Σ∗ et (Q, κ) ⊆ Σ∗ × N. Il existe une composition
croisée de L vers Q si il existe une relation d’équivalence
polynomiale R sur Σ∗ et un algorithme A qui
I
I
I
reçoit une séquence (x1 , . . . xt ), tel que ∀1 6 i < j 6 t, xi Rxj
P
a une complexité polynomiale en ti=1 |xi |
retourne (x, k) ∈ Σ∗ × N tel que
1. (x, k) ∈ (Q, κ) ⇔ ∃i ∈ [t], xi ∈ L
t
|xi | + log t.
2. k est polynomial en maxi=1
Compositions croisées
Soient L ⊆ Σ∗ et (Q, κ) ⊆ Σ∗ × N. Il existe une composition
croisée de L vers Q si il existe une relation d’équivalence
polynomiale R sur Σ∗ et un algorithme A qui
I
I
I
reçoit une séquence (x1 , . . . xt ), tel que ∀1 6 i < j 6 t, xi Rxj
P
a une complexité polynomiale en ti=1 |xi |
retourne (x, k) ∈ Σ∗ × N tel que
1. (x, k) ∈ (Q, κ) ⇔ ∃i ∈ [t], xi ∈ L
t
|xi | + log t.
2. k est polynomial en maxi=1
Théorème [Bodlaender, Jansen, Kratsch]
Soit A une composition croisée d’un problème NP-complet L ⊆ Σ∗
vers un problème paramétré (Q, κ) tel que Q̃ ∈ NP-complet. Si
(Q, κ) admet un noyau polynomial, alors L admet une
ou-distillation.
Compositions croisées
Soient L ⊆ Σ∗ et (Q, κ) ⊆ Σ∗ × N. Il existe une composition
croisée de L vers Q si il existe une relation d’équivalence
polynomiale R sur Σ∗ et un algorithme A qui
I reçoit une séquence (x1 , . . . xt ), tel que ∀1 6 i < j 6 t, xi Rxj
Pt
I a une complexité polynomiale en
i=1 |xi |
I retourne (x, k) ∈ Σ∗ × N tel que
1. (x, k) ∈ (Q, κ) ⇔ ∃i ∈ [t], xi ∈ L
t
2. k est polynomial en maxi=1
|xi | + log t.
Théorème [Bodlaender, Jansen, Kratsch]
Soit A une composition croisée d’un problème NP-complet L ⊆ Σ∗
vers un problème paramétré (Q, κ) tel que Q̃ ∈ NP-complet. Si
(Q, κ) admet un noyau polynomial, alors L admet une
ou-distillation.
I
preuve similaire à celle de la ou-composition
Compositions croisées
(x1 #1k1 , . . . , xt #1kt )
.
R
&
1
r
X1 = {(x11 #1k1 , . . . }
...
Xr = {(x1r #1k1 , . . . }
A↓
composition croisée
↓
(y1 , k10 )
A
(yr , kr0 )
K↓
↓
kernelization
(z1 , k100 )
K
(zr , kr00
&
.
(z1
00
#1k1 , . . . , z
r
00
#1kr )
↓ Φ : Q̃ → SAT
00
00
(Φ(z1 #1k1 ), . . . Φ(zr #1kr )
↓ Ψ : SAT → L
W
00
z = Ψ( i∈[r ] Φ(zi #1ki ))
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
On pose m = maxi∈[t] |xi | et t 6 (|Σ| + 1)m (sinon certaines
instances sont des copies que l’on supprime)
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
I
On pose m = maxi∈[t] |xi | et t 6 (|Σ| + 1)m (sinon certaines
instances sont des copies que l’on supprime)
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃ ⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
I
I
On pose m = maxi∈[t] |xi | et t 6 (|Σ| + 1)m (sinon certaines
instances sont des copies que l’on supprime)
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃ ⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
La complexité de l’algorithme
est polynomiale en
P
i∈[t] |xi |
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
I
On pose m = maxi∈[t] |xi | et t 6 (|Σ| + 1)m (sinon certaines
instances sont des copies que l’on supprime)
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃ ⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
I
La complexité de l’algorithme
est polynomiale en
P
i∈[t] |xi |
I
Il reste à prouver que la taille de l’instance z de Q̃ est
polynomiale en n = maxi∈[t] |xi #1ki |
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
I
On pose m = maxi∈[t] |xi | et t 6 (|Σ| + 1)m (sinon certaines
instances sont des copies que l’on supprime)
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃ ⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
I
La complexité de l’algorithme
est polynomiale en
P
i∈[t] |xi |
I
Il reste à prouver que la taille de l’instance z de Q̃ est
polynomiale en n = maxi∈[t] |xi #1ki |
I
r est polynomial en m
R est une relation d’équivalence polynomiale
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
I
On pose m = maxi∈[t] |xi | et t 6 (|Σ| + 1)m (sinon certaines
instances sont des copies que l’on supprime)
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃ ⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
I
La complexité de l’algorithme
est polynomiale en
P
i∈[t] |xi |
I
Il reste à prouver que la taille de l’instance z de Q̃ est
polynomiale en n = maxi∈[t] |xi #1ki |
I
I
r est polynomial en m
R est une relation d’équivalence polynomiale
∀i ∈ [r ], ki0 est polynomial en m + log t
A est une composition croisée
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
I
On pose m = maxi∈[t] |xi | et t 6 (|Σ| + 1)m (sinon certaines
instances sont des copies que l’on supprime)
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃ ⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
I
La complexité de l’algorithme
est polynomiale en
P
i∈[t] |xi |
I
Il reste à prouver que la taille de l’instance z de Q̃ est
polynomiale en n = maxi∈[t] |xi #1ki |
I
I
I
r est polynomial en m
R est une relation d’équivalence polynomiale
∀i ∈ [r ], ki0 est polynomial en m + log t
A est une composition croisée
∀i ∈ [r ], |zi| et ki00 est polynomial en m + log t
K est une kernelization
L’algorithme décrit est un algorithme de ou-distillation pour Q̃.
I
I
On pose m = maxi∈[t] |xi | et t 6 (|Σ| + 1)m (sinon certaines
instances sont des copies que l’on supprime)
W
00
Ψ( i∈[r ] (Φ(zi #1ki )) ∈ Q̃ ⇐⇒ ∃i ∈ [r ], (x1 #1k1 ) ∈ Q̃
I
La complexité de l’algorithme
est polynomiale en
P
i∈[t] |xi |
I
Il reste à prouver que la taille de l’instance z de Q̃ est
polynomiale en n = maxi∈[t] |xi #1ki |
I
I
I
I
r est polynomial en m
R est une relation d’équivalence polynomiale
∀i ∈ [r ], ki0 est polynomial en m + log t
A est une composition croisée
∀i ∈ [r ], |zi| et ki00 est polynomial en m + log t
K est une kernelization
|z| est polynomial en r × (m + log t) donc polynomial en m
Corollaire :
Soit A une composition croisée d’un problème NP-complet L ⊆ Σ∗
vers un problème paramétré (Q, κ) tel que Q̃ ∈ NP-complet.
Sauf si PH = Σ3p , (Q, κ) n’admet pas de noyau polynomial.
Corollaire :
Soit A une composition croisée d’un problème NP-complet L ⊆ Σ∗
vers un problème paramétré (Q, κ) tel que Q̃ ∈ NP-complet.
Sauf si PH = Σ3p , (Q, κ) n’admet pas de noyau polynomial.
Observations :
1. Si le problème paramétré (P, κ) est ou-composable, alors
il existe une composition croisée de P̃ vers (P, κ).
I
la relation d’équivalence polynomiale regroupe les instances
”valides” x#1k selon la valeur du paramètre k
Corollaire :
Soit A une composition croisée d’un problème NP-complet L ⊆ Σ∗
vers un problème paramétré (Q, κ) tel que Q̃ ∈ NP-complet.
Sauf si PH = Σ3p , (Q, κ) n’admet pas de noyau polynomial.
Observations :
1. Si le problème paramétré (P, κ) est ou-composable, alors
il existe une composition croisée de P̃ vers (P, κ).
I
la relation d’équivalence polynomiale regroupe les instances
”valides” x#1k selon la valeur du paramètre k
2. Soient (P, κP ) et (Q, κQ ) deux problèmes paramétrés tels que
(P, κP ) est ou-composable et (P, κP ) 6TPP (Q, κQ ), alors
il existe une composition croisée de P̃ vers (Q, κQ ).
Dominating set
I
Un graphe G = (V , E ) contient-il un ensemble dominant
S ⊆ V de taille au plus k:
∀x ∈ V , x ∈
/ S ⇒ ∃y ∈ S, (x, y ) ∈ E
Dominating set
I
Un graphe G = (V , E ) contient-il un ensemble dominant
S ⊆ V de taille au plus k:
∀x ∈ V , x ∈
/ S ⇒ ∃y ∈ S, (x, y ) ∈ E
Résultats connus
I W [2]-complet si paramétré par la taille de la solution
⇒ pas de noyau exponentiel !
Dominating set
I
Un graphe G = (V , E ) contient-il un ensemble dominant
S ⊆ V de taille au plus k:
∀x ∈ V , x ∈
/ S ⇒ ∃y ∈ S, (x, y ) ∈ E
Résultats connus
I W [2]-complet si paramétré par la taille de la solution
⇒ pas de noyau exponentiel !
I FPT et ou-composable si paramétré par treewidth(G )
⇒ pas de noyau polynomial !
Dominating set
I
Un graphe G = (V , E ) contient-il un ensemble dominant
S ⊆ V de taille au plus k:
∀x ∈ V , x ∈
/ S ⇒ ∃y ∈ S, (x, y ) ∈ E
Résultats connus
I W [2]-complet si paramétré par la taille de la solution
⇒ pas de noyau exponentiel !
I FPT et ou-composable si paramétré par treewidth(G )
⇒ pas de noyau polynomial !
I FPT si paramétré par la taille d’un vertex cover
Dominating set
I
Un graphe G = (V , E ) contient-il un ensemble dominant
S ⊆ V de taille au plus k:
∀x ∈ V , x ∈
/ S ⇒ ∃y ∈ S, (x, y ) ∈ E
Résultats connus
I W [2]-complet si paramétré par la taille de la solution
⇒ pas de noyau exponentiel !
I FPT et ou-composable si paramétré par treewidth(G )
⇒ pas de noyau polynomial !
I FPT si paramétré par la taille d’un vertex cover
MAIS
vertex cover (G ) > treewidth(G )
∃? un noyau polynomial pour la paramétrisation par vertex cover
Dominating set
Théorème [Wratigan]
Il existe une composition croisée de Vertex Cover vers
Dominating Set paramétré par vertex cover.
Dominating set
Théorème [Wratigan]
Il existe une composition croisée de Vertex Cover vers
Dominating Set paramétré par vertex cover.
Soit (G1 #1k1 , . . . Gt #1kt ) une série d’instances de Vertex
Cover
I
les deux problèmes sont NP-Complets
I
Gi #1ki R Gj #1kj si |V (Gi )| = |V (Gj )| = n et ki = kj = k
Dominating set
Théorème [Wratigan]
Il existe une composition croisée de Vertex Cover vers
Dominating Set paramétré par vertex cover.
Soit (G1 #1k1 , . . . Gt #1kt ) une série d’instances de Vertex
Cover
I
les deux problèmes sont NP-Complets
I
Gi #1ki R Gj #1kj si |V (Gi )| = |V (Gj )| = n et ki = kj = k
I
On construit une instance (G , kG , Z ) de Dominating Set
paramétré par vertex cover avec Z un vertex cover de G tel
que
G admet un ensemble dominant de taille kG
ssi
∃j ∈ [t] tel que Gi possède un vertex cover de taille kj
000
111
000
000111
111
S
000
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0000
000111
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a
b
c111111
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11100000000000000000
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11111111111111111
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0000
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s 11111111111111111
000011111111111111111
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00000000000
11111111111
00000000000000000
0000000s1011111111111
1111111
00000000000000000
00000001111
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00000000000
0000s I
1
e1,2
I
|S| = k + 3
i
t
11111
11111 0000000
00000
1111111 00000000000
11111111111 00000
e1,n
ep,q
en,1
en,n−1
E
(si , ep,q ) ∈ E (G ) ⇔ (p, q) ∈
/ E (Gi )
000
111
000
000111
111
S
000
1111
0000
000111
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000000
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a
b
c111111
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000
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0000000
0000111
000000
00000000000000
111
0001111111
111
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11111111111111111111
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0111111
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000 1111
00000000000000000
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0000
1111
00000000000
11111111111
0000000
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00000000000000000
0000000
1111111
0000
11111111111
00000000000000000
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0000
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00000000000
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00000001011111111111
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00000000000000000
11111111111111111
000000000000000000
1111111
00000000000
1011111111111
0000
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11111111111111111
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00000000000
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0000000
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00000000000000000
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0000000
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1011111111111
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s 11111111111
00000000000000000
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00000000000
0000000s1011111111111
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00000000000
0000s I
1
e1,2
t
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11111 0000000
00000
1111111 00000000000
11111111111 00000
e1,n
111
000
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000111
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000 111
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i
v1i
v1n
ep,q
00
11
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000
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00
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000
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000 111
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vj1
A1
S1
en,1
vji
vjn
Aj
Sj
en,n−1
E
A
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000
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000
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000 111
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vk1
vki
vkn
Ak
Sk
I
|S| = k + 3
(si , ep,q ) ∈ E (G ) ⇔ (p, q) ∈
/ E (Gi )
I
∀j ∈ [k], |Sj | = k + 3
(vij , ep,q ) ∈ E (G ) ⇔ i = p ∨ i = q
000
111
000
000111
111
S
000
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0000
000111
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s 11111111111
00000000000000000
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00000000000
0000s I
1
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I
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000 111
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vk1
vki
vkn
Ak
Sk
|S| = k + 3
(si , ep,q ) ∈ E (G ) ⇔ (p, q) ∈
/ E (Gi )
j
∀j ∈ [k], |Sj | = k + 3
(vi , ep,q ) ∈ E (G ) ⇔ i = p ∨ i = q
∀j ∈ [k], Aj est une clique et Sj un indépendant
Gi possède un vertex cover S = {u1 , . . . uk } de taille k
⇒ {c, si } ∪ {vui i : i ∈ [l]} est un (k + 2)-dominant de G
000
111
000
000111
111
S
000
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0000
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1
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S1
I
I
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000 111
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vki
vkn
Ak
Sk
|S| = k + 3
(si , ep,q ) ∈ E (G ) ⇔ (p, q) ∈
/ E (Gi )
j
∀j ∈ [k], |Sj | = k + 3
(vi , ep,q ) ∈ E (G ) ⇔ i = p ∨ i = q
∀j ∈ [k], Aj est une clique et Sj un indépendant
G possède un (k + 2)-dominant
⇒ ∃i ∈ [k] tel que Gi possède un vertex cover de taille k
Noyaux exponentiels
Edge Clique-Cover
Longest Path
Algorithmes de distillation et de composition
Conjecture de ou-distillation
Non-existence de noyau polynomial
Exemples
Transformations paramétrées polynomiales
Définition et exemple
Réductions non-triviales
Compositions croisées
Définition et théorèmes
Dominating set
Autres techniques
et-composition
Bornes inférieures polynomiales
et-composition
Un algorithme de et-distillation A pour un problème de décision Q
(i.e. non paramétré) sur l’alphabet Σ est un algorithme qui :
I
reçoit une séquence (x1 , . . . xt ), avec xi ∈ Σ∗ , ∀i ∈ [t];
et-composition
Un algorithme de et-distillation A pour un problème de décision Q
(i.e. non paramétré) sur l’alphabet Σ est un algorithme qui :
I
I
reçoit une séquence (x1 , . . . xt ), avec xi ∈ Σ∗ , ∀i ∈ [t];
P
possède une complexité polynomiale en ti=1 |xi |,
et-composition
Un algorithme de et-distillation A pour un problème de décision Q
(i.e. non paramétré) sur l’alphabet Σ est un algorithme qui :
I
reçoit une séquence (x1 , . . . xt ), avec xi ∈ Σ∗ , ∀i ∈ [t];
P
possède une complexité polynomiale en ti=1 |xi |,
I
retourne y ∈ Σ∗ tel que
I
1. y ∈ Q ⇔ ∀i ∈ [t], xi ∈ Q;
2. |y | est polynomial en maxi∈[t] |xi |.
et-composition
Un algorithme de et-distillation A pour un problème de décision Q
(i.e. non paramétré) sur l’alphabet Σ est un algorithme qui :
I
reçoit une séquence (x1 , . . . xt ), avec xi ∈ Σ∗ , ∀i ∈ [t];
P
possède une complexité polynomiale en ti=1 |xi |,
I
retourne y ∈ Σ∗ tel que
I
1. y ∈ Q ⇔ ∀i ∈ [t], xi ∈ Q;
2. |y | est polynomial en maxi∈[t] |xi |.
Conjecture [Bodlaender, Downey, Fellows, Hermelin] Aucun
problème NP-complet n’admet un algorithme de et-distillation
et-composition
Un algorithme de et-composition pour un problème paramétré
(Q, κ) ⊆ Σ∗ × N est un algorithme A qui
I
I
I
reçoit une séquence ((x1 , k), . . . (xt , k)), avec (xi , k) ∈ Σ∗ × N
∀i ∈ [t];
P
a une complexité polynomiale en ti=1 |xi | + k,
retourne (y , k 0 ) ∈ Σ∗ × N tel que
1. (y , k 0 ) ∈ (Q, κ) ⇔ ∀i ∈ [t], (xi , k) ∈ (Q, κ);
2. k 0 est polynomial en k.
et-composition
Un algorithme de et-composition pour un problème paramétré
(Q, κ) ⊆ Σ∗ × N est un algorithme A qui
I
I
I
reçoit une séquence ((x1 , k), . . . (xt , k)), avec (xi , k) ∈ Σ∗ × N
∀i ∈ [t];
P
a une complexité polynomiale en ti=1 |xi | + k,
retourne (y , k 0 ) ∈ Σ∗ × N tel que
1. (y , k 0 ) ∈ (Q, κ) ⇔ ∀i ∈ [t], (xi , k) ∈ (Q, κ);
2. k 0 est polynomial en k.
Théorème [Drucker’12]
Soit (Q, κ) ∈ Σ∗ × N un problème paramétré et-composable tel
que le problème Q̃ ∈ Σ∗ (non-paramétré) est NP-Complet.
Si (Q, κ) admet un noyau polynomial, alors coNP⊆ NP/poly.
et-composition
Un algorithme de et-composition pour un problème paramétré
(Q, κ) ⊆ Σ∗ × N est un algorithme A qui
I reçoit une séquence ((x1 , k), . . . (xt , k)), avec (xi , k) ∈ Σ∗ × N
∀i ∈ [t];
Pt
I a une complexité polynomiale en
i=1 |xi | + k,
I retourne (y , k 0 ) ∈ Σ∗ × N tel que
1. (y , k 0 ) ∈ (Q, κ) ⇔ ∀i ∈ [t], (xi , k) ∈ (Q, κ);
2. k 0 est polynomial en k.
Théorème [Drucker’12]
Soit (Q, κ) ∈ Σ∗ × N un problème paramétré et-composable tel
que le problème Q̃ ∈ Σ∗ (non-paramétré) est NP-Complet.
Si (Q, κ) admet un noyau polynomial, alors coNP⊆ NP/poly.
Conséquence : des problèmes paramétrés tels que Treewidth,
Pathwidth n’admettent donc pas de noyaux polynomiaux sous
des hypothèses standards de complexité (prendre l’union disjointe).
Bornes inférieures polynomiales
Théorème [Dell, van Melkebeek’2010]
Soient L ⊆ Σ∗ un problème NP-difficile, (Q, κ) ⊆ Σ∗ × N un
problème paramétré et d > 0. S’il existe un algorithme A qui
I
reçoit une séquence (x1 , . . . xt ) tel que maxi∈[t] |xi | 6 s
I
a une complexité polynomiale en Σti=1 |xi |
retourne une instance (x, k) ∈ Σ∗ × N tel que
I
1. (x, k) ∈ (Q, κ) ⇔ ∃i ∈ [t], xi ∈ L
1
2. k 6 t d +o(1) · poly (s)
alors (Q, κ) ne possède pas de noyau de taille O(k d− ) pour tout
> 0, à moins que coNP⊆ NP/poly.
Bornes inférieures polynomiales
Théorème [Dell, van Melkebeek’2010]
Soient L ⊆ Σ∗ un problème NP-difficile, (Q, κ) ⊆ Σ∗ × N un
problème paramétré et d > 0. S’il existe un algorithme A qui
I
reçoit une séquence (x1 , . . . xt ) tel que maxi∈[t] |xi | 6 s
I
a une complexité polynomiale en Σti=1 |xi |
retourne une instance (x, k) ∈ Σ∗ × N tel que
I
1. (x, k) ∈ (Q, κ) ⇔ ∃i ∈ [t], xi ∈ L
1
2. k 6 t d +o(1) · poly (s)
alors (Q, κ) ne possède pas de noyau de taille O(k d− ) pour tout
> 0, à moins que coNP⊆ NP/poly.
Théorème
Pour tout > 0, le problème p-Vertex Cover ne possède pas
de noyau de taille O(k 2− ) , à moins que coNP⊆ NP/poly.
Bornes inférieures polynomiales
Réduction depuis Multicolored Biclique :
I
étant donné un graphe biparti B = (X , Y , E ) tel que
X = X1 ] · · · ] Xk et Y = Y1 ] · · · ] Yk pour k > 0;
I
décider si B contient une biclique Kk,k colorée, i.e.
intersectant chaque Xi , Yi pour i ∈ [k].
Bornes inférieures polynomiales
Réduction depuis Multicolored Biclique :
I
étant donné un graphe biparti B = (X , Y , E ) tel que
X = X1 ] · · · ] Xk et Y = Y1 ] · · · ] Yk pour k > 0;
I
décider si B contient une biclique Kk,k colorée, i.e.
intersectant chaque Xi , Yi pour i ∈ [k].
Hypothèses : Soit (B1,1 , . . . Bi,j , . . . , B√t,√t ) une séquences de t
graphes bipartis tels que
I
∀i ∈ [t], Bi est partitionné en k groupes chacun de taille n.
Bornes inférieures polynomiales
Réduction depuis Multicolored Biclique :
I étant donné un graphe biparti B = (X , Y , E ) tel que
X = X1 ] · · · ] Xk et Y = Y1 ] · · · ] Yk pour k > 0;
I décider si B contient une biclique Kk,k colorée, i.e.
intersectant chaque Xi , Yi pour i ∈ [k].
Hypothèses : Soit (B1,1 , . . . Bi,j , . . . , B√t,√t ) une séquences de t
graphes bipartis tels que
I ∀i ∈ [t], Bi est partitionné en k groupes chacun de taille n.
0 contient un 2k-clique ssi B
Observation : Bi,j
i,j contient une
biclique colorée Kk,k .
Bornes inférieures polynomiales
Xi
X1
X
√
t
0
Bi,j
Y1
Yj
Y
√
t
0 . Notons
On construit G tel que G [X i ∪ Y j ] est isomorphe à Bi,j
que le nombre de sommets de G est
√
1
N = 2 t · kn = t 2 · poly (s)
avec s la taille maximum des Bi,j .
Bornes inférieures polynomiales
Xi
X1
X
√
t
0
Bi,j
Y1
Yj
Y
√
t
0 . Notons
On construit G tel que G [X i ∪ Y j ] est isomorphe à Bi,j
que le nombre de sommets de G est
√
1
N = 2 t · kn = t 2 · poly (s)
avec s la taille maximum des Bi,j .
I
I
I
G possède une 2k-clique ssi
√
0 possède une 2k-clique ssi
∃i, j ∈ [ t] tel que Bi,j
√
∃i, j ∈ [ t] tel que Bi,j contient un biparti complet coloré Kk,k
Bornes inférieures polynomiales
Xi
X1
X
√
t
0
Bi,j
Y1
Yj
Y
√
t
0 . Notons
On construit G tel que G [X i ∪ Y j ] est isomorphe à Bi,j
que le nombre de sommets de G est
√
1
N = 2 t · kn = t 2 · poly (s)
avec s la taille maximum des Bi,j .
I
I
I
G possède un vertex cover de taille N − 2k ssi
√
0 possède une 2k-clique ssi
∃i, j ∈ [ t] tel que Bi,j
√
∃i, j ∈ [ t] tel que Bi,j contient un biparti complet coloré Kk,k
Bornes inférieures polynomiales
Xi
X1
X
√
t
0
Bi,j
Y1
Yj
Y
√
t
0 . Notons
On construit G tel que G [X i ∪ Y j ] est isomorphe à Bi,j
que le nombre de sommets de G est
√
1
N = 2 t · kn = t 2 · poly (s)
avec s la taille maximum des Bi,j .
Donc (B1,1 , . . . B√t,√t ), instances de Multicolored Biclique,
se réduisent en temps polynomial en une instance (G , N − 2k) de
1
p-Vertex Cover avec N − 2k 6 t 2 · poly (s)